B. Serahsî’ye Göre Maslahat Kavramı
4. İnsan ve Toplumun Genel İhtiyaçları Anlamında Maslahat Kavramı
Ainda nos dias de hoje, o conceito de proporção é concebido, por muitos, como a igualdade entre duas razões, isto é, 𝐴
𝐵 = 𝐶
𝐷 (com B e D diferentes de zero). Em
seu artigo, Tinoco (1989, p.16) sugere que “não se deve impor a solução dos problemas de proporcionalidade direta pela igualdade de duas razões”, tendo em vista as diferentes estratégias de resolução utilizadas pelos estudantes nas
atividades propostas em seu estudo. No entanto, esse tipo de resolução, que tem suas origens na teoria de Eudoxo, continua sendo utilizada nos livros didáticos atuais. Com relação a essa teoria, Eves (2004) a apresenta em outras palavras:
(...) se A, B ,C e D são quatro grandezas desprovidas de sinal, sendo A e B da mesma espécie (ambas segmentos de reta, ou ângulos, ou áreas, ou volumes) e C e D também da mesma espécie, então a razão entre A e B é igual à razão entre C e D se, para inteiros positivos arbitrários m e n, mA > nB, mA = nB e mA < nB conforme mC > nD, mC = nD e mC < nD (p.173). Essa teoria, conforme sua importância já citada na seção 2.1, tem seu uso limitado à Geometria, admitindo valores apenas positivos, tornando-a ultrapassada. Com relação à adaptação de tal teoria na matemática atual, Ávila (1986, p. 2) apresenta algumas considerações:
(...) com a fundamentação dos números reais (...) em bases sólidas e mais confiáveis do que a antiga Geometria, a teoria das proporções de Eudoxo passa a ter apenas valor histórico. (...) E não precisamos mais usar a superada teoria geométrica das proporções, muito menos os resquícios que dela ficaram na terminologia, na notação e, sobretudo, na maneira de apresentar fatos, como os problemas de ‘regra de três’.
Concordamos com as considerações de Ávila, pois esse tipo de “abordagem tradicional” (IMENES e LELLIS, 2005, p.16), em que se trata a proporcionalidade como sendo problema de regra de três, acaba não fornecendo elementos aos estudantes para o reconhecimento das relações que existem entre as quantidades numa proporção, focalizando a resolução de situações-problema simplesmente pela utilização desse algoritmo.
O foco nesse algoritmo de resolução leva o estudante à mecanização de todo o processo, ou seja, todo o aspecto cognitivo e operacional da ação, evocado pelo estudante frente a uma situação-problema, resume-se a simples utilização de uma regra geral. Ainda, segundo Post, Behr e Lesh (1995, p. 93), “esse algoritmo, em si e por si, é um processo mecânico desprovido de significado no mundo real”. Portanto, em nosso trabalho, não questionamos sua efetividade, mas sua validade para uma apropriação significativa do raciocínio proporcional.
Falar em apropriação significativa nos remete ao ato de comparar situações, reconhecer relações, interpretar informações, numa tentativa de escolher a melhor estratégia para a resolução de uma situação-problema, ou seja, não apenas resolver a situação matematicamente, mas pensar também no significado do resultado encontrado.
Nessa perspectiva, Ávila (1986, p.2) sugere que o ensino de proporção seja proposto no “contexto algébrico de resolução de equações, com a dupla vantagem da simplificação e da unificação do ensino da Matemática”, pautado nas definições de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa, a saber:
Definição 1. Diz-se que duas variáveis (ou grandezas) x e y são proporcionais – mais especificamente, diretamente proporcionais – se estiverem assim relacionadas: y = kx ou y/x = k, onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade.
Definição 2. Diz-se que as variáveis x e y são inversamente proporcionais se y = k/x ou xy = k, onde k é uma constante positiva (constante de proporcionalidade) (ÁVILA, 1986, p. 3).
Essa simplificação que sugere Ávila (1986) faz referência ao cálculo matemático simples que, segundo ele, envolve o uso de uma dessas três definições na resolução dos problemas pelos estudantes, quando estes reconhecem a relação entre as quantidades envolvidas numa determinada situação-problema. De fato, as fórmulas elaboradas com o desenvolvimento dessas definições são de manuseio simples, porém, sua utilização pelos estudantes pode não representar, assim como no uso da regra de três, o conhecimento acerca da proporcionalidade. Em outras palavras, o estudante utiliza a fórmula que conhece, mas não compreende o resultado encontrado.
Indo de encontro à simplificação sugerida por Ávila (1986), Lima (1986) pondera
(...) a fórmula é o resultado final. Não começa aí a solução do problema. Ela não aparece no enunciado. No começo da resolução é preciso identificar, por um critério simples, a proporcionalidade (direta para algumas grandezas, inversa para outras). A partir daí é que se pode garantir a validez da fórmula (p. 21).
Realmente, as fórmulas, assim como os algoritmos e os esquemas de ação, são peças importantes nas estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução das situações-problemas. Todavia, seu uso deve suceder o conhecimento acerca da natureza da situação, ou seja, com base na noção de proporcionalidade é que se deve escolher a estratégia mais eficaz para cada problema enfrentado.
Com relação à unificação do ensino da Matemática, a abordagem acerca da proporcionalidade, proposta por Ávila (1986, p.8), junto ao “estudo dos números reais, das igualdades e equações”, revela uma preocupação do autor com o ensino compartimentado dos conceitos matemáticos, em que o assunto “proporcionalidade”
é tratado como “teoria autônoma”. Essa ideia vai ao encontro da visão de Post, Behr e Lesh (1995), quando citam que para operar com a proporcionalidade é necessário
(...) um domínio sólido de vários conceitos sobre números racionais, como por exemplo ordem e equivalência, a relação entre a unidade e suas partes, o significado e a interpretação das razões e questões envolvendo a divisão, especialmente no que se refere a dividir um número menor por um número maior (p. 91).
Diante do exposto, ensinar proporcionalidade na visão desses autores, requer do professor um conhecimento apurado das ligações desse conceito com outros assuntos matemáticos, assim como das diferentes estratégias que possibilitam chegar à resolução das situações-problema que o represente. É nesse momento que sugerimos uma abordagem por campos conceituais.
Na teoria vergnaudiana, cada conceito pode estar inserido em diferentes situações e, ao mesmo tempo, uma situação pode abarcar diferentes conceitos. Seguindo nessa direção, a utilização da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 2009), na elaboração de nossa pesquisa, propiciou-nos elaborar diferentes situações, dentro do campo conceitual multiplicativo, para a abordagem de um mesmo conceito, a Proporção Simples.
Além de tal teoria, subsidiará nossa proposta de ensino, o esquema sintetizado do campo conceitual multiplicativo, elaborado por Magina, Santos e Merlini (no prelo, p.5). Esse esquema trata o conceito de Proporção Simples como uma relação quaternária, ou seja, a relação entre duas quantidades de mesmo tipo e outras duas quantidades de outro tipo. Cabe ressaltar que, nosso trabalho contemplou o estudo de grandezas diretamente proporcionais.
Nessa perspectiva, nossa proposta para o ensino de proporcionalidade direta focará a construção desse conhecimento por meio do reconhecimento das relações existentes entre as quantidades envolvidas numa proporção, partindo do conhecimento dos estudantes sobre o assunto. Dessa forma, ao se apropriar da noção de proporcionalidade direta, o estudante passará a escolher, na sua estrutura cognitiva, qual a estratégia mais eficaz para cada situação proposta na intervenção de ensino.
No próximo capítulo apresentaremos, com detalhes, a Teoria dos Campos Conceituais.
CAPÍTULO III
CONTRIBUIÇÕES DA PSICOLOGIA COGNITIVA
Neste capítulo, abordaremos a Teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud (2009), base de nosso estudo e sobre a qual nos apoiaremos para a análise de nossa pesquisa.
Em seguida, discorreremos sobre o Campo Conceitual Multiplicativo, mostrando, sucintamente, alguns dos conceitos que o constituem e suas relações.
Ao final, apresentaremos uma revisão realizada com quatro dissertações e uma tese que se fundamentaram na Teoria dos Campos Conceituais.