Çoklu temsil yaklaşımı ve temsil sistemleri arasındaki ilişkiler

standart temsiller oluşturabilmeyi ve bunları kullanabilmeyi öğretmektir. Ne var ki bu temsilleri, süreçlerden ve ilişkilerden bağımsız bir şekilde sadece bir sonuç olarak sunmak ve öğrencilerden bu sonuçları direkt olarak yapılandırmalarını beklemek öğretim sürecinde sıkıntılar doğurabilir (Goldin, 2003). Başka bir deyişle, bireyin matematiksel bir kavramla ilgili standart temsilleri birbirinden bağımsız, bir başkası tarafından ortaya koyulmuş matematiksel sonuçlar olarak değil, birbiriyle ilişkili bütünsel bir yapı altında yapılandırabilmesi gerekmektedir. Zira öğrenciler, matematiksel bilginin son halini öğretmeninden veya bir kitaptan almak yerine, çevrelerinde gerçekleştirmiş oldukları deneyimlere ait iç temsillerini kullanarak kendileri oluştururlar (Hiebert ve Carpenter, 1992). Bu noktada devreye, ilk olarak Lesh’in (1981) modellediği çoklu temsiller yaklaşımı girmektedir. Çoklu temsiller yaklaşımının temelleri, Dienes’in bireyin bir kavramın farklı temsilleriyle çalıştığında kavramsal anlamasını zenginleştireceğini söyleyen çoklu cisim prensibi (Özgün-Koca, 2008) ve Bruner'in öğrenmenin, sırasıyla, eylemsel, ikonik ve sembolik temsillerle

geçirilen deneyimler sonucunda oluştuğunu söylediği teorisine (Post ve Cramer, 1989) dayanmaktadır.

Çoklu temsiller, “fikirlerin ve kavramların aynı bilgiyi farklı biçimlerde ortaya koyan, somut, matematiksel dış temsilleridir” (Özgün-Koca, 1998, s. 1). Goldin’in (2003) sınıflandırmasındaki dış temsillere vurgu yapan çoklu temsil yaklaşımına göre birey, matematiksel bir kavrama ait çoklu temsiller arasındaki geçişleri ve ilişkileri ne kadar iyi yapılandırırsa matematiksel anlaması da o kadar güçlü olacaktır (Goldin, 2003; Lesh, 1981; Lesh ve diğ., 1983).

Matematik eğitiminde temsillerin önemine vurgu yapan diğer araştırmacılardan Lesh ve diğerleri (1983) ise, matematiksel anlamanın oluşması için gerekli gördükleri beş farklı temsil kategorisinden bahsetmektedir (Şekil 2.5). Bruner'in üçlü yapısını anımsatan bu kategoriler (a) gerçek dünya durumları, (b) manipülatif modeller, (c) resimler ve diyagramlar, (d) konuşma dili ve (e) yazılı sembollerdir.

Şekil 2.5: Lesh ve diğerlerinin (1983) çoklu temsil dönüşüm modeli

Bu yaklaşımda temsillerle ilgili ön plana çıkan en önemli vurgu çoklu temsiller arasındaki geçiş yapabilme becerisidir. Bir öğrenci matematiksel bir kavramı anlamışsa, o kavrama ait temsil türleri arasında geçiş yapabilmelidir.

Birçok alan eğitimcisi, öğrencilerin matematiksel kavramları anlamlandırabilmesi ve problem çözme becerilerinin gelişmesi için çoklu matematiksel temsillerle yaşadıkları deneyimin gerekliliğine vurgu yapmaktadır (örneğin; Amit ve Fried, 2005; Even, 1998; Hitt, 1998; Janvier, 1987; Kaput, 1994; Lesh ve diğ., 1988;

Verschaffel, De Corte, De Jong ve Elen, 2010). Temsilleri dikkatli ve planlı bir şekilde kullanarak öğretim sürecine dâhil etmenin, öğrencilerin matematiksel anlamalarının gelişimini olumlu yönde etkileyeceğini belirten araştırmacılar (Gagatsis ve Elia, 2004; Post ve Cramer, 1989), matematiksel bir fikre/kavrama ait her bir temsilin öğrenciye farklı bir bakış açısı kazandıracağını ifade etmektedir (NCTM, 2000). Öğrenciler farklı türdeki çoklu temsilleri bir arada göremezlerse, temsillerin öğrencilere sunacağı anlama sınırlı olacak ve bu durum problem çözme süreçlerini de etkileyecektir (Wood, 2006). Even’in (1998) çoklu temsiller ile ilgili söylemiş olduğu "aynı şeyi farklı temsillerle açıklama yeteneği, bir temsilden diğerine hareket ederken ki rahatlık; bireyin zengin ilişkileri bir arada görmesine, daha iyi bir kavramsal anlama sağlamasına, derinlemesine bir anlayış kazanmasına ve problem çözme yeteneğini güçlendirmesine yarar” (s. 105) ifadesi, çoklu temsil yaklaşımının önemini özetler niteliktedir:

Cramer (2003) de Lesh’in ortaya koyduğu çoklu temsiller yaklaşımına atıfta bulunarak, bireyin derinlemesine bir matematiksel anlamaya sahip olabilmesi için farklı temsillerle, bu temsiller arasındaki bağlantıları kuracak şekilde çalışması gerektiğini belirtmektedir. Burada Cramer'in (2003) temsilsel akıcılık terimiyle ifade ettiği temsiller arasındaki geçiş faaliyetleri, bireyin “bir temsile ait fikri yeniden yorumlayarak bu fikri başka bir temsil ile ifade edebilmesini” kapsamaktadır (s. 1). Benzer şekilde Haylock (1982) de, matematikte herhangi bir şeyi anlamanın, somut durumlar, resimler, semboller ve matematiksel dil arasında bilişsel bağlantılar oluşturmaktan ibaret olduğunu söyleyerek bu fikri desteklemektedir. Ainsworth ve Van Labeke (2002) de, öğrencilerin çoklu temsillerle çalışırken, bu temsillerle ilgili belli görevleri gerçekleştirmeleri gerektiğine işaret etmektedir. Bu görevlerden ilki, öğrencinin matematiksel bir kavrama ait herhangi bir temsili anlaması, ikincisi, bu temsil ile kavramın diğer temsilleri arasındaki ilişkileri fark etmesi, üçüncüsü, kavrama ait bütün temsiller arasında geçiş yapabilmesi iken, son olarak dördüncüsü, kendi temsillerini oluştururken uygun iç temsiller geliştirmesidir. Goldin (2002), araştırmacıların dış temsiller olarak çoklu temsiller arasındaki ilişkilere yaptığı vurguya, iç temsiller olgusunu da ekleyerek matematiksel anlamanın gelişiminin dış temsiller arasındaki ilişkiler kadar, iç temsil sistemlerin arasındaki ilişkilere de bağlı olduğunu vurgulamaktadır.

Her ne kadar matematik eğitiminde çoklu temsilleri kullanmanın ve öğrencilere bu temsillerle ilgili deneyimler yaşatmanın önemi açık bir şekilde desteklense de (Amit ve Fried, 2005), konuyla ilgili şüphelerini dile getiren araştırmacılar da yok değildir.

Örneğin, Ainsworth, Bible ve Wood (1998) çoklu temsil yaklaşımının öğretim sürecinde öğrencilere birçok fayda sağlayacağını kabul etmekle beraber, süreç boyunca dikkat edilmesi gereken bazı noktalara işaret etmektedir. Araştırmacılara göre, çoklu temsil yaklaşımın faydalı olması için, öğrencilerin bir temsilin nasıl bir bilgi sunduğunu, temsilin bu bilgiyle nasıl ilişkilendiğini ve bu bilgiye ait farklı temsillerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduklarını anlaması gerekmektedir. Bu noktada, öğrencilerin matematiksel bir kavramla ilgili anlam oluştururken öğretmenlerinin temsilleri kullanma şekillerinden etkilendiklerini hatırlatan Wood (2006), öğretmenlerin kilit rolüne işaret etmektedir. Öğretmen, öğrencilerini bir bilgiye ait farklı temsilleri kullanmak ve oluşturmak noktasında cesaretlendirmeli ve öğrencilere kendi temsillerini oluşturmaları için fırsatlar oluşturmalıdır (NCTM, 2000). Ayrıca öğretmenlerin, aynı kavramın farklı temsillerle sunulmasında, öğrencilerin kavram-temsil ilişkisini kuramayabileceklerinin farkında olması gerekmektedir (Smith, 2003). Bu farkındalığın bir gereği olarak da öğrencilere, matematiksel bir nesne ya da durumla ilgili çoklu temsiller arasında benzerlikleri ve farklılıkları görüp bağlantı kurdurtmak ve geçiş yapmalarını sağlamak adına rehberlik etmelidirler (Smith, 2003). Ne var ki, van der Meij ve de Jong (2006) bu noktada karşılaşılması olası bir diğer probleme dikkat çekmektedir. Araştırmacılara göre, öğretmenlerin temsiller arasındaki dinamik ilişkilere belirgin ve sürekli bir şekilde vurgu yapması, öğrencilerin anlamalarında pasif kalmalarına sebep olabilir.

Araştırmacıların dikkat çektiği bir diğer husus, öğretmenin çoklu temsiller kullanarak öğrencilere bilişsel anlamda çok fazla yükleme yapılabileceğidir. Faydalarıyla beraber, belirli riskler de barındıran çoklu temsil yaklaşımına göre öğretmenler, eğer uygun ve etkili bir şekilde kullanılmazsa çoklu temsillerin bazı dezavantajlarının olabileceğini bilmeli ve öğretim ortamlarını bahsi geçen bu riskleri göz önünde bulundurarak şekillendirmelidir. Araştırmada tasarlanan derslerde, çoklu temsillerin kullanımına yönelik yapılan bu uyarılar göz önünde bulundurulmuştur. Gerekli görüldüğü durumlarda öğretmenin derslerde çoklu temsilleri kullanma şekli ile ilgili kendisiyle görüşmeler yapılmış ve bu konuda kendisi bilgilendirilmiştir. Böylelikle, öğrencilerin manipülatiflerle zenginleştirilen çoklu temsillerin yer aldığı bir ders ortamında, matematiksel anlamalarının gelişimine azami derecede destek olunmaya çalışılmıştır.

Sonraki bölümde, öğrencilerin derslerden sonra sahip oldukları matematiksel anlamalarının yapısını belirlemek ve araştırma süreci boyunca gelişen anlamalarını izlemek için kullanılan Pirie-Kieren teorisiyle ilgili bilgi verilecektir.