MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

187

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 22. D˙IR˙ICHLET PROBLEM˙INE DEVAM Gecen derste bitiremedi˘ gim kanıtı tamamlamak istiyorum.

Kanıt.(21.25) de verilen V ’nin V ≥ 0 durumuna kar¸sılık gelen ¸c¨ oz¨ ume dikkat ediniz. Genelde, V + c ≥ 0 sa˘ glayan c sayısını se¸cebiliriz. Bu durumda denklem

(22.1) −d

w

dx

+ V w = T w

⇔ −d

w

dx

+ (V + c)w = (T + c)w

haline gelir. B¨ oylece, e˘ ger w bu ¨ ozde˘ ger denklemini sa˘ glarsa a¸sa˘ gıdaki den- klemi de sa˘ glayacaktır;

(22.2)w = (T + c)A(Id + A(V + c)A)

Aw ↔ Sw

= (T + c)

w, S = A(Id + A(V + c)A)

A

Daha ¨ once S d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un L

(0, 2π) uzayı ¨ uzerinde kompakt ve ¨ oze¸slenik oldu˘ gunu kanıtladı˘ gımızdan, onun tam olan ¨ ozfonksiyonları oldu˘ gunu ve bun- lara kar¸sılık gelen ¨ ozde˘ gerlerin τ

6= 0 sa˘ gladıklarını biliyoruz. Yukarıdaki akıl y¨ ur¨ utmeden her bir e

’nın esasında s¨ urekli oldu˘ gunu da biliyoruz- ¸c¨ unk¨ u bunlar w

∈ L

(0, 2π) olmak ¨ uzere Aw

bi¸cimindedirler ve dolayısı ile iki-kez s¨ urekli t¨ urevlenebilirdirler. Dolayısı ile bu e

lar ger¸cekten ¨ ozde˘ ger problemini (Dirichlet sınır ko¸sulları ile) sa˘ glarlar ve ¨ ozde˘ gerleri k → ∞ iken

(22.3) T

= τ

+ c → ∞

sa˘ glar. C ¸ ¨ oz¨ ulebilme kısmı da aynen yukarıdaki gibi yapılır.

188