MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

(1)

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.a¸cık ders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102 Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

1

(2)

18.102 Fonksiyonel Analize Giris Bahar D¨ onemi 2009 TEST 1 ICIN HAZIRLIK SORULARI

1. PROBLEM PT1.1 Bir E ⊂ R kümenin öl¸cülebilir olmasını

(1) E ⊂ {x ∈ R : X

n

|f

_n

(x)| = ∞}

ko¸sulunu sa˘ glayan mutlak toplanabilir f

n

basamak fonksiyonların varolma ko¸sulu ile tanımlanmı¸stı.

Tanım 1. Bir E ⊂ R kümesinin Lebesgue öl¸cümünün sıfır olması her δ > 0 a kar¸sılık

(2) E ⊂ ∪

i

(a

i

, b

i

), X

i

(b

i

− a

i

) < δ

olacak bi¸cimde sayılabilir bir (a

_i

, b

_i

) a¸cık aralıkların bulunmasıdır.

Onerme 1. Bir k¨ ¨ umenin ¨ ol¸c¨ um¨ un¨ un sıfır olması ile Lebesgue ¨ ol¸c¨ um¨ un¨ un sıfır olması aynıdır.

Kanıt i¸cin kendi y¨ onteminizi ya da a¸sa˘ gıdaki i¸slemleri takip edebilirsiniz.

(1) ⇐= Lebesgue ¨ ol¸c¨ um¨ un sıfır olması her n i¸cin (3) E ⊂ ∪

_i

I

_i⁽ⁿ⁾

, quad X

i

(b

⁽ⁿ⁾_i

− a

⁽ⁿ⁾_i

< 2

⁻ⁿ

ko¸sulunu sa˘ glayan yarı a¸cık I

_i⁽ⁿ⁾

= [a

⁽ⁿ⁾_i

, b

⁽ⁿ⁾_i

) aralıkların bulunmasına denk oldu˘ gunu g¨ osteriniz. f

_i⁽ⁿ⁾

ler ¨ onceki basamaktaki I

_i⁽ⁿ⁾

aralıkların karakteristik fonksiyonları ise

(4) X

i,n

Z f

_i⁽ⁿ⁾

< ∞ oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Bu ¸cift dizileri E ¨ uzerinde ıraksayan basamak fonksiyonların mutlak toplan- abilir dizileri bi¸ciminde ayarlayınız.

2

(3)

Ve b¨ oylece E, Lebesgue ¨ ol¸ c¨ um¨ u sıfır ise o zaman ¨ onceki anlamda ¨ ol¸ c¨ um¨ u sıfır oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) ⇒

E’nin bilinen anlamda ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır ise, f

n

(1) deki gibi basamak fonksiyon- ların mutlak toplanabilir bir serisi olsun.

her δ ve b¨ oylece her N i¸cin k, j ler ba˘ glı (5) J

k,j

= {x ∈ R : X

N <n≤N +j

|f

n

(x)| > 2

^k

}

k¨ umeleri ele alalım.

k ya da j lerin sabitlenmesiyle bu, f

_n

ler sabit fonksiyonlar olduklarından yarı-a¸cık aralıkların sonlu birle¸simlerider. Buradan Lebesgue ¨ o¸c¨ um sıfır ko¸sulunu sa˘ glayacak bir ¨ ort¨ u in¸sa edildi˘ gini g¨ or¨ un¨ uz.

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.a¸cık ders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

1

18.102 Fonksiyonel Analize Giris Bahar D¨ onemi 2009 TEST 1 ICIN HAZIRLIK SORULARI

1. PROBLEM PT1.1 Bir E ⊂ R kümenin öl¸cülebilir olmasını

(1) E ⊂ {x ∈ R : X

|f

(x)| = ∞}

ko¸sulunu sa˘ glayan mutlak toplanabilir f

basamak fonksiyonların varolma ko¸sulu ile tanımlanmı¸stı.

Tanım 1. Bir E ⊂ R kümesinin Lebesgue öl¸cümünün sıfır olması her δ > 0 a kar¸sılık

(2) E ⊂ ∪

(a

, b

), X

(b

− a

) < δ

olacak bi¸cimde sayılabilir bir (a

, b

) a¸cık aralıkların bulunmasıdır.

Onerme 1. Bir k¨ ¨ umenin ¨ ol¸c¨ um¨ un¨ un sıfır olması ile Lebesgue ¨ ol¸c¨ um¨ un¨ un sıfır olması aynıdır.

Kanıt i¸cin kendi y¨ onteminizi ya da a¸sa˘ gıdaki i¸slemleri takip edebilirsiniz.

(1) ⇐= Lebesgue ¨ ol¸c¨ um¨ un sıfır olması her n i¸cin (3) E ⊂ ∪

I

, quad X

(b

− a

< 2

ko¸sulunu sa˘ glayan yarı a¸cık I

= [a

, b

) aralıkların bulunmasına denk oldu˘ gunu g¨ osteriniz. f

ler ¨ onceki basamaktaki I

aralıkların karakteristik fonksiyonları ise

(4) X

Z f

< ∞ oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Bu ¸cift dizileri E ¨ uzerinde ıraksayan basamak fonksiyonların mutlak toplan- abilir dizileri bi¸ciminde ayarlayınız.

2

Ve b¨ oylece E, Lebesgue ¨ ol¸ c¨ um¨ u sıfır ise o zaman ¨ onceki anlamda ¨ ol¸ c¨ um¨ u sıfır oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) ⇒

E’nin bilinen anlamda ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır ise, f

(1) deki gibi basamak fonksiyon- ların mutlak toplanabilir bir serisi olsun.

her δ ve b¨ oylece her N i¸cin k, j ler ba˘ glı (5) J

= {x ∈ R : X

|f

(x)| > 2

}

k¨ umeleri ele alalım.

k ya da j lerin sabitlenmesiyle bu, f

ler sabit fonksiyonlar olduklarından yarı-a¸cık aralıkların sonlu birle¸simlerider. Buradan Lebesgue ¨ o¸c¨ um sıfır ko¸sulunu sa˘ glayacak bir ¨ ort¨ u in¸sa edildi˘ gini g¨ or¨ un¨ uz.

2. PROBLEM PT1.2

R de komleks de˘ gerli fonksiyonların integrallenebilme tanımını hatırlayınız.

Do˘ grudan tanımı kullanarak, integrallenebilir fonksiyonların ger¸cel va sanal kısımlarının integrallenebilir oldu˘ gunu kanıtlayınız.

3