ÖRNEKLEME TEORİSİ * , **
1.3. Standart Hata
Örneklemeye başvurulmasının esas amacı araştırmanın az masrafla kısa zamanda yapılması olduğuna göre evrenden çekilmesi mümkün bütün örneklemler değil, bunlardan yalnızca biri seçilir, ona dayanarak evren hakkında karar vermeye çalışılır. Birtek örneklemden elde edilen sonuçlar yansız örnekleme hataları nedeniyle evren değerlere tam olarak karşılık olamaz. Fakat örneklem değeri ve standart hata bilinince parametrenin hangi olasılıklarla hangi sınırlar arasında olabileceği hesaplanabilir. Bu hesaplamalarda, yansız hatalar random olduklarından normal dağılım eğrisi özelliklerinden yararlanılır (Çömlekçi, 1985, s.188; Gürtan, 1982, s.676).
Örneklemenin en büyük özelliği, bu yöntemle alınan örneklemlerden elde edilen sonuçların evren değerlerinden ne ölçüde uzaklaştığını (örnekleme hatasını) hesaplayabilme imkanıdır. Bunu mümkün kılan standart (tipik) hata adı verilen ölçüdür. Standart hata, örneklemede yapılan hatanın genel ve ortalama ölçüsüdür (Çömlekçi, 1985, s.188).
Standart hata, örneklemden elde edilen istatistiklerin kararlılığını ölçer. Evrenden, aynı büyüklükte başka örneklemler alınması halinde bu örneklemlerden elde edilecek istatistiklerin araştırma örnekleminden bulunan sonuçlara ne kadar yakın olacağını belirler. Diğer bir ifadeyle, standart hata, araştırma örneklemindeki istatistiğin, aynı evrenden aynı büyüklükte alınabilecek olanaklı tüm örneklemlerden elde edilecek sonuçların ortalamasından ne kadar sapma olasılığı bulunduğunu gösterir (Sencer ve Irmak,1984, s.426).
Örneklemden bulunan değerlere ve standart hata ölçüsüne dayanarak evren değerlerinin hangi olasılıklarla hangi sınırlar arasında bulunabileceği hesaplanabilir. Bir örneklemden elde edilen aritmetik ortalama 160, ortalamanın standart hatası [yanlış, doğrusu e==sapma miktar] 1 ise parametrenin %68.3 olasılıkla (160±1) 159-161 , %95.5 olasılıkla (160±2) 158-162, %99.7 olasılıkla (160±3) 157-163 sınırları arasında bulunduğu söylenebilir (Gürtan, 1982, ss.51-52).
Standart hatanın, standart sapmayla yakın ilişkisi vardır. Standart sapma gibi standart hatada bir dağılımdaki gözlemlerin gösterdiği değişkenliği dile getiren bir istatistiksel değerdir. Yine standart sapma gibi, bir dizinin normal dağılım göstermesi durumunda birimlerin ne kadar bir olasılıkla hangi değer aralıkları içine düşeceğini gösterir. Standart sapmanın, çeşitli olasılıklarla bir dizinin dağılımı içinde belirlediği alanlar standart hata için de geçerlidir (Sencer ve Irmak, 1984, s.425).
Standart hatayı standart sapmadan ayıran temel nitelik, standart sapmanın gerçek bir dağılım ölçüsü olmasına karşılık, standart hatanın varsayılan bir dağılımın değişkenliğini gösteren bir ölçüm olmasıdır. Standart sapma, gerçekten yapılmış olan ölçümlerin oluşturduğu bir dağılımla ilgiliyken, standart hatanın değişkenliğini ölçtüğü gözlenmiş bir dağılım yoktur. Standart hata aynı evrenden aynı büyüklük ve aynı nitelikte alınabilecek örneklemlerin tümünden elde edilecek
istatistiklerin değişkenliğini ölçer. Diğer bir deyişle, ilgilenilen istatistiklerin oluşturduğu dağılımın standart sapmasıdır(Sencer ve Irmak,1984, s.425).
Ortalamada olduğu gibi, örneklemlerden elde edilen diğer bütün istatistikler için de, bu istatistiklerin örneklem dağılımlarının standart sapması kendileri için standart hata olarak kullanılır. Değişkenin evrendeki genişliği çoğaldıkça standart hata ölçüsü de büyür (Arkın, 1968, s.130).
Bir örneklemden elde edilen değerlere, evreni betimlerken ne kadar güvenilebileceğinin, genelleme ile yapılabilecek hatanın derecesinin de belirtilmesi gerekir. Bu ise standart hata kavramı ile açıklanır (Arkın, 1968, s. 128).
1.3.1.Standart Hatanın Hesaplanması Standart hatanın;
Evrenden çekilmesi mümkün birbirinden farklı bütün n birimlik örneklemleri oluşturmak
Örneklemler için ilgili istatistikleri hesaplamak
Örneklem istatistikleri ile evren parametresi arasındaki farkı almak
Farkların karelerini bulmak
Farkların kareleri toplamını örnekleme dağılımının mevcuduna bölmek
Bölümün karekökünü almak
suretiyle hesaplanabileceğini teorik olarak açıklamak mümkündür (Çömlekçi, 1985, s.189).
1.3.2.Standart Hatanın Tahmini
Uygulamada, standart hata önceki paragraflarda açıklandığı gibi hesaplanmaz. Çünkü, evrenden sadece bir örneklem alınması sözkonusu olduğundan standart hatanın tahmini yoluna gidilir (Çömlekçi, 1985, s.189).
Standart hatanın tahmini, ilgilenilen parametreye göre farklı formüllerin kullanılmasını gerektirir. Ancak formüllerin hepsinde söz konusu olan varyans, örnekleme değil evrene ait değerlerdir. Araştırma evrenine ait bu değerlerin biliniyor olması pek gerçekci değildir. Bu nedenle örnekleme ait değerler, evrene ait değerlerinin yansız bir kestiricisi kabul edilerek formüllerde onların yerine kullanılır.
Standart hatanın tahmini “örnekleme dağılımı” ile mümkün olur. 2.Örnekleme Dağılımı
Tesadüfi değişkenler ve yansız örnekleme konusunda bilinmesi gereken temel noktalardan biri, matematiksel istatistik tarafından örnekleme bölünmesi veya örnekleme dağılımı olarak işlenen konudur. İstatistiklerin standart hatalarının tahmin yoluyla hesaplanmasının teorik temeli örnekleme dağılımı ve bununla ilgili kabul ve ispatlara dayanmaktadır.
Belli bir istatistiğin, N birimlik evrenden belli olasılıklara göre seçilen n birimlik mümkün tüm örneklemlerden elde edilen değerlerinin oluşturduğu dağılıma örnekleme dağılımı denir (Esin, 1986, s.249).
Örnekleme dağılımı teorik bir dağılımdır. Bu dağılım, aynı evrenden, herbirini random seçmek suretiyle aynı büyüklükteki mümkün bütün örneklemleri alınırsa elde edilecek dağılımdır. Örnekleme dağılımı, herhangibir istatistiğin, (random seçilen eşit büyüklükteki örneklemlerden hesaplandığında) alabileceği mümkün olan bütün değerlerinin oluşturduğu dağılımdır (Siegel, 1977, s. 13).
Parametresi ile gösterilen evrenden seçilecek n birimlik örneklemden yararlanarak 'yü tahmin için hesaplanan istatistik ^ile gösterilir. Örnekleme hatası ise -^farkıdır. Bir evreni meydana getiren birimlerden n birimlik örneklemler seçilip, her birinden ^'lar hesaplandığında ^'lar bir evren meydana getirirler. Bu evren için yapılacak nispi çokluk bölünümüne ^
'in örnekleme dağılımı denir (Esin, 1986, s.249).
Kestiricilerin örnekleme dağılımı, örnekleme teorisinin temel kavramlarından biridir. Yanlı seçimin olmaması, yanlı kestirimden kaçınmak için yeterli değildir. Yansız seçim yansız kestirim için gerekli ise de yeter şart değildir. Yansız seçilmekle beraber olası örneklemlerin tümünde evrenin en iyi şekilde kestirildiği söylenemez. Evrenin gerçek değeri etrafında (-) ve (+) yönde bir dağılım oluştuğu görülür. Yani kestiriciler şansın etkisiyle örneklemden örnekleme değişebilmektedir. Örnekleme dağılımının ortalaması gerçek parametreye eşittir. Burada yansız kestirim söz konusudur (Stuart, l962, ss. 17-18).
İadeli veya iadesiz bir seçime başvurarak belli bir evrenden alınması mümkün olan birbirinden farklı n birimlik örneklemlerin çekilmesi halinde her örneklem için aritmetik ortalama, standart sapma gibi çeşitli istatistiklerin hesaplanması mümkündür. Bu suretle, hesaplanan istatistiğin bir dağılımı elde edilmiş olur. Hesaplanan istatistik, örneklem aritmetik ortalaması ise, meydana gelen dağılıma "Aritmetik Ortalamaların Örnekleme dağılımı" adı verilir. Aynı şekilde standart sapma, varyans, ve diğer istatistikler için de örnekleme dağılımları elde edilebilir (Çömlekçi, 1985, s.183).
Diğer taraftan, her örnekleme dağılımı için de aritmetik ortalama, standart sapma veya herhangi bir başka ölçü hesaplanması mümkündür. Bu takdirde, ortalamanın örnekleme dağılımının aritmetik ortalamasından, standart sapmasından veya herhangi bir başka ölçüsünden sözedilebileceği gibi standart sapmanın örnekleme dağılımının aritmetik ortalaması, standart sapması veya herhangi başka bir ölçüsünden bahsedilebilir (Çömlekçi, 1985, s.183).
Bir istatistiğin örnekleme bölünmesinin standart sapması standart hata olarak tanımlanmaktadır. Standart hata, evren varyansı ile doğru, örneklem büyüklüğünün karekökü ile ters orantılıdır. Standart hata ne kadar küçük olursa parametre hakkında istatistikleri kullanan tahminler daha sağlıklı olur. Standart hatayı azaltmak, örnekleme deseni sabitken ancak örneklem büyüklüğünü arttırmakla sağlanır. Örnekleme desenini değiştirmek, örneğin tabakalı örneklemeye geçmek ile varyans küçültülerek standart hata küçültülebilir (Aloba, 1980, ss. 152-153; Korum, 1981, ss. 136-137; Sencer ve Sencer, 1978, ss. 506-509).
Evren ve örneklem frekans dağılımı ve örnekleme dağılımı kavramlarına açıklık kazandırmak gerekir. İlgilenilen değişken bakımından evrendeki birimlerin ölçüm sonuçlarının frekanslarının dağılımı evren frekans dağılımıdır. Evren frekans dağılımının yatay ekseni puanları, dikey ekseni frekansları göstermektedir (Akhun, 1983a., s.4).
Bu evrenden n birimlik yansız bir örneklem alındığında, bu örneklemdeki birimlerin puanları örneklemin frekans dağılımını oluşturur. Yine burada, puanlar yatay eksende ve frekanslar dikey eksende gösterilir (Akhun,1983a., s.4).
Alınacak n birimlik örneklemlerde birimlerin puanları üzerinden çözümlemelerde kullanılacak istatistik hesaplanır ve yeni dağılım grafiği çizilirse, bu kez bir örnekleme dağılımı elde edilir. Burada istatistikler (aritmetik ortalamalar veya standart sapmalar veya oranlar vb.) yatay eksende ve olasılıklar (p) dikey eksende gösterilir. Örnekleme dağılımındaki dikey eksende gösterilen, frekans olmayıp, bağıl olasılıklardır (Akhun, 1983a., s.4).
Çünkü, kombinasyon formülü gereği N birimlik evrenden n birimlik örneklem seçme kombinasyonu çoğaldıkça bu dağılım için gerekli frekansların hesaplanması imkansız denecek ölçüde güçleşmektedir. Bu durumda birimleri böyle bir kombinasyonda olan bir örneklemi elde etme frekansı yerine, bu örneklemden hesaplanan böyle bir istatistiği elde etmenin olasılığına dayalı olarak oluşturulan bir dağılımdan nasıl faydalanılacağı esas alınır.
Bir evrenden seçilebilecek birbirinden farklı tüm örneklemlerin sayısı, örneklemi oluşturan birimlerin değişik sıralaması değişik hal olarak kabul edilirse permutasyon formülü
)! r n ( ! n Pr
n ile, şayet örneklem içindeki sıralama dikkate alınmazsa kombinasyon formülü )! r n ( ! r ! n Cr
n ile hesaplanır (Akhun, 1983c. ss. 8-21; Aloba, 1980,ss.140-142; Ersoy, 1977, s. 34-45).
Olasılığa dayanan örneklemelerde N birimlik bir evren içinden n birimlik örneklem seçme olasılığı belli bir sıralama söz konusu olmadığından kombinasyon formülü ile hesaplanır. Evren içindeki her birimin örneklem içine girebilme şansı n/N olacaktır (Aloba, 1980, ss. 143-144).
Kombinasyon formülüne göre 10 birimlik bir evrenden 3 birimden oluşan örneklem alınırsa alınabilecek birbirinden farklı örneklemlerin sayısı 120 olur. Evren 1000 birimden oluşuyorsa aynı şartlarda bu sayı 166.167.000 olmaktadır. Evren büyürken çekilebilecek örneklemlerin sayısı süratle artmaktadır (Gürtan, 1982, s.53).
Bir evrenden elde edilebilecek örneklem sayısı büyüdükçe seçilme olasılıklarının hesaplanması güçleşmektedir. Bunu basitleştirmek için merkezi limit teoreminden yararlanılmakta ve belirli bir örneklemin ortaya çıkma olasılığı yerine o örneklemden elde edilen istatistiğin ortaya çıkma olasılığı hesaplanmaktadır (Aloba, 1980, s. 145).
N hacimli bir evrenden n büyüklüğünde pek çok örneklem alınabilir. "n hacimli örneklemlerin her birinden elde edilen istatistikler nasıl bir dağılım gösterecektir?" sorusuna matematiksel istatistik tarafından ispatlanan şu teoremler altında cevap bulunabilir.