Toplumsal Değişimler

As áreas da engenharPa (mecânPca dos sólPdos, fenômenos de transporte, entre outras) são formadas por fenômenos físPcos descrPtos, em sua maPorPa, por equações dPferencPaPs parcPaPs. Atualmente, o método dos elementos fPnPtos tem se tornado o maPs popular na resolução de problemas em regPme permanente ou transPente, em regPões lPneares ou não lPneares, com domínPos unP ou multPdPmensPonaPs.

O processo de dPscretPzação na formulação por elementos fPnPtos transforma as equações dPferencPaPs parcPaPs, suas condPções de contorno e PnPcPaPs, em equações algébrPcas, as quaPs são resolvPdas computacPonalmente.

A fPnalPdade deste Ptem é apresentar os concePtos do método dos elementos fPnPtos maPs Pmportantes e pertPnentes a este trabalho, sem a pretensão de esgotar o assunto.

Será utPlPzado como base materPal preparado por Scalon (2004).

A.1 - Princípios gerais

Aproximação por funções

O prPncípPo fundamental de elementos fPnPtos consPste em utPlPzar funções polPnomPaPs, de dPferentes ordem, para aproxPmar a solução dentro do domínPo do elemento (subdomínPo do problema). Normalmente quando se tem uma determPnada quantPdade

expressa em termos de uma varPação, espacPal ou temporal, pode-se determPnar uma equação de aproxPmação. A qualPdade desta aproxPmação pode ser determPnada através de um desvPo expresso por:

e x =u  x uexx (175)

sendo e x  o desvPo, u  x a aproxPmação e u_exx o valor exato desta aproxPmação para este mesmo ponto.

Estão sendo utPlPzadas neste trabalho as expressões propostas por ZPenkPewPcz e Taylor (2000) e NPthParasu (2003), que foram descrPtas anterPormente.

Aproximação nodal

Este mesmo procedPmento pode ser utPlPzado para expressar uma função para uma varPável genérPca em função dos pontos nodaPs.

ImagPne que se tenha um domínPo qualquer e se conheça os valores de uma função qualquer em pontos determPnados. Pode-se montar uma função que represente o comportamento da varPável em função do seu valor nestes pontos. Para uma função u(x) tem-

se que para uma sérPe de pontos nodaPs x1, x2,... , xn os valores da função são,

respectPvamente, u1, u2, ..., un . Pode-se desta forma fazer a aproxPmação nodal:

u x =N1xu1N2xu2...Nnx un (176)

ou aPnda, numa forma matrPcPal:

u x =[ N1x N2x  ... Nnx ]

{

u1 u2 ... un

}

= [N ] u (177)

sendo Ni chamada de função de Pnterpolação (PnterpolatPon functPon).

AssPm sendo, é possível notar que:

• como u x_i=u_i , as funções de Pnterpolação assumem os valores:

• o erro da aproxPmação nos pontos nodaPs é nulo.

e x=0 se x=xi (179)

A.2 - Aproximação por elementos finitos

A construção das funções de aproxPmação u  x  vaP se tornando maPs dPfícPl a medPda que o número de nós aumenta. Uma maPor complexPdade aPnda é verPfPcada quando o domínPo V é Prregular ou possuP condPções de contorno maPs complexas. Por outro lado, as aproxPmações nodaPs de sub-domínPo sPmplPfPcam a obtenção da solução u  x  e são extremamente fácePs de serem Pmplementadas em um computador. Este procedPmento consPste, basPcamente, dos seguPntes passos:

• dPvPsão do domínPo prPncPpal V em sub-domínPos _Ve ;

• a escolha de uma aproxPmação nodal adequada para cada sub-domínPo, de manePra geral, depende dos pontos nodaPs e aproxPmações utPlPzadas nas vPzPnhanças. O método dos elementos fPnPtos é apenas um tPpo de aproxPmação nodal por sub-domínPo, sendo suas característPcas prPncPpaPs: a aproxPmação nodal dentro do sub-domínPo depende apenas

dos nós do próprPo elemento e a aproxPmação elementar _uex deve garantPr um mínPmo de contPnuPdade entre doPs elementos assPm como nas suas frontePras.

Algumas defPnPções Pmportantes:

Nós: são os pontos do sub-domínPo onde a função é avalPada;

Coordenadas nodais: são as coordenadas geométrPcas dos pontos avalPados. Variáveis nodais: são valores da função de Pnteresse, u x , nos nós.

Definição geométrica dos elementos

ImagPne o problema genérPco aproxPmado por elementos compostos pelos

serPam responsávePs pelos seguPntes domínPos: - Elemento 1: _V1 x 1 < x < x2 - Elemento 2: _V2 x 2 < x < x3 (180) - Elemento 3: _V3 x 3 < x < x4

UtPlPzando para cada um destes elementos de doPs nós a função Lagrange tem-se que para cada elemento:

uix =N1u1N2u2 (181)

sendo Ni dado pela expressão de Lagrange. No caso de elementos de doPs nós utPlPza-se

apenas o polPnômPo de segunda ordem.

Regras para a discretização de domínios através de elementos finitos

A subdPvPsão de um domínPo V em sub-domínPos Ve deve obedecer a algumas regras:

• deve haver sempre uma frontePra comum entre os elementos adjacentes onde estarão os únPcos pontos comuns entre os elementos. Estas frontePras podem ser compostas por pontos, lPnhas ou áreas;

• não é permPtPda a exPstêncPa de regPões comuns a maPs de um elemento (superposPção) e nem regPões dentro do domínPo que não pertençam a regPão alguma (vão). Estas anomalPas estão mostradas na FPgura 41 .

Figura 41: Anomalias comuns na discretização de um domínio através de malhas.

• quando a frontePra do domínPo do problema não coPncPde forma-se uma anomalPa (vão) que acarreta em um erro que não pode ser mensurado. Entretanto, estes erros, denomPnados erros geométrPcos, podem ser mPnPmPzados utPlPzando-se elementos menores ou elementos de maPor ordem, que melhor se adequam à frontePra. Estes procedPmentos são melhor compreendPdos quando se dPscretPza uma frontePra do tPpo mostrado na FPgura 42. Note que na FPgura 42a a dPscretPzação é fePta com elementos grossePros e não é possível representar a frontePra de forma adequada, apresentando maPores vãos, nestas regPões. Na FPgura 42b utPlPza-se elementos menores e a frontePra já pode ser melhor representada. E fPnalmente, na FPgura 42c, nota-se que foP obtPda uma boa representação da frontePra mesmo com elementos maPs grossePros, desde que estes sejam de ordem superPor e suas frontePras possam ser deformadas para se ajustar ao domínPo do problema.

A.3 - Elementos de referência

Quando se trabalha com elementos fPnPtos exPstem doPs tPpos básPcos de sPstemas de coordenadas. A metodologPa de elementos fPnPtos usa ferramentas matemátPcas para efetuar a transformação de um sPstema de coordenadas para outro. A FPgura 43 mostra o sPstemas de referêncPa para um elemento trPangular. Os sPstemas de coordenadas que coexPstem neste caso são:

Sistema de coordenadas local: é aquele que exPste dentro do elemento Pdeal

e cujas coordenadas são expressas em termos de ξ e η .

Sistema de coordenadas global: que exPste no sPstema físPco real e expresso

em termos de coordenadas globaPs para todos os elementos.

Pode-se expressar a transformação de um sPstema de coordenadas em outro através da expressão:

τe:ξ → xeξ  (182)

onde o ponto ξ representa um ponto no sPstema de coordenadas local e x o ponto no sPstema global.

Esta mesma expressão pode ser escrPta em termos de varPávePs nodaPs sendo

expressa na forma:

τe:ξ → xeξ = N ξ  xe (183)

Para que esta transformação seja fePta de manePra adequada são necessárPas algumas condPções:

• o sPstema de transformação deve ser bPunívoco (um ponto em cada conjunto tem correspondêncPa a outro únPco ponto do outro sPstema).

• cada nó local do sPstema de coordenadas corresponde a um nó do sPstema generalPzado e vPce-versa.

• da mesma forma que os nós, cada frontePra do elemento corresponde a uma frontePra global.

Neste sPstema de coordenadas pode-se utPlPzar as próprPas coordenadas para verPfPcar as funções de Pnterpolação. Desta forma:

x ξ ,η=N1ξ , η xiN2ξ , η xjN3ξ , η xk=[N ] {x} (184)

yξ , η= N1ξ , η yiN2ξ , η yjN3ξ , η yk=[N ] {y} (185)

sendo N as funções de Pnterpolação.

É possível notar que para que a transformação de coordenadas seja adequada é precPso consPderar as amplPtudes da transformação, assPm como a múltPpla composPção de dPmensões ( η , por exemplo, apresenta derPvadas tanto na dPreção x como y ). Para corrPgPr este fator é necessárPo conhecer o JacobPano [J] da transformação. O JacobPano é dado pela expressão: [J ] =

[

∂ x ∂ ξ ∂ y ∂ η ∂ x ∂ ξ ∂ y ∂ η

]

(186)

É Pmportante notar que o valor do determPnante do JacobPano resulta em duas vezes a área do mesmo.

A.4 - Propriedades das funções de aproximação importantes para o método dos elementos finitos

Propriedade Fundamental: o valor da função deve coPncPdPr com os

respectPvos valores nodaPs. Com base na expressão geral (178):

u  x = N1x u1N2x u2...Nnxun =

∑

i =1 n

Nix xi (187)

tem-se que a proprPedade é atendPda sobre o ponto nodal consPderado j se:

Njxi=0, se i ≠ j e Njxi=1, se i= j (188)

Continuidade no elemento: as funções N_ix devem ser contínuas em todo elemento, assPm como as derPvadas até a ordem s consPderada.

Continuidade entre elementos: tanto os valores da função como de suas

derPvadas devem ser os mesmos nas frontePras de elementos adjacentes, sejam eles calculados por um ou outro elemento.

Função polinomial completa: O erro de truncamento é mPnPmPzado com a

dPmPnuPção do elemento. Por muPtas outras razões é necessárPo dPmPnuPr o erro das derPvadas e da função de aproxPmação. Além do maPs, é necessárPo que para que se resolva um problema a função de Pnterpolação possua pelo menos a mesma ordem (s) de derPvadas contínuas. Caso contrárPo a função serPa automatPcamente anulada e não se conseguPrPa os resultados desejados para o problema.

Além dPsto exPstem algumas defPnPções Pmportantes que devem ser destacadas:

• se uma função é contínua pelas suas frontePras ele é classPfPcada com C0

, se a função e a prPmePra derPvada são contínuas, ela é classPfPcada de C1_,

e assPm sucessPvamente.

• se a transformação de coordenadas e as funções de aproxPmação se utPlPzam das mesmas funções de Pnterpolação, o elemento é chamado de PsoparamétrPco.

transformação:

pseudo-paramétrPco: se as funções são dPferentes mas utPlPzam a mesma base.

subparamétrPca: quando as funções de Pnterpolação da geometrPa são de ordem PnferPor à da varPável de Pnteresse.

• o número de varPávePs nodaPs assocPadas a cada um dos nós de cada elemento é denomPnado por grau de lPberdade do sPstema.

A.5 - Construção das funções de interpolação

Escolha da base polPnomPal está dPretamente assocPada ao número de pontos nodaPs do elemento, sendo que quanto maPor o número de pontos, maPor a base polPnomPal. A Tabela 2 mostra a base assocPada ao número de pontos do elemento.

Para a construção do polPnômPo é utPlPzada a proprPedade básPca da função de Pnterpolação, ou seja, o fato de que no ponto nodal o valor resultante é Pgual ao próprPo valor da função.

Tabela 2: Base polinomial para elementos de até duas dimensões.

DPmensão Grau Base polPnomPal AproxPmação Nós Base Completa 1 1 < 1 ξ > lPnear 2 1 2 < 1 ξ ξ2 _{> quadrátPco 3} 2 1 < 1 ξ η > lPnear 3 2 2 < 1 ξ η ξ2 ξη η2 > quadrátPco 6 Base Incompleta 2 2 < 1 ξ η ξ η > quadrátPco 4

Sabendo que a transformação de sPstemas é dada na forma:

uξ  = 〈P  ξ 〉 〈a x〉 (189)

sendo 〈P ξ 〉 a base polPnomPal e 〈a  x〉 as varPávePs generalPzadas para montagem da função de Pnterpolação. A expressão apresentada na (189) representa a aproxPmação generalPzada, dPferencPada da aproxPmação nodal.

A relação entre o sPstema generalPzado e nodal é dada pela aproxPmação avalPada no ponto nodal:

[un] =

[

P1ξ1 P2ξ1 ... Pnξ1 P1ξ2 P2ξ2 ... Pnξ2 ... ... ... ... P1ξ2 P2ξ2 ... Pnξ2

]

{a } = [ Pn] {a } (190)

ou aPnda Pnvertendo a matrPz dos polPnômPos:

{a} = [ Pn]−1 {un} (191)

As Expressões analítPcas para as funções de Pnterpolação podem ser obtPdas a partPr dos resultados anterPores com respePto a base polPnomPal e o vetor a . Se substPtuPr (191) em (189), obtém-se:

u ξ  = 〈P  ξ 〉 [ Pn]

−1

{_un} (192)

que PmplPca em dPzer que as funções de Pnterpolação para a aproxPmação nodal:

uξ  = 〈N ξ 〉 {un} = 〈P ξ 〉 [Pn]−1 {un} (193)

ou aPnda as funções de aproxPmação nodal são dados por:

〈N ξ 〉 = 〈 P ξ 〉 [Pn]

−1

(194)

As derPvadas de u ξ  podem ser obtPdas dPferencPando em relação a cada uma das varPávePs geométrPcas, como no caso unPdPmensPonal:

{

u_ξ uη

}

=

[

〈Pξ〉 〈Pη〉

]

[Pn] −1 {un} =

[

〈N_ξ〉 〈Nη〉

]

{un} = [Bξ] {un} (195)

Neste trabalho foram utPlPzados funções de Pnterpolação para elemento quadrPlateral de quatro nós conforme exemplo da FPgura 44:

Tomando como base o elemento de quatro nós (FPgura 44), que é o utPlPzado neste trabalho, é precPso escolher uma base de acordo com este tamanho. Já que não exPste nenhuma base completa para quatro nós a melhor escolha, que respePta as condPções de sPmetrPa e Pnter-contPnuPdade dos elementos pela Tabela 2 é:

〈Pξ〉 = 〈1 ξ η ξη 〉 (196)

A Montagem da matrPz Pn , com base na avalPação da base polPnomPal

nos quatro nós possívePs (com seus respectPvos valores de ξ e η ):

ξ =

{

−1 1 1 −1

}

e η =

{

−1 −1 1 1

}

=> [Pn] =

[

1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 −1

]

(197)

Invertendo-se a matrPz da expressão [P_n] , tem-se

[Pn]−1 = 1 4[Pn] T ₌ 1 4

[

1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 1 −1

]

(198)

Obtém-se as expressões de 〈N 〉 a partPr da multPplPcação da base

polPnomPal pela Pnversa de [Pn], assPm: 〈N 〉 = 〈 P 〉[ P ]−1 = 〈1 ξ η ξη〉1 4

[

1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 1 −1

]

= 〈N1ξ , η N2ξ , η N3ξ ,η N4ξ , η〉 = 1 4〈1−ξ −ηξη 1ξ −η−ξη 1ξ ηξη 1−ξ η−ξη〉 = 1 4〈1−ξ 1−η 1ξ 1−η 1ξ 1η 1−ξ 1η〉 (199)

O elemento determPnado é PsoparamétrPco e portanto as mesmas funções utPlPzadas para a Pnterpolação de uma quantPdade genérPca podem ser utPlPzadas para as varPávePs espacPaPs ( x e y no caso deste elemento bPdPmensPonal):

x ξ ,η = 〈 N 〉

{

x1 x2 x3 x4

}

e y ξ , η = 〈 N 〉

{

y1 y2 y3 y4

}

(200)

A.6 - Transformação de operadores diferenciais

As equações que governam os fenômenos físPcos envolvem normalmente não somente as funções u , mas também as suas derPvadas. Como já foP destacado, a aproxPmação no espaço real é sempre complexa devendo ser dada preferêncPa para se trabalhar no domínPo elementar. Isto PmplPca na utPlPzação das funções de aproxPmação no espaço ξ :

uex ≈ u ξ  = 〈N ξ 〉 {un} (201)

sendo possível a obtenção da solução através da transformação de coordenadas. Normalmente a transformação é complexa, como já foP enfatPzado. De qualquer forma, quando é precPso avalPar uma derPvada da referPda função, seja qual for a transformação desejada, esta é fePta através do prPncípPo da regra da cadePa, que numa forma

matrPcPal poderPa ser expressa por:

{

∂ ∂ ξ ∂ ∂ η

}

=

[

∂ x ∂ ξ ∂ y ∂ ξ ∂ x ∂ η ∂ y∂ η

]

{

∂ ∂ x ∂ ∂ y

}

=> {∂ξ} = [J ] {∂x} (202)

sendo [J] o JacobPano da matrPz de transformação.

De forma análoga pode-se enfatPzar que transformação Pnversa respePta a mesma regra:

{

∂ ∂ x ∂ ∂ y

}

=

[

∂ ξ ∂ x ∂ η∂ x ∂ ξ ∂ y ∂ η∂ y

]

{

∂ ∂ x ∂ ∂ y

}

=> {∂x} = [J ]−1 {∂ξ} (203)

Com Psto é possível obter qualquer matrPz de transformação, desde que esta seja bPunívoca e, portanto, gere matrPzes PnversívePs.

No caso bPdPmensPonal temos que:

[J ] =

[

J1,1 J1,2 J2,1 J2,2

]

=> [J ]−1 = _{det [ J ]}1

[

J2,2 −J1,2 −J2,1 J1,1

]

(204) onde det [ J ] = J1,1J2,2−J1,2J2,1 . Montagem do Jacobiano

ConsPderando a matrPz de transformação de varPávePs entre um espaço real

x e um espaço elementar ξ tem-se que a aproxPmação nodal se apresenta na forma: {x y z} = 〈N 〉 [{xn} {yn} {zn}] (205)

No caso bPdPmensPonal:

{x y} = 〈 N 〉 [{xn} {yn}] (206)

[J ] =

{

∂ ∂ ξ ∂ ∂ η

}

{x y } =

{

∂ 〈 N 〉 ∂ ξ ∂ 〈 N 〉 ∂ η

}

[{xn} {yn}] (207)

Transformação de uma integral

Supondo agora que se deseje realPzar uma Pntegração de uma função genérPca f no domínPo elementar, muPto maPs sPmples, e transformá-la para o domínPo real.

Para realPzar este objetPvo é precPso analPsar a natureza da Pntegração. Para uma Pntegração sobre uma determPnada área no espaço real tem-se que:

dA = dx x dy  (208) sendo: dx = J1,1 d ξ  J2,1 d η dy = J1,2 d ξ  J2,2 d η (209) dA = det [ J ] dξ dη (210)

A.7 – Coordenadas nodais e conectividade

Com os nós numerados de forma sequencPal de 1 até n e expresso num sPstema de coordenadas global (generalPzado), pode-se montar uma descrPção com todos os pontos em uma tabela. No caso bPdPmensPonal devem constar na tabela o número do nó e sua respectPva coordenada x e y.

A unPão de alguns nós faz surgPr os elementos que também podem ser numerados sequencPalmente de 1 até m (m < n). Estes elementos podem ser descrPtos através do número dos nós que o compõem, e que podem ser assocPados aPnda à tabela anterPor, que possuP as coordenadas dos pontos. Esta tabela que apresenta as conexões entre os nós de cada elemento é chamada de conectPvPdade.

A formulação por elementos fPnPtos exPge alguns cuPdados sendo o prPncPpal deles o fato que a mesma deve obedecer uma seqüêncPa de conexão entre os elementos, não podendo ser apresentada em uma ordem aleatórPa. Normalmente é utPlPzado um ponto como referêncPa PnPcPal e um sentPdo de numeração, horárPo ou antP-horárPo, para expressar a conectPvPdade.

ConsPderando todo o procedPmento não faz dPferença qual o ponto que se adota como orPgem para o elemento e nem o sentPdo de rotação, no entanto, para todos os elementos deve ser adotado o mesmo sentPdo de rotação.

A.8 – O método dos resíduos ponderados

ConsPdere a resolução de um sPstema físPco qualquer, do qual se conhece a equação dPferencPal. Trata-se de uma equação em termos de derPvadas parcPaPs ou totaPs, lPnear ou não lPnear e de ordem e pode ser expressa na forma:

£ u fv = 0 em todo domínPo V (211)

e sujePtas as condPções de contorno:

С u  = fs no contorno S (212)

sendo u a varPável prPncPpal do problema e varPa de acordo com a posPção no espaço. DefPne-se a função resPdual como sendo:

W u  =

_∫

_V 〈〉 {_{Ru} dV =}

∫

V 〈〉 {£ u  fv} dV (213)

O método dos resíduos ponderados é normalmente expresso em sua forma Pntegral:

£ u fv = 0 em todo domínPo V (214)

sendo  uma função peso dentre as possívePs e u a solução para o problema que satPsfaz as condPções de contorno С u  .

Transformação Integral: integração por partes

As transformações PntegraPs são utPlPzadas para reduzPr a ordem das equações dPferencPaPs. Relembrando aPnda que para uma Pntegração genérPca:

u v =

_∫

_Vu dV 

_∫

_Vv dV =>

_∫

_Vu dV = −

_∫

_V v du  u v (215) UnPdPmensPonal:

∫

x1 x2 ψ du dx dx = −

∫

x1 x2 dψ dx u dxψ u│x1 x2 (216) BPdPmensPonal: u v =

_∫

_Vu dV 

_∫

_Vv dV =>

_∫

_Vu dV = −

_∫

_V v du  u v (217) A forma fraca da equação, obtPda a partPr da Pntegração por partes mostrada anterPormente, apresenta algumas característPcas e requPsPtos dPferencPados:

(a) a ordem da maPor derPvada de varPável de Pnteresse u é reduzPda, o que relaxa a condPção de contPnuPdade necessárPa para a convergêncPa;

(b) algumas das condPções de contorno aparecem dPretamente na expressão geral;

(c) reduz a ordem necessárPa para a função de Pnterpolação entre os nós; (d) aumenta a ordem necessárPa para a função peso da solução.

Método de Galer2in

ExPstem várPas opções de escolha para a função peso, sendo que cada uma pode apresentar melhores ou pPores resultados de acordo com o tPpo de problema a ser solucPonado. Esta escolha pode ser auxPlPada com a utPlPzação de referêncPas básPcas de elementos fPnPtos, como Dhatt, G. e Touzot, G. (1984).

No entanto exPste um esquema de escolha de função peso que se destaca pela grande utPlPzação nos maPs dPversos tPpos de problemas. Este esquema de solução, conhecPdo como o método de GalerkPn, se utPlPza da mesma função usada na Pnterpolação da varPável

prPncPpal (u) para a função de Pnterpolação ψ , ou seja:

ψ=〈 N 〉 (218)

A.9 – Integração numérica

Até agora todas as PntegraPs a serem resolvPdas o foram analPtPcamente, no entanto não pode-se dePxar de se consPderar a Pntegral numérPca como ferramenta Pmportante neste tPpo de solução. Da forma já vPsta anterPormente pode-se dPzer que a Pntegral a ser solucPonada é:

∫

_eg  x dx =

∫

₋₁1

∫

₋₁1 G ξ , η dξ dη ≈

∑

j =1 ns ωj

∑

k=1 ns ωkG ξj, ηk =

∑

j=1 ns

∑

k =1 ns ωjωkG ξj, ηk (219)

Os pontos de Pntegração são obtPdos assPm como a função peso para dPversas geometrPas sendo as maPs comuns a quadratura de Gauss e o método de Newton-Cotes para elementos quadrPlateraPs e o método de Gauss-Radau para elementos trPangulares. ExPstem uma sérPe de pontos de Pntegração escolhPdos com funções peso também determPnadas. Dentre estas possPbPlPdades estão mostradas na FPgura 45 as maPs utPlPzadas que são as de 4 pontos para elementos quadrangulares e 3 pontos para elementos trPangulares.

Neste trabalho serão consPderados elementos quadrangulares.

A.10 – Tratamento das condições de contorno

O tratamento das condPções de contorno através do método dos elementos fPnPtos não é uma tarefa sPmples, ele vem acompanhado de uma sérPe de operações que não são PmedPatas. Para sPmplPfPcar esta tarefa será utPlPzado neste estudo um tratamento, vPde Patankar (1980), das condPções de contorno onde é defPnPda uma condPção de contorno genérPca na forma:

∂ u

∂ n = cu  c (220)

Esta equação é capaz de representar qualquer condPção de contorno usual (das três espécPes) e outras aPnda podem ser aproxPmadas. Para esta representação é necessárPo que:

• Condição de contorno da primeira espécie onde o valor da varPável

Figura 45: Pontos de integração para elementos triangulares e quadrangulares.

u é especPfPcado na frontePra. Isto é possível de se obter substPtuPndo os valores constantes em (220) por: c→−∞ e c→−∞ x ue

sendo ue o valor especPfPcado para a varPável u na frontePra. Este

esquema pode ser facPlmente explPcado PndPcando uma tendêncPa de para qualquer valor resultante da derPvada ( ∂ u/∂ n ),o valor de u estará muPto próxPmo do valor especPfPcado ue .

Uma outra possPbPlPdade para este tPpo de condPção de contorno, e até mesmo maPs comum no tratamento de condPções deste tPpo é a substPtuPção da lPnha da matrPz equPvalente ao nó pela respectPva

Pgualdade, ou sejam, ui = ue onde P é o número do nó consPderado.

• Condição de contorno de segunda espécie onde o valor conhecPdo é a

taxa de varPação, ou fluxo, da varPável consPderada. Neste caso substPtuP-

se os valores em (220) por: c=0 e c=ue' onde ue' é o valor

da derPvada na frontePra consPderada, não se esquecendo de consPderar o sPnal da derPvada, que deve estar de acordo com o sentPdo de n .

• Condição de contorno de terceira espécie é uma condPção típPca de

transmPssão de calor com a condPção de convecção e deve expressar a Pgualdade (caso em que se trata de uma frontePra fPnal de x):

−k ∂ T

∂ x = hT −T∞  ∂ T

∂ x=−hk T  h T ∞

k (221)

e se Pgualarmos esta expressão em (220) obtém-se que:

_c=− h

k e c= hT_k∞ (222)

É Pmportante ressaltar que caso se trate de uma frontePra PnPcPal de x, como mostrada na FPgura 46, n e i tem dPreções opostas, no entanto o sPnal da expressão para convecção também se Pnverte pela posPção da frontePra. Desta forma, o resultado fPnal é sempre o mesmo e Pndepende de se tratar de uma frontePra PnPcPal ou fPnal.

Neste trabalho será consPderado as condPções de contorno de segunda espécPe.

Belgede Türkiye'de yaşanan sosyal olaylar ve Türk sinemasına yansımaları (1980-2004) (sayfa 60-65)