Pour effectuer la correspondance tridimensionnelle entre les artères coronaires segmentées, les concepts de la géométrie épipolaire (Faugeras, 1993) sont employés. Pour effectuer les correspondances, la géométrie épipolaire nécessite les matrices de projection des différentes vues de la séquence angiographique. Comme ces matrices sont connues, la géométrie épipolaire est idéale pour cette étape. Cette sous-section aborde les concepts clés des correspondances entre les vues qui sont employés dans les sections subséquentes.
En premier lieu, le but de la géométrie épipolaire est de reconstruire des points 3D à partir de deux vues 2D. Ceci est possible grâce à la géométrie projective que l'on connait par le
système d'acquisition des séquences. La figure suivante démontre de façon globale le fonctionnement de la géométrie épipolaire.
Figure 2.9 Géométrie épipolaire entre deux vues
adaptée de http://en.wikipedia.org/wiki/File:Epipolar_geometry.svg, libre de droits.
Les deux rectangles de la figure représentent deux vues du même objet tridimensionnel représenté par X. On remarque les centres de projection OL et OR qui correspondent généralement aux positions des caméras qui capturent la séquence. Si on trace une ligne imaginaire entre les deux centres, on retrouve les épipôles eL et eR. Ils correspondent aux points d'intersection entre la droite OLOR et les plans des deux vues. Ces épipôles peuvent se situer hors des vues bornées par une hauteur et une largeur, mais jamais hors du plan image. Le plan qui regroupe les points X, OL et OR est le plan épipolaire et permet de déterminer les droites épipolaires que l'on peut voir en rouge dans la figure précédente. On comprend donc que les points xL et xR sont la projection du point 3D X sur deux vues à angle différent. Pour effectuer une correspondance, il suffit donc de sélectionner un point xL dans la première vue 2D et de tracer la droite qui le lie au centre de projection OL. On sait ainsi que le point 3D X doit se situer quelque part sur cette droite. On remarque que n'importe quel point de la droite pourrait être valide. Dans la figure, on remarque que les points X1, X2, et X3 sont des exemples de points 3D potentiels. Pour déterminer la bonne correspondance, on projette la droite OLxL dans la vue de droite, ce qui résulte en une droite épipolaire que l'on peut observer en rouge dans la figure. Il suffit donc de sélectionner un point sur la droite épipolaire pour obtenir la bonne correspondance en 3D. Les sous-sections suivantes expriment de façon mathématique le processus de correspondance de la géométrie épipolaire.
2.2.1.1 Matrice fondamentale
La matrice fondamentale est au centre de la géométrie épipolaire. C'est cette matrice qui permet de faire le lien entre les points 2D de la première image avec les droites épipolaires de la deuxième. Pour la déterminer, on doit d'abord calculer l'épipôle de la seconde vue à l'aide de l'équation suivante.
̃ = −
1 (2.4)
Dans l'équation, représente la matrice de projection de taille 3 par 4 de la deuxième image. P1 est quant à elle la matrice 3 par 3 extraite de la matrice de projection de la première image, alors que est le vecteur de translation 3 par 1 également extraite de celle-ci. Au final, on obtient un vecteur de taille 3 par 1 qui contient les coordonnées en x, y et z de l'épipôle de la seconde vue. On doit ensuite calculer la matrice antisymétrique de cet épipôle.
=
0 −
0 −
− 0 ù ̃ = (2.5)
Avec cette matrice antisymétrique, on effectue une dernière multiplication matricielle pour obtenir la matrice fondamentale qui lie les vues 1 et 2.
= (2.6)
La matrice fondamentale F permet ensuite de faire le lien entre les points 2D d'une vue et la droite épipolaire de l'autre vue.
2.2.1.2 Droites épipolaires et point 3D
Pour calculer la droite épipolaire, un point m1 est sélectionné dans la première vue. On le représente sous forme de vecteur de dimension 3, en spécifiant la valeur 1 pour la profondeur Z. Le calcul d'une droite épipolaire de la seconde vue se fait grâce à l'équation suivante.
= (2.7)
La droite l2 est un vecteur de dimension 3, et est sous la forme ax+by+c = 0. Les trois coefficients du vecteur correspondent ainsi à a, b et c. Pour faciliter le calcul entre un point et une droite, on normalise cette droite pour obtenir la relation a2+b2 = 1. Pour ce faire, on
divise les coefficients par la norme du vecteur [a, b]. Il est également intéressant de mentionner que l'on peut sélectionner un point dans la seconde image et obtenir la droite épipolaire de la première image grâce à la même matrice fondamentale. Il n'est donc pas nécessaire de la recalculer. Il suffit de remplacer la matrice fondamentale par sa transposée dans l'équation de la droite épipolaire présentée précédemment.
Le calcul du point 3D se fait en sélectionnant un point m2 sur la droite épipolaire l2. Le point 3D est donc l'intersection des droites OLm1 et OLm2. On calcule d'abord les centres de projection.
= −
= − (2.8)
À partir de ces centres de projection, on détermine les droites OLm1 et OLm2 grâce aux équations paramétriques de celles-ci.
= + −
= + −
= + −
ù ∈ {1,2} (2.9)
Il suffit ensuite de calculer l'intersection en résolvant le système d'équations pour obtenir la valeur de t puis x, y et z qui correspond au point d'intersection.