Temsil Teorisi ve Pirie-Kieren Teorisinin Birlikte Çalışılması

Yapılan literatür taramasında iki araştırmanın dışında Pirie-Kieren teorisi ile temsil teorisini bir araya getiren çalışmalarla karşılaşılmamıştır. Wilson ve Stein’in (2007) gerçekleştirmiş olduğu ilk araştırmada, öğrencilerin kullanmış oldukları dış temsiller ile matematiksel anlamalarının ilişkisi araştırılmıştır. Bu bağlamda öğrenciler, örüntü bulma görevleriyle çalışırken matematiksel anlama seviyelerinde kullanmış oldukları görsel, sembolik ve sayısal temsillere ve bu temsiller arasında kurdukları ilişkilere odaklanılmıştır. Araştırma sonuçlarına göre, öğrenciler imaj oluşturmak için görsel temsilleri kullanırken, örüntü bulmayla ilgili özellikleri keşfederken görsel temsillerden uzaklaşıp sayısal temsilleri kullandıkları görülmüştür. Formalleştirme ve yapılandırma seviyelerinde sembolik temsilleri kullanan öğrencilerin, bu temsiller arasında ilişki kurdukça anlamalarını güçlendirdikleri ortaya çıkmıştır (Wilson ve Stein, 2007). Diğer bir araştırmada ise Düzenli-Gökalp (2012), iki altıncı sınıf öğrencisiyle yaptığı doktora tez çalışmasında, öğrencilerin kesirlerde çarpma işlemiyle ilgili anlamalarını Pirie-Kieren modelini kullanarak izlemiş ve kavrama ait farklı temsilleri kullanma tercihleriyle anlama seviyeleri arasında ilişki olduğunu belirlemiştir.

Kavramsal çerçevenin buraya kadar olan kısmında matematiksel anlamayı yapılandırmacı perspektiften ele alarak, anlamaya yönelik sunulan farklı teoriler ve modeller ele alınmış, bunlardan, araştırmanın kavramsal çatısını oluşturan temsil teorisi ve Pirie-Kieren teorisine odaklanılmıştır. Matematiksel anlama teorileri incelendiğinde, çoğunun belli ortak özelliklere sahip olduğu ve teoriyi bu özelliklerin üzerine inşa ettiği görülmektedir. Kastberg (2002); Skemp, Sierpinska, Pirie-Kieren ve Hiebert ve Carpenter’e ait teorileri incelediği çalışmasında “bakış açısı veya kullandığı dil farklı olsa da”, her bir teorinin ortak olarak “karşılaşılan engellerden, bu engellerin nasıl aşılacağından, anlamanın temelinden, zihinsel temsillerden ve ilişkilerden” bahsettiğini ifade etmektedir (s. 23). Benzer şekilde Mousley (2004) de, matematiksel anlama

teorilerin ortak bir şekilde “ilişkilendirilen bilgilere” vurgu yaptıklarını belirterek bu ilişkilendirmelerle ilgili üç farklı yorumun yapılabileceğini söylemektedir; var olan bilgiler ile yeni bilgilerin ilişkilendirilmesi, farklı matematiksel fikirler ve temsillerin ilişkilendirilmesi ve öğrencilerin, öğretmenlerin okulda öğrendiği bilgilerle günlük hayat bilgilerini ilişkilendirmeleri (s. 1).

Diğer yandan teoriler, temelde birçok ortak özellik içermesine rağmen anlamayla ilgili değişik bakış açıları sunmaktadır. Godino (1996), araştırmacıların matematiksel anlamayla ilgili açıklamalarının matematiksel bilginin nasıl kazanıldığıyla ilgili inançlarını temel alarak geliştiğini söylese de, her biri matematiksel bilginin oluşturulmasında yapılandırmacılığı benimseyen bu teorilerin kendi içinde farklılıklar barındırdığı görülmektedir. Söz gelimi Skemp’in (1987) ortaya koyduğu incelendiğinde, araştırmacının matematiksel anlamayı bireyin sahip olduğu matematiksel yeteneklerle açıkladığı görülmektedir. Sfard (1991), anlamanın birbirine bağımlı farklı iki bilgi türünün etkileşimleri sonucunda lineer olmayan bir şekilde gerçekleştiğini söylerken; Herscovics ve Bergeron (1988) ve Dubinsky (1991) bilginin hiyerarşik ve sıralı bir şekilde soyutlandığını belirtmektedirler. Hiebert ve Carpenter (1992) ile Pirie ve Kieren (1994) ise, daha çok anlamanın süreç boyutuna odaklanmaktadırlar. Dolayısıyla, teorilerin, bir açıdan bakıldığında bilgi, fikirler veya durumlar gibi anlamaya konu olan nesneye vurgu yaptıkları, bir açıdan bakıldığında ise daha dinamik bir yaklaşımla ilişkilendirme, soyutlama gibi süreçlere yoğunlaştıkları görülmektedir (MacCullough, 2007).

Meel (2003), Hiebert ve Carpenter’a (1992) benzer şekilde matematiksel anlamanın gelişiminin bireyin geliştirdiği temsilleri daha geniş zihinsel bir sistemle ilişkilendirmesiyle gerçekleştiğini belirtmektedir. Bu noktada teorilerin odaklandığı süreç ve nesne boyutlarını bir araya getiren Meel (2003), bireyin bu ilişkilendirmeleri yaparken sistemdeki bilgi parçaları ve sistem elemanlarını (nesneler) ve bunlar arasındaki ilişkileri (süreçler) bir arada anlamlandırmasının gerekli olduğunu belirtmektedir. Başka bir deyişle, matematiksel anlama, hem anlamaya konu olan nesneleri hem de anlama süreçlerini içermektedir.

Bu araştırmada, öğrencilerin düzlem dönüşümlerine yönelik geliştirdikleri anlamaların yapısı Hiebert ve Carpenter (1992) tarafından ortaya konulan ve Goldin (2003) tarafından geliştirilen temsil teorisi temel alınarak incelenecektir. Bu bağlamda öğrencilerin, araştırma boyunca kendilerine sunulan dış temsilleri anlamlandırma, kullanma ve ilişkilendirme eylemleri sonucunda geliştirdikleri iç temsillerin yapısı

anlaşılmaya çalışılacaktır. Direkt olarak gözlenmesi mümkün olmayan iç temsillerin (Goldin, 2003) anlaşılması için, öğrencilerin standart dış temsillerle gerçekleştirmiş olduğu deneyimleri ve iç temsillerini açıklarken kullandıkları bireye özgü dış temsilleri esas alınacaktır. Temsil teorisine ek olarak, öğrencilerin dersler boyunca sahip olduğu anlamanın yapısını ve gelişimini okuyucuya belirli bir süreç ve düzen içinde sunmak için Pirie-Kieren teorisi kullanılacaktır. Zira Pirie ve Kieren (1994) geliştirdikleri teorinin, bireyin bilgiyi daha anlamlı hale getirmek için nasıl organize ettiğini açıkladığını belirtmektedir. Anlamanın bir süreç olduğunu kabul eden ve geliştirdikleri modelin matematiksel anlamanın gelişimine ait bir model olduğunu söyleyen araştırmacılar, teorinin aynı zamanda var olan anlamalarının yapısını değerlendirmek için de kullanılabileceğini belirtmektedir (Thom ve Pirie, 2006). Borgen ve Manu (2002), var olan anlamanın önceki anlamalar üzerine inşa edildiğini, bu yüzden Pirie Kieren Teorisini önceden gelişmiş olan matematiksel anlamanın yapısını ortaya koymak için kullanmanın teorinin yapılandırmacı temellerine uygun olduğunu ifade etmektedir. Öğrencilerin araştırmanın başından sonuna kadar düzlem dönüşümlerine ait matematiksel anlamalarının gelişimini izleyip belirleyebilmek için de Pirie-Kieren ve temsil teorisi birlikte kullanılacaktır.

Özetlemek gerekirse, araştırmada öğrencilerin düzlem dönüşümleriyle ilgili matematiksel anlamaları ve bu anlamaların gelişimi, bireysel olarak yapılandırılan zihinsel temsillerini incelemeye olanak veren temsil teorisi ve anlamanın dinamik, lineer olmayan yapısını modellemeye olanak veren Pirie-Kieren teorisi ile açıklanacaktır. Öğrencilerin düzlem dönüşümlerine ait matematiksel anlamalarının incelenmesinin ardından, manipülatiflerin bu anlamadaki rolüne odaklanılacak ve bahsi geçen teoriler yardımıyla, öğrencilerin matematiksel anlamalarını şekillendirirken manipülatifleri nasıl kullandıkları belirlenmeye çalışılacaktır. Öğrencilerin anlamalarını belirlerken bir nevi lens olarak kullanılacak teorilerin (Simon, 2009) açıklanmasının ardından, ilerleyen bölümde, matematik eğitimi literatüründe oldukça geniş bir yer işgal eden manipülatiflerle ilgili detaylı bilgilere yer verilmektedir.

2.2 Manipülatifler

Bu bölümde ilk olarak manipülatiflerin antik çağa uzanan tarihçesinden kısaca bahsedilecek ve matematik eğitiminde manipülatif kullanımını destekleyen öğrenme

teorisyenlerinin fikirleri eşliğinde, manipülatif kullanımının dayandığı epistemolojik temeller ve manipülatif kullanımının önemi açıklanacaktır. Bölüm, kullanılan manipülatif çeşitleriyle ilgili bilgilerin ve manipülatif kullanımı sırasında dikkat edilmesi gereken konuların sunulmasıyla devam edecek ve ortaöğretim seviyesinde manipülatif kullanımıyla ilgili bilgilerin ve araştırmaların paylaşılmasıyla son bulacaktır.