Manevi Zararlar

O Efeito Hall Quˆantizado Inteiro (EHQI) foi descoberto em 1980 [73, 4] e foi o primeiro estado da mat´eria a ter um gap de energia no interior, como um isolante de bandas,

mas que n˜ao ´e topologicamente equivalente ao v´acuo, exibindo propriedades de transporte n˜ao-triviais [4]. Em particular a condutˆancia transversal σxy´e quantizada em (com precis˜ao de uma parte por bilh˜ao) m´ultiplos inteiros de e2_{/h [4], apesar do gap de energia no bulk.} A diferen¸ca entre um isolante de banda usual e o EHQ ´e uma propriedade topol´ogica do manifold dos estados eletrˆonicos ocupados. A fun¸c˜ao de onda ψn,k~(k) que descreve os portadores de carga faz um mapeamento da zona de Brillouin, que em duas dimens˜oes possui a topologia de um toro (T2_{), devido a periodicidade do momento eletrˆonico ~k, no} espa¸co de Hilbert. Devido ao fato da topologia da zona de Brillouin n˜ao ser trivial ´e que surge a diferen¸ca entre um isolante como o v´acuo (cuja topologia da zona de Brillouin ´e trivial) e o EHQI [4, 74, 75].

No efeito Hall a quantiza¸c˜ao das ´orbitas circulares dos el´etrons devido ao campo magn´etico externo leva aos n´ıveis de Landau, que possuem energia Em = (m + 1/2)~ωC, sendo ωC a frequˆencia c´ıclotron do movimento dos el´etrons e m ´e inteiro. Os n´ıveis de Landau podem ser vistos como bandas de energia para os el´etrons e, se N n´ıveis de Landau s˜ao preenchidos e o restante desocupados, um gap de energia separa os estados ocupados dos vazios, como em um isolante. Por´em, nas bordas do material os el´etrons possuem um movimento diferente daqueles do interior, porque as ´orbitas encontram a borda do material e n˜ao se fecham, “pulando” para outra ´orbita, veja o esquema na figura 2.2. Estes saltos na borda levam a estados eletrˆonicos que propagam pela borda do sistema em apenas uma dire¸c˜ao, sendo quirais e n˜ao possuem energia quantizada. Dado que estes estados n˜ao possuem gap de energia, s˜ao met´alicos e quirais, eles podem conduzir corrente el´etrica sem serem espalhados por impurezas, pois n˜ao h´a estados propagando em sentido contr´ario. A ´unica op¸c˜ao para os el´etrons ´e propagar no mesmo sentido e sem perda de energia na forma de calor, pois n˜ao podem ser espalhados. Todos estes fatos s˜ao respons´aveis pela quantiza¸c˜ao da condutividade Hall:

σxy = N e2

h, N = 0, 1, 2, 3, . . . . (2.3)

Esta quantiza¸c˜ao foi medida com uma precis˜ao de uma parte em 109 _{e ´e uma manifesta¸c˜ao} da natureza topol´ogica de σxy (um invariante topol´ogico do sistema).

Figura 2.2: Esquema de estrutura de bandas do EHQ. Esquerda: o movimento circular dos el´etrons, o

qual ´e interrompido na borda, onde os portadores conduzem sem dissipa¸c˜ao em um ´unico sentido. Direita:

esquema das bandas de energia mostrando o gap existente entre a ´ultima banda completamente cheia e a

pr´oxima que est´a completamente vazia e os estados de borda que ligam a banda de valˆencia a banda de

condu¸c˜ao. (Fonte: referˆencia [10].)

equa¸c˜ao (2.3), vamos falar um pouco mais sobre os estados de Bloch. Considere uma fun¸c˜ao de onda de Bloch, que pode ser escrita na forma (2.2). Um conceito de fundamental im- portˆancia em mecˆanica quˆantica ´e a chamada fase de Berry [76]. Considere um sistema quˆantico que encontra-se no estado fundamental (considere-o n˜ao-degenerado), ent˜ao o teorema adiab´atico estabelece que se a Hamiltoniana que descreve o sistema muda lenta- mente, o sistema permanece no seu estado fundamental tempo-dependente. Por´em, Berry [76] mostrou que o estado do sistema pode adquirir uma fase adicional, chamada de fase geom´etrica ou de Berry, al´em da fase dinˆamica do sistema. Ele mostrou que quando a Hamiltoniana do sistema muda adiabaticamente em um caminho fechado no espa¸co dos parˆametros o estado do sistema adquire uma fase em rela¸c˜ao ao estado inicial dada por:

φ = I

~

A · d~k , A = hψ~ k| − i~∇k|ψki , (2.4) que pode ser escrita como uma integral de superf´ıcie da chamada curvatura de Berry ~_F:

~

F = ~∇ × ~A . (2.5)

Associada `a curvatura de Berry existe uma quantidade invariante em um s´olido, que pode ser escrita como:

n = X Z d2_{kF =} X Z d2k ∂u ∂k1     ∂u ∂k2  − ∂u ∂k2     ∂u ∂k1  , (2.6)

sendo n um inteiro quantizado e u as fun¸c˜oes de Bloch (2.2). A ´unica restri¸c˜ao para que n seja quantizado ´e que haja um gap de energia separando as bandas ocupadas das vazias. Isto foi demonstrado pela primeira vez em 1982 por Thouless, Kohmoto, Nightingale e Den Nijs [4, 74] e ´e conhecido como invariante TKNN pois eles mostraram que a condutividade Hall, σxy, computada por meio da f´ormula de Kubo para a condutˆancia leva a mesma forma acima desde que N na equa¸c˜ao (2.3) seja idenficado com n ou seja:

σxy = n e2

h . (2.7)

A quantidade n definida pela equa¸c˜ao (2.6) ´e um invariante topol´ogico, uma vez que ele permanece invariante quando a Hamiltoniana varia suavemente, por exemplo, se algum parˆametro da Hamiltoniana muda, de forma a aumentar ou diminuir o gap ou mesmo se pequenas pertuba¸c˜oes s˜ao introduzidas no sistema. n ´e tamb´em chamado de n´umero de Chern ou invariante de Chern, sendo este nome cunhado pelos matem´aticos na teoria de fibrados, uma ´area da topologia alg´ebrica que possui muitas aplica¸c˜oes nas teorias de calibre das part´ıculas elementares e que vem constantemente sendo aplicada `a f´ısica da mat´eria condensada [4, 6].

Para entender um pouco melhor a id´eia de invariante topol´ogico considere o exem- plo de uma superf´ıcie bidimensional. Para qualquer superf´ıcie 2D pode-se definir a sua curvatura gaussiana κ, que pode ser positiva, zero ou negativa. Para superf´ıcies fechadas, como a esfera, o toro ou o cubo, a integral da curvatura gaussiana sobre toda a superf´ıcie do s´olido ´e um invariante topol´ogico:

Z

SκdS = 2π(2 − g) ,

(2.8) onde g ´e o genus da superf´ıcie, que vale zero para a esfera e o cubo, um para o toro e coincide com o “n´umero de buracos da superf´ıcie”, em qualquer situa¸c˜ao. O genus ´e invariante sob deforma¸c˜oes suaves da superf´ıcie, sendo que suave aqui quer dizer qualquer deforma¸c˜ao que n˜ao rasgue a superf´ıcie [6].

Os estados met´alicos da borda do material surgem de uma correspondˆencia entre o bulk e o contorno do material, sendo a topologia n˜ao trivial do bulk o que for¸ca a existˆencia dos estado met´alicos no contorno do material. Considere a interface entre um sistema que

est´a no EHQI com, por exemplo n = 1 e o v´acuo que possui n = 0. Para que o invariante topol´ogico n mude ´e preciso que o sistema deixe de ser isolante e passe por uma regi˜ao com estados met´alicos sem gap de energia, caso contr´ario n dado pela equa¸c˜ao (2.6) n˜ao poderia mudar, assim, esse invariante garante a existˆencia de estados met´alicos superficiais, pois n muda nessa regi˜ao. A rec´ıproca tamb´em ´e correta, ou seja, em regi˜oes onde existem estados met´alicos o invariante topol´ogico sempre deve mudar. A figura 2.3 abaixo mostra um esquema dessa situa¸c˜ao.

Figura 2.3: Esquerda: estados de borda sem gap na interface entre duas fases topologicamente distintas,

o efeito Hall com n = 1 e o v´acuo que possui n = 0. Direita: esquema das bandas de energia do sistema

mostrando o gap dos estados do bulk e os estados met´alicos sem gap. (Fonte: referˆencia [13].)

V´arios outros aspectos do efeito Hall inteiro e tamb´em fracion´ario podem ser encon- trados na literatura. Algumas referˆencias did´aticas sobre esse assunto s˜ao [4, 77, 78], outros aspectos mais formais como uma descri¸c˜ao em termos de teorias de campo topol´ogicas e ordens topol´ogicas podem ser encontradas em [79, 80, 81].