Manipülatiflerin Teknolojisiyle Buluşması: Sanal Manipülatifler

Teknoloji alanında gerçekleşen yenilikler, internet ortamına ulaşım kolaylığı, gerek sınıflarda gerekse evlerde erişilebilen bilgisayar sayısının artmasının bir sonucu olarak, matematik eğitiminde yeni bir akım doğmuş ve bu akım literatüre sanal manipülatifler olarak isimlendirilen manipülatifleri kazandırmıştır (Moyer ve diğ., 2002). Fiziksel manipülatiflerin sanal versiyonları olarak öğrencilerin masalarında değil de bilgisayar ekranında olan sanal manipülatifler, bilgisayar faresi veya klavyesindeki bazı tuşlar kullanılarak hareket ettirilmektedir (Strom, 2009). Bu bağlamda sanal manipülatif, Moyer ve diğerleri (2002) tarafından “matematiksel bilgiyi inşa etmek için kullanılan hareketli nesnelerin interaktif, web tabanlı görsel formları” olarak tanımlanmaktadır (s. 373). Fiziksel sürümlerinden esinlenerek bilgisayar ortamında modellenen sanal manipülatifler, hareketli olmaları, uzatılıp kısaltılabilmeleri, döndürülebilmeleri veya tamamen değiştirilip yeniden inşa edilebilmeleri açısından statik formdaki görsel temsillerden farklıdırlar (Moyer-Packenham, 2010). Fiziksel versiyonlarının aksine, bilgisayar ekranında kavramlara ait grafikleri, notasyonları ve sözel temsilleri içeren sanal manipülatifler, öğrencilerin çalışmalarını kaydedebilmesine de olanak vermektedir (Suh, Moyer ve Heo, 2005). Yakın zamanda güncellenen ortaöğretim matematik öğretim programında da bilgi ve iletişim teknolojilerini yerinde

ve etkili kullanma başlığı altında öğretmenlere sanal manipülatifleri kullanmaları önerilmektedir (MEB, 2013, s. 11).

Sanal manipülatiflerin, öğretim ortamlarında tek başına veya fiziksel manipülatiflerle birlikte kullanıldığında, öğrencilerin soyutlama becerileri gerektiren matematiksel durumlara ait başarılarını ve matematiği öğrenmeyle ilgili tutumlarını olumlu yönde etkilediği görülmektedir (Dorward, 2002; Sarama ve Clements, 2009; Suh, 2005; Suh ve Moyer, 2007). Moyer-Packenham ve Westenskow (2013) öğrencilerin matematiği öğrenmesinde sanal manipülatiflerin etkilerini araştıran 66 çalışmayı bir araya getiren bir meta analiz çalışması gerçekleştirmişlerdir. Araştırma sonuçlarına göre, sanal manipülatiflerle öğretim gören öğrenciler, diğer metotlarla öğretim gören öğrencilere göre orta etki büyüklüğünde (0.37) daha iyi öğrenmeler sağlamışlardır. Araştırmacılar, sanal manipülatiflerin kullanıldığı öğretim ortamlarındaki öğrencilerin fiziksel manipülatiflerin kullanıldığı öğretim ortamlarındaki öğrencilerden küçük bir etki büyüklüğüyle (0.18), manipülatiflerin kullanılmadığı öğretim ortamlarındaki öğrencilere göre ise orta etki büyüklüğünde (0.73) daha iyi bir anlama sağladıklarını belirlemişlerdir. Ayrıca, araştırmalardaki nitel verilerden elde edilen sonuçlara göre, sanal manipülatifler öğrencilerin dikkatini kavramlara ve işlemlere yönlendirmelerine, yaratıcılıklarını artırıp farklı çözümler sunabilmelerine, eylemler ve temsiller arasında eş zamanlı bağlantıları gözlemlemelerine, kavramları doğru bir şekilde görselleştiren temsilleri doğru ve etkili bir şekilde kullanmalarına ve matematiksel görevlerde motivasyon sağlamalarına yardımcı olmaktadır (Moyer- Packenham ve Westenskow, 2013). Benzer şekilde Moyer ve diğerleri (2002), matematiksel anlamanın gelişiminde temsillerin rolüne vurgu yaparak, öğrencilerin dinamik olarak etkileşimde bulunacakları sanal manipülatiflerin kavramlarla ilgili temsilleri içselleştirebilmelerine fayda sağlayacağını belirtmektedir.

Sanal manipülatiflerle ilgili yapılan araştırmalar incelenmeye devam edildiğinde, bu manipülatiflerin, fiziksel versiyonlarına göre artılarının olduğunu savunan fikirlerin olduğu görülmektedir. Örneğin Sarama ve Clements (2009), sanal manipülatiflerde yapılan eylemlerin değiştirilmesinin, tekrarlanmasının veya silinmesinin fiziksel manipülatiflerdekilere göre daha kolay olduğu ve bu yüzden sanal manipülatiflerin daha esnek olduğunu ve bu özelliklerinin kullanım alanını genişlettiğini belirtmektedirler. Clements (1999) da, bilgisayar manipülatifleri olarak isimlendirdiği sanal manipülatiflerin, fiziksel sürümleri kadar etkili öğrenim araçları olabileceği fikriyle dizayn ettiği araştırmasının sonucunda, bu hipotezin doğru olduğunu ve öğrencilerin

sanal manipülatifleri kullanmayı fiziksel manipülatiflere göre daha kolay bulduklarını ifade etmektedir. Araştırmacı kullanım kolaylığına ek olarak, sanal manipülatiflerin, öğrenciler için daha ileri seviyede mantıksal düşünme becerileri geliştirdiklerini belirtmektedir. Moyer, Salkind ve Bolyard (2008), sanal manipülatiflerin eylemsel, ikonik ve sembolik temsiller arasında kurulması istenen bağlantıları içerdiğinden, öğrencilerin bu manipülatifleri kullanarak temsiller arasında geçiş yapabileceklerini belirtmektedir. Benzer şekilde, bazı araştırmacılar da (Haistings, 2009; Lamberty, 2007; McNeil ve Uttal, 2009) çoklu temsil yaklaşımına uygun olarak, sanal manipülatiflerin kavramın sembolik temsillerle ilişkisini kurmakta önemli katkılarının olduğunu ifade etmektedirler. Suh ve Moyer (2007) bu fikri destekleyerek, öğrencilerin sanal manipülatif kullanmasındaki en önemli avantajın, ekranda gerçekleştirdiği görsel temsiller ve bu temsillerle gerçekleştirilen eylemler ile sembolik notasyonlar arasında eş zamanlı ilişkiler kurabilmesi olduğunu ve bu avantajı fiziksel manipülatiflerle çalışırken görmelerinin çok zor olduğunu belirtmektedir. Bu noktada öğrencilerin anlamasını şekillendiren temsil sistemleri düşünüldüğünde, Kaput’un (1994) bilgisayar ortamlarında temsiller arasındaki ilişkileri gösteren dinamik bağlantıların öğrencinin bilişsel bağlantıları kurmasına yardım edebileceği fikri akla gelmektedir. Benzer şekilde, Goldin ve Kaput (1996) birbiriyle bağlantıları kurulmuş dış temsillerle çalışmanın, bu bağlantılar sonucunda ortaya çıkan sonuçları gözlemlemenin veya herhangi bir bağlantıda bir temsil sistemini kullanarak diğeri hakkında tahminler yapmanın, öğrencilere iç ve dış temsillerini ilişkilendirmede yardımcı olacağını belirtmektedir.

Sanal manipülatiflerle çalışan öğrenciler, bilgisayar ekranında hem görsel hem de notasyonel temsillerle ilgili ilişkileri gözlemleyebildikleri için, yaptıkları çalışmalarla ilgili anında geri dönüt alarak eylemlerini değerlendirme ve anlamalarını geliştirme imkânı bulabilmektedirler (Suh ve Moyer, 2007). Dorward (2002) ise sanal manipülatiflerle ilgili bir başka avantaja, web tabanlı olmaları sebebiyle okul dışında da öğrencilerin kolayca erişebileceğine değinmektedir. Bütün bu genel artılarının yanında, sanal manipülatiflerin öğrenme araçları olarak orta öğretim seviyesindeki öğrencilere fiziksel manipülatiflerden daha anlamlı geleceği, böylelikle çalışmalarında daha yaratıcı çözümler sunabilecekleri ifade edilmektedir (Dorward, 2002; Moyer ve diğ., 2002).

Westenskow (2012), sanal ve fiziksel manipülatifleri birbirinden bağımsız bir şekilde kullanan araştırmaları değerlendirerek, bu manipülatiflerin her biriyle ilgili sınırlılıkları ve avantajları sınıflandırmaktadır. Araştırmacı, her bir manipülatif çeşidinin

“yapı, temsiller, sınırlılıklar, dikkat dağıtıcılar ve kullanım şekilleri” açısından farklılıklar gösterebileceğini belirtmektedir (s. 47). Magruder (2012) da, sanal ve fiziksel manipülatifleri karşılaştırırken, uygulamaya yönelik farklılıklara vurgu yaparak, fiziksel manipülatiflerin maddi gereklilik, tasarlama için gereken zaman ve kullanım sonrası toplanıp muhafaza açısından öğretmenlere yük olabileceğini, sanal manipülatiflerin ise okul içi veya dışında ancak teknolojik altyapıya bağlı olarak ulaşabileceğini belirtmektedir.

Sanal ve fiziksel manipülatifleri birbirinden bağımsız bir şekilde kullanıp karşılaştırmalarını yapan çalışmalar incelendiğinde, öğrencilerin herhangi bir matematiksel görevi daha çabuk bitirebilmek için fiziksel manipülatifleri daha kullanışlı buldukları (Haistings, 2009; Highfield ve Mulligan, 2007), bu manipülatiflerdeki dokunsal özellikleri hatırlayarak daha kalıcı bir öğrenme sağladıkları (Izydorczak, 2003) ve fiziksel manipülatiflerle çalışırken zihinsel işlemleri daha çok kullanarak daha orijinal çözümler geliştirebildikleri (Suh ve Moyer, 2007) görülmektedir. Diğer yandan bazı öğrencilerin ise, herhangi bir matematiksel görevle uğraşırken arka arkaya birçok uygulama yapabildikleri için sanal manipülatifleri kullanmayı daha kolay buldukları (Clements ve Sarama, 2002; Deliyianni, Michael ve Pitta-Pantazi, 2006; Izydorczak, 2003; Yuan, Lee ve Wang, 2010), daha düzenli ve organize bir şekilde çalışabildikleri için daha uygun çözümler üretebildikleri (Haistings, 2009; Izydorczak, 2003), sınıf içi tartışmalara daha fazla vakit ayırıp daha etkili yorum yapabildikleri (Yuan ve diğ., 2010) ve matematiksel sembollerle daha güçlü bir ilişki kurabildikleri (Suh ve Moyer, 2007) belirlenmiştir.

Diğer yandan Westenskow (2012), sınırlı sayıda araştırma olmasına rağmen sanal ve fiziksel manipülatifleri bir arada kullanmanın, eğitim ve öğretim sürecinde öğrenci başarısı açısından avantajlar sağladığını ifade etmektedir. Bu araştırmalar incelendiğinde, gerek sanal gerekse fiziksel manipülatiflerle çalışan öğrenci gruplarının, matematiksel öğrenmelerinde istatiksel olarak anlamlı farkların olduğu görülmektedir (Yuan ve diğ., 2010; Suh ve Moyer, 2007). Araştırmada, düzlem dönüşümleriyle ilgili sanal ve fiziksel manipülatifler öğrenme süreci boyunca birlikte kullanılacak, böylelikle iki manipülatifi birbirinden bağımsız kullanmanın getirdiği sınırlılıklar azaltılıp, birlikte kullanmanın getirdiği avantajlardan faydalanılmaya çalışılacaktır.

Sanal manipülatifler, çoğu ülkede 90’lı yıllarda öğretim sürecinde kullanılmaya başlanmasına rağmen, ülkemizdeki uygulamaları yeni yeni başlamaktadır (Akkan ve Çakıroğlu, 2011). Literatür incelendiğinde, ülkemizde yapılan en somut çalışmanın Dr.

Erol Karakırık ve ekibi tarafından Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) desteğiyle hazırlanmış olan sanal manipülatif web sitesi (http://samap.ibu.edu.tr) olduğu söylenebilir. İlkokul birinci sınıf ile ilköğretim sekizinci sınıf arasındaki matematik öğretim programını destekleyici Türkçe bir sanal manipülatif seti geliştirmek amacıyla başlayan proje kapsamında, site üzerinden ilköğretim seviyesinde kullanılabilecek birçok manipülatife ulaşılabilmektedir.

Okul Öncesi, Sınıf Öğretmenliği ve İlköğretim Matematik Öğretmenliği branşlarından öğretmen ve öğretmen adaylarının sanal veya fiziksel manipülatiflere bakış açılarını belirlemeyi ve karşılaştırmayı amaçlayan çalışmalarında Akkan ve Çakıroğlu (2011), 121 öğretmen ve 186 öğretmen adayı ile çalışmışlardır. Araştırmacılar, katılımcıların her iki manipülatif çeşidinin de “matematiksel kavramların öğretimi için önemli olduğunu, matematiksel akıl yürütmeye ve ilişkileri keşfetmeye imkân sağladığını, öğrencilerin motivasyonunda olumlu etki yaptığını, öğrencilerin başarılarını arttırdığını ve problem çözme becerilerini geliştirdiğini belirttiklerini” tespit etmişlerdir (s. 1). Benzer bir çalışma da Akkaya, Durmuş ve Pişkin-Tunç (2012), ilköğretim matematik öğretmen adaylarıyla çalışmış ve adayların fiziksel ve sanal manipülatiflerle ilgili sahip oldukları bilgileri belirlemişlerdir. Araştırma sonuçlarına göre ilköğretim matematik öğretmen adayları, sanal versiyonlarına göre fiziksel manipülatifler hakkında daha fazla bilgiye sahiptir. Adaylar, fiziksel manipülatiflerden “en çok birim küpler, tangram, kesir çubukları, geometrik cisimlerin açılımları, terazi ve noktalı kâğıttan haberdar iken sanal manipülatiflerden terazi, tangram, abaküs, birim küpler ve izometrik kâğıttan” haberdardır (s. 1).

Her ne kadar matematik eğitimi alanında manipülatiflerin öğrencilere ve öğretmenlere yaptığı katkılardan bahseden geniş çapta bir literatür olsa da, çok sayıda araştırmanın (örneğin; Ball, 1992; Cobb ve diğ., 1992; Hiebert ve Carpenter, 1992; Kilpatrick ve diğ., 2001; Moyer, 2001; Suh ve Moyer, 2007; Puchner ve diğ., 2008; Uttal ve diğ., 1997) bu süreçte manipülatif kullanımını sorgulayarak uyarılarda bulunduğu görülmektedir. Gerek öğrenme teorisyenleri gerekse araştırmacılar tarafından kullanımı teşvik edilen manipülatifler sınıf içi ortamlarda daha fazla uygulama ve araştırma alanı bulmuştur. Bu yüzden de uyarıların, genellikle, manipülatiflerin öğrenciler ve öğretmenler tarafından etkili bir şekilde kullanılmasına ağırlık vermesi sürpriz değildir.

Konuyla ilgili uyarıların bir bölümü, manipülatiflerin somut doğal yapılarının soyut matematiksel fikirlerle ilişkilendirilmesinden kaynaklanabilecek problemlere

odaklanırken; diğer bölümü, bu ilişkileri öğrencilere anlamlı kılacak kişi olan öğretmenin öğrenme sürecinde manipülatif kullanımındaki kilit rolüne işaret etmektedir. Bu bağlamda, uyarıları yapan ilk araştırmacılardan olan Hiebert ve Carpenter (1992), manipülatiflerin dış temsiller olarak iç temsillerin gelişimini etkilediği için temsil ettikleri matematiksel içerikle uyumlu olmasının önemine vurgu yapmaktadır. Manipülatiflerin fiziksel yapısının matematiksel kavramların anlamlarını taşımadığını (Clements, 1999) hatırlatan araştırmalar, bu araçların kendi kendilerine matematiksel öğrenmeyi garanti edemeyeceklerini, manipülatiflerle gerçekleştirilen kinestetik deneyimlerin öğrencilerin matematiksel algılarını ve düşünmelerini etkilese de, matematiksel anlamanın parmaklardan kollara, oradan da beyne kolayca geçmediğini (Ball, 1992) belirtmektedir. McNeil ve Uttal (2009), öğrencilerin manipülatiflerle gerçekleştirdiği eylemler ile sembolik temsiller arasındaki ilişkileri kurmaları için, bu ilişkileri açıkça görmeleri gerektiğini belirtmektedir. Zira öğrencilerin manipülatiflerden faydalanabilmeleri için, manipülatifleri matematiksel eylemlerde kullanmaları, bu eylemler üzerinde düşünmeleri ve bu eylemleri söz konusu kavramla ilişkilendirebilmeleri gerekmektedir (Caglayan ve Olive, 2010; Kamii, Lewis ve Kirkland, 2001). Moyer (2001) öğrencilerin manipülatiflere değil de temsil ettikleri matematiğe odaklanmaları gerektiğini, aksi takdirde, manipülatiflerin öğrenme değil, eğlence aracı olarak değerlendirilebileceği uyarısında bulunmaktadır. Bu uyarıların olduğu kategoride özel olarak sanal manipülatifler değerlendirildiğinde, bu manipülatiflerin içeriğindeki nesnelerin renkleri veya manipülatiflerin dizayn edildiği dilin bazı öğrencileri gereğinden fazla meşgul ederek, üzerinde çalıştıkları matematiksel görevi tamamlamalarına engel oluşturabileceği uyarısı yapılmaktadır (Highfield ve Mulligan, 2007; Izydorczak, 2003). Öğretmen penceresinden bakıldığında ise, sanal manipülatifleri kullanmak isteyen öğretmenlerin, gerekli teknolojiyi kullanmayı bilmesi ve beklenmedik durumlarda çözüm üretebilecek teknolojik alt yapıya sahip olması gerekmektedir (Reimer ve Moyer, 2005). Araştırmada, öğrencilerin matematiksel anlamalarının gelişiminde manipülatiflerin nasıl bir rol oynadığını ve öğrencilerin bu ilişkileri kurabiliyorlarsa nasıl kurduklarının anlaşılması için çaba gösterilecektir.

Literatür incelendiğinde, manipülatiflerin hem somut bir nesne olarak informal bilgiyi, hem de soyut kavramların temsili olarak formal bilgiyi içermesinden kaynaklanabilecek sorunlara yönelik uyarılardan çok, öğretmenin manipülatif kullanımına yönelik uyarılarının olduğu görülmektedir. Bu bağlamda öğrencilerin manipülatif kullanımından elde edeceği kazanımların, öğretmenin manipülatifleri

kullanma şekline bağlı olduğunu söyleyen Moyer-Packenham (2010), manipülatiflerin ders esnasında dersi renklendirecek (eğlenilecek, vakit geçirilecek) veya motivasyonu artırmaya yarayacak oyuncaklar olmadığını aksine matematiksel kavramların somut temsilleri olduğunu (Moyer, 2001) hatırlatmaktadır. Boggan ve diğerleri (2010) de, öğrenciler manipülatiflerle çalışırken temsillerle şekillenen uygun bir matematiksel bir anlama geliştiremezlerse, öğretmenlerin manipülatiflerle gösterdikleri eylemleri bu eylemlere herhangi bir anlam yükleyemeden ezbere kullanacaklarını belirtmektedirler. Her ne kadar araştırmacılar, manipülatiflerin her seviyedeki öğrencilerin matematiksel anlamasını geliştirmek için kullanılmasını tavsiye etse de (Burns, 1996; Suydam ve Higgins, 1977), Spear-Swerling (2006) öğrencilerin bireysel matematiksel öğrenme ihtiyaçlarına hitap etmeyen manipülatiflerin bu öğrencileri yavaşlatacağını hatırlatmaktadır.

Araştırmalarda öğretmenin rolüne yönelik yapılan uyarıların, öğrencilere manipülatiflerdeki somut verilerden soyut matematiksel kavramlara geçiş yapmada rehberlik etme konusu etrafında yoğunlaştığı görülmektedir (örneğin; Cai ve Moyer, 2008; Freer Weiss, 2006; McNeil ve Jarvin, 2007). Uyarıların geneline ait bir değerlendirme yapmak gerekirse, manipülatifler kendi başlarına “her derde deva değildir” (Uttal ve diğ., 1997, s. 50). Zira manipülatiflerin kendi kendilerine anlamlı olabilmesi için “anlamanın parmaklardan başlayıp kollara çıkarak” [oradan da zihne doğru] ilerlemesi ve “matematiksel fikirler kartondan veya plastik materyallerin içinde olması” gerekmektedir (Ball, 1992, s. 47). Bu bağlamda Clements (1999) ise manipülatif kullanımı esnasında öğrencilerin gerçekleştirdiği fiziksel eylemlerin, öğretmenin öğrencilerden anlamalarını beklediği fikirlerden farklı olabileceğini, bu yüzden de manipülatifleri kullanırken öğretmenin rehberliğinin çok önemli olduğunu belirtmektedir. Benzer şekilde, öğretmenlerin, öğrencilerin üzerinde çalışılan konuyla ilgili manipülatifler ve sembolik temsiller arasındaki ilişkileri direkt görebildiklerini, manipülatifleri kullanarak kolayca uygun iç temsiller geliştirebildiklerini varsaymadan söz konusu ilişkileri onlara keşfettirecek, uygun iç temsiller geliştirmesine yardımcı olacak şekilde etkili bir rehberlik uygulamalıdır (Puchner ve diğ., 2010). Araştırmacılar, öğretmenlerin yapacağı rehberliğin de dengesinin iyi ayarlanması gerektiğini, öğrencilerin manipülatiflerle çalışırken öğretmenin desteğine ihtiyaçları olacağını, fakat bu desteğin öğrencilerin manipülatifleri kullanarak kendi bilgilerini kendilerinin oluşturmasını engelleyecek şekilde gereğinden fazla olmaması gerektiğini hatırlatmaktadır (Cobb ve diğ., 1992; Caglayan ve Olive, 2010).

Öğretmenin rolüne yönelik yapılan diğer uyarıların bir kısmı da, manipülatiflerin öğrencilerin önceki bilgileriyle uyumlu olmasıyla (Roberts, 2007) ve söz konusu matematiksel konuya bilişsel ve pedagojik açıdan uygun olmasıyla (Moyer ve diğ., 2008; Uttal ve diğ., 1997) ilgilidir. Diğer yandan, öğretmenlere bakan pencereden manipülatif kullanımı değerlendirilmeye devam edildiğinde, öğretmenlerin manipülatif kullanımının gerekliliğine dair olan inançları veya algılarının, derslerinde manipülatif kullanımını etkilediği görülmektedir (Marshall ve Paul, 2008; Moyer, 2001). Araştırmalar, öğretmenlerin manipülatifleri derslerde farklı bir şeyler yapmak için kullandıklarını, oynamak, keşfetmek veya öğrencilerin sınıftaki uygun davranışlarını ödüllendirmek için kullanılan araçlar olarak değerlendirdiklerini ve matematik öğretiminde gereklilik olarak görmediklerini göstermektedir (Moyer, 2001). Manipülatifleri zaman kaybı olarak gören ve oyuncak olarak değerlendiren bu algı ve inançlardan dolayı, ilköğretim seviyesinden ortaöğretim seviyelerine doğru ilerledikçe, öğretmenlerin manipülatif kullanma sıklığı azalmaktadır (Murdock-Stewart, 2005).

Sanal manipülatiflerin kullanımı söz konusu olduğunda, öğretmenlerin dikkat etmesi gereken bazı özel durumlar daha ön plana çıkmaktadır. Örneğin, öğretmenler bu manipülatifleri kullanırken, sınıf içinde bilgisayar kullanımıyla ilgili yeterli deneyime sahip öğrencilerle bilgisayar kullanımıyla ilgili yeterli gerekliliklere sahip olmayan öğrencileri birlikte düşünmek zorundadır (Deubel, 2007). Fiziksel versiyonlarına benzer şekilde, Izydorczak (2003), sanal manipülatiflerle çalışan öğrencilerin söz konusu kavramla gerçekleştirdiği eylemler arasında ilişkiyi kurmayı düşünmediklerinde ya da bu konuda gereken desteği alamadıklarında, manipülatifteki linkleri bilinçsiz bir şekilde tıklayıp durduklarını ifade etmektedir.

Bu araştırmada, manipülatiflerin somut nesneler olarak kendi yapılarından ve öğretmenlerin bu manipülatifleri kullanımından kaynaklanabilecek bahsi geçen uyarılar dikkate alınmış ve bahsedilen olumsuz durumları en aza indirgemek için gerekli tedbirler alınmaya çalışılmıştır (bkz. Bölüm 3).