Genişletilmiş Dickey- Fuller (ADF) Birim Kök Testleri

AR(1) otoregresif modeli için birim kök araştırması aşağıdaki şekilde yapılmaktadır. Öncelikle modelin her iki tarafının birinci dereceden farkı alınır:

ΔYt = δYt-1 + εt (4.3)

Burada, ΔYt = Yt- Yt-1 ve δ = φ1– 1 olarak tanımlanır. Söz konusu zaman serisinde εt ~ IID (0, σ²) olduğu varsayılmaktadır. Birim kök test edilirken denklem (4.3) ile tanımlanan regresyon En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilir.

İkinci adım olarak, Yt zaman serisinin oluşum sürecinde bir birim kökün varlığı hakkında karar verebilmek için kurulacak hipotezin biçimi üzerinde durulur. Çünkü boş hipotez (H0) seride birim kökün olduğunu ifade ederken, alternatif hipotez (HA), serinin durağan olduğunu belirtmektedir. Durağanlığı test etmek amacıyla hipotez, şu şekilde kurulabilir:

H0 : δ = 0 (φ1 = 1) eğer t δ  τ ise durağan dışıdır. HA : δ  0 (φ1  1) eğer t δ  τ ise durağandır.

Burada τ veri bir anlamlılık düzeyinde elde edilen kritik değerdir. ΔYt = μ + δYt-1 + εt (4.4)

Sabitli bir modelde de birim kök testi; (4.4) denklemi ile gösterilen modelinin tahmin edilmesiyle gerçekleştirilir. Burada yine, δ = φ1– 1 olarak tanımlanır. Hipotez yine birinci modelde olduğu gibi kurulur.

Dickey – Fuller tarafından sunulan en genel test istatistiği, modelde sabit ve trendin etkisini dikkate alan birim kök testidir:

veya;

ΔYt = μ +  + δ Yt-1 + εt (4.6)

Burada, δ = φ1-1 olarak tanımlanmakta ve εt ~ IID (0, σ²) olduğu varsayılmaktadır. Her durumda H0 : δ = 0 yani birim kök olduğunu göstermektedir. Alternatif hipotez ise, HA

: δ < 0 olduğunu, yani serinin durağan olduğunu ortaya koymaktadır.

Ancak, Dickey Fuller tarafından geliştirilen birim kök testleri yalnızca birinci dereceden otoregresif süreçlere uygulanmaz. Daha yüksek dereceden otoregresif süreçlere de bu testi uygulama mümkündür. P nci dereceden bir otoregresif AR(p) süreci;

Y_t = φ₁Y_t-1+ φ₂Y_t-2+ φ₃Y_t-3+….. + φ_pY_t-p+ εt (4.7)

Biçiminde yazılabilir. Burada zaman serisi modeli denklem (4.7) ile kurulması gerekirken, AR(1) otoregresif süreç modeli;

Yt = φ1Yt-1+ εt (4.8)

ise, hata terimi εt temiz- dizi olmayacak, aksine serisel korelasyonlu olacaktır. Böyle bir durumda denklem (4.8)’deki hataların korelasyonlu olması DF tst sürecini geçersiz kılacaktır. Çünkü hata terimi;

εt = φ2Yt-2+ φ3Yt-3+….. + φpYt-p+ νt şeklinde algılanacaktır. Dolayısıyla kalıntılardaki serisel korelasyon ortadan kaldırıldıktan sonra, DF testi için uygulanan test süreci tekrar geçerli olacaktır. Bu durumda uygulanan testlere Genişletilmiş Dickey –

Fuller ( ADF) Birim Kök Testleri adı verilmektedir.

Dickey – Fuller sürecinde olduğu gibi önce denklem (4.7)’nin birinci farkı alınır; ΔYt = δ Yt-1 + δ1 Yt-1 + δ2 Yt-2 + δ3 Yt-3 + …+ δp Yt-p + εt (4.9)

Burada, δi’ ler φ’lerin genel fonksiyonlarıdır. Sabitli, sabitli ve trendli, sabitsiz ve trendsiz ADF denklemleri aşağıdaki gibi olacaktır:

t j t p j i t t Y Y Y       _  



1 1 τ - istatistiği (4.10) t j t p j i t t Y Y Y       _  



1 1 τ μ– istatistiği (4.11) t j t p j i t t t Y Y Y        _  



1 1 τ τ– istatistiği (4.12)

Bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerinin başlangıçtaki DF denklemlerine ekstra terim olarak eklenmeleri bu denklemleri genişletmektedir. Bu yaklaşım sonucunda kalıntılardaki otokorelasyon ortadan kaldırılmış olacaktır. Birim kök testi uygulamak için kullanılacak bir denklemde gecikme sayısı olan p’nin ne olacağını belirlemek için genelde Akaike bilgi kriteri (AIC) ile Schwarz bilgi kriteri (SIC) kullanılır. Bundan başka kalıntıların otokorelasyonlu olup olmadığını ortaya koymak için Breusch- Godfrey veya Lagrange çarpanları (LM) testleri uygulanabilir (Sevüktekin ve Nargeleçekenler, 2007: 323).

ADF birim kök testinin uygulanabilmesi için hata payındaki otokorelasyonun ortadan kaldırılması otokorelasyonun doğru derecesinin belirlenmesine bağlıdır. Uygulamalarda otoregresif gecikme uzunluğu önceden bilinmediği için modelde yer alması gereken gecikme sayısı (p) farklı stratejiler yürütülerek araştırmacı tarafından belirlenmektedir. Çünkü modele yanlış gecikme dahil edilmesi, yapılacak testlerin gücünü azaltır. Ayrıca seçilecek p – gecikme olması gerekenden büyük seçilirse tahminler eğilimli olacaktır.

Seçilecek gecikme sayısı doğrudan örneklem hacmi (T) ile ilişkili olacaktır. Sınırlı gecikme sayısının belirlenmesi için, AIC, SIC ve genelden – özele yaklaşımı en çok kullanılan stratejiler olarak bilinmektedir.

a) Bilgi Kriterlerine Dayanarak Gecikme Uzunluğunun Belirlenmesi

Bilgi kriterleri, otoregresif gecikme derecesini belirlerken fonksiyonel biçimdeki gecikmelerin sayısını mümkün olduğunca minimize etmeye çalışmaktadır. Bu seçim yapılırken “cimrilik (parsimony)” prensibi dikkate alınır. AIC ve SIC bilgi kriterleri “bir ceza fonksiyonu” kullanarak doğru derecenin seçilmesine yardımcı olurlar;



( )



) ( ln * ) (k T 2 p p f T IC    (4.13)

Burada 2(p), p – gecikmede hesaplanan varyans değeri, p [f(T)] modelin artan gecikmeleri için ceza fonksiyonudur. F(T)’nin farklı seçimleri farklı bilgi kriterlerini verir.AIC için f(t) = 2 alınırken, SIC için F(T) = lnT olarak alınmaktadır. LM testinde hesaplanan değer n*R2 ~ 2 dağılımı göstermektedir. Daha pratik olarak marjinal anlamlılık düzeyi kullanılarak kalıntılarda serisel korelasyon olup olmadığı test edilebilmektedir. Asimptotik olarak (T → ∞ ) SIC bilgi kriteri, AIC’ye göre daha doğru

sonuçlar vermesine karşın, sonlu örneklemlerde daha doğru model kalıpları sunduğundan AIC bilgi kriteri çok sık kullanılmaktadır.

b) Genelden Özele ve Özelden Genele Strateji İle Gecikme Uzunluğunun Belirlenmesi

Genelden - özele yaklaşımının kullanımı modelde yer alan gecikmelerin istatistiksel anlamlılıklarına dayanmaktadır. Örneğin iki modelden birincisi için gecikme sayısının (p) ve diğer modelin gecikme sayısının (s=p+n) olduğu varsayılırsa, bu durumda boş hipotez ile son n-tane gecikmenin bileşik olarak sıfıra eşit olduğu hipotezi Wald F- testi ile sınanmaktadır. Temel düşünce p gecikme sayısının en yüksek olduğu (pmax + n-1) en genel model ile başlayarak son gecikme sayısının anlamlı olana kadar testin uygulanmasıdır. Eğer, p = pmax ise, bir sonraki aşamada pmax + n-2 derecesi için otoregresif tahminlerin bileşik testi yapılırken son parametrenin modele katkı sağlayıp sağlamadıkları test edilmektedir. Son gecikme anlamlı çıkana kadar veya boş hipotez reddedilinceye kadar işlemler sürdürülür.

Özelden – genele yaklaşımı genelde saf AR durumunda asimptotik olarak geçerli değildir. Özelden – genele yaklaşımı ile oluşturulan istatistiklerin sonlu örneklem özellikleri daha genel ARMA modellerinde Genelden – özele yaklaşımı ile elde edilen özelliklere göre aşağıda kalmaktadır. Bu nedenle uygulamada genelden – özele yaklaşımı kullanılmaktadır.

Eğer üzerinde çalışılan zaman serisi aylık gözlemlerden oluşuyorsa literatür çalışmaları genelden özele yaklaşımı ile modele dahil edilmesi gereken gecikme uzunluğunun 13-14 olası gerektiğini, zaman serisi çeyrek yıllık gözlemlerden oluşuyorsa da uygun gecikme sayısının maksimum 3-4 olması gerektiğini ortaya koymuştur.

Belgede EKONOMİK ÖZGÜRLÜKLER ve EKONOMİK BÜYÜME ÜZERİNE ETKİSİ: TÜRKİYE ÜZERİNE BİR ZAMAN SERİSİ ANALİZİ (sayfa 178-181)