İmaj oluşturma

Oluşturma halkasıdır. Bu seviyede birey önceki bilgileri arasından bazılarını ayırır ve ayırdığı bilgileri yeni durumlarda kullanır (Pirie ve Kieren, 1994). Diğer bir deyişle birey, bazı önbilgilerini zihinsel veya fiziksel eylemlerde kullanarak, üzerinde çalıştığı kavram ile ilgili bir imaj oluşturmaya çalışır (Pirie ve Kieren,1994; Thom ve Pirie, 2006). Kesirler örneğini tekrar ele alacak olursak; kesirleri anlamaya çalışan bir ilkokul öğrencisi bu seviyede pizzayı ikiye bölerken (fiziksel eylem), ortaöğretim seviyesindeki

Şekil 2.7: Ön Bilginin matematiksel anlamanın gelişimindeki çekirdek rolünü betimleyen diyagram (Meel, 2003).

bir öğrenci muhtemelen yarım ile ilgili soyut imajlarından birisi olan herhangi eş iki

parçadan birine başvuracaktır (zihinsel eylem) (Borgen, 2006).

Oluşturulmaya çalışılan imaj, bireyin kavrama yönelik zihinsel temsillerini, kavramla ilgili her türlü bilgisini içermektedir (Martin ve Pirie, 2003). Görsel olmak zorunda olmadığı (Thom ve Pirie, 2006) gibi, tamamen doğru, belirli ya da net olmak zorunda da değildir (Martin ve Pirie, 2003). Burada sözü edilen imaj, Tall ve Vinner'in (1981) ortaya koyduğu kavram imajı ile örtüşmektedir (Meel, 2003). Tall ve Vinner (1981) kavram imajını, “bireyin bütün zihinsel resimleri, ilgili özellikleri, süreçleri içeren kavramla ilgili tüm bilişsel yapı” olarak tanımlamaktadır (s.152). Bu bağlamda, matematiksel anlamanın başlıca öğesi olan imaj, bireyin geliştirdiği iç temsiller, bu temsillerden beslenen kavramla ilgili özellikler, ilişkiler ve eylemler olarak ele alınacaktır.

2.1.5.1.3 İmaj sahibi olma. Modelin içten üçüncü halkasını temsil eden İmaj Sahibi Olma seviyesinde birey, bir önceki seviyede gerçekleştirdiği eylemler yardımıyla kavram ile ilgili bir imaja sahiptir ve imaja kendisini götüren bu eylemlerden

bağımsızdır (Thom ve Pirie, 2006). Diğer bir deyişle, kavram ile ilgili anlamasını içselleştirmeye başladığı (Borgen, 2006) bu seviyede birey, artık kavramı anlamaya çalışırken gerçekleştirdiği fiziksel ya da zihinsel eylemlere ihtiyaç duymaz (Judd, 2008). Söz konusu matematiksel konuyla ilgili "doğru ya da yanlış bir şeyler bilir" (Thom ve Pirie, 2006, s. 72) ve kavramla ilgili çoğu zaman metaforik olan bir anlamaya sahiptir (Pirie ve Kieren, 1994). Örneğin kesirleri anlamaya çalışan bir öğrenci için artık üç çeyrek, dörde bölünmüş bir pizzanın herhangi üç parçasını temsil etmektedir (Borgen, 2006, s. 28).

Peki, bireyin sahip olduğu ön bilginin sadece bazı bölümlerini içeren ve duruma özel matematiksel eylemler sayesinde oluşturulan bir imaj, kavramı anlamak için yeterli midir? Burada vurgulanması gereken; imajın, İmaj Oluşturma seviyesinde çalışılan matematiksel görev sınırları içerisinde oluşturulduğudur. Belli bir görev kapsamında oluşturulan bu imaj göreve bağımlı ve görevle sınırlıdır (Nillas, 2010). Dolayısıyla tam olarak şekillendirilmemiş veya yanlış şekillendirilmiş bile olabilir (Thom ve Pirie, 2006). Örnek vermek gerekirse, bir öğrenci, yarımı bir bütünün iki eş parçasından biri olarak düşünebiliyor, fakat yarımı eşit büyüklükteki iki grubun birinin içindeki elemanların sayısı olarak düşünemiyor olabilir (Borgen, 2006). Yani, öğrenci bir somun ekmeği eş iki parçaya ayırdığında, parçalardan birini ekmeğin yarısı olarak nitelendirirken, sekiz bilyenin olduğu bir torbadan dört bilye aldığında bunları, grubun yarısı olarak nitelendirmiyor olabilir. Bu şekilde yapılanmış olan bir imaj, bireye matematiksel anlamasının gelişiminde sorun çıkarabilir. Bu noktada ise modelin daha sonra açıklanacak olan önemli bir özelliği olan geriye katlama özelliği devreye girmektedir.

2.1.5.1.4 Özellikleri fark etme. Modelin dördüncü seviyesi, bireyin sahip olduğu farklı imajları sorgulayarak manipüle ettiği Özellikleri Fark Etme seviyesidir (Pirie ve Kieren 1994). Birey, imajlar arasındaki farklılıkları inceler, imajları birbirleriyle ilişkilendirerek bir araya getirir ve çalıştığı duruma özel olarak bu imajlarının özelliklerini sorgular (Pirie ve Kieren 1992). Pirie-Kieren teorisinin birbirini aşan tekrarlama özelliği gereği, bireyin bu seviyede gerçekleştirdiği eylemler her ne kadar İmaj Oluşturma seviyesindekilere benzese de, anlama, eylemlerden bağımsız bir şekilde çok daha soyut bir seviyede gerçekleşmektedir (Borgen, 2006). Diğer taraftan, birey önceki anlamalarının etkisiyle bir kavrama yönelik farklı imajlar, hatta farklı

kavramlara yönelik imajlar geliştirebilir. Bu noktada Thom ve Pirie (2006), bireyin birbirinden ayrı görünen bu imajları sorgulamasının ve birbirleri arasında ilişkiler görmeye başlamasının, Özellikleri Fark Etme seviyesinde çalıştığının göstergesi olduğunu belirtmektedir. Kesir kavramı üzerinde çalışan bir öğrenciyi düşünürsek

ifadesi bu öğrenci için artık dört bilyeden üçünü temsil etmektedir.

2.1.5.1.5 Formalleştirme. Modelin beşinci seviyesi olan Formalleştirme seviyesi, bireyin özelliklerini keşfettiği imajlarından bütün durumlar için geçerli olan bir metot ya da genel bir nitelik soyutladığı seviyedir (Pirie ve Kieren, 1994). Birey, üzerinde çalışılan kavramı “duruma özgü herhangi bir eyleme, imaja ya da matematiksel içeriğe başvurmadan, formal bir nesne gibi algılar” (Lawan, 2011, s. 70). Matematiksel kavramların tanımını oluşturur (Murdock-Stewart, 2005) ve konu ile ilgili formüller, algoritmalar geliştirir (Borgen, 2006). Örneğin kesirlerle çalışan bir öğrenci, bir kesrin pay ve paydasını 2, 3, 4 ile çarpıp o kesre denk kesirler elde ettikten sonra pay ve paydayı herhangi bir sayı ile çarptığında da aynı kuralın sağlandığını görebiliyorsa Formalleştirme seviyesine geçmiş demektir. Zira üzerinde çalıştığı özelik artık 2, 3, 4 için değil bütün sayılar için geçerlidir (Pirie ve Kieren, 1994). Söz konusu örnekten de anlaşılacağı üzere, formalleştirme seviyesindeki anlamalar her zaman formülleri içermek zorunda değildir, “çoğu zaman, içselleştirilmeden önce sözel olarak veya herhangi bir dış eylem ile ifade edilirler” (Borgen, 2006, s. 29).

2.1.5.1.6 Gözlem yapma. Pirie-Kieren modelinin altıncı seviyesi olan Gözlem Yapma seviyesinde birey, “bir önceki seviyede formalleştirdiği anlamalarını gözlemler ve bu gözlemlerini organize eder” (Pirie ve Kieren, 1992, s. 247). Pirie ve Kieren (1994) bireyin bu seviyede çalışırken “genellemelerini derinlemesine düşünebildiğini, koordine edebildiğini ve bunları teorem ifadelerine benzer şekilde açıklayabildiğini” belirtmiştir (s. 67). Başka bir deyişle, Gözlem Yapma seviyesi, bireyin anlamasını ilerletmek için kendisini “bilinçli olarak zorladığı”, formalleştirdiği anlamaları arasında bir ilişki ya da bir örüntü aradığı, “büyük resmi görmek” için bu anlamaların ortak yönlerini araştırdığı seviyedir (Borgen, 2006, s. 32).

Önceki seviyelerin bir yinelemesi olarak, Gözlem Yapma seviyesi Formalleştirme seviyesiyle, Özellikleri Fark Etme seviyesinin İmaja Sahip Olma

seviyesiyle ilişkisine benzer şekilde ilişkilidir (Thom ve Pirie, 2006). Özellikleri Fark Etme seviyesinde birey, imajları hakkında derinlemesine düşünüp onları organize ederken, Gözlem Yapma seviyesinde Formalleştirme seviyesinde yapılandırdığı formal yapıları düşünüp organize eder. Örneğin, kesirler konusunda çalışan bir öğrenci bütün durumlar için geçerli olan formal anlamalarını bir araya getirip, hiçbir zaman en küçük kesir diye bir nicelik bulamayacağını gözlemleyebiliyorsa bu seviyeye geçmiş demektir (Pirie ve Kieren, 1994).

2.1.5.1.7 Yapılandırma. Yedinci seviye olan Yapılandırma seviyesinde birey, Gözlem Yapma seviyesinde yapmış olduğu gözlemlerinin bir sentezini oluşturabilir, gözlemleriyle ilgili bir örüntü yakalayabilir (Pirie ve Kieren, 1992). Bu formal gözlemleri mantıksal bir çerçevede açıklayabildiği gibi, oluşturduğu teoremleri ispatlama yahut içinde bulunduğu süreci doğrulama yeterliliğine sahiptir (Borgen, 2006; Thom ve Pirie, 2006). Daha açık bir şekilde, birey “üzerinde çalıştığı kavramın diğer matematiksel yapılarla ilişkilerini ve bunların nasıl bir araya gelebileceğini düşünerek” bir önceki seviyede kavramla ilgili gerçekleştirmiş olduğu “gözlemlerini daha geniş yapılara dönüştürmektedir” (Judd, 2008, s. 60). Kesirler konusuna dönecek olursak matematiksel anlaması bu seviyeye ulaşan bir öğrenci, şeklindeki bir rasyonel sayıyı sıralı ikililerin bir kümesi olarak görebilir (Pirie ve Kieren, 1994). Zira denk kesirleri ve ilgili kavramları artık birbirinden bağımsız nicelikler olarak değil, bir küme olarak değerlendirebilmektedir. Borgen’a (2006) göre birey, bu seviyede bir kavramı soyutladığı zaman, bu yapının içindeki genel ilişkileri görebilir, özel durumları "her birini kendi içinde sınıflandırma ihtiyacı hissetmeden" fark edebilir (s. 33). Diğer yandan, araştırmacı yapılandırma seviyesinin "her ne kadar soyutlama becerisi içerse de" her yaşta ve matematiksel gelişimin her seviyesinde görülebileceğini hatırlatmaktadır. Zira Pirie-Kieren modeli, kavramın ne derece soyutlandığını değil, bireyin anlamasını ve matematiksel gelişim seviyesini açıklamaktadır (Borgen, 2006, s. 33).

2.1.5.1.8 Keşfetme. Modelin en dıştaki seviyesi olan Keşfetme, bireyin önceki seviyeleri geçerek anlamlandırmış olduğu bilgiyi göz önüne alıp, bu bilgiye “tamamen yeni bir şekilde baktığı” ve yeni kavramları ya da konuları yapılandıracak sorular

sorduğu seviyedir (Kieren, 1992, s. 215 den aktaran; Borgen, 2006). Teoriyi ortaya koyan araştırmacılar, bu seviyeye keşfetme ismini verirken, bireyin yeni bir bilgiyi keşfetmesini kastetmediklerini, zira bu tür bir keşfetmenin, anlamanın her seviyesinde gerçekleşebileceğini vurgulamaktadır (Pirie ve Kieren, 1991). Burada keşfetmeden kastedilen, bireyin kendisi için tamamen yeni olan bir kavram, konu veya alan ile ilgili sorular sorarak bu unsurları fark etmesidir. Bu seviyede gerçekleşen anlamada, birey artık yepyeni bir konu ya da alanda, yaratıcı bir şekilde tahminlerde bulunup, uygulamalar yapar (Pirie ve Kieren, 1994). Keşfetme, anlamanın en son halkasını temsil ederek her ne kadar herkes için ulaşılması zor bir seviye gibi görünse de, tıpkı diğer seviyelerde olduğu gibi, bireyin olgunluğuna ve matematiksel bilgisinin gelişimine göre farklılıklar içerebilir. Örnek vermek gerekirse, bu seviyede “Beşinci ya da altıncı boyut nasıl olabilir?” gibi karmaşık sorular yer alabileceği gibi, “7 den 9 çıkarsa ne olur?” gibi çoğu yetişkine basit gelebilecek bir soru da yer alabilir” (Borgen, 2006, s. 34-35). Burada vurgulanması gereken nokta, seviyelerin, bireyin matematiksel bilgilerinin gelişim seviyesine ya da yaşlarına ait seviyeler değil, matematiksel anlamalarının gelişimindeki seviyeler olduğudur (Borgen, 2006; Parameswaran, 2010). Kesirler konusunda, bu seviyede çalışan bireyin anlamasına ilişkin Hamilton’un anlaması örnek verilebilir. Hamilton (a/b/c/d) gibi dört katlı formda yazılan sayıların nasıl sayılar olacağı ile ilgili sorular sorarak, dördeyleri (quaternions) keşfetmiştir (Pirie ve Kieren, 1994).

2.1.5.2 Pirie-Kieren teorisinin özellikleri. Bu başlık altında, Pirie-Kieren