Öğrenim ve Öğretim Sürecinde Dönüşümler

Literatür incelendiğinde, her yaştaki öğrenci gruplarının dönüşümlerle ilgili kavramlarla çalışırken zorluk yaşadıkları görülmektedir (Clements ve Battista, 1998; Clements, Battista, ve Sarama, 1998; Edwards, 2003; Flanagan, 2001; Hollebrands, 2003; Jung, 2002; Yanık, 2006). Bu bölümde düzlem dönüşümlerinden sırasıyla öteleme, dönme, yansıma ve homoteti ilgili yapılan çalışmalar sunulacak, öğretim sürecinde karşılaşılan kazanımlardan ve güçlüklerden bahsedilecektir.

Erken çocukluk dönemindeki (2-8 yaş) öğrencileriyle yapılan araştırmalar, çocukların en kolay öteleme dönüşümünü anlayıp uygulayabildiklerini ve öteleme dönüşümüyle çalışırken, yatay veya dikey ötelemeleri çapraz (diagonal) ötelemelere göre daha kolay kavrayabildiklerini göstermektedir (Sarama ve Clements, 2009). Öteleme dönüşümü küçük çocuklar için anlaşılması en kolay olan dönüşüm iken, (Moyer'dan (1978) aktaran; Sarama ve Clements, 2009), Soon (1989) ve Hollebrands (2004) lise öğrencileri için bu durumun geçerli olmadığını ortaya koymuştur. Hollebrands (2004), lise öğrencilerinin en zor öteleme dönüşümünü anlamlandırabildiklerini belirterek bu durumun “öteleme vektörünün varlığının öğrencilerin kafasını karıştırmasından” kaynaklanabileceğini ifade etmektedir (s. 212). Araştırmalar da öğrencilerin öteleme dönüşümünde koordinat düzlemindeki şeklin hareketini, dönüşümün parametresi olan öteleme vektörüyle ilişkilendirmekte sıkıntı yaşadıklarını (Flanagan, 2001), şeklin görüntüsüyle arasındaki uzaklığın her noktada

öteleme vektörüne eşit olduğunu kolaylıkla algılayamadıklarını (Hollebrands, 2003; Wesslen ve Fernandez, 2005) göstermektedir.

Sünker ve Zembat (2012) ise, öğrencilerin öteleme dönüşümüyle ilgili karşılaştıkları güçlükleri göz önüne alarak dizayn ettikleri araştırmalarında, ilköğretim seviyesindeki öğrencilerle WinGeo-tr programını kullanmışlardır. Araştırmacılar çalışmada, ilköğretim matematik programında öğrencilere öteleme dönüşümünü yapılandırırken, öteleme vektörünün kullanılmamasını sorgulamaktadır. Bu bağlamda, öğrencilerin öteleme dönüşümünü anlamlandırabilmelerinin belli aşamalardan doğru bir şekilde geçmeleriyle mümkün olduğunu belirtmektedir. Araştırmacılara göre, öteleme dönüşümün anlamlandırılabilmesi için, “dönüşüm altında düzlemdeki tüm noktaların ötelendiğinin” , “dönüşümün parametresi olan vektörün kendisinin de ötelemeye tabi tutulduğunun”, “ötelemenin sonlu/sonsuz geometrik nesnelere (çember, doğru, vs.) uygulanabilirliğinin” ve “ötelemenin özellik/uzaklık koruyan bir dönüşüm olduğunun” anlaşılması önemlidir (s. 191).

Benzer bir araştırmayı öğretmen adaylarıyla gerçekleştiren Yanık (2011), öteleme dönüşümüyle ilgili var olan sıkıntıların veya eksik anlamaların sebeplerini araştırmıştır. Araştırmacı, çalışmasında önceki araştırmalara benzer sonuçlarla karşılaşmış ve öğretmen adaylarının düzlem, tanım kümesi ve vektör kavramlarıyla ilgili anlamalarının, dönüşümle ilgili anlamalarını etkilediğini tespit etmiştir. Araştırmacı, ayrıca öğretmen adaylarının ötelemeyi dönel (rotational), ötelemeli hareket veya eşleme olarak kavramsallaştırdıklarını, vektörü -önceki senelerde almış oldukları fizik derslerin etkisiyle- kuvvet, yansıma ekseni, yön gösterici ve yer değiştirme şeklinde tanımladıklarını belirlemiştir. Jung (2002) de, benzer şekilde, öğretmen adaylarının genel olarak dönüşümlerle ilgili anlamalarının bu kavramları anlamak için gerekli olan temel kavramlarla ilgili kavramsal anlamalarına, kavramları uygulama yeterliliklerine ve üzerinde çalıştıkları durumla ilgili matematiksel anlamalarına bağlı olduğunu belirtmektedir. Benzer şekilde Flanagan (2001), dokuzuncu sınıf öğrencilerinin öteleme dönüşümüyle ilgili görevlerde çalışırken, vektör kavramıyla ilgili kavramsal anlamalarının yeterli olmadığını, vektörü sonlu doğru parçası olarak anlamlandırabilen öğrencilerin öteleme vektörünün dönüşümdeki rolünü daha iyi kavradıklarını tespit etmiştir.

Erken çocukluk döneminde çocukların, sırasıyla, öteleme, yansıma ve dönme dönüşümüyle rahat çalışabildiklerini aktaran Clements ve Battista (1992) bu öğrencilerin dönme dönüşümü sırasında yaşadıkları güçlüklerin dönme açısı ve dönme

merkezine olan uzaklıklarla ilgili olduğunu, bu tür güçlüklerin ise öğrencilerin açı kavramını statik bir yaklaşımla değerlendirmelerinden kaynaklandığını ifade etmektedir.

Lise seviyesinde öğrenim gören öğrencilere tekrar dönüldüğünde, öğrencilerin geometrik şekilleri döndürürken eğer dönme merkezi şeklin merkezinde (ortasında) ise daha kolay uygulamalar yapabildikleri, dönme merkezi şeklin merkezinde değilse (şeklin kenarlarının birinin üzerinde veya şeklin dışında ise) dönme uygulamalarında zorluk yaşadıkları belirlenmiştir (Hollebrands, 2003; Soon ve Flake, 1989). Öğrenciler ayrıca, saat yönü ve saat yönünün ters yönüyle ilgili de problemler yaşamaktadır (Wesslen ve Fernandez, 2005). Bütün bu sonuçlara ek olarak, Hollebrands (2003) öğrencilerin dönme dönüşümünde şeklin görüntüsünü bulurken şekil, görüntü, dönme merkezi ve diğer parametreler arasındaki ilişkilere odaklanmadıklarını tespit etmiştir. Bu bağlamda, öğrencilerinin bir şekli döndürürken dönme açısı ve başlangıç noktası dönme merkezi olan ışınları düşünmekte, şeklin dönme altında sabit kalan özelliklerini anlamada zorlandıklarını ve şeklin dönme merkezine olan uzaklığının sabit kaldığını anlamakta güçlük çektiklerini belirtmiştir (Hollebrands, 2004).

Diğer yandan, her ne kadar Soon (1989) lise öğrencilerinin geometrik düzlem dönüşümleri ile çalışırken, sırasıyla, yansıma, dönme, öteleme ve homoteti dönüşümlerinde başarılı olduklarını belirtse de, öğrencilerin yansıma dönüşümüyle çalışırken de birçok sıkıntı yaşadığı görülmektedir. Örneğin Schultz ve Austin (1983) ilköğretim seviyesindeki öğrencilerin çapraz bir doğruya göre yansımayı bulurken sıkıntı yaşadıklarını, bu yüzden de doğrunun eğimini göz ardı ederek yatay veya dikey bir doğruymuş gibi yansıma almaya çalıştıklarını belirtmektedir. Hollebrands (2004) ise, 10. sınıf öğrencileriyle yapmış olduğu araştırmasında, öğrencilerin yansıma dönüşümüyle ilgili görevlerde çalışırken, kendilerine verilen şekillerin görüntülerini şekilleri yansıma eksenine göre ters çevirerek bulduklarını, fakat bu sırada yansıma ekseninin şeklin ve görüntüsünün karşılıklı noktalarının orta dikmesini oluşturduğunu fark edemediklerini belirtmektedir. Öğrenciler ayrıca, koordinat sisteminde x- ve y- eksenlerine göre yansımaları kolaylıkla alabilirken, düzlemde farklı doğrulara göre yansımalarla çalışırken zorlanmış, geometrik şekillerin yansımalarını alırken şekil, görüntü ve yansıma ekseni arasındaki ilişkilere dikkat etmemiş (Hollebrands, 2003; Zembat, 2007) ve en çok yansıma doğrusu ile kesişen şekillerin yansıma sonucu oluşan görüntülerini bulurken sıkıntı yaşamışlardır (Soon, 1989; Yanık ve Flores, 2009) belirlenmiştir. Yavuzsoy-Köse (2012) 8. Sınıf öğrencilerinin doğruya göre simetri alma

bilgilerini belirlemek amacıyla yaptığı çalışmada benzer sonuçlara ulaşmıştır. Araştırmacı öğrencilerin konuyla ilgili kendilerine verilen açık uçlu sorularda, şekil yansıma doğrusu ile kesişmiyor ve yansıma doğrusu eksenlerden birine paralel konumda veriliyorsa başarılı olduklarını, bunun dışındaki tüm durumlarda hatalar yaptıklarını belirlemiştir. Söz gelimi öğrenciler doğruya göre yansıması bulunması gereken görevlerde verilen şekli ya bir noktaya göre yansıtmış, ya ötelemiş ya da şekli, şeklin ve yansıma doğrusunun konumuna dikkat etmeden yansıtmaya çalışmışlardır (Yavuzsoy-Köse, 2012). Benzer şekilde, Zembat (2007) öğrencilerin düzlemde verilen bir noktanın herhangi bir doğruya göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünü bulurken, bulacakları noktanın, verilen noktanın doğru üzerindeki izdüşümü olması gerektiğini kolaylıkla anlamlandıramadıklarını belirtmektedir. Rollick (2009) de, bu araştırmaları destekleyecek şekilde öğretmen adaylarının bile yansıma dönüşümüyle çalışırken bazı zorluklar yaşayabildiklerini, söz gelimi simetrik şekillerin yansımalarının çalışıldığı görevlerde yansıma dönüşümünü öteleme dönüşümü ile karıştırabildiklerini, yansıma dönüşümü uygulanmış bazı şekillere dönme dönüşümü uygulandığını düşündüklerini ifade etmektedir.

Söz konusu homoteti dönüşümü olduğunda, homoteti dönüşümünün diğer düzlem dönüşümleri kadar çok çalışılmadığı görülmektedir. Literatür taraması sırasında karşılaşılan tek çalışma olan Soon’un (1989) lise öğrencileriyle yapmış olduğu araştırmasında, homoteti dönüşümünün öğrenciler için anlaşılması en zor dönüşüm olduğu, öğrencilerin homoteti oranıyla şeklin görüntüsünü ilişkilendirmekte zorluklar yaşadığı, dönüşümle ilgili düşüncelerini açıklarken matematiksel dili kullanmayı tercih etmedikleri belirlenmiştir.

Genel olarak, düzlem dönüşümleri bir arada düşünüldüğünde, her seviyedeki öğrencinin dönüşümle ilgili sıkıntılarının olduğu görülmektedir. Soon (1989), 20 lise öğrencisinin her biriyle birebir görüşmeler gerçekleştirerek bu öğrencilere öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümleriyle ilgili van Hiele geometri düşünme seviyelerine göre tasarladığı sorular sormuştur. Araştırmacı, öğrencilerin dönüşümlerle ilgili anlamalarının van Hiele seviyelerine benzer şekilde seviye seviye geliştiğini belirlerken, öğrencilerin kavramları sorgulamadan ezbere kullandıklarını, dönüşümleri tanımlarken uygun matematiksel terimleri kullanamadıklarını ve özellikle homotetiyle ilgili yanlış kavramalar geliştirdiklerini tespit etmiştir. Soon (1989) öğrencilerin, Harper (2003) ve Portnoy, Grundmeier ve Graham (2006) öğretmen adaylarının geometrik dönüşümlerle çalışırken, uygun matematiksel bir dil yerine bazı jestleri kullanmayı

tercih ettiklerini, bu yüzden bu kavramların öğretimi sırasında gerekli çizimlerle birlikte uygun kelimelerin kullanılmasına dikkat edilmesinin gerektiğini vurgulamaktadır. Diğer yandan, Jung (2002) iki öğretmen adayı, Ada ve Kurtuluş (2010) 126 öğretmen adayı ile yaptıkları çalışmalarda, öğretmen adaylarının dönüşümlerle ilgili görevlerde çalışırken, bu kavramlara ait sembolik temsilleri kullanmakta zorluk çektiklerini, sembolik temsiller ile grafiksel veya görsel temsiller arasındaki ilişkileri kuramadıklarını ve anlamalarının genellikle görsel ve sözel temsillerle inşa edildiğini belirtmektedir.

Sürecin öğretmen boyutu devreye girdiğinde, Mashingaidze (2012) her ne kadar öğrencilerin geometrik ve uzamsal düşünmelerini geliştirse de (Hollebrands, 2003), öğretmenlerin, dönüşümlerle geometri ünitesindeki konuları öğretmekten hoşlanmadıklarını, bazılarının bu ünitedeki konuları tam olarak kendilerinin de anlayamadıklarını, bazılarının ise dönüşümlerin öğretim programlarında hep son bölümlerde yer aldığını bu yüzden de programındaki konuları yetiştirmek için yeteri kadar vakit ayırmadan öğrettiklerini belirttiklerini ifade etmektedir. Öğretmenle birlikte öğretim sürecini destekleyen diğer unsurlardan biri olarak ders kitaplarını inceleyen Zorin (2011), geometrik dönüşümlerin ilköğretim matematik kitaplarının en son bölümlerinde yer aldığını belirtmektedir. Ders kitaplarının yaklaşık son 40 sayfasının öğretmen ve öğrenciler tarafından tartışılmadan kaldığını belirten araştırmacı, geometrik dönüşümlerin de, matematik kitaplarının son bölümlerinde yer alan konulardan biri olarak derslerde tartışılmasına yeterli imkân ve zamanın kalmadığını tespit etmiştir.