Birinci ötelemeli yansıma öğretimsel işine ilişkin bulgular ve yorumlar Öğrenciler birinci ötelemeli yansıma öğretimsel işini açarak burada yapılan

dönüşüm hareketinin ne olduğunu bulmak için amaçlı sürükleme yapmışlardır (Şekil 4.70a, 4.70b). Şekillerin yaptığı hareketin zihinlerindeki yansıma süreci ile uyum sağladığını hemen ifade etmek istemişlerdir. Araştırmacı nedenini sorduğunda ise burada şekillerin sürüklendiğinde ters olarak üst üste gelebildiklerini ve şekillerin aynı büyüklükte olduğunu anlatmak istemişlerdir.

Şekil 4.70a, 4.70b. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö1'in Yaptığı Amaçlı Sürükleme

Ö2 zihnindeki yansıma süreci ve simetri doğrusunun özelliklerinin burada sağlanıp sağlanmadığını amaçlı sürükleme yaparak (Şekil 4.71a, 4.71b) kontrol etmek istemiştir. Aralıkları sayarak şekillerin simetri doğrusuna uzaklıklarına bakmıştır.

Şekillerin zıt yönlü olduğunu böylece sürüklendiğinde birbirinin üstüne gelemeyeceklerini bu nedenle de yansıma dönüşümünün yapılmış olacağını söylemek istemiştir.

Şekil 4.71a, 4.71b. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö2'nin Yaptığı Amaçlı Sürükleme

Ö1 ekranda parmağını hareket ettirerek ve gizli geometrik yer sürüklemesi yaparak, (Şekil 4.72a, 4.72b, 4.72c) zihnindeki yansıma süreciyle şekillerin hareketinin uyup uymadığına bakmak istemiştir.

Ö1: Aradaki farka bakmadım ikisini birleştirip eşitliklerine baktım. (Şekilleri birleştirip aralarındaki mesafeyi gösterir.)

Şekil 4.72a, 4.72b, 4.72c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö1'nin Yaptığı Gizli Geometrik Yer Sürüklemesi

Ö2 elleriyle (Şekil 4.73a) şekillerin boyutlarının aynı ama ters yönlü olduğunu göstermek istemiştir. Zihinlerindeki yansıma sürecinde şekillerin simetri doğrusuna eşit uzaklıkta olması gerektiğini şekiller arasındaki birimleri sayarak ve bağımlı sürükleme yaparak göstermek istemişlerdir (Şekil4.73b, 4.73c). Ardından bu düşüncelerinin doğruluğunu test etmek (Geri çıkarım) istemişlerdir:

Ö2: Burada kesinlikle yansıma var. Çünkü birbirine zıt, hiç bir şekilde birbirinin üstüne gelmezler ve büyüklükleri aynı.

Ö1: Hiç bir şekilde gelmez, boyları da aynı, birbirine zıt ama aynaya eşit uzaklıkta değiller.

Şekil 4.73a, 4.73b, 4.73c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö2'nin Yaptığı El Hareketleri ve Bağımlı Sürükleme

Ö1 zihninde olan şekillerin simetri doğrusuna göre eşit uzaklıkta olması gerektiği düşüncesinin burada olmadığını anlatmak istemiştir. Ö2 ise şekillerin yaptığı hareketin ötelemeye benzediğini ama tam olarak uyuşmadığını anlatmak istemiştir:

Ö1: Ben aynaya yakından baktığımda kendimi daha yakından uzaktan baktığımda daha uzakta görünüyorum. Ama burada uzaklıklar farklı, birinin mesafesi fazla birinin daha az.

Ö2 zihnindeki öteleme sürecinden farklı olarak burada şekillerin aynı yönde hareket edemediklerini ve sürüklendiklerinde ters yönlü olarak üst üste gelebildiklerini bu nedenle de burada olacağını ifade etmek istemiştir. Fakat şekillerin yansıma sürecinde simetri doğrusuna eşit uzaklıkta olması gerektiği özelliğine uygun hareket etmediğini elleri ile anlatarak göstermiştir (Şekil 4.74a, 4.74b). Başka hangi dönüşüm hareketinin yapılmış olabileceğini araştırmıştır (Geri çıkarım).

Şekil 4.74a, 4.74b. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö2'nin Yaptığı El Hareketleri ile Yansıma ve Öteleme Sürecini Göstermesi

Ö1 ise zihnindeki öteleme sürecinde olan şekillerin birbirine bağlı olarak aynı yönlü olarak hareket edecekleri düşüncesini anlatmaya çalışmıştır. Daha sonra gizli geometrik yer sürüklemesi ile keşif yaparak (Şekil 4.75a, 4.75b) burada öteleme olamayacağını anlatmak istemiştir:

Ö2: Şekiller birbirine bağımlı, birlikte hareket ediyorlar. Şekiller aynı ama ters yönde hareket edip, ters olarak birbirinin üstüne geliyorlar.

Şekil 4.75a, 4.75b. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö1'in Yaptığı Gizli Geometrik Yer Sürüklemesi ile Öteleme Olamayacağını Göstermesi

Yansıma ve öteleme süreçlerinin özelliklerini tekrar ederek hangisinin buradaki şekillere uyum sağladığını bulmaya çalışmışlardır. Şekillerin birlikte de hareket etmelerinin ve sürüklendiklerinde birbirinin üstüne ters olarak gelmesinin yansımayı işaret ettiğini ifade etmek istemişlerdir. Fakat simetri doğrusuna eşit uzaklıkta olmamalarının yansıma özelliği olmadığını bu nedenle burada öteleme ve yansıma hareketinin birlikte uygulanmış olabileceğini ifade etmek istemişlerdir.

Ö1 arkadaşının ekranında parmağı ile sürükleme yaparak zihnindeki ötelemeli yansıma hareketini anlatmak istemiştir. Ardından tekrar sürükleme testi yaparak (Şekil 4.76a, 4.76b, 4.76c) zihninde oluşan öteleme ve yansıma hareketinin birlikte yapıldığı düşüncesini test etmek istemiştir:

Ö1: Şeklin tersi oluşuyor yansıma gibi ama aynaya eşit uzaklıkta değiller yansımalı öteleme. İlk şekil ikinci şekli ötelemiş, mesafesini artırmış aynı zamanda yansıtmış. Yani ikisinin mesafeleri farklı ve birbirini yansıtmış. O zaman hem yansıma hem de öteleme var.

Şekil 4.76a, 4.76b, 4.76c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö1'in Sürükleme Testi

Yaptığı sürüklemeler soncunda zihnindeki yansıma ve öteleme süreçlerinin birlikte uygulandığını anlatmak istemişlerdir. Önce yansıma yapıldığını şekillerin tersinin oluştuğunu (Şekil 4.77a, 4.77b) ardından (Şekillerin aralarındaki kareleri

sayarak simetri doğrusuna göre farklı birimlerde hareket ettiklerini gösterdiler.) öteleme yapıldığını anlatmak istemişlerdir:

Ö2: mesela ilk şekil 2 gidince diğeri 1 gidiyor. Bakın 1,2 (İlk şeklin simetri doğrusuna uzaklığını parmağı ile sayar.) 1,2,3 (İkinci şeklin simetri doğrusuna uzaklığını parmağıyla sayar.) (Şekil, 4.77c)

Şekil 4.77a, 4.77b, 4.77c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö2'nin Yansıma ve Öteleme Süreçlerinin Birlikte Yapıldığını Göstermesi

Ö1 gizli geometrik yer sürüklemesi yaparak (Şekil 4.78a, 4.78b, 4.78c) zihnindeki ötelemeli yansıma sürecinde şekillerin aynı yönde olmasının gerekmediği düşüncesini sürüklemeler yaparak test etmiştir.

Şekil 4.78a, 4.78b, 4.78c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö1'in Yaptığı Gizli Geometrik Yer Sürüklemesi ile Yaptığı Sürükleme Testi

Zihnindeki öteleme ve yansıma sürecini birleştirerek şekle önce yansıma sonra öteleme hareketinin yapılmış olduğunu el hareketleriyle (Şekil 4.79a, 4.79b, 4.79c) anlatmak istemiştir:

Ö1: Ötelemede şeklin aynı yönde oluşması gerekiyor ama yansımalı ötelemede aynı yönde olması gerekmiyor. Çünkü yansıttığımızda nasıl aynı zamanda aynı yönde olsun ki. Yani hem yansıtıp aynı zamanda nasıl hem de tam üstünde olsun ki bu imkansız. Bu yüzden burada ötelemeli yansıma var.

Ö2: Ötelemede bir araya geliyor ama burada gelmiyor. Üst üste gelmeli ve aynı yönde gitmeli.

Ö1: Ötelemede tıpatıp aynısının başka tarafta kopyası çıkıyordu. Eğer sadece yansıma olsaydı o zaman nasıl bu uzaklıkları açıklayabiliriz ki.

Şekil 4.79a, 4.79b, 4.79c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö1 ve Ö2'nin El Hareketleri İle Yansımalı Öteleme Sürecini Göstererek Test Etmeleri

Yansıma ve öteleme sürecinin özelliklerini düşünerek sadece yansıma yapılmış olsaydı şekillerin simetri doğrusuna uzaklıklarının aynı kalması gerektiğini anlatmak istemişlerdir. Burada neden uzaklıklarının aynı kalmadığını öteleme ve yansıma dönüşümlerinin birlikte yapılmış olacağı ile açıklayabileceklerini örnek vererek anlatmak istemişlerdir (Geri çıkarım):

Ö2: Ben aynada 2 birim geri gitsem sende 2 birim geri gitmez misin? Sen yansımış halimsin bende yansıyanım. (Arkadaşına söyler.)

Ö1: Giderim. Uzaklaşırım ikimiz aynı anda uzaklaşmış oluruz. İşte sadece yansıma olsaydı ikisinin arasındaki mesafe aynı olurdu ama burada öyle değil 2 birime 1 birim.

Ö1: O zaman yansıma var aynı zamanda devamında öteleme var çünkü ayna itmiş bunu.

Ö1, burada yapılan dönüşüm hareketinin yansıma ve öteleme süreçlerinin birlikte yapılması ile oluştuğunu anlatmak istemiştir (Şekil 4.80a, 4.80b, 4.80c). Ellerini düz olarak birleştirdiğinde şekillerin ötelenerek üst üste geldiğini ifade etmiştir. Ellerini ters olarak birleştirdiğinde ise şekillerin ters olarak üst üste geldiğini yani yansıma yapıldığını elleriyle anlatmaya çalışmıştır. Devamında elinin birini ileriye doğru hareket ettirerek yansımalı öteleme hareketini anlatmak istemiştir:

Şekil 4.80a, 4.80b, 4.80c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö1 ve Ö2'nin El Hareketleri ile Yansımalı Öteleme Sürecini Göstermesi

Ö2: Bunlar yansımış yansıyan da aynı zamanda ötelenerek 1 adım geri gitmiş yansıma üst üste gelmiyor (Şekilleri üst üste getirmeye çalışır).

Ö1: Bu da yansımalı öteleme yani.

Ö2 şekillerin birbirine ve simetri doğrusuna bağlı olarak hareket ettiklerini hem sürükleme testi ile hem de parmağıyla ekranda şekilleri göstererek anlatmak istemiştir (Şekil 4.81a, 4.81b, 4.81c). Ayrıca şeklin ötelenip yansıdığını, ötelemenin yansıma doğrusu ile ilişkisinin olmadığını ifade etmiştir:

Ö1:Burada sadece ötelenmiş olamaz. Çünkü ben aynanın yerini değiştirdiğimde aynaya bağımlı olarak şekilde uzaklaşıyor ayna ne hareket ediyorsa şekilde aynısını hareket ediyor buradaki 2 birim kapanmıyor.

Şekil 4.81a, 4.81b, 4.81c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö2'nin Yaptığı El Hareketleri ve Sürükleme Testi ile Yansımalı Öteleme Sürecini Anlatması

Ö1: Burada ayna yerinde sabit kalmış sadece cisim aynaya göre hareket etmiş.

Yaptıkları sürüklemeler sonucunda önce öteleme veya önce yansıma yapılmasının bir şey değiştirmeyeceğini aynı şekillerin ortaya çıktığını anlatmak istemişlerdir:

Ö2: Aynı şey oluyor ötelemeli yansıma ve yansımalı öteleme.

Ö1: Sonuç olarak hem yansıma hem öteleme yapılmış oluyor burada.

Birinci öteleme ve yansıma öğretimsel işini ikinci gruptaki Ö3 ve Ö4 aşağıdaki gibi çözmeye başlamışlardır:

Öğrenciler birinci ötelemeli yansıma öğretimsel işini açarak yapılan dönüşüm hareketinin bulmak için rastgele sürükleme yapmışlardır (Şekil 4.82a, 4.82b, 4.82c).

Önceki öğretimsel işleri düşünerek zihinlerindeki yansıma süreci ile buradaki şekillerin hareketinin uyum sağladığını belirtmişlerdir. Çünkü yansımada şekillerin aynı büyüklükte olması ve aynı hareketi ters yönlü yapmaları özelliğinin sağlandığını anlatmak istemişlerdir:

A: Burada hangi dönüşüm hareketi uygulanmıştır?

Ö4: Yansıma birbirine zıt bir de şekilleri aynı.

Şekil 4.82a, 4.82b, 4.82c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö4'ün Yaptığı Rastgele Sürükleme

Zihinlerinde simetri doğrusunun yansıyan şekillerin tam ortasında olması gerektiği düşüncesi ile amaçlı sürüklemeler yapmışlardır (Şekil 4.83a, 4.83b, 4.83c).

Yansıma sürecinin özelliklerini tekrar ederek şekillerin hareketlerini değerlendirmek istemişlerdir:

Ö4: Ayna şekillerin tam ortalarına gelmiyor. Birisi 1 birim yakınlıktayken diğeri 2 katı uzaklıkta oluyor.

Ö3: Ayna tam ortalarına gelmiyor bu sefer.

Şekil 4.83a, 4.83b, 4.83c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö4'ün Yaptığı Amaçlı Sürükleme

Ö4: Şekillerin aynı olması, zıt hareket etmeleri ve uzaklıklarının da aynı olması lazım. Burada öyle bir şey yok biri 1 birim diğeri 2 birim gidiyor (Şekil 4.84a, 4.84b, 4.84c).

Ö3: Şekillerin tıpatıp aynısı olması lazım. Biri büyük biri küçük değil. Cisimlerin aynaya uzaklıklarının aynı olması lazım ki aynı olabilsinler.

Şekil 4.84a, 4.84b, 4.84c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Yansıma Sürecini El Hareketleri ile Göstermesi

Ö3, Buradaki yansıma sürecinin diğer özelliklerinin sağlandığını sadece simetri doğrusuna uzaklıklarının eşit olması özelliğinin sağlamadığını simetri doğrusunu hareket ettirerek (Şekil 4.85a, 4.85b, 4.85c) anlatmak istemiştir (Geri çıkarım).

Şekil 4.85a, 4.85b, 4.85c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Yansıma Sürecini Simetri Doğusunu Hareket Ettirerek Göstermesi

Simetri doğrusunu hareket ettirdiklerinde sadece görüntüsünün hareket ettiğini, şekillerin arasındaki mesafenin yine farklı olduğunu, başka bir değişiklik olmadığını ifade etmişlerdir. Burada yansıma yapıldığını ama mesafelerinin farklı olmasının burada farklı bir durumla açıklanacağını anlatmak istemişlerdir:

Ö3: Sadece uzaklıkları farklı.

A: Evet uzaklık farkını nasıl açıklayabiliriz?

Ö4: Yansıma doğrusunu hareket ettirince yansımada hareket ediyor bir şey değişmiyor.

Ö3: Yansıma olması için şekiller aynaya eşit uzaklıkta, aynı boyutta ve hareketleri ters yönde olmalı (Şekil 4.86a, 4.86b, 4.86c).

Şekil 4.86a, 4.86b, 4.86c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Yansıma Sürecinin Özelliklerini Tek Tek El Hareketleri ile Göstermesi

Ö3: Şekiller üst üste gelirken ayna tam ortalarında olması lazım.

A: Aradaki 1 birim farkı nasıl açıklayabiliriz?

Ö4: Şekillerin uzaklıklarıyla oynanmış. Burada bir kere ilk olarak yansıma var.

Ö3: Yansıma var ama uzaklıkları farklı öteleme de olabilir.

Zihninde şekillerin aynı büyükte olması ve ters yönlü hareket etmelerinin yansıma olacağı ama simetri doğrusuna eşit uzaklıkta olmamaları nedeniyle yansıma olamayacağı var. Ö4 şekillerin rengini değiştirerek tekrar sürükleme yaparak (Sürükleme testi) (Şekil 4.87a, 4.87b, 4.87c) başka dönüşüm hareketleri olup olmayacağını araştırmıştır:

Ö4: Her türlü 1 birim fark oluyor.

Ö3: Kapladıkları alan aynı birimde ama uzaklıkları birbirinin 2 katı oluyor.

Şekil 4.87a, 4.87b, 4.87c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö4'ün Sürükleme Testi

Ö4 şekillerin simetri doğrusuna bağlı olarak hareket ettiğini bunun şekillerin arasındaki 1 birimlik farkı açıklamada etkisinin olamayacağını bağımlı sürükleme yaparak göstermek istemiştir (Şekil 4.88a, 4.88b, 4.88c):

Ö4: Aynayı hareket ettirmekle burada elde edebileceğimiz hiç bir sonuç yok.

Çünkü aynadaki yansımada hareket ediyor.

Şekil 4.88a, 4.88b, 4.88c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö4'ün Simetri Doğrusunu Hareket Ettirerek Yaptığı Bağımlı Sürükleme

Yaptıkları sürüklemelerden çıkardığı sonuçları ve tekrar dönüşüm hareketlerinin özelliklerini düşünmüşlerdir. Ardından şekillerin yaptığı hareketlerin yansıma ve öteleme sürecinin birleşmesi sonucu oluştuğunu fark etmişlerdir (Geri çıkarım - Algıdan kurama - Kuramdan Algıya):

Ö3: Hem öteleme hem yansıma olabilir burada.

Ö3, görüntünün ilk şekle bağlı olarak hareket ettiğini neden sadece öteleme ve neden sadece yansıma olamayacağını el hareketleri ile (Şekil 4.89a, 4.89b, 4.89c) anlatmak istemiştir:

Ö3: İlk şekil önce ötelenmiş ondan sonra yansıyınca birimler uzaklaşmış. Sadece yansımış gibi görünüyor ama aynı zamanda ötelenmiş. Ötelenip sonra birden yansıyınca birimleri farklı olmuş. Burada hareket etmeyen aynadaki yansıyan şekil veya ötelenmiş şekil.

Şekil 4.89a, 4.89b, 4.89c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Yansıma ve Öteleme Dönüşüm Hareketlerinin Birlikte Yapıldığını El Hareketleri ile Göstermesi Ö3: Önce ortaya ayna koymuşlar yansımış sonra 1 birim o kaçmış yani ötelenmiş. Eğer sadece yansıma olsaydı zıt olarak birimleri eşit olurdu öteleyince birimleri de farklılaşmış.

Ö4: Bence de şekli önce öteledikten sonra yansıtırsak yine aynı 1 birim oluyor öteleyip yansıtsak veya yansıtıp ötelesek de aynı şey oluyor (Şekil 4.90a, 4.90b, 4.90c).

Şekil 4.90a, 4.90b, 4.90c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö4'ün Yansıma ve Öteleme Dönüşüm Hareketlerini Sürükleme Yaparak Göstermesi

Şekillerin simetri doğrusuna göre farklı mesafelerde olmasını; birbirinden farklı hızlarda hareket etmesi olarak değerlendirip bunu yansıma ve öteleme hareketlerini birlikte yapmalarına bağladılar. Ö3 ellerini kullanarak (Şekil 4.91a, 4.91b, 4.91c) düşündüklerini anlatmak istemiştir:

Ö4: Biri daha çabuk geliyor diğeri daha yavaş geliyor. (Simetri doğrusuna daha yakın olduğunu gösteriyor ekranda.)

Ö3: Sol taraftaki yansıtan şekil daha hızlı geliyor ama diğeri daha sonra geliyor.

Yani bir kısım öteleniyor. Bence burada hem öteleme hem yansıma var çünkü yansımada zıt yönde gidiyor ama bir miktar ötelenip 1 birim uzaklaşıyor. (Ötelemede parmağını ilerletir fakat yansımada yuvarlak çiziyor.)

Şekil 4.91a, 4.91b, 4.91c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Yapılan Öteleme Dönüşümünü El Hareketleri ile Anlatması

Ö3, yansıma veya ötelemede şekilleri sürüklediğinde birlikte aynı miktarda hareket ettiklerini belirtmiştir. Fakat yansıma ve ötelemenin birlikte uygulandığı şekillerde şekillerin simetri doğrusuna göre farklı birimlerde yaklaştıklarını veya uzaklaştıklarını ellerini kullanarak (Şekil 4.92a, 4.92b, 4.92c) ifade etmek istemiştir:

Şekil 4.92a, 4.92b, 4.92c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Simetri Doğrusuna Göre Şekillerin Uzaklıklarını Göstermesi

Ö3: Mesela aynada elimizi salladığımızda ikimizin hızı da aynı oluyor. Ama ben şekli hem yansıtıp hem de ötelediğim zaman mesafe farklı olduğu için ötelenmiş olan biraz daha yavaşlıyor gibi duruyor. Çünkü ben sağa doğru gidiyorum o da biraz sağa doğru gidiyor ama yansımalı olduğu için doğruya gelirken yavaşlıyor gibi oluyor.

Ö3 bu düşüncelerinin doğruluğunu test etmek için sürükleme testi yapmıştır (Şekil 4.93a, 4.93b, 4.93c).

Şekil 4.93a, 4.93b, 4.93c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Sürükleme Testi

Ö3, yansımalı ötelemede yansımadan farklı olarak şeklin ve görüntüsünün simetri doğrusuna eşit uzaklıkta hareket etmediklerini el hareketleriyle (Şekil 4.94a, 4.94b, 4.94c) göstermek istemiştir:

Şekil 4.94a, 4.94b, 4.94c. Birinci Ötelemeli Yansıma Öğretimsel İşinde Ö3'ün Yansımalı Öteleme Sürecini El Hareketleri ile Göstermesi

Ö3: Sadece yansıma olsaydı ikisi de tam birleşirdi (parmağı ile simetri doğrusunu gösterir) ama burada şekil bir adım öteleniyor. Tam yansıyıp ötelendiği için yavaşlıyor.

4.1.6 İkinci ötelemeli yansıma öğretimsel işine ilişkin bulgular ve yorumlar

Belgede Gizli Geometrik (sayfa 104-116)