Matematiksel Anlama ve Pirie-Kieren Teorisi

Pirie-Kieren teorisi matematiksel anlamayı “bütünsel, dinamik, lineer olmayacak şekilde seviyelendirilmiş, kendini aşarak yineleyen bir süreç olarak” değerlendirmektedir (Kirie ve Pirie, 1991'den aktaran; Pirie ve Kieren, 1994, s. 166). Temelleri yapılandırmacı perspektif üzerine kurulan teori, matematiksel öğrenme ve öğretmenin lineer olmadığını, anlamanın matematiksel fikirler arasında ileri geri hareketler ile dinamik bir şekilde ilerlediğini vurgulamaktadır. Teorisyenler, geliştirdikleri teorinin, bireyin matematiksel anlamasında gerçeklesen gelişime odaklandığını, bireyin anlamasını değerlendirecek şekilde o anda ne anladığına odaklanmadığını belirtmiştir. Bu bağlamda teori, bireyin bilgiyi daha anlamlı hale getirmek için nasıl organize ettiğini açıklamaktadır (Pirie ve Kieren, 1994).

Pirie ve Kieren (1994), matematiksel anlamanın gelişimine ait bu teoriyi inşa ederken, sahip oldukları fikirleri temsil etmesi için iki boyutlu bir gösterim geliştirmiştir (bkz. Şekil 1). Teorinin bir modeli olan bu şekildeki iç içe yuvalanmış sekiz çember,

matematiksel anlamanın gelişiminde karşılaşılması olası sekiz seviyeyi temsil etmektedir. Anlamadaki gelişimin tek yönlü olmadığını hatırlatan araştırmacılar, bu yüzden modelde iç içe yuvalanmış çemberleri kullanmayı tercih ettiklerini, böylelikle her seviyenin bir önceki seviyedeki anlamaları içerdiğini ifade etmektedir. Ayrıca anlamanın bu çemberlerin içindeki bölgelerde yapılan ileri geri hareketler sayesinde geliştiğini söyleyerek, matematiksel anlamanın gelişimini dinamik ve düzenleyici bir süreç olarak görmelerinin en büyük nedeninin bu ileri geri hareketler olduğunu belirtmektedir. Tüm bunlara ek olarak, modelin alt yapısının lineer olmadığını fakat belli bir hiyerarşiye sahip olduğunu, bu yüzden de çemberler arası bölgeleri seviye olarak nitelendirdiklerini dile getirmektedir (Pirie ve Kieren, 1994).

Şekil 1.1: Matematiksel anlamanın dinamik yapısını göstermek için Pirie ve Kieren tarafından geliştirilen model

Bu seviyeler içten dışa doğru, Ön Bilgi (Primitive Knowledge), İmaj Oluşturma (Image Making), İmaja Sahip Olma (Image Having), Özellikleri Fark Etme (Property Noticing), Formalleştirme (Formalizing), Gözlem Yapma (Observing), Yapılandırma (Structuring) ve Keşfetme (Inventising) olarak isimlendirilmiştir. Ön Bilgi, bireyin hali hazırda çalışacağı kavramın dışında, daha önceden yapılandırdığı tüm bilgisini içermektedir. İmaj Oluşturma seviyesinde bu bilgiyi kullanarak söz konusu kavrama ait bir imaj oluşturacak eylemler gerçekleştirirken, İmaja Sahip Olma seviyesinde kavramla ilgili matematiksel görevlerde kullanabileceği bir imaja sahiptir. Özellikleri Fark Etme seviyesinde, çalıştığı matematiksel duruma bağlı olarak, sahip olduğu imajını oluşturan öğeler arasındaki farklılıkları ve ilişkileri keşfeder. Formalleştirme seviyesinde, duruma has bu özellikleri genelleştirerek kavramla ilgili bir genellemeye varır. Gözlem Yapma seviyesinde, bu formal yapıları ile ilgili özellikleri keşfeder. Yapılandırma seviyesinde, kavramı diğer matematiksel kavramlarla ilişkilendirerek, bir önceki seviyede yapmış olduğu gözlemlerini teori olarak kullanabilir. Keşfetme seviyesinde ise, söz konusu kavramı ve yapılandırdığı diğer bilgileri temel alarak kendisi için tamamen yeni olan kavramları veya konuları keşfedecek sorular sorar.

Pirie-Kieren teorisi, matematiksel anlamanın gelişimini temsil eden seviyelerin yanı sıra farklı özellikleri de içermektedir. Bu özelliklerden ilki, bireyin hali hazırdaki yetersiz veya eksik olan anlamasını genişletmek için önceki anlamalarına geri dönerek, kavramla ilgili yeni ya da uygun imajlar oluşturacak şekilde önceki anlamalarını yeniden organize etmesi olarak açıklanan geriye katlama (folding back) özelliğidir (Pirie ve Kieren, 1994). Bir diğer özellik ise, İmaj Oluşturma ve İmaja Sahip Olma, Özellikleri Fark Etme ve Formalleştirme seviyeleri ile Gözlem Yapma ve Yapılandırma seviyeleri arasında karşımıza çıkan “ihtiyaç duyulmayan sınırlardır (don't need boundaries)” (Pirie ve Kieren, 1994, s. 172.). Burada ihtiyaç duyulmayan sınırdan kastedilen, bireyin bir önceki seviyede gerçekleştirdiği duruma özel eylemlere ihtiyaç duymayacak şekilde daha genel ve soyut bir seviyede çalışabilmesidir. Pirie ve Kieren (1994 ), teorinin üçüncü özelliği olarak, bireyin anlama seviyelerinde yaptığı, birbirini tamamlayıcı (complementary) faaliyetleri işaret etmektedir. Araştırmacılar, bu faaliyetleri sınıflandırarak matematiksel anlamanın gelişimiyle ilgili sundukları teoriyi inceltmiş ve yeni bir model geliştirmiştir. Bu modele göre bireyin anlamasını geliştirirken, Ön Bilgi ve Keşfetme seviyeleri arasındaki seviyelerde gerçekleştirdiği faaliyetler eylemler (acting) ve söylemler (expressing) olarak iki başlık altında sınıflandırılabilir. Herhangi bir seviyede eylem, içteki seviyelerle süreklilik sağlayacak

şekilde tüm önceki anlamayı kapsarken, söylem o an çalışılan seviyedeki anlamaya belirli bir sağlamlık katar (Pirie ve Kieren, 1994). Son özellik olarak karşımıza çıkan müdahaleler (interventions) ise, bireyin matematiksel anlamasının gelişimi sırasında “süre giden çalışmalarını gözden geçirmek için içten ya da dıştan herhangi bir eylem vasıtasıyla uyarılmasıdır” (Borgen, 2006, s. 42). Araştırmacılar matematiksel anlamanın şekillenmesine yön veren bu müdahaleleri, bireyin matematiksel anlamasını (a) daha dıştaki bir seviyeye taşıyan provokatif (provocative) müdahaleler; (b) bireyin önceki anlamalarına geri dönmesine, matematiksel anlamasını iç seviyelere doğru geriye katlamasına sebep olacak yardımcı (invocative) müdahaleler ve (c) bireyin belli bir seviyedeki matematiksel anlamasını doğrulamasına sebep olacak geçerli kılıcı (validiting) müdahaleler olarak üç bölüme ayırmaktadır (Pirie ve Kieren, 1994). Araştırmacılar, öğretim ortamında öğretmen veya başka faktörlerden kaynaklanan müdahalelerin, öğrencilerin anlamasının gelişimini doğrudan etkileyerek bu anlamaya yön verdiklerini belirtmektedir (Towers, 1998; Martin, 1999).

Gerek matematiksel anlamanın gelişimi, gerek temsil sistemlerinin anlamayı şekillendiren niteliği gerekse manipülatiflerin anlamada üstlendiği önemli rol gereği, manipülatiflerin dış temsiller olarak öğretim ortamlarında kullanıldığında öğrencilerin matematiksel anlamalarını nasıl etkilediğini ortaya koyacak araştırmalara ihtiyaç olduğu düşünülmektedir. Bu bağlamda araştırmada öğrencilerin düzlem dönüşümleriyle ilgili matematiksel anlamaları değerlendirilirken geliştirdikleri iç ve dış temsilleri temel alınacak ve anlamalarının gelişimi Pirie-Kieren modeli ile izlenecektir. Özel olarak bu gelişimde sanal ve fiziksel manipülatiflerin nasıl bir rol oynadığı detaylı bir şekilde belirlenmeye çalışılacaktır.