Matematiksel anlamada temsillerin rolü: Sanal ve fiziksel manipülatifler

(1)

i

T.C.

GAZİ ÜNİVERSİTESİ

EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLAR EĞİTİMİ

ANA BİLİM DALI

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI

MATEMATİKSEL ANLAMADA TEMSİLLERİN ROLÜ:

SANAL VE FİZİKSEL MANİPÜLATİFLER

DOKTORA TEZİ

Hazırlayan Hilal GÜLKILIK

Ankara Kasım, 2013

(2)

ii

T.C.

GAZİ ÜNİVERSİTESİ

EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLAR EĞİTİMİ

ANA BİLİM DALI

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI

MATEMATİKSEL ANLAMADA TEMSİLLERİN ROLÜ:

SANAL VE FİZİKSEL MANİPÜLATİFLER

DOKTORA TEZİ

Hilal GÜLKILIK

Danışmanlar

Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU Doç. Dr. Nejla YÜRÜK

Ankara Kasım, 2013

(3)

i

Hilal Gülkılık’ın “MATEMATİKSEL ANLAMADA TEMSİLLERİN ROLÜ: SANAL VE FİZİKSEL MANİPÜLATİFLER” başlıklı tezi, 13.11.2013 tarihinde jürimiz tarafından Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Ana Bilim Dalı Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı'nda Doktora Tezi1

olarak kabul edilmiştir.

Adı-Soyadı İmza

Başkan : Prof. Dr. Safure BULUT ...

Üye (Tez Danışmanı) : Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU ...

Üye (Tez Danışmanı) : Doç. Dr. Nejla YÜRÜK ...

Üye : Prof. Dr. Ziya ARGÜN ...

Üye : Prof. Dr. Ahmet ARIKAN ...

Üye : Doç. Dr. Mehmet BULUT ...

Üye : Doç. Dr. Nihat BOZ ...

1_{Bu doktora tezi, Gazi Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi}

tarafından desteklenmiştir (Proje Kodu: 04/2011-38).

(4)

ii TEŞEKKÜR

Henüz daha çok başlarında olduğum akademik kariyerimin doktora öğrenciliği kısmı, türlü zorlukları, heyecanları ve sevinçleri aynı anda barındıran bir süreç oldu. Şu an geriye dönüp bu sürece baktığımda, başarımın temelinde kendi yeterliliğim ve gayretimden ziyade, çevremdeki kişilerin vermiş oldukları desteklerin ve gösterdikleri fedakârlıkların olduğunu görüyorum. Süreç içerisinde bu destek ve fedakârlıklarla beni hep daha iyiye ve ileriye taşıyan kişilere, bir kaç sayfalık bir metin içinde teşekkür ederek gereken vefayı gösteremeyeceğimin farkında olsam da, en samimi duygularla minnetlerimi dile getirmek istiyorum.

Yüksek lisansa başladığım ilk günden itibaren kendisinden geometri konularına yönelik birçok şey öğrendiğim, düzenli ve titiz bir çalışmanın akademisyenliğin olmazsa olmazlarından olduğunu kendisiyle çalışarak tecrübe ettiğim, bir öğrenciyi üzmeden ve kırmadan yönlendirmenin nasıl yapıldığını bizzat gözlemlediğim saygı değer hocam Prof. Dr. Hasan Hüseyin Uğurlu'ya en içten dileklerimle teşekkür etmek istiyorum. Hocam, dekanlık göreviniz sırasında şehir dışında olsanız bile, bana her zaman yardımcı olmaya hazır olduğunuz ve her konuda işlerimi kolaylaştırdığınız için ayrıca saygılarımı sunuyorum.

Kendisiyle, yüksek lisans öğrencisi olarak ilk sunumumu yapacağım ders sırasında tanışma fırsatı bulduğum, sunum sonrasında, herkesten önce teşekkür ve beğenilerini sunarak heyecanımı yatıştıran çok sevgili hocam Doç. Dr. Nejla Yürük'e nasıl teşekkür edeceğimi bilemiyorum. Tanışmamızdan itibaren büyük bir sevgiyle ve hayranlıkla takip etmeye başladığım hocamın, ikinci tez danışmanım olduğunu öğrenmemle duyduğum sevinci ve heyecanı dün gibi hatırlıyorum. Bir danışmanın, öğrencisi için yapabilecekleri noktasında her zaman üstün bir kapasiteyle çalıştığını gördüğüm Nejla Hocam, öğrencilerinize gösterdiğiniz sevgi dolu yaklaşımla benim için her zaman bir model olacaksınız. Gerek tez sürecinde, gerek sizden aldığım derslerde ve gerekse tezin dışındaki her konuda kapınızın bana açık olduğunu, her zaman sabırla ve özveriyle beni dinlemeye hazır olduğunuzu, karşılaştığım problemlerle ilgili bana mutlaka bir yol gösterebileceğinizi bilmek hep en güvendiğim şey oldu. Beni bir anne olarak da her zaman en iyi anlayanın siz olduğunu hissettirdiğiniz ve yurt dışına

(5)

iii

gitmeden önce beni cesaretlendirip her konuda ilgilendiğiniz için ise ayrıca teşekkürlerimi sunmak istiyorum.

Bir doktora öğrencisinin danışmanlarından sonra en büyük şansı nedir diye sorulsa, herhalde çoğu öğrenci, "sıkıştığı zaman kendilerinden istifade edebileceği, gerektiği zaman her konudaki görüşlerine başvurmakta çekinmeden kapılarını çalabileceği hocalarının olmasıdır" yanıtını verir. Kendimi çoğu kişiden daha şanslı gördüğüm bu konuda, en içten saygı ve minnet duygularımı sunmak istediğim hocalarımın başında Prof. Dr. Ziya Argün ve Prof. Dr. Ahmet Arıkan hocalarım gelmektedir.

Ziya Hocam, her ne kadar bazı zamanlar yanınıza korkarak gelsem de, bana, kafamdaki sorulara en doğru cevapları bulabilme noktasında hiç bir şüphe yaşamadığım, her zaman yeni görüş ve önerilere açık olduğunuzu gördüğüm için düşüncelerimi açıkça dile getirmekten çekinmediğim bir araştırma ortamı sağladığınız için teşekkürlerimi sunmak istiyorum. Bizzat öğrenci olarak aldığım ve dinleyici olarak katılma fırsatı bulduğum derslerinizde sizden öğrendiklerime ek olarak, tezimle ilgili veri toplama aşamasında sıkıştığım her durumda beni diğer tez öğrencilerinizden ayırmadığınız, bana, istediğim her zaman emek verip zaman ayırdığınız için ayrıca teşekkür ederim.

Ahmet Hocam, "Hem bir akademisyen olarak en üst seviyede donanımlı olup, hem de bir hoca olarak öğrencisini hiç kırıp üzmeden maksimum seviyede çalıştırabilecek karakter ve üsluba sahip bir kişi olabilir mi?" diye sorsalar aklıma gelen ilk kişi olurdunuz. Gerek Özel Öğretim Yöntemleri dersleri, gerek sizden aldığım dersler ve gerekse tezim boyunca, beni hep cesaretlendirdiğiniz, gerektiği zaman tezin dışında da bir hayatımın olduğunu hatırlatıp bana rehberlik ettiğiniz için size de en içten duygularımla teşekkür etmek istiyorum.

Doktora sürecinde alınan derslerin içerik ve yeterliliklerinin bir doktora öğrencisine kazandırdığı tecrübe ve bilgi birikimi düşünüldüğünde, süreç boyunca kendilerinden ders alma şansına sahip olduğum hocalarıma da ayrıca teşekkür etmem gerekiyor. Bu noktada, kendisinden nitel araştırmalar, veri analizi ve bilimsel verilerin raporlaştırılması noktasında birçok şey öğrendiğim, her dersinden sonra, hala öğrenecek çok şeyin olduğunu hissettiğim Dr. Şükrü Kaya'ya, matematiksel kavramlar ve matematik felsefesi konularında zengin bilgi birikiminden yararlanma fırsatı bulduğum Prof. Dr. Ayşe Uyar'a özellikle teşekkür ediyorum. Doktora eğitimim süresince derslerinden istifade etme şansı bulduğum diğer hocalarıma ve Doç. Dr. Mehmet Bulut,

(6)

iv

Yard. Doç. Dr. Hakan Şandır başta olmak üzere bana destek olan tüm hocalarıma da minnetlerimi sunuyorum.

Şüphesiz teşekkür etmem gereken kişilerden birisi de, tezimin verilerini toplamadan önce birlikte aldığımız bir doktora dersinde, çalışmak istediğim konuyla ilgili heyecanımı paylaşarak, sınıfında araştırma yapmamı destekleyeceğini söyleyen Burcu Hanım. Araştırma sonrasında kendisini yakından tanıyarak arkadaş olma şansı yakaladığım Burcu Hanım'ın süreç boyunca göstermiş olduğu sabır ve gayret olmasa, bu konuda bir araştırma yapmamın neredeyse olanaksız olduğunun farkındayım. Bu yüzden teşekkürlerimin büyük bir kısmını kendisine ve araştırmada benimle her hafta görüşmeyi kabul edip zaman ayıran öğrencileri Elif, Defne, Selim ve Metin'e (takma isimler), önemli bir kısmını da verilerimi toplama aşamasında her konuda desteği sağlayan okul müdürü ve öğretmenlerine sunmak istiyorum.

Doktora eğitimimin bir yıl gibi kısa bir süresini kapsıyor olsa da, verilerimin analizi ve tezimin yazım aşamasında kendisinden çok fazla şey öğrendiğim, derslerini dinlerken araştırmacı olarak farklı bir bakış açısı, sanal manipülatiflerle ilgili projesinde çalışırken ise farklı kazanımlar edindiğime inandığım Prof. Dr. Patricia Moyer Packenham'a en içten dileklerimle teşekkür ediyorum. Dr. Moyer, her ne kadar bu satırları okuyamayacak da olsanız, Utah'da bulunduğum süre zarfında, eşiniz Eric Packenham ile birlikte bana ve aileme her konuda destek olduğunuz, karşılaştığımız problemlere hızlı bir şekilde çözüm bulduğunuz ve yoğun iş temponuza rağmen bana zaman ayırmayı hiç ihmal etmediğiniz için her zaman örnek alacağım birisi olacaksınız. Bu süre zarfında zaman zaman kendisiyle buluşup farklı araştırma konularında konuşma fırsatı bulduğum, bana her zaman destek olmaya hazır olduğunu hissettiğim, engin tecrübe ve deneyimleriyle bana yol gösteren Prof. Dr. Richard Lesh'e de ayriyeten teşekkür ediyorum. Dr. Lesh, mütevazılığınız ve karşınızdaki insana verdiğiniz değer her zaman aklımda kalacak.

Diğer yandan, araştırmacı olarak bazen çok iyi fikirleriniz olsa da sadece akademik anlamda yapılan destekler bu fikirleri gerçekleştirmenize yetmeyebilir. Bu noktada, beni yurt dışında kaldığım süre boyunca maddi olarak destekleyen Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu'na (TÜBİTAK) ve tezim boyunca gerekli malzeme ve desteğin sağlanması noktasında destekleyen Gazi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi'ne teşekkürlerimi sunuyorum.

Bir doktora öğrencisinin maddi destek ve yol gösterecek hocalarından sonra, en büyük desteklerinden birisi de, ona her konuda yardımcı olmaya hazır olan

(7)

v

arkadaşlarıdır. Tezimle ilgili değerli yorum ve görüşleriyle bana yardımcı olan Arş. Gör. Dr. Gönül Yazgan-Sağ, Arş. Gör. Elçin Emre, Yasemin Temizöz, Arş. Gör. Fadime Bayık, tezimin verilerini toplama aşamasında ve yurt dışında bulunduğum süre zarfında türlü zahmete katlanarak bana yardım eden Arş. Gör. Nida Emül ve Arş. Gör. Mustafa Çevikbaş, çalışma ortamında her zaman desteklerini hissettiğim Arş. Gör. Dilşad Güven, Arş. Gör. Fatma Nur Aktaş ve Arş. Gör. Aydan Kaplan başta olmak üzere bütün arkadaşlarıma teşekkür etmek istiyorum.

Teşekkür bölümünün sonlarına doğru yaklaşırken, en büyük payın sahibi kişiler olan aile fertleriyle ilgili neler yazabileceğine karar vermek bu işin en zor aşaması sanırım. Ne söylesem, ne yazsam da yapılan fedakârlıkların yerini tutamayacağını bilmek bu işi zor kılan en önemli faktör. Bende bunların farkında olarak, annem, babam, kayınvalidem başta olmak üzere, bana bu süreçte destek olan tüm aile büyüklerime ve kardeşlerim Ayşegül ile Nurdan'a en içten teşekkürlerimi sunmak istiyorum. Yaptıklarınızı burada tek tek sıralamaya kalkışmanın boş bir uğraş olacağı aşikâr, o yüzden hepinize ayrı ayrı minnet duyduğumu ifade ediyor, sevgilerimi sunuyorum.

Ve son olarak, en büyük teşekkürü hak ettiğine inandığım eşim İbrahim'e, bana bu yolculukta her zaman destek olduğu, bu yolculuğu sürdürülebilir ve zevkli hale getirdiği, gerektiği zaman fedakârlık göstererek hep saygı ve sevgimi kazandığı için herkesten çok teşekkür etmek istiyorum. Annesinin devamlı tez ile uğraştığını görerek, yaşından beklenilenden çok daha fazla anlayış ve sabır gösteren oğlum Mehmet Eren ile bu süreçte karnımda hep uyumlu bir arkadaş olarak büyüyen ve bir kaç ay içerisinde aramıza katılacak olan kızıma da sevgilerimi sunuyorum.

Ankara, 2013 Hilal GÜLKILIK

(8)

vi ÖZET

MATEMATİKSEL ANLAMADA TEMSİLLERİN ROLÜ: SANAL VE FİZİKSEL MANİPÜLATİFLER

GÜLKILIK, Hilal

Doktora, Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı

Tez Danışmanları: Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU, Doç. Dr. Nejla YÜRÜK Kasım–2013, 480 sayfa

Bu araştırmanın amacı, 10. sınıf öğrencilerinin düzlem dönüşümleriyle ilgili matematiksel anlamalarını ve manipülatiflerin bu anlamadaki rolünü belirlemektir. Araştırma, amacı doğrultusunda, nitel bir durum çalışması olarak tasarlanmıştır. Araştırma boyunca veri toplama araçları olarak, öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümlerine ait ön-son-kalıcılık testleri, görev temelli haftalık görüşmelere ait yarı yapılandırılmış formlar ve bu dönüşümlerin tartışıldığı derslerde tutulan katılımcı gözlem notları kullanılmıştır.

Altı hafta süren pilot uygulamanın ardından, araştırmanın yürütüldüğü sınıftaki öğrencilere, dönüşümlere ait farklı görevleri içeren ön test uygulanmıştır. Sınıftan amaçlı olarak belirlenen dört öğrenci ile ön test sorularının kullanıldığı görev temelli görüşmeler yapılmıştır. Sonraki dört hafta boyunca, sırasıyla, öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümlerine yönelik tasarlanan dersler uygulanmıştır. Dersler, dönüşümlere yönelik çoklu temsillerden sözel, grafiksel ve cebirsel temsillere ek olarak sanal ve fiziksel manipülatiflerle zenginleştirilmiştir. Her bir dersten sonra, katılımcılarla, söz konusu dönüşümle ilgili görev temelli haftalık görüşmeler gerçekleştirilmiştir. Birebir gerçekleştirilen bu görüşmeler sırasında, derslerde kullanılan manipülatifler ortamda hazır bulundurulmuştur. Katılımcılarla, derslerin tamamlanmasından sonra son teste yönelik, son test görüşmesinden 16 hafta sonra ise kalıcılık testine yönelik görüşmeler gerçekleştirilmiştir. Katılımcı gözlemlerden elde edilen veriler veri çeşitlemesini sağlamak için kullanılmıştır.

(9)

vii

Farklı kaynaklardan elde edilen veri, araştırmanın kavramsal çerçevesini belirleyen Pirie-Kieren ve temsil teorisi temel alınarak analiz edilmiştir. Araştırmanın bulguları sunulurken de, öğrencilerin matematiksel anlamaları ve manipülatiflerin bu anlamada oynadıkları rol, önce matematiksel anlama seviyeleri, sonra, temsil sistemleriyle gerçekleştirdikleri deneyimler kapsamında betimlenmiştir.

Sonuçlar, öğrencilerin düzlem dönüşümleriyle ilgili matematiksel anlamalarını oluştururken farklı anlama seviyelerinde çalıştıklarını, geriye katlama hareketleriyle anlamalarını şekillendirdiklerini, ortamdaki müdahalelerle anlamalarına yön verdiklerini göstermektedir. Öğrenciler, matematiksel anlamalarını şekillendirirken çoklu temsil sistemlerini anlamlandırmada ve kullanmada farklılıklar göstermektedir. Matematiksel kavramlara ait farklı temsiller arasında ilişki kurmak ve geçiş yapmak için gerekli olan ağ örme hareketleri, öğrencilerin matematiksel anlamalarında kilit rol oynamaktadır. Bu bağlamda sanal ve fiziksel manipülatifler, birbirini tamamlayacak şekilde, öğrencilerin matematiksel anlamalarını desteklemektedir. Her iki manipülatif çeşidi de, farklı anlama seviyelerinde, öğrencilerin kavramlara ait farklı temsilleri anlamlandırmalarına ve kullanmalarına yardımcı olmaktadır.

Anahtar Kelimeler: Matematiksel Anlama, Pirie-Kieren Teorisi, Temsil Teorisi, Sanal Manipülatif, Fiziksel Manipülatif, Somut Materyal, Düzlem Dönüşümleri, Öteleme, Dönme, Yansıma, Homoteti.

(10)

viii ABSTRACT

THE ROLE OF REPRESENTATIONS IN MATHEMATICAL UNDERSTANDING: VIRTUAL AND PHYSICAL MANIPULATIVES

GÜLKILIK, Hilal

Doctor of Philosophy, Department of Mathematics Teaching Supervisors: Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU, Doç. Dr. Nejla YÜRÜK

Kasım–2013, 480 pages

The purpose of this qualitative case study was (a) to investigate the emerging mathematical understanding of 10th grade students about plane transformations and (b) to explore the role of manipulatives in this understanding.

Data were gathered through a variety of sources. The pre-post-delayed tests, weekly task-based semi-structured interview forms, and participant classroom observation notes of the lessons were used to reach the research purpose.

After the six-week long pilot study, the pre-test were administered in the classroom where the research was performed. Participants, four students who were selected purposively from the classroom, were interviewed by using the same questions used in the pre-test. During the next four weeks, lessons about translation, rotation, reflection and dilation transformations were conducted respectively. The lessons were enriched with virtual and physical manipulatives in addition to verbal, graphical and algebraic representations of mathematical concepts. Weekly task-based semi-structured interviews were carried out with participants after each transformation lesson. In order to investigate students' mathematical understanding and the role of manipulatives in understanding during the whole research process, the same set of questions used in the pre-test was readministered as a post-test following the instructional interventions, and as delayed test sixteen weeks after the post test. Data collected through participant observations were used for triangulation.

(11)

ix

The data were analyzed according to Pirie-Kieren and representation theory that determined the conceptual framework of the study. The components of these theories were followed during reporting the findings. The nature and the growth of students' understanding and the role of manipulatives were examined in the context of different mathematical understanding levels and representational systems.

The results indicated that students worked within different levels of mathematical understanding while constructing meaning about transformations. The folding back movements helped them to strengthen their understandings, and the interventions in the context gave direction to their understandings. Students differed in comprehending and applying the multiple representations of mathematical concepts. Netting movements among these representations played a significant role in the students' growth of mathematical understanding. Virtual and physical manipulatives, as complementary learning tools, supported students' understandings. Both types of manipulatives helped students to comprehend and apply the different representations in different mathematical understanding levels.

Key Words: Mathematical Understanding, Pirie-Kieren Theory, Representation Theory, Virtual Manipulative, Physical Manipulative, Concrete Material, Plane Transformations, Translation, Rotation, Reflection, Dilation.

(12)

x

İÇİNDEKİLER

s.n.

JÜRİ ÜYELERİNİN İMZA SAYFASI... i

TEŞEKKÜR... ii

ÖZET... vi

ABSTRACT... viii

İÇİNDEKİLER... x

TABLOLAR LİSTESİ... xx

ŞEKİLLER LİSTESİ... xxiv

BÖLÜM I GİRİŞ... 1

1.1 Neden Matematiksel Anlama ve Manipülatifler?... 1

1.2 Teorik Altyapı ve Problem Durumu... 3

1.2.1 Matematiksel Anlama ve Temsil Sistemleri... 4

1.2.2 Manipülatifler... 6

1.2.3 Matematiksel Anlama ve Pirie-Kieren Teorisi... 7

1.3 Araştırmanın Amacı ve Problemi ... 10

1.4 Araştırmanın Önemi ... 12

1.5 Sınırlılıklar... 14

1.6 Varsayımlar... 15

1.7 Tanımlar... 15

1.8 Teze Genel Bakış... 16

BÖLÜM II KAVRAMSAL ÇERÇEVE ... 17

2.1 Matematiksel Anlama... 17

2.1.1 Matematiksel Anlamanın Tarihsel Gelişimi... 17

2.1.2 Epistemolojik Olarak Yapılandırmacı Perspektiften Matematiksel Anlama 19 2.1.3 Matematiksel Anlamayı Yapılandırmacı Perspektiften Değerlendiren Teoriler... 21

(13)

xi

2.1.4.1 Temsil ve iç-dış temsil sistemleri... 29

2.1.4.2 Dış temsillerin bireye özgü formları... 32

2.1.4.3 Çoklu temsil yaklaşımı ve temsil sistemleri arasındaki ilişkiler.... 33

2.1.5 Matematiksel Anlamanın Gelişimini Açıklayan Pirie-Kieren Teorisi... 37

2.1.5.1 Matematiksel anlama seviyeleri... 38

2.1.5.1.1 Ön bilgi... 39

2.1.5.1.2 İmaj oluşturma... 39

2.1.5.1.3 İmaj sahibi olma... 40

2.1.5.1.4 Özellikleri fark etme... 41

2.1.5.1.5 Formalleştirme... 42

2.1.5.1.6 Gözlem yapma... 42

2.1.5.1.7 Yapılandırma... 43

2.1.5.1.8 Keşfetme... 43

2.1.5.2 Pirie-Kieren teorisinin özellikleri... 44

2.1.5.2.1 Geriye katlama (Folding back)... 44

2.1.5.2.2 “İhtiyaç duyulmayan” sınırlar... 47

2.1.5.2.3 Birbirini tamamlayıcı faaliyetler... 47

2.1.5.2.4 Müdahaleler (Interventions)... 49

2.1.6 Temsil Teorisi ve Pirie-Kieren Teorisinin Birlikte Çalışılması... 51

2.2 Manipülatifler... 53

2.2.1 Manipülatiflerin Tarihçesi, Epistemolojik Temelleri ve Önemi... 54

2.2.2 Manipülatiflerin Teknolojisiyle Buluşması: Sanal Manipülatifler... 58

2.2.3 Ortaöğretim Seviyesinde Manipülatif Kullanımı... 65

2.3 Düzlem Dönüşümleri... 69

2.3.1 Geometri Öğretiminde Dönüşümlerin Önemi ... 69

2.3.2 Dönüşümlere Ait Matematiksel Çerçeve ... 71

2.3.2.1 Yansıma... 72

2.3.2.2 Öteleme... 73

2.3.2.3 Dönme... 75

2.3.2.4 Homoteti... 76

(14)

xii

2.3.4 Öğrenim ve Öğretim Sürecinde Dönüşümler... 80

2.3.5 Dönüşümlerin Dinamik Geometri Ortamlarında Çalışılması... 84

2.3.6 Dönüşümler ve Fiziksel Manipülatif Kullanımı... 86

BÖLÜM III YÖNTEM... 90

3.1 Araştırma Deseni... 90

3.2 Pilot Çalışma... 94

3.3 Araştırma Ortamı... 95

3.3.1 Araştırmacının ve Araştırmada Yer Alan Öğretmeninin Özellikleri... 100

3.3.2 Araştırma Sahasına Giriş ve Araştırmacının Rolü... 101

3.4 Katılımcılar... 102

3.4.1 Katılımcıların Belirlenmesi... 103

3.4.2 Katılımcıların Özellikleri ve Manipülatiflerle İlgili Deneyimleri... 104

3.5 Araştırma Süreci... 110

3.5.1 Derslerin Planlanması... 110

3.5.2 Derslerin Uygulaması... 115

3.5.3 Görüşmeler ... 118

3.5.4 Katılımcı Gözlemler... 122

3.6 Veri Toplama Araçları... 123

3.6.1 Ön-Son-Kalıcılık Testi Soruları... 123

3.6.2 Haftalık Görüşmelere Ait Görev Temelli Yarı Yapılandırılmış Görüşme Formları... 126

3.6.3 Uzamsal Yetenek Testi... 127

3.6.4 Geometri Tutum Ölçeği... 129

3.6.5 Veri Toplama Sürecine Ait Zaman ve Prosedür Çizelgesi ... 130

3.6 Verilerin Analizi ve Raporlaştırılması... 132

3.7 Araştırmanın İnandırıcılığı (Trustworthiness) için Yapılan Çalışmalar... 136

BÖLÜM IV BULGULAR... 139

(15)

xiii

4.1.1 Elif’in Öteleme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 141 4.1.1.1 Elif’in süreç boyunca öteleme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 141 4.1.1.2 Elif’in öteleme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

çıkan matematiksel anlaması... 146 4.1.1.2.1 Anlamanın matematiksel anlama seviyeleri bağlamında incelenmesi... 147 4.1.1.2.2 Anlamanın temsil sistemleri ve manipülatifler

bağlamında incelenmesi... 150 4.1.2 Defne’nin Öteleme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 155

4.1.2.1 Defne’nin süreç boyunca öteleme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 155 4.1.2.2 Defne’nin öteleme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 163 4.1.3 Selim’in Öteleme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 168

4.1.3.1 Selim’in süreç boyunca öteleme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 168 4.1.3.2 Selim’in öteleme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

çıkan matematiksel anlaması... 172 4.1.3.2.1 Anlamanın matematiksel anlama seviyeleri bağlamında incelenmesi... 172 4.1.3.2.2 Anlamanın temsil sistemleri ve manipülatifler bağlamında incelenmesi... 175 4.1.4 Metin’in Öteleme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 178

4.1.4.1 Metin’in süreç boyunca öteleme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 178 4.1.4.2 Metin’in öteleme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

(16)

xiv

4.1.4.2.1 Anlamanın matematiksel anlama seviyeleri bağlamında incelenmesi... 182 4.1.4.2.2 Anlamanın temsil sistemleri ve manipülatifler

bağlamında incelenmesi... 184 4.1.5 Katılımcıların Öteleme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlamalarının

Karşılaştırılmalı Analizi... 188 4.2 Katılımcıların Dönme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlamaları... 191 4.2.1 Elif’in Dönme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 192

4.2.1.1 Elif’in süreç boyunca dönme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 192 4.2.1.2 Elif’in dönme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 199 4.2.2 Defne’nin Dönme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 204

4.2.2.1 Defne’nin süreç boyunca dönme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 204 4.2.2.2 Defne’nin dönme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 210 4.2.3 Selim’in Dönme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 215

4.2.3.1 Selim’in süreç boyunca dönme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 215 4.2.3.2 Selim’in dönme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

çıkan matematiksel anlaması... 220 4.2.3.2.1 Anlamanın matematiksel anlama seviyeleri bağlamında incelenmesi... 220

(17)

xv

4.2.3.2.2 Anlamanın temsil sistemleri ve manipülatifler

bağlamında incelenmesi... 223 4.2.4 Metin’in Dönme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 227

4.2.4.1 Metin’in süreç boyunca dönme dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 227 4.2.4.2 Metin’in dönme dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 233 4.2.5 Katılımcıların Dönme Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlamalarının

Karşılaştırılmalı Analizi... 237 4.3 Katılımcıların Yansıma Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlamaları... 241 4.3.1 Elif’in Yansıma Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 241

4.3.1.1 Elif’in süreç boyunca yansıma dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 242 4.3.1.2 Elif’in yansıma dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 249 4.3.2 Defne’nin Yansıma Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 252

4.3.2.1 Defne’nin süreç boyunca yansıma dönüşümüne ait matematiksel anlamasının gelişimi... 252 4.3.2.2 Defne’nin yansıma dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde

ortaya çıkan matematiksel anlaması... 256 4.3.2.2.1 Anlamanın matematiksel anlama seviyeleri bağlamında incelenmesi... 256 4.3.2.2.2 Anlamanın temsil sistemleri ve manipülatifler

(18)

xvi

4.3.3 Selim’in Yansıma Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 263 4.3.3.1 Selim’in süreçboyunca yansıma dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 264 4.3.3.2 Selim’in yansıma dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 270 4.3.4 Metin’in Yansıma Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 276

4.3.4.1 Metin’in süreç boyunca yansıma dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 276 4.3.4.2 Metin’in yansıma dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 282 4.3.5 Katılımcıların Yansıma Dönüşümüyle İlgili Matematiksel Anlamalarının

Karşılaştırılması... 286 4.4 Katılımcıların Homoteti Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlamaları... 291 4.4.1 Elif’in Homoteti Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 291 4.4.1.1 Elif’in süreç boyunca homoteti dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 292

4.4.1.2 Elif’in homoteti dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 298 4.4.2 Defne’nin Homoteti Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 301

(19)

xvii

4.4.2.1 Defne’nin süreç boyunca homoteti dönüşümüne ait matematiksel anlamasının gelişimi... 301 4.4.2.2 Defne’nin homoteti dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde

ortaya çıkan matematiksel anlaması... 304 4.4.2.2.1 Anlamanın matematiksel anlama seviyeleri bağlamında incelenmesi... 304 4.4.2.2.2 Anlamanın temsil sistemleri ve manipülatifler bağlamında incelenmesi... 307 4.4.3 Selim’in Homoteti Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 312

4.4.3.1 Selim’in süreç boyunca homoteti dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 312 4.4.3.2 Selim’in homoteti dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 320 4.4.4 Metin’in Homoteti Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlaması... 325

4.4.4.1 Metin’in süreç boyunca homoteti dönüşümüne ait matematiksel

anlamasının gelişimi... 326 4.4.4.2 Metin’in homoteti dönüşümüne ait haftalık görüşmesinde ortaya

bağlamında incelenmesi... 331 4.4.5 Katılımcıların Homoteti Dönüşümüne Ait Matematiksel Anlamalarının

Karşılaştırılmalı Analizi... 335 BÖLÜM V SONUÇLAR, TARTIŞMA ve ÖNERİLER... 340

(20)

xviii

5.1.1 Öğrencilerin Anlama Seviyelerinde Bıraktığı İzler... 342

5.1.1.1 Formal seviyeden içteki seviyelere yapılan geriye katlama hareketleri... 346

5.1.1.2 Eylemler-söylemler, kritik sınır ve anlamaya yön veren müdahaleler... 347

5.1.2 Öğrencilerin Farklı Temsillere Ait Anlamaları... 349

5.1.2.1 Sözel temsillerle ilgili matematiksel olan ve olmayan dil problemleri... 349

5.1.2.2 Grafiksel temsilleri anlamlandırabilmenin avantajları, düzlem geometrisiyle ilgili görselleştirme sorunları... 351

5.1.2.3 Ortak sorun: Cebirsel temsilleri anlamlandıramamak... 353

5.1.2.4 Ağ örme hareketleri: Öğrencilerin dönüşümlere ait farklı temsiller arasında yaptıkları hareketler... 354

5.1.2.5 Cebirsel temsilleri diğer temsillerle ilişkilendirmek için yapılan ağ örme hareketleri... 356

5.2 Manipülatiflerin Öğrencilerin Matematiksel Anlamalarındaki Rolü... 357

5.2.1 Öğrencilerin Anlama Seviyelerinde Hareket Ederken Manipülatiflerle Geçirmiş Oldukları Deneyimler... 357

5.2.2 Temsil Çeşidi Olarak Manipülatiflerin Anlamadaki Kritik Rolü... 359

5.2.2.1 Diğer temsil çeşitlerini anlamak için manipülatif kullanımı... 359

5.2.2.2 Manipülatiflerin ağ örme hareketlerindeki aktif rolü... 361

5.2.3 Manipülatiflerin Matematiksel Anlamadaki Kalıcılığa Yaptığı Katkı... 363

5.2.4 Öğrencilerin Manipülatif Kullanımını Etkileyen Faktörler... 364

5.3 Eğitim ve Öğretime Yönelik Öneriler... 367

5.4 Gelecekteki Araştırmalar için Öneriler... 373

KAYNAKÇA ... 376

EKLER ... 397

(21)

xix

EK-2. TANIŞMA ve KATILIMCILARIN MATEMATİK EĞİTİMİ GEÇMİŞİNİ

BELİRLEMEYE YÖNELİK GÖRÜŞME SORULARI... 398

EK-3. ÖN-SON ve KALICILIK TESTİ... 400

EK-4. DERSLERDE ÖĞRENCİLERİN KULLANMALARI İÇİN HAZIRLANAN YÖNERGELERE ÖRNEK: HOMOTETİ DÖNÜŞÜMÜ... 408

EK-5. ÖTELEME DERSİNE YÖNELİK HAZIRLANAN YÖNERGE... 410

EK-6. DÖNME DERSİNE YÖNELİK HAZIRLANAN YÖNERGE... 413

EK-7. YANSIMA DERSİNE YÖNELİK HAZIRLANAN YÖNERGE... 417

EK-8. HOMOTETİ DERSİNE YÖNELİK HAZIRLANAN YÖNERGE... 421

EK-9. ÖTELEME, DÖNME, YANSIMA ve HOMOTETİ DÖNÜŞÜMLERİNE YÖNELİK HAFTALIK GÖRÜŞME SORULARI... 425

EK-10. GEOMETRİ TUTUM ÖLÇEĞİ... 433

EK-11. VERİ KODLAMA PROTOKOLÜ... 434

EK-12. GÖZLEMLER SIRASINDA TUTULAN NOTLARA ÖRNEKLER... 448

(22)

xx

TABLOLAR LİSTESİ

s.n. Tablo 3.1: Araştırmanın Dayandığı Paradigmanın Temelleri ve Karakteristik

Özellikleri... 92 Tablo 3.2: Araştırma Sınıfındaki Öğrencilerin Dönüşümlerle İlgili Önceden Edinmiş

Olmaları Beklenen Kazanımlar... 98 Tablo 3.3: Katılımcıların Özellikleri... 110 Tablo 3.4: Dönüşümlere Ait Derslerdeki Manipülatif Kullanımı... 117 Tablo 3.5: Araştırma Boyunca Gerçekleştirilen Görüşmelerin Özeti... 121 Tablo 3.6: Verilerin Elde Edildiği Kaynaklar... 131 Tablo 3.7: Araştırmanın İnandırıcılığı için Yapılan Çalışmalar... 138

Tablo 4.1: Elif’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 142 Tablo 4.2: Elif’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 147 Tablo 4.3: Elif’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil Sistemleri

ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 150 Tablo 4.4: Defne’nin Öteleme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 156 Tablo 4.5: Defne’nin Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 160 Tablo 4.6: Defne’nin Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 163 Tablo 4.7: Selim’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 169 Tablo 4.8: Selim’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 173 Tablo 4.9: Selim’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

(23)

xxi

Tablo 4.10: Metin’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 179 Tablo 4.11: Metin’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 183 Tablo 4.12: Metin’in Öteleme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 185 Tablo 4.13: Elif’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 193 Tablo 4.14: Elif’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 197 Tablo 4.15: Elif’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil Sistemleri

ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 200 Tablo 4.16: Defne’nin Dönme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 205 Tablo 4.17: Defne’nin Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 208 Tablo 4.18: Defne’nin Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 211 Tablo 4.19: Selim’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 216 Tablo 4.20: Selim’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 221 Tablo 4.21: Selim’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 224 Tablo 4.22: Metin’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 228 Tablo 4.23: Metin’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 231 Tablo 4.24: Metin’in Dönme Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

(24)

xxii

Tablo 4.25: Elif’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 242 Tablo 4.26: Elif’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 246 Tablo 4.27: Elif’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 249 Tablo 4.28: Defne’nin Yansıma Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 253 Tablo 4.29: Defne’nin Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 257 Tablo 4.30: Defne’nin Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 259 Tablo 4.31: Selim’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 264 Tablo 4.32: Selim’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 269 Tablo 4.33: Selim’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 271 Tablo 4.34: Metin’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 277 Tablo 4.35: Metin’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 280 Tablo 4.36: Metin’in Yansıma Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 283 Tablo 4.37: Elif’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 292 Tablo 4.38: Elif’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 296 Tablo 4.39: Elif’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

(25)

xxiii

Tablo 4.40: Defne’nin Homoteti Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 302 Tablo 4.41: Defne’nin Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 305 Tablo 4.42: Defne’nin Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 308 Tablo 4.43: Selim’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 313 Tablo 4.44: Selim’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 318 Tablo 4.45: Selim’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

Sistemleri ve Manipülatifler Bağlamında İncelenmesi... 321 Tablo 4.46: Metin’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Anlamasının Süreç Boyunca

Gelişimi... 326 Tablo 4.47: Metin’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Anlama

Seviyeleri Bağlamında İncelenmesi... 329 Tablo 4.48: Metin’in Homoteti Dönüşümüne Yönelik Haftalık Görüşmesinin Temsil

(26)

xxiv

ŞEKİLLER LİSTESİ

s.n. Şekil 1.1: Matematiksel anlamanın dinamik yapısını göstermek için Pirie ve Kieren

tarafından geliştirilen model... 8 Şekil 2.1: Herscovics ve Bergeron’un (1988) matematiksel anlama modeli... 23 Şekil 2.2: Kavram yapılandırmasının genel modeli... 24 Şekil 2.3: Şemalar ve yapılandırılmaları... 26 Şekil 2.4: İç ve dış sistemlerinin çift yönlü ilişkisi... 30 Şekil 2.5: Lesh ve diğerlerinin (1983) çoklu temsil dönüşüm modeli... 34 Şekil 2.6: Pirie ve Kieren'in (1994) matematiksel anlamanın gelişimi için ortaya

koyduğu dinamik teori modeli... 38 Şekil 2.7: Ön Bilginin matematiksel anlamanın gelişimindeki çekirdek rolünü

betimleyen diyagram (Meel, 2003)... 40 Şekil 2.8: Geriye katlama... 45 Şekil 2.9: Pirie-Kieren modelinin birbirini tamamlayıcı faaliyetlerle inceltilmiş hali... 48 Şekil 2.10: Düzlemde noktaya göre yansıma dönüşümü... 72 Şekil 2.11: Düzlemde doğruya göre yansıma dönüşümü... 73 Şekil 2.12: Düzlemde öteleme dönüşümü... 73 Şekil 2.13: Düzlemde iki yansıma dönüşümünün bileşkesinden oluşan öteleme

dönüşümü... 74 Şekil 2.14: Düzlemde dönme dönüşümü... 75

Şekil 2.15: Düzlemde iki yansıma dönüşümünün bileşkesinden oluşan dönme

dönüşümü... 76 Şekil 2.16: Düzlemde homoteti dönüşümü ... 74 Şekil 2.17: Düzlemde bir üçgeni ve merkezli 2 oranlı homoteti dönüşümü

altındaki görüntüsü... 77 Şekil 3.1: Araştırma sınıfına ait kroki... 97 Şekil 3.2: Katılımcıları belirleme süreci... 105 Şekil 3.3: Kâğıt katlama testinde bulunan sorulardan örnekler... 127 Şekil 3.4: Yüzey oluşturma testinde bulunan sorulardan örnekler... 128 Şekil 3.5: Kart çevirme testinde bulunan sorulardan örnekler... 128

(27)

xxv

Şekil 3.6: Kart çevirme testinde bulunan sorulardan örnekler... 129

FOTOĞRAFLAR ve RESİMLER LİSTESİ

s.n. Fotoğraf 3.1: Kütüphane etüt odası... 97 Fotoğraf 3.2: Bilgisayar laboratuvarının ön ve arkadan görünüşü... 99 Fotoğraf 3.3: Bilgisayar laboratuvarındaki görüşme ortamı... 100 Fotoğraf 3.4: Araştırmada kullanılan bazı fiziksel manipülatif örnekleri... 113 Resim 3.1: Araştırmada kullanılan bazı sanal manipülatif örnekleri... 112 Resim 3.2: Araştırmada kullanılan bazı video ve günlük hayat temsil örnekleri... 113 Resim 4.1: Elif'in ön görüşme sırasında öteleme dönüşümüne ait çizmiş olduğu grafiksel

temsil... 143 Resim 4.2: Elif'in son görüşme sırasında dönüşüme yönelik kullanmış olduğu

temsiller... 144 Resim 4.3: Elif'in kalıcılık görüşmesinde yazmış olduğu cebirsel temsiller... 145 Resim 4.4: Elif’in fiziksel manipülatif üzerinde çizdiği şekil... 153 Resim 4.5: Defne'nin ön görüşme sırasında öteleme dönüşümüne ait kullanmış olduğu

temsiller... 156 Resim 4.6: Defne'nin son görüşme sırasında öteleme dönüşümüyle ilgili farklı sorularda

kullanmış olduğu temsiller... 157 Resim 4.7: Defne'nin son görüşme sırasında öteleme dönüşümü cebirsel temsillerine ait

geliştirmiş olduğu yanlış imajlar... 158 Resim 4.8: Defne'nin vektör kavramıyla çalışırken kullandığı temsiller... 164 Resim 4.9: Defne'nin öteleme vektörüne ait imajından bir bölüm... 165 Resim 4.10: Selim'in ön görüşme sırasında dönüşüme yönelik kullanmış olduğu

temsiller... 168 Resim 4.11: Metin'in ön görüşme sırasında öteleme vektörüne ait imaj oluşturma

çalışmaları sırasında kullandığı temsiller... 179 Resim 4.12: Metin'in kalıcılık görüşmesinde öteleme dönüşümünü açıklarken kullandığı

(28)

xxvi

Resim 4.13: Elif'in ön görüşmede dönme dönüşümünü açıklarken kullandığı ifadeler... 193 Resim 4.14: Elif'in şekilleri döndürürken uyguladığı strateji... 194 Resim 4.15: Elif'in dönme dönüşümüne ait grafiksel temsil görevinde gerçekleştirdiği

çizimler... 201 Resim 4.16: Defne'nin dönme dönüşümüyle çalışırken şekillerle kullandığı oklar…...… 210 Resim 4.17: Defne'nin dönme dönüşümüne ait grafiksel temsil görevinde eksenlere

uzaklıkları temel alması... 213 Resim 4.18: Defne'nin grafiksel temsil görevinde kullanmış olduğu cebirsel temsiller... 213 Resim 4.19: Defne'nin fiziksel manipülatif üzerinde kullanmış olduğu grafiksel

temsiller... 215 Resim 4.20: Selim'in son test görüşmesinde dönme dönüşümünü açıklarken kullandığı

temsiller... 218 Resim 4.21: Selim'in kalıcılık görüşmesinde dönme dönüşümünü açıklarken kullandığı

temsil... 219 Resim 4.22: Selim'in dönme dönüşümündeki dairesel hareketi kullanırken yaptığı

çizim... 225 Resim 4.23: Metin'in dönme dönüşümüne ait fiziksel manipülatifte çalışması…...…….... 234 Resim 4.24: Metin'in grafiksel temsil ile çalışırken yapmış olduğu çizimler... 236 Resim 4.25: Elif’in son test görüşmesinde yansıma dönüşümünü açıklarken kullandığı

temsiller... 244 Resim 4.26: Elif’in kalıcılık görüşmesinde yansıma dönüşümüne yönelik kullandığı

temsiller... 245 Resim 4.27: Elif’in grafiksel temsil görevinde çalışırken yaptığı çizimler... 248 Resim 4.28: Defne’nin verilen üçgeni paralel iki doğruya göre değil de eksenlere göre

yansıtması... 254 Resim 4.29: Defne’nin kalıcılık görüşmesinde yaptığı çizim... 255 Resim 4.30: Defne’nin yansıma dönüşümünü açıklarken kullandığı jestler... 260 Resim 4.31: Defne’nin yansıma dönüşümüyle çalışırken kullandığı cebirsel temsiller... 261 Resim 4.32: Defne’nin grafiksel temsil üzerinde çalışırken yaptığı resimler... 262 Resim 4.33: Selim’in kalıcılık görüşmesi sırasında kullandığı yansıma örnekleri……... 267 Resim 4.34: Selim’in yansıma dönüşümünü açıklarken kullandığı simetri aynası…...… 272

(29)

xxvii

Resim 4.35: Metin’in yansımaların bileşkesinden oluşan öteleme dönüşümünü

açıklarken yaptığı çizimler... 278 Resim 4.36: Metin’in kalıcılık görüşmesinde yansıma dönüşümünü açıklarken

kullandığı grafiksel temsil... 279 Resim 4.37: Metin'in simetri aynasını kullanarak çizdiği şekil... 284 Resim 4.38: Elif’in son test görüşmesinde homoteti dönüşümünü açıklarken kullandığı

temsiller... 293 Resim 4.39: Elif'in homoteti oranını açıklarken kullandığı sanal manipülatif... 299 Resim 4.40: Defne’nin homoteti merkezini belirlemeye çalışırken yaptığı çizimler... 303 Resim 4.41: Defne'nin şeklin homotetiğini belirlemeye çalışırken yaptığı çizimler...…… 306 Resim 4.42: Defne'nin iki nokta arasındaki uzaklığı belirlerken yaptığı çizimler……... 310 Resim 4.43: Selim'in dönüşümle ilgili formal gözlemlerini dile getirirken yaptığı

çizimler... 314 Resim 4.44: Selim'in kalıcılık görüşmesinde homoteti dönüşümünü açıklarken

kullandığı grafiksel temsiller... 316 Resim 4.45: Selim'in homotetiyle ilgili imaj oluşturma çalışmaları... 317 Resim 4.46: Selim'in fiziksel manipülatif üzerinde imaj oluşturmaya çalışırken

kullandığı grafiksel temsiller... 322 Resim 4.47: Selim'in şeklin homotetiğini bulurken yaptığı çizimler... 323 Resim 4.48: Metin'in homotetiyi açıklarken kullandığı temsiller... 327 Resim 4.49: Metin'in homoteti dönüşümüne ait özelliklerle çalışırken kullandığı

çizimler-1... 333 Resim 4.50: Metin'in homoteti dönüşümüne ait özelliklerle çalışırken kullandığı

çizimler-2... 333 Resim 4.51: Metin'in homoteti dönüşümüne ait özelliklerle çalışırken kullandığı

çizimler-3... 333 Resim 4.52: Metin'in homoteti dönüşümüne ait cebirsel temsillerle çalışırken kullandığı

(30)

BÖLÜM I

GİRİŞ

Bu bölüm, araştırma problemini şekillendiren kavramsal çerçeveye ait kısa bir girişin ardından teorik alt yapı ve problem durumuna ait ayrıntılarla başlamaktadır. Araştırmanın amacının ve probleminin açıklanarak, önemine ait detayların verildiği bölüm, sırasıyla, araştırmanın sınırlılıkları, varsayımları ve tez boyunca kullanılan temel tanımların açıklanmasıyla devam etmekte, teze ait genel bir özetin sunulduğu alt başlıkla sona ermektedir.

1.1 Neden Matematiksel Anlama ve Manipülatifler?

Matematik eğitimi literatüründe geniş çapta vurgulanan fikirlerden birisi, öğretim ortamlarının öğrencilerin matematiği anlayarak öğrenmelerini sağlayacak şekilde oluşturulmalarının gerekliliğidir (Carpenter ve Lehrer, 1999). Bu fikre göre, araştırmacılar öğretim ortamlarını analiz edip öneriler sunarken; program geliştiriciler, müdürler ve öğretmenler, öğretime dair hedeflerini bu ortamları oluşturacak şekilde düzenlemelidir. Çünkü matematiği anlayarak öğrenen bir öğrenci, matematiksel bilgiyi ezbere kullanmak yerine anlamlı bir şekilde kullanacak (Schoenfeld, 1988; Skemp, 2006), böylelikle matematik eğitiminin ana hedefi gerçekleşmiş olacaktır. Peki, öğrenciler matematiği nasıl anlayarak öğrenirler? Matematiksel anlama ve bu anlamanın gelişimi nasıl açıklanabilir? Bu soruların cevabı bulunmadan, öğrencilerin matematiği daha iyi anlamalarına imkân verecek öğretim ortamları hakkında verimli bir şekilde tartışmak zor görünmektedir.

Matematik eğitiminin başlıca hedefinin matematiksel anlamayı sağlamak olduğu konusunda hem fikir olan araştırmacılar (Hiebert ve Carpenter, 1992), matematiksel anlamanın ne olduğunu açıklarken ortak bir paydada buluşamamış, aksine farklı

(31)

yaklaşımlar sergilemişlerdir. Matematiksel anlamaya ait bu açıklamalar, “Sierpinska’nın (1994) sunduğu felsefi tanımdan Wiggins ve McTighe’nin (1998) sunduğu faydacı (pragmatik) tanıma” kadar farklı bakış açılarını kapsamaktadır (aktaran; MacCullough, 2007, s. 1). Son yarım yüzyılda, matematiksel anlamanın karmaşık ve tartışmaya açık (Martin, 1999) yapısını çözmeye çalışan araştırmacıların geliştirdikleri bu yaklaşımlar, temel aldıkları öğrenme teorisi ve anlama kavramını yorumlama biçimlerine göre farklılık göstermektedir (Meel, 2003). Örneğin; öğrenmeyi yapılandırmacı felsefe penceresinden açıklayan araştırmacılardan bir kısmının, anlamayı durum olarak değerlendirdiği, bir kısmının ise bu fikrin statik yapısını kabul etmeyerek, anlamayı

süreç olarak değerlendirdiği görülmektedir (Pirie ve Kieren, 1989). Cobb (2007),

anlamayı bilişsel gelişim perspektifinden açıklamaya çalışan bu araştırmacıların teorilerini, belirli bir matematiksel alanla ilgili anlamayı açıklayan teoriler (örneğin; Çarpımsal Muhakeme-Vergnaud, 1994; Geometrik Muhakeme-Clements ve Battista, 1992) ve matematiksel anlamayı herhangi bir alana özgü olmadan genel anlamda açıklayan teoriler (örneğin; APOS-Dubinsky, 2001; Cisimleştirme Teorisi-Sfard, 1991; Pirie-Kieren Teorisi-Pirie ve Kieren, 1994) olmak üzere ikiye ayırmaktadır.

Sierpinska (1994) matematik eğitiminde anlama ile ilgilenen araştırmacıların ortaya koyduğu fikirlerin, genel olarak, üç kategoride sınıflandırılabileceğine işaret etmektedir. Buna göre bu yaklaşımlardan ilki, öğrencilerin matematiği daha iyi anlamalarına yardımcı olacak öğretim materyalleri geliştirmeye odaklanan yaklaşım iken, ikincisi öğrencilerin sahip olduğu anlamayı teşhis etmeye çalışan yaklaşım, üçüncüsü ise matematiksel anlamayı teorik olarak modellemeye çalışan yaklaşımdır. Sierpinska’ya (1994) göre “bu modellerin bir kısmı anlamanın gerçekleşmesi için gereken eylemlerin neler olduğunu belirlemeye çalışan yol gösterici (prescriptive) nitelikte yaklaşımlar iken, bir bölümü de bireylerin anlamak için neler yaptığını veya herhangi bir konuyu nasıl anladıklarını belirlemeye çalışan tanımlayıcı (descriptive) nitelikteki modellerdir” (s. 117).

Her ne kadar yaklaşımları farklı olsa da, araştırmacılar, matematiksel anlamanın eğitim ve öğretim sürecindeki kilit rolüne yaptıkları vurgu ile ortak bir duruş sergilemektedir. Matematiksel anlamanın önemi; temsiller (örneğin; Goldin, 2003; Janvier, 1987; Kaput, 1998; Pape ve Tchoshanov, 2001), problem çözme (örneğin; Lester, Masingila, Mau, Lambdin, dos Santon ve Raymond, 1994; Thompson, 1985), teknoloji kullanımı (örneğin; Zbiek, Heid, Blume ve Dick, 2007) alanlarında yapılan araştırmalardan, öğretmen eğitimi (örneğin; Borgen, 2006; Nillas, 2010), öğretim

(32)

programı geliştirme (örneğin; Asiala, Brown, DeVries, Dubinsky, Mathews ve Thomas, 1996; Cobb, Yackel ve Wood, 1992) ve değerlendirme (örneğin; Morgan, 2000; Tzur, 2007) alanlarında yapılan araştırmalara kadar hemen hemen her alanda vurgulanmaktadır. Benzer şekilde, National Council of Teachers of Mathematics (Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi) (NCTM) (2000, s. 20) de yer alan, Okul Matematiği Prensiplerinden Öğrenme Prensibine göre de, öğrenciler önceki bilgileri ve deneyimlerine dayanarak aktif bir şekilde yeni bilgiler inşa etmeli, matematiği anlayarak öğrenmelidirler.

Bu noktada, manipülatifler öğrencilerin matematiği anlayarak öğrenmelerini sağlayacak, matematiksel anlamalarının gelişiminde onlara yardımcı olacak öğrenme faktörlerinden birisi olarak ön plana çıkmaktadır (Cramer, Post ve del Mas, 2002; Izydorczak 2003; Moyer, 2001; Moyer-Packenham, Westenskow ve Salkind, 2012). 1837 yılında Alman eğitimci Friedrich Froebel'in dizayn ettiği geometrik kalıplarla matematik eğitimi literatürüne giren manipülatifler, 1900’lerin başlarında Montessori, ortalarında ise Dienes gibi öğrenme teorisyenlerden destek alarak (aktaran; Boggan, Harper ve Whitmire, 2010) bugüne kadar birçok araştırmaya konu olmuştur. Yapılan araştırmalar, doğru ve verimli kullanıldığı takdirde, manipülatiflerin matematiksel anlamalarının gelişiminde kilit rol oynadığı konusunda görüş birliği içerisindedir (Clements, 1999; Moyer, 2001; Westenskow, 2012).

Bu araştırmada, alanda önemi vurgulanmaya devam eden matematiksel anlamanın yapısı ve gelişimi ile manipülatiflerin bu anlamada nasıl bir rol oynadığı belirlenmeye çalışılacaktır. İlerleyen kısımda, araştırmanın kavramsal çerçevesini oluşturan bu öğeler hakkında bilgi verilecek, böylelikle araştırmaya ait problemlerin alt yapısına ait detaylar sunulacaktır.

1.2 Teorik Altyapı ve Problem Durumu

Matematik eğitiminde yapılandırmacı felsefeyi temel alan genel anlayış, bireyin öğrenme sürecindeki aktif rolüne vurgu yaparak anlamanın birey tarafından oluşturulduğunu kabul etmektedir (Schoenfeld, 1992; von Glasersfeld, 1989). Öğrenmeye bu pencereden bakan birçok araştırmacı, öğrencilerin matematiksel anlamalarını açıklayan farklı matematiksel teoriler sunmaktadır (bkz. Davis, 1984; Hiebert ve Carpenter, 1992; Pirie ve Kieren, 1994; Sfard, 1991, 1994; Sierpinska, 1994;

(33)

Skemp, 1978). Bu teorilerden birisi Janvier (1987), Lesh, Post ve Behr (1987), Kaput (1989), Hiebert ve Carpenter (1992) ve Goldin (2003) gibi araştırmacılar öncülüğünde desteklenen ve matematiksel anlamayı bireyin kullandığı temsil sistemleri ile açıklayan temsil teorisi, bir diğeri de 1989 yılında Susan E. Pirie ve Thomas Kieren tarafından matematiksel anlamanın gelişimini açıklamak için sunulan teoridir (Bundan sonra Pirie-Kieren teorisi olarak kullanılacaktır). Bölüm 2'de bu teorilerle ilgili detaylı bilgi verileceğinden ilerleyen alt başlıklarda söz konusu teorilerle ilgili genel bir çerçeve çizilecektir.

1.2.1 Matematiksel Anlama ve Temsil Sistemleri

Matematik eğitiminde son yarım yüzyıldan beri araştırmacılar tarafından kabul gören yaklaşıma göre birey, “matematiksel bir fikri, süreci yahut konuyu, içselleştirip temsil sistemlerinin bir parçası haline getirdiği zaman anlamış demektir” (Hiebert ve Carpenter, 1992, s. 67). Janvier (1987), Lesh ve diğerleri (1987), Kaput (1989), Goldin ve Shteingold (2001) de matematiksel anlamada temsillerin rolüne dikkat çekerek bireyin matematiksel anlamasının gelişimini temsil sistemleri ile doğrudan ilişkilendirmektedir. Lesh ve diğerleri (1987), matematiksel anlamanın gerçekleşebilmesinin, öncelikle bireyin çeşitli temsil sistemlerinde sunulan matematiksel kavramı tanıyabilmesi, daha sonra bireyin o kavramı herhangi bir temsil sisteminde modelleyebilmesi ve son olarak da kavramla ilgili çalışırken bir temsil sisteminden diğerine geçiş yapabilmesi ile ilgili yeterliliklerine bağlı olduğunu belirtmektedir. Benzer şekilde, Janvier (1987) de matematiksel anlamayı, bireyin “giderek zenginleşen temsillerle çalışma kapasitesine bağlı olarak çoğalan bir süreç” olarak betimleyerek matematiksel anlamanın gelişiminde temsillerden elde edilen deneyimlerin önemine dikkat çekmektedir (s. 67). Goldin ve Shteingold (2001) da temsil sitemleri ile matematiksel anlamanın arasındaki ilişkiyi işaret ederek, bireyin matematiksel bir kavramı ancak kavramla ilgili uygun ve birbiriyle bağlantılı zihinsel temsiller geliştirdiği kadar öğrenebileceğini ifade etmektedir. Peki, matematiksel anlamanın gelişimiyle doğrudan ilişkilendirilen temsil sistemlerinden kastedilen nedir?

Goldin (2003) temsili “herhangi bir şeyi betimleyen, o şeyin yerine geçen işaretlerin, karakterlerin, ikonların ve nesnelerin bir konfigürasyonu (configuration)” olarak açıklamaktadır (s. 276). Goldin'in (2003) modelinde iç ve dış olarak ikiye ayrılan

(34)

temsil sistemlerinden dış temsil sistemleri, matematiksel kavramların ortamda gözlemlenebilen, fiziksel olarak şekillenmiş formları olarak ifade edilirken (Goldin ve Janvier, 1998; Goldin ve Kaput 1996), iç temsil sistemleri bireyin çevresindeki sözel veya matematiksel davranışları gözlemlemesiyle oluşan, doğrudan gözlemlenemeyen zihinsel konfigürasyonlarla şekillenmiş yapılar (Goldin ve Kaput, 1996; Goldin, 1998) olarak ifade edilmektedir. Goldin (2003) temsil sistemlerini iç ve dış olarak ikiye ayırarak, bu sistemler arasındaki çift yönlü etkileşime dikkat çekmektedir. Örneğin, öğretmeni tarafından sunulan bir dış temsile ait zihinsel bir imaj oluşturmaya çalışan bir öğrencinin geliştirdiği iç temsil, sunulan dış temsil ile ilişkilendirilecektir. Benzer şekilde, öğrenci matematiksel bir ilişkiyle ilgili bir formül, diyagram, grafik veya kelimeler kullandığında ise kullandığı bu dış temsiller öğrencinin iç temsilinin yerine geçecektir (Goldin, 2003). Pape ve Tchoshanov (2001) da bu etkileşimi “dış süreçlerin içselleştirilmesi” ve “iç süreçlerin dışsallaştırılması” olarak isimlendirmekte ve matematiksel anlamada temsillerin rolüne vurgu yapmaktadır (s. 119).

Diğer yandan araştırmacılar, bireyin matematiksel bir kavramla ilgili temsilleri birbirinden bağımsız, bir başkası tarafından ortaya koyulmuş matematiksel sonuçlar olarak değil, birbiriyle ilişkili bütünsel bir yapı altında anlamlandırması gerektiğinin altını çizmektedir (Goldin, 2003; Greeno ve Hall, 1997; Lesh, Landau ve Hamilton, 1983; NCTM, 2000). Bu noktada devreye, ilk olarak Richard Lesh’in 1981 yılında modellediği çoklu temsiller yaklaşımı girmektedir.

Çoklu temsillerden kastedilen, “fikirlere ve kavramlara ait aynı bilgiyi farklı biçimlerde ortaya koyan, somut, matematiksel dış temsillerdir” (Özgün-Koca, 1998, s. 1). Bu haliyle Goldin’in (2003) sınıflandırmasındaki dış temsillere vurgu yapan çoklu temsil yaklaşımına göre birey, matematiksel bir kavrama ait çoklu temsiller arasındaki geçişleri, ilişkileri ne kadar iyi yapılandırırsa matematiksel anlaması da o kadar güçlü olacaktır (Goldin, 2003; Lesh, 1981; Lesh ve diğ., 1983). Öğrencilerin çoklu temsillerle zenginleştirilmiş ortamlarda çalışmaları, sadece bir formda değil aksine birden çok formda temsil edilen matematiksel kavramları göreceklerinden ve bireysel öğrenme farklılıklarına hitap edebileceğinden araştırmacılar tarafından önemle vurgulanmaktadır (Pape ve Tchoshanov, 2001). Lesh ’in (1981) çoklu temsil modelinde sunulan beş farklı kategoriden biri olan ve matematiksel öğrenmenin oluşumunda önemi sıklıkla vurgulanan bir temsil çeşidi de manipülatiflerdir. Bir sonraki başlık altında araştırmada matematiksel anlamadaki rolü araştırılan manipülatiflerle ilgili bilgiler sunulacaktır.

(35)

1.2.2 Manipülatifler

Manipülatifler soyut matematiksel kavramların anlamlandırılmasına yardımcı olurken (Cobb ve diğ., 1992; Moyer, 2001; Kilpatrick ve Swafford, 2002), uygun kullanıldığı zaman öğrencilerin matematik başarısını olumlu yönde etkileyen öğrenme nesneleridir (Boggan ve diğ., 2010; Clements ve Sarama, 2002; Martin ve Shwartz 2005; Moyer, 2001; Sowell, 1989; Suydam ve Higgins 1977). Soyut matematiksel fikirlerin somut gösterimlerini içeren manipülatifler, matematik eğitimi sürecinde okul öncesi eğitimden on ikinci sınıfa kadar hemen her seviyede kullanılması tavsiye edilen öğrenme araçlarıdır (NCTM, 2000). Matematiksel anlamanın gelişimini bireyin geliştirdiği iç temsil sistemlerinin yapısına bağlayan Hiebert ve Carpenter (1992) da manipülatiflerin dış temsiller, bu manipülatiflerle ilgili deneyimlerin ve düşüncelerin de iç temsiller oluşturduğunu belirterek matematiksel öğrenme sürecinde manipülatif kullanımını teşvik etmektedir.

Manipülatif kelimesinin matematik eğitimi literatüründeki kullanımı incelendiğinde, "somut modeller" (Fennema, 1972; Shultz, 1991), "somut materyaller" (Sowell, 1974; Szendrei, 1996; Thompson, 1992) gibi farklı terimlerin de manipülatif yerine kullanıldığı görülmektedir (aktaran, Tuncay-Yıldız, 2012). Bu araştırmada, manipülatif “soyut matematiksel fikirleri somut ve açık bir şekilde temsil eden" (Moyer, 2001, s. 176), elle müdahalede bulunularak "hareket ettirilen veya yeniden düzenlenen" (Kennedy, 1986, s.6) nesneler olarak kullanılmıştır. Bu nesneler, matematiksel öğrenme ortamında kullanılmak üzere, araştırmacılar, öğretmenler veya öğrenciler tarafından dizayn edilebilecekleri gibi, çeşitli firma veya kuruluşlar tarafından üretilmiş olabilirler.

Bireyin bilgiyi çevresiyle etkileşimi sonucu kendisinin oluşturduğunu savunan yapılandırmacı felsefe ile uyumlu bir görüntü çizen manipülatif kullanımı, Dewey, Montessori, Bruner, Dienes ve Piaget gibi öğrenme teorisyenleri tarafından desteklenmektedir (McNeil ve Jarvin, 2007; Post, 1981). Zira öğrenmenin bireyin çevresiyle gerçekleştirdiği deneyimleri anlamlandırması sonucu içsel ve bireye has bir süreç olarak geliştiğini savunan bu teorilere göre (Post, 1981) birey, kavramları somuttan soyuta doğru yapılandırdığı ölçüde iyi bir matematiksel anlamaya sahip olacaktır (McNeil ve Jarvin, 2007). Öğrenme teorisyenlerinin sunmuş olduğu bu fikirlerin uygulamaya geçirilmesinde kullanılabilecek önemli araçlar olan manipülatifler fiziksel ve sanal olmak üzere iki kategoride incelenmektedir. Fiziksel manipülatifler, soyut matematiksel fikirlerin veya kavramların elle dokunulup üzerinde çalışılabilecek

(36)

şekilde, modellemeyle oluşturulmuş, somut materyal veya araçlar olarak tanımlanırken (NCTM, 2000), sanal manipülatifler “matematiksel bilgiyi inşa etmek için kullanılan hareketli nesnelerin interaktif, web tabanlı görsel formları” şeklinde açıklanmaktadır (Moyer, Bolyard ve Spikell, 2002, s. 373).

Her ne kadar matematik öğretiminde manipülatif kullanılmasını savunan çok sayıda araştırma bulunsa da, kullanım sırasında ortaya çıkabilecek olası sorunlarla ilgili endişeler de yok değildir. Bu bağlamda genel olarak çoklu temsillerin (Ainsworth, 1999; van der Meij ve de Jong, 2006) özel olarak ise manipülatiflerin (Ball, 1992; Moyer ve Jones, 2004; Roberts, 2007; Marshall ve Paul, 2008) öğrenme sürecinde kritik bir rolünün olduğunu ve eğitimcilerin süreç boyunca dikkatli olması gerektiği vurgulanmaktadır. Manipülatiflerin başlı başına öğrenmenin garantisi olamayacağının altını çizen araştırmacılar (Ball, 1992; Hiebert ve Carpenter, 1992; Uttal, Scudder ve DeLoache, 1997), öğretim sürecinde öğrencilerin matematiksel anlamalarını destekleyecek biçimde dikkatlice kullanılmasının (Clements, 2000; Cai ve Moyer, 2008; Cobb ve diğ., 1992; McNeil ve Uttal, 2009; Moyer, 2001) önemine işaret etmektedir. Bu bağlamda, araştırmada manipülatiflerin öğrencilerin matematiksel anlamasındaki rolü temsil sistemleri temel alınarak Pirie-Kieren teorisi çerçevesinde incelenecektir.

1.2.3 Matematiksel Anlama ve Pirie-Kieren Teorisi

Pirie-Kieren teorisi matematiksel anlamayı “bütünsel, dinamik, lineer olmayacak şekilde seviyelendirilmiş, kendini aşarak yineleyen bir süreç olarak” değerlendirmektedir (Kirie ve Pirie, 1991'den aktaran; Pirie ve Kieren, 1994, s. 166). Temelleri yapılandırmacı perspektif üzerine kurulan teori, matematiksel öğrenme ve öğretmenin lineer olmadığını, anlamanın matematiksel fikirler arasında ileri geri hareketler ile dinamik bir şekilde ilerlediğini vurgulamaktadır. Teorisyenler, geliştirdikleri teorinin, bireyin matematiksel anlamasında gerçeklesen gelişime odaklandığını, bireyin anlamasını değerlendirecek şekilde o anda ne anladığına odaklanmadığını belirtmiştir. Bu bağlamda teori, bireyin bilgiyi daha anlamlı hale getirmek için nasıl organize ettiğini açıklamaktadır (Pirie ve Kieren, 1994).

Pirie ve Kieren (1994), matematiksel anlamanın gelişimine ait bu teoriyi inşa ederken, sahip oldukları fikirleri temsil etmesi için iki boyutlu bir gösterim geliştirmiştir (bkz. Şekil 1). Teorinin bir modeli olan bu şekildeki iç içe yuvalanmış sekiz çember,

(37)

matematiksel anlamanın gelişiminde karşılaşılması olası sekiz seviyeyi temsil etmektedir. Anlamadaki gelişimin tek yönlü olmadığını hatırlatan araştırmacılar, bu yüzden modelde iç içe yuvalanmış çemberleri kullanmayı tercih ettiklerini, böylelikle her seviyenin bir önceki seviyedeki anlamaları içerdiğini ifade etmektedir. Ayrıca anlamanın bu çemberlerin içindeki bölgelerde yapılan ileri geri hareketler sayesinde geliştiğini söyleyerek, matematiksel anlamanın gelişimini dinamik ve düzenleyici bir süreç olarak görmelerinin en büyük nedeninin bu ileri geri hareketler olduğunu belirtmektedir. Tüm bunlara ek olarak, modelin alt yapısının lineer olmadığını fakat belli bir hiyerarşiye sahip olduğunu, bu yüzden de çemberler arası bölgeleri seviye olarak nitelendirdiklerini dile getirmektedir (Pirie ve Kieren, 1994).

Şekil 1.1: Matematiksel anlamanın dinamik yapısını göstermek için Pirie ve Kieren tarafından geliştirilen model