Temsil ve iç-dış temsil sistemleri

kullanılmaktadır (NCTM, 2000; Pape ve Tchoshanov, 2001). Goldin (2003) temsili açıklarken bu iki kullanımı da birleştiren şöyle bir tanım vermektedir:

Temsil herhangi bir şeyin yerine geçen, o şeyi temsil eden, işaretlerin, karakterlerin, ikonların ve nesnelerin bir konfigürasyonudur/yapılanmasıdır.

Temsil etme, doğasına göre farklı şekillerde yorumlanabilir (geniş liste değildir):

karşılık gelmek, anlamında olmak, tasvir etmek, somutlaştırmak, kodlamak, uyandırmak, sınıflandırmak, anlamına gelmek, üretmek, atıfta bulunmak, önermek veya sembolleştirmek (eğik olarak yazılanlar orijinal metinde de eğik yazılmıştır). (s. 276)

Goldin (2003), herhangi bir temsil sisteminin gelişmesinin ilk önce karakterler

ve işaretlerle başladığını, daha sonra işaretlerin kurallar ve uygulamalar vasıtasıyla

matematik disiplinince kabul edilen konfigürasyonlara dönüştüğünü söylemektedir. Konfigürasyonlar daha sonra farklı konfigürasyonlarla ilişkilendirilerek daha karmaşık bir yapı kazanmakta ve hep birlikte kavramın herhangi bir temsili için model olmaktadır. Son olarak bir temsil sistemi, tamamen anlam kazanmış konfigürasyonlar ile anlamlı bir şekilde ilişkilendirilmiş konfigürasyonları içeren yapılardan oluşmaktadır (Goldin, 2003). Araştırmacılar tarafından farklı isimler altında kategorileştirilen temsil sistemleri, Goldin'in (2003) modelinde iç ve dış temsil sistemleri olarak ikiye ayrılmaktadır.

Dış temsil sistemleri “İngilizce gibi standart doğal (natural) dilleri; standart olarak kullanılan matematiksel grafik, diyagram ve formal notasyon sistemleri; fiziksel manipülatif veya bilgisayar destekli yapıları; akrabalık, ekonomik ilişkiler, politik hiyerarşiler ve okul sistemleri gibi sosyokültürel olguları” içermektedir (Goldin, 2003, s. 277). Formal sembolik sistemlerin matematiksel dış temsilleri (bu araştırmada standart dış temsiller olarak ele alınacaktır) tarihsel ve mantıksal uzlaşmalara dayanarak inşa edilmiştir. Daha açık bir şekilde ifade etmek gerekirse, dış temsil sistemleri matematiksel kavramların ortamda gözlemlenebilen biçimlerini içeren, fiziksel olarak şekillenmiş sistemler olarak da açıklanabilirler (Goldin ve Janvier, 1998; Goldin ve Kaput, 1996). Goldin'e (2003) benzer şekilde dış temsilleri, yazılı sözcükler; denklemler veya formüller gibi sembolik temsiller; grafiksel temsiller; resimler veya diyagramlar gibi görsel temsiller ile manipülatifler olarak sınıflandıran Lesh ve diğerleri (1987) bu temsillerin bir kavrama ait farklı modelleri oluşturduğunu ifade etmektedir. Formüller,

manipülatifler, çizimler gibi birbirinden farklı bu dış temsilleri matematik öğretiminde kullanmanın amacı, öğrencilere, kavramlarla ilgili iç temsiller geliştirmelerinde yardımcı olmaktır (Behr, Lesh, Post ve Silber, 1983). Dufour-Janvier, Bednarz ve Belanger (1987) de, dış temsilleri, matematiğin doğasında var olmalarından, aynı kavram için farklı perspektifler sunmalarından, problem çözmede kullanılan araçlar olmalarından ve matematiği daha ilgi çekici kılmalarından dolayı matematik öğretiminde önemli olduğunu belirtmektedir (aktaran; Slaten, 2006).

Diğer taraftan Goldin (2003), iç temsil sistemlerinin ise “bireyin doğal (natural) dili; görsel imgeleri, uzamsal, dokunsal ve kinestetik temsilleri; problem çözme stratejileri veya kısa yolları; matematiksel notasyonları ve konfigürasyonları kavrama kapasiteleri; kendilerine özgü geliştirdikleri semboller ve bu sembollere verdikleri anlamlar ile matematiğe karşı tutumlarından” oluştuğunu belirtmektedir (s. 277). Başka bir deyişle, iç temsil sistemleri, bireyin çevresindeki sözel veya matematiksel davranışları gözlemlemesiyle oluşan ve doğrudan gözlemlenemeyen zihinsel konfigürasyonlarla şekillenmiş yapılardır (Goldin ve Kaput, 1996; Goldin, 1998). Burada akla gelen ilk soru, doğrudan gözlemlenemeyen bu sistemlerin araştırmacılar tarafından nasıl inceleneceği veya yorumlanacağıdır. Bu bağlamda Goldin ve Shteingold (2001), iç temsil sistemlerinin gelişimi ile yeterliliğinin, bireyin standart matematiksel dış temsillerle ve kısmen matematiksel olmayan durumlarla etkileşimine bağlı olduğunu ifade etmektedir. Bu bağlamda Goldin (2003), iç temsil sistemlerinin, dış temsil sistemlerinin “karbon kopyası” olmadığını, çok daha karmaşık yapıda olduğunu hatırlatarak, yine de iç temsil sistemlerin değerlendirilmesinin en iyi yolunun dış temsil sistemlerini gözlemek olduğunu belirtmektedir (s. 278).

Alandaki bazı araştırmacıların bu iki temsil sistemi arasında fark olmadığını belirtmesine rağmen (aktaran; Pape ve Tchoshanov, 2001), Goldin (2003) temsil sistemlerini iç ve dış olarak ikiye ayırmanın, bu sistemler arasındaki çift yönlü etkileşimi keşfetmeye olanak sağladığını belirtmektedir (bkz. Şekil 2.4).

Goldin'e (2003) göre bir öğrenci, öğretmeni tarafından sunulan matematiksel bir ilişki ile ilgili zihinsel bir imaj oluşturmaya çalışırken, bu imajı öğretmenin sunduğu dış temsilin yerine geçebilir. Bu durumda öğrencinin iç temsilleri öğretmen tarafından sunulan dış temsilin yerine geçerken, öğrenci, matematiksel bir ilişkiyle ilgili bir formül, diyagram, grafik veya kelimeler kullandığında, bu dış temsiller iç temsillerinin yerine geçebilir (Goldin, 2003). Benzer şekilde, Zhang (1997) matematiksel öğrenmenin bu iç ve dış temsiller arasındaki etkileşim sayesinde gerçekleştiğini belirterek, iç-dış temsil sistemleri ve birbiriyle olan etkileşimlerine işaret etmektedir. Matematiksel anlamanın gelişimini direkt olarak temsil sistemleri ile ilişkilendiren Hiebert ve Carpenter (1992) de, iç temsillerin ve ilişkilerin öğrencilerin çalıştığı dış temsiller ve bu dış temsiller arasında kurmuş oldukları ilişkiler yardımıyla anlamlandırılabileceğini söylemektedir. Temsiller arasındaki bu çift yönlü ilişkiye dikkat çeken bir diğer araştırmacı olan Kaput (1995) ise, bireyin iletişim kurarken iç temsillerinden dış temsillerine, düşünürken dış temsillerden iç temsillerine geçiş yaptığını ifade etmektedir.

İç temsillerin sadece dış temsilleri kodlamadığını, iç temsil sistemindeki herhangi bir iç temsilin yerine de kullanılmasının mümkün olduğunu söyleyen Goldin (2003) bunun için çemberin alanı ile ilgili örneği vermektedir. ifadesini ele aldığımızı düşünürsek, öğrencinin zihnindeki bu ifade sadece cebirsel temsilinin kendisi ile ilgili imajını; pi-re-kare şeklindeki telaffuzunu; bir çemberin alanı veya çemberin

yarıçapının karesinin pi katı şeklindeki dış temsilleri içermez. Bunlara ek olarak

yarıçapı belli, alanı karalanmış olan bir çember gibi görsel-uzamsal imajlar da içerebilir. Hatta öğrenci ’nin tanımını, görselleştirme ve kinestetik (tactile/kinesthetic) beceriler gerektirecek biçimde, çemberin çevresinin çapına oranlanması şeklinde biliyor olabilir. İfade, yarıçapı verilen bir çemberin alanını veya alanı verilen bir çemberin yarıçapını bulmayı sağlayacak sayısal hesaplamalarla ilgili işlemlere ait bir imaj uyandırabileceği gibi, paylaştırma veya oran ile ilgili bir şema; bir sayının karesini almak ile ilgili imajları uyandırıyor da olabilir (Goldin, 2003). Bu bağlamda Goldin (2003), bahsi geçen konfigürasyonların öğrencinin zihninde birbirlerinin yerine geçecek temsil sistemleri olduğunu söyleyerek, iç temsil sistemlerini beş farklı kategoride sınıflandırmaktadır. Bunlardan ilki, dile ait sözel/sentetik sistemlerdir. Söz konusu sistemler, bireyin matematiksel olduğu kadar matematiksel olmayan kelime bilgisi, cümle bilgisi ve dil bilgisi kullanımı gibi kendi dili ile ilgili kapasitesini betimlemektedir. Bu sistemin girdi kanalları, duyma ve okuma; çıktı kanalları ise

konuşma ve yazmadır. İkinci kategoride karşımıza çıkan imgesel sistemler ise görsel veya uzamsal bilişsel konfigürasyonları içerir. Matematiksel anlama ve kavramanın gelişimine çok büyük derecede katkı sağlayan bu sistemler, aynı zamanda mevcut ya da hayali jest, mimik veya beden hareketleriyle ortaya konan kinestetik konfigürasyonlar ile işitsel-ritmik kodlamaları içerir. Üçüncü kategoride yer alan formal notasyonel sistemler ise, bireyin zihninde sayıları manipüle ederken, aritmetik işlemler gerçekleştirirken veya cebirsel bir denklemi çözerken attığı sembolik adımları görselleştirirken şekillenen konfigürasyonlardan oluşur. Dördüncü kategoriyi belirleyen

planlama, izleme, uygulama ve kontrol sistemi bireye problem çözme sürecinde yol

göstererek, bu süreci yönetmesini sağlayan stratejik özellikteki planlama, izleme ve karar verme süreçlerini içerir. Son olarak beşinci kategoride yer alan duygusal sistem, bireyin matematiğe yönelik tutumlarını, inançlarını, değerlerini ve değişebilen duygularını içermektedir (Goldin, 2001; Goldin, 2003).

Araştırmada, öğrencilerin matematiksel anlamaları ve manipülatiflerin bu anlamadaki rolü belirlenmeye çalışılırken, yukarıda açıklanan beş kategoriden ilk üçünü şekillendiren sözel/sentetik sistemler, imgesel sistemler ve formal notasyonel sistemlerle ilgili iç temsillere odaklanılacaktır.

2.1.4.2 Dış temsillerin bireye özgü formları. İç ve dış sistemler arasındaki çift