Verilerin Analizi ve Raporlaştırılması

Nitel araştırmalarda, veri toplamaya başlanılan günden itibaren araştırma boyunca sürekli devam eden (Glesne ve Peshkin, 1992) veri analizi, "somut veri parçaları ile soyut kavramlar, tümevarımsal muhakeme ile tümdengelimsel muhakeme, betimleme ve yorumlama arasında bir ileri bir geri gitmeyi gerektiren karmaşık bir süreçtir" (Merriam, 1998, s. 178).

Bu araştırmanın veri analizinde kullanılan araçlar, öğrencilerle gerçekleştirilen birebir görüşmelere ait yazılı transkriptler ve video kayıtları, gerçekleştirilen katılımcı gözlemlere ait notlar ve öğrencilere ait yazılı dokümanlardır. Simon (2009) araştırmada kullanılan teorilerin yeri geldiği zaman bir “araç” yeri geldiği zaman ise “lens” olarak kullanılarak araştırmanın şekillendirilmesinde yardımcı olacağını ifade etmektedir (s. 484). Bu bağlamda öğrencilerin matematiksel anlamalarının yapısını ve gelişimini belirleyebilmek için elde edilen veri, öncelikle Pirie-Kieren teorisi, daha sonra ise temsil teorisi temel alınarak ayrı ayrı analiz edilmiştir. Veri analizine başlamadan önce bu iki teorinin bileşenleri ve dönüşümler bir arada düşünülerek bir kodlama protokolü hazırlanmıştır (bkz. Ek 11). Hazırlanan protokolle ilgili matematik eğitimi alan uzmanlarının görüşleri doğrultusunda düzenlemeler yapılmış ve bu düzenlemelerle protokole son hali verilmiştir.

Protokolün ilk bölümünde Pirie- Kieren teorisinde yer alan matematiksel anlama seviyelerine ait kodlar, bu kodlara yönelik genel açıklamalarla dönüşümlere ve temsillere yönelik özel açıklamalar yer almaktadır. Öğrencilerin görüşmelerde kendilerine sorulan sorulara verdikleri cevapların kodlanmasında yardımcı olması amacıyla, her anlama seviyesinde temsil sistemleri kullanılarak dönüşümlere yönelik sergileyebilecekleri eylemler ve söylemler belirlenmiştir. Protokolün ikinci bölümünde ise aynı betimlemeler Pirie-Kieren teorisinin özelliklerine yönelik yapılmış ve öğrencilerin temsiller yardımıyla sergiledikleri eylemler ve söylemler bu kez geriye katlama, ihtiyaç duyulmayan sınırlar ve birbirini tamamlayıcı faaliyetlerini belirlemeye yönelik oluşturulmuştur. Protokolün son ve üçüncü bölümü ise her bir dönüşüme yönelik matematiksel dış temsillerin açıklanması ve öğrencilerin cevaplarında karşılaşılabilecek sözel, görsel ve formal notasyonel iç temsillere ait açıklamaları ve örnekleri içermektedir.

Protokolün hazır hale getirilmesinden sonra, öğrencilerin sırasıyla öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümüne yönelik matematiksel anlamalarının yapısı ilk olarak Pirie-Kieren teorisi kapsamında incelenmiştir. Pirie-Kieren teorisine göre analiz yapılırken öğrencilerle gerçekleştirilen görüşmelere ait transkriptler, matematiksel anlama seviyeleri ve teorinin diğer özellikleri olan geriye katlama, sınırlar ve birbirini tamamlayıcı faaliyetler temel alınarak iki aşamada kodlanmıştır. Bu esnada öğrencilerin haftalık görüşmeler boyunca görüşme ortamında hazır bulundurulan manipülatifleri nasıl, ne amaçla ve ne sıklıkla kullandığı teorinin bileşenleriyle ilişkilendirilerek belirlenmiştir. Örneğin katılımcılardan birisi öteleme dönüşümüne yönelik görüşme esnasında Formalleştirme seviyesinde çalışırken dönüşümle ilgili özelliklerle çalışma ihtiyacı duyabilir. Bunun için sanal manipülatifi kullanarak bir önceki seviyeye geriye katlama eylemi gerçekleştiriyorsa bu durum manipülatifleri

geriye katlama için kullanmak şeklinde kodlanmıştır. Öğrencilerin manipülatifleri

kullanma durumlarına ek olarak tüm görüşmeler boyunca manipülatiflere yönelik inançlarını veya tutumlarını belirleyecek her türlü faaliyetleri de kodlamaya dâhil edilmiştir.

Öğrencilerin dönüşümlerle ilgili anlamalarının incelendiği görüşmelere yönelik aynı transkriptler, daha sonra temsillerle ilgili kavramalarını, uygulamalarını ve geçiş yapma becerilerini belirleyebilmek için temsil teorisine göre analiz edilmiştir. Bu bağlamda, her bir dönüşüme ait sözel, grafiksel ve cebirsel temsiller temel alınarak oluşturulan görüşme sorularına öğrencilerin vermiş olduğu cevaplar, yine temsil

sistemleri göz önüne alınarak kodlanmıştır. Öğrencilerin bu üç temel temsil çeşidini (Kaput, 1998) anlamlandırmaları, uygulamalarda kullanmaları ve birbirleri arasında geçiş yapabilme becerilerine ait kodlar oluşturularak matematiksel anlamaları temsil sistemleri kapsamında irdelenmiştir. Bir önceki aşamadaki kodlamaya benzer şekilde bu aşamada da öğrencilerin temsillerle çalışırken manipülatifleri nasıl, ne amaçla ve ne sıklıkla kullandığı incelenmiş böylelikle transkriptler manipülatif kullanımı temsil sistemleriyle ilişkilendirilerek bir daha kodlanmıştır.

Araştırmanın durumlarını oluşturan her bir katılımcının öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümüyle ilgili anlamaları ayrı ayrı analiz edilmiştir. Analiz edilen verilerin rapor haline getirilmesi aşamasında, katılımcıların her bir dönüşüme ait matematiksel anlamalarının yapısı ve gelişimini daha net bir şekilde sunan gösterimler oluşturulmuştur. Katılımcıların her bir dönüşüme ait süreç boyunca geliştirdiği anlamalarını tablo niteliğindeki bu gösterimleri kullanarak sunmanın ve açıklamanın, hem araştırmacıya hem de okuyucuya kolaylık sağlayacağı düşünülmektedir. Bu bağlamda, hazırlanan ilk tabloda katılımcının dönüşüme ait araştırma sürecinin başından sonuna kadar gelişen matematiksel anlaması, Pirie-Kieren modelindeki anlama seviyeleri, ön, haftalık, son ve kalıcılık görüşmeleriyle birlikte sunulmaktadır. Ayrıca okuyucuya kolaylık olması açısından, katılımcıların anlama seviyelerinde ortaya çıkan izleri hem metin içinde hem de tablolarda numaralandırılmıştır. Kullanılan bu numaralar görüşmelerde sorulan soru numaralarını değil, görüşmenin akışına göre öğrencinin anlamasında gözlemlenen göstergeleri temsil etmektedir.

Diğer yandan, katılımcıların her hafta derslerin tamamlanmasından sonra dönüşümlere yönelik kendileriyle gerçekleştirilen görüşmeler sırasında gözlemlenen anlamalarını sunmak için ilk tabloya benzer şekilde tablolar geliştirilmiştir. Geliştirilen tabloların ilkinde, Pirie-Kieren modelindeki anlama seviyelerindeki eylem ve söylemler katılımcılara haftalık görüşmelerde sorulan sözel, cebirsel, görsel görevlerle birlikte ele alınmış böylelikle katılımcıların farklı temsil türlerinde çalışırken geliştirdikleri anlamanın yapısı belirlenmeye çalışılmıştır. Geliştirilen bu yeni tablo, bir önceki bölümde katılımcının süreç boyu anlamasını gösteren gösterimdeki haftalık görüşme satırının detaylı bir şekilde incelenmesidir. Tablo ile katılımcının dersler boyunca geliştirmiş olduğu matematiksel anlamanın yapısı, anlama seviyeleri, geriye katlama eylemi, müdahaleler ve anlama seviyelerinde birbirini tamamlayıcı bir şekilde gelişen eylemlerle söylemler bağlamında sunulmaktadır. Haftalık görüşmelerdeki matematiksel anlamaların yapısını analiz etmek için geliştirilen ikinci tabloda ise anlama

seviyelerindeki eylem ve söylemler görüşmelerde sorulan sözel, cebirsel, görsel görevlerle birlikte ele alınmıştır. Yalnız bu kez öğrencilere sunulan görevlere ait satırlar çoklu temsil modelindeki farklı temsiller temel alınarak beş bölüme ayrılmıştır. Katılımcılara sunulan sözel, görsel ve cebirsel görevler bahsi geçen bölümlere ayrılarak, bu görevlerde hangi temsil türleriyle nasıl çalıştıkları, manipülatifleri nasıl kullandıkları anlama seviyeleri bağlamında ele alınmıştır. Katılımcıların haftalık görüşmeler sırasında gözlemlenen anlamaları düşünüldüğünde, geliştirilen bu ikinci gösterim, haftalık görüşmelere yönelik geliştirilen ilk gösterimdeki her bir satırın detaylı bir incelenmesi olarak düşünülebilir. Anlamanın temsil sistemleri ve manipülatifler kapsamında sunulduğu bu tablolarda, katılımcı belirli bir anlama seviyesinde farklı temsillerle çalışması durumunda, numaralandırma sistemi harfler yardımıyla genişletilmiştir. Söz gelimi, katılımcı Ön Bilgi seviyesinde hem grafiksel temsiller, hem sanal manipülatifler hem de cebirsel temsillerle çalıştığında bu izler 1a, 1b, 1c şeklinde işaretlenmiştir. Matematiksel anlamanın izlerini ortaya koymak için oluşturulan tablolarda anlama seviyeleri arasındaki hareketler iki noktayı birleştiren doğru parçalarıyla gösterilmiştir. Katılımcılar herhangi bir anlama seviyesinde belirli bir müddet çalışmayı tercih ettiklerinde buradaki hareketler zikzak işareti kullanarak gösterilmiştir. Matematiksel anlamanın gelişiminin sürekli olduğu düşünüldüğünde işaretlenmiş noktalar arasında çizilen doğru parçalarının da sürekli çizilmesine dikkat edilmiştir. Gösterimlerde yer alan kesik kesik parçalar ise anlamadaki kesintiyi değil, görüşmeler sırasında katılımcıya yöneltilen görevlerdeki temsil çeşitlerinin değiştiğini ifade etmektedir. Örneğin, ön görüşmenin ardından haftalık görüşmedeki bulgulara geçildiğinde veya sözel temsil görevinde çalışmayı tamamlayan bir katılımcının, grafiksel temsil sistemleriyle oluşturulan görevdeki bulgularına geçildiğinde, anlamadaki hareketleri gösteren parçalar kesik kesik çizilmiştir.

Katılımcıların her bir dönüşüme ait haftalık görüşmelerinden elde edilen verilerin analizlerin tamamlanmasından sonra, her bir dönüşüme yönelik tüm katılımcıların anlaması karşılaştırılmış ve böylelikle katılımcılar arasında karşılaştırmalı durum analizi yapılmıştır. Her bir dönüşüme ait katılımcıların anlamalarının sunulmasından sonra ise aynı dönüşüme ait karşılaştırmalı durum analizi verilerek söz konusu dönüşüme ait verilerin sunulması tamamlanmıştır.

Verilerin analizi yapılırken Glaser ve Strauss (1967) tarafından geliştirilen sürekli karşılaştırmalı analiz metodu kullanılmıştır. Sürekli karşılaştırmalı analiz metodu, veri elde edildikten sonra anlamlı kategoriler oluşturabilmek için elde edilen

veriyi sorgulamayı gerektirdiğinden (Glaser ve Strauss, 1967) hem katılımcıların farklı kavramlara ait anlamalarını hem de farklı katılımcıların anlamlarını birbirleriyle karşılaştırmada yardımcı olmuştur. Bu bağlamda görüşmelere ait transkriptler temel olmak üzere, veriler önce açık kodlama yapılarak dikkatlice incelenmiş ve parçalara ayrılarak cümle cümle kodlanmıştır (Glaser ve Strauss, 1967). Daha sonra açık kodlamanın bir sonraki aşaması olan eksensel kodlama ile elde edilen kodlar değerlendirilmiş ve diğer kodlarla ilişkilendirilmiştir. Kodların birbirleriyle ilişkilendirilmesinden sonra ise seçici kodlamaya uygun bir şekilde bu kodlar sayesinde kategoriler oluşturulmuş ve daha sonra tüm kategorilerinin değerlendirilmesi ve karşılaştırılmasıyla verilere ait temalar şekillendirilmiştir. Verilerin sunulmasında kullanılan tablolarda, yatay eksende yer alan matematiksel anlama seviyeleri ile düşey eksende yer alan temsil sistemleri, eksensel kodlama sırasında oluşturulan eksenleri göstermektedir. Anlamayı izlemek amacıyla çizilen doğru parçaları ile kodlar arasındaki ilişkiler belirlenmiş ve daha sonra bu ilişkiler yardımıyla gerek temsil teorisi gerekse Pirie-Kieren teorisini temel alan kategoriler oluşturulmuştur. Elde edilen kategoriler, bu iki teorinin ışığında, matematiksel anlama ve manipülatiflerin bu anlamadaki rolü olarak iki ana tema etrafında sunulmuştur.