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A título de introdução para o estudo da série dos números naturais, visando a indicar em qual perspectiva trataria do assunto, Russell discute a diferença entre Matemática e Filosofia Matemática, enfatizando a importância da reflexão sobre os fundamentos da Matemática.

Segundo ele, a primeira, mais comum, é caracterizada como construtiva, no sentido da complexidade gradual do avanço do estudo que vai dos números inteiros aos complexos. Já a Filosofia Matemática avança pela análise para a abstração e simplicidade lógica, objetivando levantar interrogações sobre os fundamentos da Matemática. Mas para o autor, essa distinção depende,

sobretudo, do interesse que inspira a pesquisa e da etapa por esta atingida e não só das proposições a qual a investigação afeta. Desse modo, precisamos ampliar nossa capacidade lógica. Da Matemática Superior aos fundamentos da Matemática podemos obter uma visão renovada, isto é, trilhar meios para alcançar novos assuntos e simplesmente conquistar novas linhas de avanço. Este é justamente o objetivo de Russell, isto é, explicar a Filosofia Matemática de forma não técnica. O assunto completo encontra-se na obra “Principia Mathematica”50

Para o autor, o ponto de partida no estudo da Matemática ocorre por meio da “série dos números naturais” 0, 1, 2, 3, 4, ..., n, n+1,..., caracterizada com base no zero.

Entretanto, Russell afirma que embora exista essa série familiar, ela não é compreendida, pois são pouquíssimas pessoas que têm a definição para o significado de “0” ou “número” ou “1”. Até recentemente, acreditava-se que algumas dessas primeiras noções da Aritmética deveriam ser aceitas como simples demais e primitivas para que fossem definidas.

Mas, Russell não concordava que houvesse termos que não pudessem ser definidos. Para ele, por mais que avancemos nas definições, há sempre a possibilidade de ir além. A menos que a análise avance suficientemente e alcance termos realmente simples, portanto, incapazes da definição que consiste em analisar.

Russell considera por ora que as definições conhecidas começam em algum ponto, por meio dos termos indefinidos para o momento, mas talvez não permanente.

Toda a Matemática pura tradicional, incluindo a Geometria Analítica, pode ser considerada como consistindo totalmente em proposições sobre os números naturais. Equivale a dizer, que os termos que ocorrem, podem ser definidos por meio dos números naturais e as proposições podem ser deduzidas das propriedades dos números naturais [...] (RUSSELL, 1974, pp. 11-12)

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Se toda a Matemática pura tradicional puder ser reduzida à teoria dos números naturais, o próximo passo na análise lógica será reduzir a teoria dos números ao menor conjunto de premissas e termos não definidos dos quais seja derivada. Este trabalho foi realizado pelo italiano Giuseppe Peano, que mostrou que toda a teoria dos números naturais poderia ser derivada por meio de três idéias primitivas e cinco proposições primitivas.

Para Russell, por “sucessor”, Peano quer dizer o número seguinte na ordem natural. Por “número”,quer dizer, no caso a classe dos números naturais.

Peano não pressupõe que conheçamos todos os números dessa classe, mas apenas saibamos o que queremos dizer quando citamos que isto ou aquilo é um número.

As cinco proposições primitivas adotadas por Peano são:

1) 0 é um número.

2) O sucessor de qualquer número é um número.

3) Não há dois números diferentes com um mesmo sucessor. 4) 0 não é sucessor de nenhum número.

5) Qualquer propriedade que pertença a 0, e também ao sucessor de todo número que tenha essa propriedade, pertence a todos os números. (Princípio de Indução Matemática)

Russell mostra como derivar a teoria dos números naturais por meio das três idéias primitivas e das cinco proposições de Peano. Inicialmente, definimos 1 como “sucessor de 0”, 2 como “sucessor de 1” e, assim, por diante. Todo número que atingirmos, terá um sucessor e, em virtude de 3), esse número não poderá ser qualquer dos já definidos e, em virtude do 4), nenhum dos números que alcancemos na série de sucessores poderá ser ‘0’. Sendo assim, a série de sucessores nos dá uma série infinita de números continuamente novos. E em virtude do 5), todos os números estão nessa série, que começa com o ‘0’ e prossegue por meio de sucessores sucessivos: porque: a) ‘0’ pertence a essa série, e b) se um número n a ela pertence, também, a ela, pertencerá seu

sucessor, portanto, de acordo com a indução matemática, todos os números pertencem à série.

Para Russell, existem algumas considerações que tornam necessário avançar mais além do ponto a que chegou Peano. Para ele, em primeiro lugar, as três idéias primitivas de Peano, isto é, “0”, “número” e “sucessor” podem assumir diversas interpretações diferentes que satisfazem todas as cinco proposições. Vejamos alguns exemplos.

1. Admitamos que “0” signifique 100 e que “número” signifique os números de 100 em diante na série dos números naturais. Então, todas as nossas proposições primitivas serão satisfeitas, até mesmo a 4), embora 100 seja o sucessor de 99, este não será um “número” pelo significado que Russel por ora empresta a esta palavra. Nossa série de números será: 100, 101, 102, 103. É óbvio que qualquer número poderá substituir ‘0’ neste exemplo.

2. Deixemos que “0” tenha seu significado usual, mas façamos que “número” signifique o que, geralmente, chamamos de “número par” e que o sucessor de um número seja o resultado da adição de dois a ele. Então, “1” ficará no lugar de número dois, “2” ficará no número quatro, e assim por diante; a série dos “números” será agora: zero, dois, quatro, seis, oito,....Todas as cinco proposições de Peano serão satisfeitas.

Não há nada no sistema de Peano que nos permita distinguir entre essas diferentes interpretações de suas três idéias primitivas. Admite-se que saibamos o que queremos dizer por “0” e que não devemos supor que esse símbolo signifique 100 ou qualquer dos outros aspectos que possa significar.

E também é importante perceber que estas idéias não podem ser definidas por meio dos cinco axiomas de Peano, devendo ser independentemente entendidas. Esse significado exato é definido pela teoria lógica da Aritmética.