Black-Scholes /Merton fiyatlama modeline ilişkin temel bağıntılar

Black-Scholes formülleri olarak adlandırılan bağıntılar; özellikle temettü ödeme işlemlerinin gerçekleştirilmediği Avrupa tipi alım ve satım opsiyonları için geçerlilik göstermektedir. İlgili bağıntılar sırasıyla;

( )

₁

( )

₂

biçiminde verilebilmektedir. Son iki ifadede yer alan d₁ ve d₂ büyüklükleri sırasıyla;

( ) ( )

113 Hull, John, Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall, New Jersey, 2000, p. 33–35.

( )

fiyatını, X ise hisse senedinin uygulama fiyatını belirtmektedir. Riskten bağımsız faiz oranı r büyüklüğü, limit durumda kısa pozisyonlu portföy opsiyonunun getirisini oluşturmaktadır¹¹⁴. T büyüklüğü, opsiyon sözleşmesi vadesidir. σ ise hisse senedi fiyatındaki belirsizliği ortaya koymaktadır. Temettü ödemesi yapılmayan hisse senetleri üzerinde; Amerikan satın alma opsiyonu fiyatı C ile Eşitlik 3.24 ile belirlenen Avrupa satın alma opsiyon fiyatı c aynı sonuçla birbirine eşdeğer olmaktadır.

Black-Scholes fiyatlandırma bağıntılarının, ancak ve sadece kısa dönemli faiz oranlarının geçerli ve sabit olduğu durumlarda kullanılmaları gerekirken, uygulamada risk içermeyen faiz oranlarının geçerli olduğu tüm portföy opsiyon sözleşmelerinde, herhangi bir T vade süresi için de yaygın şekilde uygulanabilmektedir. Black –Scholes fiyatlandırma formüllerinin oluşturulmalarında; istatistiksel ve teorik düşünceler birlikte yer almaktadır. Black-Scholes bağıntıları üzerinde irdelemeye değer en önemli nokta, parametrelerin normal değişim aralıklarından çıkarak aşırı değerlere kayması durumunda da, sonuçları gerçek değerinden çok fazla saptırmamasıdır. Nitekim; hisse senedi fiyatı S₀ büyüklüğü çok yüksek olduğunda, satın alma opsiyonunun fiyatı;

opsiyon sözleşmesine konu olan aynı finansal varlık üzerinde oluşturulan ve

( )

K teslim fiyatına karşılık gelen forward sözleşmesine eşdeğer olmaktadır. f forward sözleşmesi uyarınca finansal varlığın tahminlenen fiyatı, aşağıdaki bağıntıyla belirlidir.

T

Son ifade ile Eşitlik 3.24 ile verilen bağıntı karşılaştırıldığında, özellikle hisse senedi fiyatı S₀ büyüklüğünün çok yüksek olma durumunda, iki ifadenin birbirine çok yakın olduğu anlaşılabilmektedir. Çünkü Eşitlik 3.24 uyarınca, d₁ ve d₂ büyüklükleri çok yüksek değerlere ulaştığında, her iki olasılık dağılış fonksiyonlarının, N

( )

d₁ ve N

( )

d₂ limit durumda yığmalı olasılık değerleri bire uzanmaktadır. Belirtilen bu limit durumda, hisse senedi fiyatı S₀ çok yüksek değerlere ulaştığında, Avrupa türü opsiyonun satış sözleşme fiyatı p değeri de doğal olarak sıfıra yaklaşmaktadır. Elde edilen bu sonuç, Eşitlik 3.25 ile de tamamen paralellik göstermektedir.

Yukarıdaki irdelemeler zıt yönde de gerçekleştirilebilmektedir. Nitekim S₀ hisse senedi fiyatı çok küçük değerlerde seyrettiğinde, değişken değişimi şeklinde ifadelendirilen ve Eşitlik 3.26 ve Eşitlik 3.27 ile verilen d₁ ve d₂ değişkenleri de oldukça yüksek değerlere kaymaktadır. Ayrıca sözü edilen bu iki değişken, eksi işaretli olmaktadır. Eşitlik 3.24, satın alma opsiyonu için sıfır değerine çok yakın bir değer tahmin etmektedir. Bu şartlar altındaki N

(

−d₁

)

ve N

(

−d₂

)

şeklindeki olasılık dağılışlarının sayısal değerleri de, tahmin edildiği şekliyle bire yaklaşmaktadır. Böylece belirtilen bu sınır değerlere ulaşıldığında, Eşitlik 3.25 ile verilen opsiyon satış fiyatı, gerekli matematiksel işlemler yapıldığında; aşağıdaki ifadeyle tanımlanabilmektedir.

S0

e X

f = − ^−rT − (3.29)

Finansal türev ürünlerinin fiyatlandırılma işlemlerinde belirtilebilecek en önemli niteliklerden biri de, finansal varlıkların üzerinde risk yönünden nötür şekilde bir değerlendirme işleminin yapılabilmesidir. Finansal ve ticari ilkelere göre işlem gören bir finansal varlığın değerleme işlemlerinde, yatırımcıların risk yönünden nötür oldukları varsayımının geçerli olduğu kabul edilmektedir. Bu tür değerlendirme varsayımı, finansal türev araçları üzerinde yatırım işlemi yapan yatırımcıların risk yönünden nötür oldukları anlamına gelmemektedir¹¹⁵. Diğer bir anlatımla, finansal

115 Fabozzi, Frank J., Fixed Income Mathematics:Analytical and Statistical Techniques, McGraw Hill, New York, 1996, p. 54-57.

işlemlerde yatırımcıların kişisel nitelik ve konumları, bu işlemlerde ortaya çıkan toplam risk üzerinde belirli ölçüde pay oluşturmamaktadır.

Risk yönünden nötürlük varsayımı altında yapılan değerlendirmeler, finansal açıdan önemlidir. Bu varsayım altında, finansal risk yönetiminde iki önemli sonuca ulaşılmaktadır. Bunlar sırasıyla aşağıdadır.

1) Tüm finansal varlıkların oluşturduğu portföyler üzerindeki opsiyon işlemlerinde ortalama getiri miktarları, riskten bağımsız faiz oranına eşdeğer olmaktadır.

2) Riskten bağımsız faiz oranı r büyüklüğü; işletmenin geleceğine ilişkin nakit akış hızını tahminlemede uygulanabilen, uygun bir iskonto oranı olarak değerlendirilebilmektedir.

Bu hipotetik yaklaşıma göre, tüm opsiyon işlemlerinin gerekli aşamalarında; µ yıllık ortalama getiri yüzdesi ile r risk içermeyen yıllık faiz oranı büyüklükleri birbirine eşdeğer olarak alınabilmektedir. Ayrıca bu veriler ışığında, opsiyon fiyatı ile vade süresi arasında uygun ve doğruluk derecesi oldukça yüksek bir doğrusal bağıntı türetilebilmektedir. Portföyü oluşturan finansal varlıkların ya da uygun kombinasyonlara sahip opsiyon işlemlerinin, tahmini fiyatlama işlemlerinde ortaya çıkan belirsizlik kaynakları, değişik türlerdedir ve bunların katkı oranları farklıdır. Bazı finansal analist ve finansal risk yöneticilerine göre, hisse senedi fiyatlarındaki geleceğe yönelik değişimlerin temelinde, ortaya çıkacak ve getirileri etkileyebilecek değişik bilgiler ve bunların finansal piyasa ortamlarına ulaştırılma biçimlerinin de katkısı vardır.

Bir kısım finansal analistin tezine göre, belirsizliğin önemli bir diğer nedeni de büyük ölçüde ticaridir. Bu anlamda, finansal varlıkların finansal piyasalarda takas işlemlerinin gerçekleştiği ticari gün ile bu tür işlemlerin ve değişik türden finansal türev araçlarının sözleşme haline sokulamadığı günlerin, fiyat üzerindeki belirsizliği etkileme gücünün, istatistiksel ağırlığını taşıp taşmaması oldukça önemlidir. Fama ve French’in bu hususta yaptığı araştırma sonuçlarından, aşağıdaki saptamalar yapılabilmektedir.

1) Hisse senetleri fiyatı üzerinde oluşabilecek varyans büyüklüğü; eğer arada finansal işlemlerin yapıldığı başka bir ticari gün yok ise, oldukça karakteristik bir yapı ve homojen bir görünüm sergilemektedir.

2) Hisse senedi fiyatlarındaki varyans büyüklüğü; haftanın son ticari günü olan cuma günü kapanış saati ile bunu takip eden ve ticari işlemlerin gerçekleştirildiği pazartesi günü kapanış saati arasındaki fiyat hareketleri üzerindeki salınım derecesiyle sınırlanmaktadır. Eğer ticari işlem yapılan günler ile ticari işlemlerin yapılmadığı günler sayıca eşdeğer durumda ise, böyle bir özel durumda, 2. madde kapsamında belirtilen varyans büyüklüğü; 1. maddedeki varyans büyüklüğünden daha fazladır.

Sonuçlar göstermektedir ki; takas işlemlerinin gerçekleştiği ticari günlerde ortaya çıkan varyans büyüklüğü, ticari işlemlerin yapılamadığı günlere oranla çok daha yüksektir. Klasik görüşe göre, geleceğe yönelik fiyatlandırmada, hisse senetleri borsası üzerinde ticari işlemlerin yürütüldüğü saatlerde oluşan ve yayılan bilgi ve haberler, çıkış kaynaklarına da bağımlı olarak, oldukça yüksek düzeylerde etkinlik göstermektedir. Bu nedenle, finansal piyasalar üzerinde etkili olabilecek bilgi ve haberlerin, özellikle takas işlemlerinin kapanış saatleri dışında yapılması ve yayılmasına yetkililerce özen gösterilmektedir. Black-Scholes opsiyon fiyatlama işlemlerinde, finansal analiz sonuçları göstermektedir ki; ticari takas işlemleri için kapalı olan günlerin, tahmini fiyat belirleme işlemlerinde ortaya koyduğu belirsizlik miktarı oldukça önemsizdir¹¹⁶. Bu nedenle, opsiyon fiyatlandırma işlemlerinde, yıllık bazda ortaya çıkan belirsizlik ya da fiyat üzerindeki salınım miktarları, sadece ticari işlemlerin yapıldığı günler gözetilerek belirlenebilmektedir. İlgili matematiksel ifade;

Tahmini fiyattaki yıllık belirsizlik miktarı=(her ticari günde oluşan belirsizlik)×(yıl içindeki ticari işlem yapılabilen gün sayısı)^1/2 (3.30)

şeklindedir. Günümüz finansal risk yöneticilerinin sıklıkla kullandığı bu bağıntıda, yıl boyunca finansal türev işlemlerinin yapıldığı gün sayısı, hisse senetlerinin işlem gördüğü borsalarda 252 gün olarak kabul edilebilmektedir.

Bu noktaya kadar, üzerinde opsiyon işlemlerinin sürdürüldüğü hisse senetleriyle ilgili olarak, temettü tasarrufunun yapılmadığı varsayımından hareket edilmiştir.

116 Galai, Dan, “Characterization of Options”, Journal of Banking and Finance, no. 11, (1977), p. 373–

376.

Temettü ödemesinin yapıldığı anda, opsiyon fiyatında bu ödeme miktarı kadar düşme gözlenmektedir. Bu nedenle temettü işlemi, alım opsiyonlarının fiyatında düşme oluştururken, satım opsiyonlarının fiyatında da aynı miktar artış oluşturmaktadır¹¹⁷.

Black-Scholes bağıntısı kapsamında σ büyüklüğü; hisse senedi fiyatlarında risk içeren parametrenin belirsizliğini ortaya koymaktadır. Ne var ki bu parametre, pratikte hisse senedi fiyatındaki toplam belirsizliği tanımlamaktadır. Oysa teorik olarak risk içeren bileşenin payı; hisse senedi fiyatındaki toplam risk büyüklüğünün, S₀/

(

S₀ −D

)

şeklinde verilen büyüklükle çarpımına eşdeğerdir. Oran üzerinde; D büyüklüğü temettü değerinin şimdiki değerini ve S₀ ise hisse senedi fiyatını simgelemektedir.

Belgede TÜREV PİYASALARDA VAR YÖNTEMİYLE RİSK YÖNETİMİ (sayfa 186-191)