Dönüşüm geometrisi

Hacisalihoğlu'na (1998) göre “dönüşüm kavramı, çeşitli matematiksel durumlarda ortaya çıkan ve çok defa basit anlamı ile denklemde veya bir ifadede bazı işlemleri kolaylaştırmak için uygulanan değişikliktir”(s. 69). DG, öğrencilerin matematikteki kavramların birbirleri ile ilişkili olduğunu, onları bir bütün olarak görmelerini ve matematikteki temel kavramlar hakkında düşünmelerini sağlar. Köse’nin (2013) de belirttiği gibi “...geometrik dönüşümler üzerine çalışma, uzamsal muhakemenin ve geometrik düşüncenin gelişimine de katkı sağlar”(s. 613). Çünkü, geometrik dönüşümlerin en önemli özelliği şekillerin özelliklerinin değişmemesi ve uzaklıklarının sabit kalmasıdır (Zembat, 2013). Bu ise öğrencilerin gerçek dünyayı daha iyi algılamaları ve yorumlamaları sürecinde beklenen bir beceridir.

Yaglom’a (1969) göre “İzometri veya hareket adıyla da tanınan geometrik bir dönüşüm, düzlemin veya uzayın her bir A noktasını, bir A' noktasına götürür. Bu hareket sonunda esas şeklin A ve B gibi iki noktası arasındaki uzaklık, yeni durumdaki şeklin A ve B’nin karşılıkları olan A' ve B' noktaları arasındaki uzaklığa eşit kalır” (s.

5). Geometride izometri, şeklin noktaları arasındaki uzaklıkları koruyan bir dönüşümdür. Şeklin bir durumdan başka bir duruma getirilmesinin sadece sonucu ile ilgilenir. Geometride düzlem izometrileri öteleme, simetri, dönme ve kaymış simetriden ibarettir. Geometri bu dört izometri çeşitlerinin sonuçlarında değişmeyen şekillerin özelliklerini inceleyen bir bilim dalıdır (Yaglom, 1969). Buna bağlı olarak eski çağlardan günümüze pek çok alanda simetri kavramı karşımıza çıkmakta ve kimi zaman yansıma dönüşümü ile birbirinin yerine kullanılmaktadır.

Matematiğin bazı konularında kavramsal öğrenmenin gerçekleşebilmesi için öteleme, yansıma ve döndürme gibi geometrik dönüşümlerin uygulanarak yeni geometrik düşüncelere ulaşılması uzamsal düşünme yeteneğini gerektirir. Bu bilişsel

yetenek ise çoğunlukla simetri kavramının öğrenilmesinde gelişir. Fakat, aynı zamanda öğrenciyi gerçek dünyayı anlayıp yorumlama, konumsal farkındalık ve görselleştirme gibi ileri seviyedeki becerilerin gelişmesine de yardımcı olmaktadır (Turgut, 2015).

Diğer taraftan, analitik geometri, düzlem ve uzay geometrisindeki gibi birçok konunun öğreniminde etkin rol oynayan simetri kavramı; bağıntı, fonksiyon, üçgenlerde eşlik, katı cisimlerin hacmi gibi birçok matematik konusunda da yer aldığından, bu konunun pedagojik ve didaktik boyutunun ele alınmasının önemli olduğu düşünülmektedir. Bu nedenle gelişmiş bir simetri kavramı becerisi, anılan konuların anlaşılmasını ve daha başarılı olunmasında belirleyici bir faktör olabileceği düşünülmektedir. Simetri sadece matematikte değil fen bilimleri, görsel sanatlar, mimarlık gibi başka alanlarda da kullanılmaktadır. Ayrıca bireylerin çevresindeki güzellikleri, doğadaki dengeyi ve düzeni anlayabilmeleri, resim ve mimari gibi sanat eserlerindeki güzellikleri görebilmeleri simetri düşüncesi ile gerçekleşir. Bu durum da simetri kavramını önemli kılan nedenlerden biridir (Aksoy ve Bayazıt, 2012).

Simetri bir şeklin veya bir cismin, belli bir eksen etrafında (Bu eksen nokta, doğru ya da düzlem olabilir.) yansıtılması, döndürülmesi ve ötelenmesidir. Simetri bir şekle yansıma, öteleme ve döndürme hareketleri uygulandığında koordinatları veya yönü değişirken yapısı ve özelliklerinin sabit kalması, şeklin tekrar oluşmasını sağlayan dönüşüm hareketidir (Aksoy ve Bayazıt, 2012).

Yaglom (1969) ise simetri kavramını yarı dönme olarak da adlandırarak açıklamıştır. Bir AA' doğru parçasının orta noktası O olsun. Bu doğru parçasının A ve A' noktalarından her biri diğerinin O orta noktasının etrafında yarı dönmesiyle oluşur.

Yani bu iki nokta O orta noktasına göre birbirinin simetriğidir. Başka bir deyişle A ve A' gibi iki noktayı birleştiren bir doğru parçasının orta dikmesi bir doğru ise bu iki nokta birbirinin simetriği ve yansımış görüntüsüdür. Doğru ise simetri eksenidir. Birbiri ile simetrik olan iki şeklin karşılıklı noktalarını birleştiren doğru parçaları birbirine paralel ve eşittir. Aynı zamanda ters yönlüdür. Bu dönüşümde sabit kalan tek nokta simetri merkezi, değişmeyen sabit kalan doğrular ise simetri merkezinden geçen doğrulardır (Şekil 2.1).

Şekil 2.1. Simetri Örneği (Yaglom1969, s. 15’den düzenlenmiştir.)

Weyl (1952) ise simetrinin iki anlamda kullanıldığı ifade etmiştir. Bunlardan ilki matematiksel anlamdaki, doğruya göre simetrinin belirtildiği, geometrik yönüdür. Diğeri ise deney ve oran düşüncelerini içeren bütündeki parçaların uyum içindeki birleşiminin ifadesinde kullanılmaktadır (akt. Köse, 2013). Buna benzer olarak, Kösede (2013) yansıma dönüşümünün bir tür izometri olduğunu vurgulayarak, geometrik şekillerin sadece kenarları değil, sahip olduğu tüm özelliklerinin korunduğunu belirtmektedir. Yansıma dönüşümünün geometrik özelliklerini ise aşağıdaki gibi açıklamaktadır (Köse, 2013, s. 617):

 Yansımada şekil ve görüntüsü birbirleri ile simetriktir.

 Yansıma dönüşümü altında bu simetrik şekiller aynı zamanda eştir.

 Bir çokgenin bir doğruya göre yansımasında, çokgenin her bir noktasının bu doğruya dik uzaklığı ile bu noktaların görüntüsünün doğruya dik uzaklığı eşittir. Ayrıca bu doğru noktaların doğruya dik uzaklıklarını birleştirdiğimizde orta dikmedir. Doğru üzerinde alınan bir noktaya çokgen ve görüntüsü üzerindeki nokta eşit uzaklıktadır.

 Yansıma dönüşümü ile şekillerin yönün dışında diğer özellikleri aynı kalmaktadır (Şekil 2.2).

Şekil 2.2. Verilen Simetri Doğrusuna Göre Yansıma Örneği (Araştırmacı tarafından DGY’de

oluşturulmuştur.)

Aksoy ve Bayazıt (2012) geometride yansıma simetrisi, merkezi simetri, dönme simetrisi ve öteleme simetrisi olmak üzere dört çeşit simetriden bahsetmektedir. Bu türler şu şekilde özetlenmiştir (s.191):

 Yansıma simetrisi: Bir simetri eksenine göre düzlemde bulunan nokta veya şekilleri temel yapısı ve özellikleri bozulmadan, şekil ve simetriği simetri eksenine eşit uzaklıkta ama koordinatları ve yönü değişerek tekrar aynı düzlemdeki nokta veya şekillere dönüştüren bu dönüşüm hareketine doğruya göre simetri veya ayna simetrisi de denilebilir.

 Merkezi simetri: Düzlemdeki bir şeklin bir noktaya göre simetrisinin alınmasıdır. Bir noktanın etrafında yapılan yarım dönme yapılarak bu simetriği bulunabilir. Noktaya göre simetri de denilebilir.

 Dönme simetrisi: Şeklin merkezi etrafında 360 dereceden daha küçük bir açı ile döndürülmesi sonucu kendisi ile en az bir kez üst üste geldiği simetridir.

 Öteleme: Şeklin belirlenen bir doğrultu ve yönde temel yapısı özellikleri ve yönü değişmeden bir yerden başka bir yere yaptığı dönüşüm hareketine denir.

Öteleme dönüşümü uzaklıkları koruyan birebir ve örten bir fonksiyondur. Yani düzlemdeki her bir noktanın yine düzlemde bir noktaya karşılık geldiği ve yine her bir noktanın yalnız bir noktaya karşılık gelmesidir. Günlük hayatımızda öteleme kelimesi, şeklin bulunduğu bir noktadan başka bir noktaya hareketi şeklinde anlamlandırılmış yani öteleme hareketinde şekil ve görüntüsü tek bir şekildir. Şekil kaybolarak görüntüsü kalmaktadır. Matematiksel anlamda ise öteleme düzlemdeki tüm noktaları yine düzlemde birebir ve örten olacak şekilde eşleştiren bir fonksiyondur. Yani günlük hayatta kullandığımız öteleme hareketinde şekil ve görüntüsü aynı karede görüntülenemezken, matematiksel anlamda bir fonksiyon olan öteleme fonksiyonunda şekil ve görüntüsü karşılıklı eşleşerek aynı düzlemde görüntülenebilir. Burada şekiller ve öteleme altındaki görüntüsü birbirinden farklı ama boyutları ve özellikleri aynıdır yani eş olan şekillerdir (Zembat, 2013) (örneğin, Şekil 2.3).

Şekil 2.3. Öteleme Dönüşümü Örneği (Araştırmacı tarafından DGY’de oluşturulmuştur.)

Yaglom’a (1969) göre öteleme, düzlemde bir noktayı başka bir noktaya götüren hiçbir noktanın sabit kalmadığı durumları olan bir dönüşümdür. Başka bir deyişle, düzlemde bir şekli veya noktayı kendisine eşit, paralel ve aynı yönlü olarak yine aynı şekle veya noktaya dönüştüren bir dönüşümdür. Bunun tersi olarak iki şeklin karşılıklı aynı olan noktaları, doğru parçaları ile birleştirildiğinde, bu doğru parçaları birbirine paralel ve birbirine eşit ise bu iki şekil birbirinin ötelenmesi ile elde edilmiştir.

Simetri ve öteleme kavramlarının ilişkilerini Yaglom (1969), iki simetrinin bir ötelemeye eşit olduğunu, bir öteleme ve bir noktaya göre simetrinin toplamının bir simetri olduğunu, bir ötelemenin, iki yarım dönmenin toplamına eşit olduğunu açıklamaktadır. Ayrıca önce öteleme sonra simetri yerine, önce simetri sonra öteleme olmasının yani dönüşümlerin sırasının yer değiştirmesinin sonucu değiştirmeyeceğini de belirmiştir. Aynı zamanda simetride bir doğrunun bir doğruya göre simetriği yine bir doğru, ekseni bir noktada kesen doğrunun simetriği yine aynı noktadan geçen bir doğru, eksene paralel olarak çizilen bir doğrunun simetriğinin yine kendisine paralel bir doğru olduğu belirtmiştir.

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini aldıktan sonra, bu simetriği alınmış görüntünün ötelenmesiyle elde edilen en son nokta, ilk noktanın bir eksen boyunca ötelenmiş simetriği veya kaymış görüntüsü de denir. Başka bir ifadeyle ötelenmiş simetri, bir doğruya göre simetri ile bir doğrultuda yapılan ötelemenin sıra fark etmeksizin toplamıdır. Simetri ve kaymış simetri, Şekil 2.4’teki gibi, düzlemde bir noktayı yeni bir noktaya taşıyan dönüşümlerdir (Yaglom, 1969).

Şekil 2.4. Ötelemeli Yansıma Örneği (Araştırmacı tarafından DGY’de oluşturulmuştur.)

Genel olarak çift sayıdaki simetrilerin toplamında yani kesişen veya paralel iki doğruya göre simetrilerde, birkaç özel durum olarak öteleme ama genel olarak bir dönme hareketine ulaşılır. Tek sayıdaki simetrilerin toplamında yani doğruya göre simetri ile bir noktaya göre simetride, nadiren simetriye ama genel olarak kaymış simetriye ulaşılır (Yaglom, 1969).

Yaglom’a (1969) göre; “Bir düzlemin birbirine eş iki şekli bir öteleme, bir dönme, bir simetri veya bir kaymış simetri yardımıyla birbiriyle çakıştırılabilir” (s. 66).

İki şekil doğrudan doğruya eş olduğunda, genel olarak bir dönme ile bazen de öteleme ile çakıştırılabilir. Fakat şekillerin ters yönde eş olmaları durumunda, genel olarak kaymış simetri yardımıyla nadiren de olsa simetri ile çakıştırılabilir.

2.1.2 Öteleme ve yansıma kavramlarının öğretim programlarındaki yeri