O objetivo deste apêndice é apresentar alguns resultados clássicos de teoria de operadores lineares em espaços de Hilbert, especialmente a demonstração do critério fundamental para operadores essencialmente auto-adjuntos (Teorema A.3).
Denotaremos por H um espaço de Hilbert qualquer.
Definição A.1. Seja T : dom T ⊂ H :−→ H um operador linear qualquer. Dizemos que T é hermitiano quando
hξ, T ηi = hT ξ, ηi , ∀ξ, η ∈ dom T
e dom T ⊑ H, ou seja, dom T é um subespaço denso de H. Quando T cumpre essa última condição, dizemos que T está densamente definido. Dizemos também que um operador hermitiano T é não-negativo, quando
hu, T ui ≥ 0, ∀u ∈ dom T.
Definição A.2. Ao operador linear T densamente definido em H, associamos o operador T∗, dito adjunto de T , com domínio
dom T∗ ={η ∈ H; ∃ζ ∈ H tq hη, T ξi = hζ, ξi , ∀ξ ∈ dom T }
e ação
T∗η = ζ.
Dizemos que T é auto-adjunto quando T = T∗, ou seja, quando dom T = dom T∗
e T u = T∗u,∀u ∈ dom T , e que T é essencialmente auto-adjunto quando possui
uma única extensão auto-adjunta em H. Mais precisamente, T é essencialmente auto-adjunto quando existe um único operador auto-adjunto S : dom S ⊂ H −→ H
tal que
dom T ⊂ dom S e T u = Su, ∀u ∈ dom T.
Definição A.3. Sendo T um operador linear qualquer, definimos o conjunto
graf T = {(ξ, T ξ) ∈ H × H; ξ ∈ dom T } ,
dito o gráfico de T . Dizemos que T é fechado se graf T é um conjunto fechado de H × H.
Note que T é fechado se, e somente se, vale a propriedade: Se (ξn) é uma
sequência em dom T tal que ξn → ξ ∈ H e T ξn → η ∈ H, então ξ ∈ dom T e
T ξ = η.
Definição A.4. Se graf T é o gráfico de uma extensão linear T de T , então dizemos que T é fechável e que T é o fecho de T .
Teorema A.1. Seja T um operador hermitiano. Então
1. T∗ é uma extensão linear de todas as extensões hermitianas de T ;
2. T é essencialmente auto-adjunto se, e somente se, T∗ é auto-adjunto e, nesse
caso, T∗ = T .
Demonstração. Ver capítulo 2 de [6].
Lema A.1. Se T é linear e densamente definido, então T∗ é um operador fechado.
Demonstração. Ver capítulo 2 de [6].
Teorema A.2. Suponha que T é hermitiano e que exista z ∈ C de tal forma que
img (T − zI) = img (T − zI) = H.
Então T é auto-adjunto.
Demonstração. Seja v ∈ dom T∗ qualquer e T∗v = w. Como img (T − zI) = H,
existe u ∈ dom T com (T − zI) u = w − zv. Agora, hv, (T − zI) ϕi = hv, T ϕi − hv, zϕi
=hT∗v, ϕi − hzv, ϕi =hw − zv, ϕi =h(T − zI) u, ϕi
Usamos o fato de que u, ϕ ∈ dom T e T é hermitiano. Como img (T − zI) = H, segue que u = v e portanto dom T∗ ⊂ dom T , donde T é auto-adjunto.
Lema A.2. Seja T : dom T ⊑ H −→ H um operador linear qualquer. Temos
N (T∗) = img (T )⊥. (A.1)
Demonstração. Temos diretamente que
v ∈ img (T )⊥ ⇔ hv, T ui = 0 = h0, ui , ∀u ∈ dom T,
o que significa, por definição, que v ∈ dom T∗ e T∗v = 0, ou seja, v ∈ N (T∗).
Teorema A.3(Critério fundamental). Seja T um operador hermitiano não-negativo. Suponha que exista λ∈ (−∞, 0) de tal forma que uma das condições abaixo é satis- feita
• img (T − λI) = H; • N (T∗− λI) = {0}.
Então T é essencialmente auto-adjunto.
Demonstração. Note primeiramente que a igualdade (A.1) mostra que as duas con- dições são equivalentes. Ainda, sendo T não negativo e hermitiano, temos que T é não-negativo e hermitiano. Para η = −λ > 0, temos que
ηkuk2 ≤u, T u + η kuk2 =u, T + ηI u ≤ kuk T + ηI u
e segue que N T + ηI = {0} e existe T + ηI−1. Ainda, a desigualdade acima implica, fazendo v = T + ηI u 6= 0, que
T + ηI −1 v ≤ η −1kvk
ou seja, o operador T + ηI−1 é limitado e fechado de forma que seu domínio img T + ηI
é fechado. Como img (T + ηI) ⊂ img T + ηI, segue da hipótese que img T + ηI = H e então T é auto-adjunto. Logo, T é essencialmente auto- adjunto.
Vamos terminar apresentando um teorema de regularidade de soluções para operadores elípticos.
Teorema A.4. Seja Ω ⊂ Rn um aberto qualquer, e P = P (x, D) um operador
elíptico em Ω de ordem m > 0, com coeficientes constantes na parte principal e C∞
nas demais. Para todo s∈ Z, s ≥ 0 e u ∈ D′(Ω) vale
P u∈ Hsloc(Ω)⇐⇒ u ∈ Hs+mloc (Ω) .
Demonstração. Ver 6.4 de [11].
Teorema A.5(Regularidade). Seja Ω um aberto qualquer. Suponha que ψ ∈ L2(Ω) cumpre
ψ, HV
A − λI u = 0, ∀u ∈ C0∞(Ω) , (A.2)
para algum λ real. Então ψ é uma solução fraca de HV
Aψ = λψ, ou seja, ψ ∈ H2loc(Ω)
e vale (A.2).
Demonstração. Da hipótese, segue que * − n X j=1 ∇2j − λI ! ψ, u + =h−V ψ, ui , para todo u ∈ C∞
0 (Ω). Isso mostra a igualdade no sentido das distribuições
− n X j=1 ∇2 j − λI ! ψ =−V ψ. Como −V ψ ∈ L2
loc(Ω) = H0loc(Ω) e o operador da esquerda é elíptico com coefici-
entes constantes na parte principal (ordem 2) e C∞ nas demais, segue do teorema
anterior que ψ ∈ H2
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