1.BÖLÜM: EKONOMİK ÖZGÜRLÜK KAVRAMI
2. BÖLÜM: EKONOMİK ÖZGÜRLÜK ve EKONOMİK BÜYÜME
2.2. EKONOMİK BÜYÜME TEORİLERİ
2.2.1. Neoklasik Büyüme Teorisi
Teorema 5.2. Seja uma ´arvore probabil´ıstica (τ, p) tendo um bom contexto w que ´e tamb´em ǫ- regular. Se lim sup k→∞ log(ℓw(k)) Cǫk < 1, (5.2) com Cǫ := log " 1 1 − ǫ|w| 1/|w|# > 0,
ent˜ao o algoritmo de simula¸c˜ao perfeita ´e fact´ıvel, isto ´e, temos para todo −∞ < m ≤ n < +∞
Esse teorema diz o seguinte. Se o bom contexto w for ǫ-regular, e se ℓw n˜ao cresce r´apido demais
(menos que uma exponencial em k cuja taxa depende de ǫ), ent˜ao podemos fazer uma simula¸c˜ao perfeita da ´unica cadeia estacion´aria compat´ıvel com (τ, p). Tamb´em podemos mostrar o seguinte. Teorema 5.3. (Esquema regenerativo e perda de mem´oria). Nas condi¸c˜oes do Teorema 5.2 a cadeia X tem um esquema regenerativo, e o tamanho m´edio entre dois tempos de regenera¸c˜ao sucessivos ´e finito. Segue tamb´em que a perda de mem´oria ocorre numa velocidade som´avel:
X
i≥0
P(θ[0] < −i) < +∞.
Teorema 5.4 (Aproxima¸c˜ao markoviana). Seja (τ, p) uma ´arvore probabil´ıstica verificando as condi¸c˜oes do Teorema 5.2. Temos
¯
d(X, X[k])k→+∞−→ 0,
onde X denota a ´unica cadeia estacion´aria compat´ıvel com (τ, p), e X[k] sua aproxima¸c˜ao Marko- viana canˆonica.
Quando o bom contexto ´e uma letra (b por exemplo) do alfabeto A, definimos para todo s em Ib i pi(b|sb) = inf{p(b|sbc) : c ∈ Cib(s)}, pi(b) = inf{pi(b|sb) : s ∈ Iib}. Definimos tamb´em rb(k) = inf{i ≥ 1 : ℓb(i) > k}, (5.4) que ´e a fun¸c˜ao inversa de ℓb (ambas a valor em N).
Teorema 5.5. Seja (τ, p) uma ´arvore probabil´ıstica tendo um bom contexto b ∈ A tal que
X i≥1 i−1 Y j=0 (1 − pj(b)) < +∞. (5.5) Se X i≥0 rb(i)−1 Y j=0 (1 − pj(b)) < +∞
ent˜ao existe uma ´unica cadeia estacion´aria compat´ıvel com (τ, p). Esta cadeia possui um esquema regenerativo.
Nesse ´ultimo teorema, n˜ao assumimos a ǫ-regularidade, por esta raz˜ao s´o sabemos mostrar a existˆencia e a unicidade da cadeia compat´ıvel. N˜ao sabemos fazer uma simula¸c˜ao perfeita destas cadeias. A hip´otese deste teorema ´e a mais geral que conseguimos. No entanto ela n˜ao ´e muito intuitiva, porque ela envolve a fun¸c˜ao rb. Apresentamos um corol´ario, cujo objetivo ´e tornar as hip´oteses mais parecidas com aquelas do Teorema 5.2. O envelope inferior de uma fun¸c˜ao f ´e a “maior” fun¸c˜ao monotonicamente crescente cujos valores s˜ao sempre inferiores ou iguais aos valores de f .
Corolario 5.6. Seja (τ, p) uma ´arvore probabil´ıstica tendo um bom contexto b ∈ A, tal que pi(b) > 0
para todo i > 0. Denotamos por {p′i(b)}i≥0 o envelope inferior de {pi(b)}i≥0. Se
X i≥1 i−1 Y j=0 (1 − p′j(b)) < +∞ (5.6) e lim sup k→∞ log(ℓb(k)) log1−p1′ k(b) k < 1, (5.7)
ent˜ao existe uma ´unica cadeia estacion´aria compat´ıvel com (τ, p). Esta cadeia possui um esquema regenerativo.
Prova do Teorema 5.2
Come¸caremos este cap´ıtulo com algumas defini¸c˜oes e um lema cujo objetivo ´e transformar o problema do estudo da vari´avel θ num problema mais simples, o de estudar uma outra var´ıavel ¯θ que definimos a seguir. Na Se¸c˜ao6.1 provamos este lema. Na Se¸c˜ao6.2, estudamos a distribui¸c˜ao de ¯θ. Somente na ´ultima parte do cap´ıtulo, provamos o Teorema5.2.
Seja (τ, p) uma ´arvore de contextos probabil´ıstica que verifica as condi¸c˜oes do Teorema 5.2, tendo w como bom contexto. Se a fun¸c˜ao ℓw for limitada, ent˜ao (τ, p) ser´ıa uma ´arvore com contexto terminal (que ´e um caso particular de bom contexto). Portanto, podemos sem perda de generalidade assumir que ℓw ´e n˜ao limitada. Por outro lado, a hip´otese do teorema ´e que a fun¸c˜ao
ℓw n˜ao cresca r´apido demais. Isso nos permite assumir sem perda de generalidade que esta fun¸c˜ao
´e crescente (caso contr´ario, como ela ´e n˜ao limitada, podemos pegar o envelope superior de ℓw, que ´e crescente). Resumindo, faremos a prova do teorema assumindo que ℓw ´e crescente e n˜ao limitada. As hip´oteses sobre a forma da ´arvore implicam que se v ´e um contexto de τ tal que w ∈ v, temos
|v| ≤ mw(v) + |w| + ℓw(mw(v)). (6.1)
Portanto, definindo o ´ındice de tempo
t(n) = maxnk ≤ n : (X(U))kk−|w|+1= wo (6.2) e a fun¸c˜ao
hw(l) := l + |w| + ℓw(l), (6.3)
temos para todo (X(U))n
−∞ in A−N (utilizando (6.1))
|cτ((X(U))n−∞)| ≤ hw(n − t(n)) . (6.4)
Utilizamos a cadeia ¯Z(introduzida na Se¸c˜ao 4.5). Lembramos a sua defini¸c˜ao
¯ Zm = 1 se Um|w|−i+1 ∈ J(w−i|∅), i = 1, . . . , |w|
⋆ caso contr´ario. Definimos tamb´em a vari´avel aleat´oria
¯ t(n) := max{k ≤ n : ¯Zk= 1}, as novas fun¸c˜oes ¯ ℓ(i) := ℓ w(i|w|) |w| , e ¯h(i) := i + 1 + ¯ℓ(i), i ≥ 0 (6.5) e a vari´avel aleat´oria
¯
θ[0, n] := maxk ≤ m : ¯Zk= 1 e ¯h(j − ¯t(j)) ≤ j − k + 1, j = k + 1, . . . , n . (6.6)
A Defini¸c˜ao 6.6pode ser comparada `a Defini¸c˜ao 4.7 da mesma vari´avel no caso em que w era um contexto terminal (Se¸c˜ao 4.5). A principal complica¸c˜ao vem do fato que n˜ao basta voltar at´e a ´
ultima ocorrˆencia do contexto w (como era o caso na Defini¸c˜ao4.7). Observa¸coes 6.1. Chamamos a aten¸c˜ao sobre os seguintes fatos:
• Os ´ındices de tempo t(n) e ¯t(n) s˜ao vari´aveis aleat´orias, dependendo de (X(U))n
t(n)−|w|+1 e
de ¯Zn ¯ t(n).
• Temos sempre t(i|w|) ≥ ¯t(i)|w| que segue do fato que para todo n ¯
Zn= 1 ⇒ (X(U))n|w|(n−1)|w|+1= w.
• No caso |w| = 1 (supondo sem perda de generalidade que w=1), temos as seguinte equi- valˆencias: ℓw≡ ¯ℓ e hw ≡ ¯h.
O seguinte lema justifica a utiliza¸c˜ao da nova vari´avel ¯θ[0, n].
Lema 6.1. Para todo n ≥ 0, sobre o conjunto {U : ¯θ[0, n] > −∞} temos que
θ[0, n|w|] ≥ |w|(¯θ[0, n] − 1) + 1
Com este lema, a situa¸c˜ao se torna mais simples, porque ¯θ[0, n] ´e obtido a partir da cadeia ¯
Z que ´e i.i.d., a valores em {1, ⋆}. Na se¸c˜ao que segue, provamos este lema, e na se¸c˜ao seguinte, mostramos que ¯θ[0, n] ´e quase-certamente finito para todo 0 < n ≤ +∞.
6.1 Prova do Lema 6.1
A prova deste lema ´e trabalhosa.
Prova do Lema6.1. Primeiro, queremos mostrar que
|w|(¯θ[0, n] − 1) + 1 ∈ {k ≤ 0 : L(Ukn|w|) = 1}. (6.7) O algoritmo com o qual constru´ımos X(U) ´e tal que se
Um|w|−i+1 ∈ J(w−i|∅), i = 1, . . . , |w|
ent˜ao (X(U))m|w|(m−1)|w|+1 = w e L(U(m−1)|w|+1|w|m ) = 1. Pela defini¸c˜ao de ¯θ[0, n] temos ¯Zθ[0,n]¯ = 1.
Segue que (X(U))|w|¯θ[0,n]
(¯θ[0,n]−1)|w|+1= w e L(U |w|¯θ[0,n]
(¯θ[0,n]−1)|w|+1) = 1.
Supomos que para algum i, ¯θ[0, n] + 1 ≤ i ≤ n temos L(U|w|(i−1)
(¯θ[0,n]−1)|w|+1) = 1. Vamos mostrar
que L(U(¯|w|iθ[0,n]−1)|w|+1) = 1. Por indu¸c˜ao, isso provar´a que L(U(¯n|w|θ[0,n]−1)|w|+1) = 1, e portanto que vale (6.7).
1. Se ¯h(i − ¯t(i)) = 1. Isso significa que ¯Zi = 1, segue que L(U(i−1)|w|+1|w|i ) = 1, e portanto que
L(U(¯|w|iθ[0,n]−1)|w|+1) = 1.
j, (i − 1)|w| ≤ j ≤ i|w| − 1, se
L(U(¯jθ[0,n]−1)|w|+1) = 1 ent˜ao
|cτ((X(U))j(¯θ[0,n]−1)|w|+1)| ≤ j − (¯θ[0, n] − 1)|w|.
Analizamos em duas partes:
• No tempo j = (i − 1)|w|. J´a sabemos que L(U(¯jθ[0,n]−1)|w|+1) = 1. – Se i − 1 = ¯θ[0, n] ent˜ao (X(U))j (¯θ[0,n]−1)|w|+1= (X(U)) ¯ θ[0,n]|w| (¯θ[0,n]−1)|w|+1= w, e portanto |cτ((X(U))j(¯θ[0,n]−1)|w|+1)| = |w| = j − (¯θ[0, n] − 1)|w|. – Se i − 1 > ¯θ[0, n] observamos que t((i − 1)|w|) ≥ ¯t(i − 1)|w|,
portanto temos (i − 1)|w| − t((i − 1)|w|) ≤ ((i − 1) − ¯t(i − 1))|w| e
hw((i−1)|w|−t((i−1)|w|)) := (i−1)|w|−t((i−1)|w|)+|w|+ℓw((i−1)|w|−t((i−1)|w|)) ≤ ((i − 1) − ¯t(i − 1)) |w| + |w| + ℓw(((i − 1) − ¯t(i − 1))|w|) ≤ |w|¯h((i − 1) − ¯t(i − 1)). Esta ´ultima desigualdade segue das defini¸c˜oes de ¯ℓ e ¯h (ver (6.5)). No presente caso, temos ¯θ[0, n] + 1 ≤ i − 1 ≤ n − 1, e sabemos pela Defini¸c˜ao 6.6de ¯θ[0, n] que
¯
h((i − 1) − ¯t(i − 1)) ≤ (i − 1) − ¯θ[0, n] + 1.
Portanto,
|cτ((X(U))j(¯θ[0,n]−1)|w|+1)| ≤ |w|((i − 1) − ¯θ[0, n] + 1) = j − |w|(¯θ[0, n] − 1).
temos (lembrando que ¯Zi= ⋆)
j − t(j) ≤ j − |w|¯t(i)
e em particular
j − t(j) < i|w| − |w|¯t(i).
Utilizamos estas duas majora¸c˜oes agora para majorar hw(j − t(j)): hw(j − t(j)) := j − t(j) + |w| + ℓw(j − t(j))
≤ j − |w|¯t(i) + |w| + ℓw(|w|(i − ¯t(i))). Pela defini¸c˜ao de ¯ℓ, obtemos
hw(j − t(j)) ≤ j − |w|¯t(i) + |w| + |w|¯ℓ(i − ¯t(i)) := j − i|w| + |w|¯h(i − ¯t(i)). Sabemos pela defini¸c˜ao de ¯θ[0, n] que quando ¯θ[0, n] + 1 ≤ i ≤ n
¯
h(i − ¯t(i)) ≤ i − ¯θ[0, n] + 1,
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hw(j − t(j)) ≤ j − i|w| + |w|(i −θ[0, n] + 1) = j − |w|(¯¯ θ[0, n] − 1). Acabamos de mostrar que para todo j, (i − 1)|w| ≤ j ≤ i|w| − 1, se
L(U(¯jθ[0,n]−1)|w|+1) = 1 ent˜ao
|cτ((X(U))j(¯θ[0,n]−1)|w|+1)| ≤ j − (¯θ[0, n] − 1)|w|.
indu¸c˜ao, temos
L(U(¯|w|iθ[0,n]−1)|w|+1) = 1. Portanto, j´a mostramos que
|w|(¯θ[0, n] − 1) + 1 ∈ {k ≤ 0 : L(Ukn|w|) = 1}. Como θ[0, n|w|] ´e o m´aximo sobre este conjunto, ent˜ao
θ[0, n|w|] ≥ |w|(¯θ[0, n] − 1) + 1.
Figura 6.1 Esta figura ilustra o Lema6.1utilizando para hw os valores: hw(1) = 4, hw(2) = 7, hw(3) = 8, hw(4) = 10,
hw(5) = 12, hw(6) = 16.
A fun¸c˜ao ¯h tem os seguintes valores, calculados com ¯h(i) := i + 1 +lℓw(i|w|)|w| m: ¯ h(1) = 2 + ℓ w(3) 3 = 2 + 2 3 = 3, ¯ h(2) = 3 + ℓ w(6) 3 = 3 + 7 3 = 6, e, supondo que ℓw(9) = 16 (isto ´e que hw(28))
¯ h(3) = 4 + ℓ w(9) 3 = 3 + 16 3 = 9.
A sequˆencia de cima representa as ocorrˆencias de w’s auto-definidos obtidos a partir da sequˆencia U, e que portanto, aparecem na sequˆencia X(U). As setas de cima representam o tamanho hw(i−t(i)).
No caso dos tempos autodefinidos, desenhamos pequenos la¸cos. Como n˜ao damos os detalhes dos valores de U, n˜ao podemos achar o tempo θ[0, n|w|] nesta figura. No entanto, podemos ver que
a constru¸c˜ao ´e poss´ıvel a partir do tempo que denotamos por k, porque nenhuma seta ultrapasse este tempo. Em outras palavras, quando (X(U))i, k ≤ i ≤ n|w| n˜ao ´e autodefinido, sabemos
que o contexto cτ((X(U))i−1k ) ´e definido, e portanto que podemos construir (X(U))i utilizando
cτ((X(U))i−1k ). Como isso ´e o caso para i, k ≤ i ≤ n|w|, ent˜ao
L(Ukn|w|) = 1.
A sequˆencia de baixo representa ¯Z, e as setas que saem dos tempos i com estrelas representam os tamanhos ¯h(i − ¯t(i)). Podemos encontrar a partir deste desenho o tempo ¯θ[0, n]. Em particular, podemos ver que a constru¸c˜ao da cadeia X(U) ´e poss´ıvel a partir do tempo |w|(θ[0, n] − 1) + 1, porque na parte de cima, de novo, nenhuma seta vai ultrapassar este tempo:
L(U|w|(θ[0,n]−1)+1n|w| ) = 1.