MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 19.FREDHOLM D ¨ ON ¨ US ¸ ¨ UMLER˙I

Oze¸slenik kompakt d¨ ¨ on¨ u¸s¨ umlerin spektral kuramına do˘ gru adım ataca˘ gız.

Bu kuram matrislerin spektral kuramına yakındır ve bir ¸cok kullanı¸slı uygu- lamaları vardır. Genel olarak sınırlı ¨ oze¸slenik d¨ on¨ u¸s¨ umlerin oldukca yerle¸smi¸s spektral kuramı olmasına kar¸ın burada yer verilmeyecektir. Ayrıca ¨ oze¸slenik olmayan kompakt d¨ on¨ u¸s¨ umlerin spektral kuramı da de olduk¸ca zengindir- bunlar ele alınacaktır. ¨ Orneklerden de anla¸sılaca˘ gı gibi kompakt ve ¨ oze¸slenik olmayan d¨ on¨ u¸s¨ umlerin spektral kuramı yeterli de˘ gildir.

Bazı anlamlarda kompakt d¨ on¨ u¸s¨ umlerin ”k¨ u¸c¨ uk” olması sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlere benzer. Bu kabul edilirse, a¸sa˘ gıdaki t¨ urden d¨ on¨ u¸s¨ umlere ”b¨ uy¨ uk” denebilir.

Dollayısıyla,

(19.1) Id − K, K ∈ K(H)

d¨ on¨ u¸s¨ umleri ”b¨ uy¨ uk” ¸ca˘ grı¸sımı yapacaklardır. Spektral kuramın yapısı gere˘ gi bu d¨ on¨ u¸s¨ umlerle epey ilgilenilecek. λ ∈ C nın, K d¨on¨u¸s¨um¨un¨un ¨ozde˘geri olması

(19.2) Ku − λu = 0

e¸sitli˘ gının -0 dan farklı-bir ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ un olması anlamındadır, zaten u = 0 da denklemin her zaman bir ¸c¨ oz¨ um¨ ud¨ ur. λ 6= 0 ise λ ile b¨ olerek,

(19.3)(Id − λ ⁻¹ K)u =

denkleminin ¸c¨ oz¨ um¨ une bakarız, bu durumda (19.1) deki kompakt d¨ on¨ u¸s¨ um λ ⁻¹ K ile de˘ gi¸smi¸s olur.

Id−K d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un ¨ ozellikleri nelerdir? Bu ¨ ozelliklerden ¨ u¸c tanesi a¸sa˘ gıdadır.

Onerme 26. K ∈ B(H) ayrılabilir bir Hilbert uzayında kompakt d¨ ¨ on¨ u¸s¨ um ise

null(Id − K) = {u ∈ H : (Id − K)u = 0} sonlu boyutlu

(19.4)Ran(Id − K) = {v ∈ H : ∃ u ∈ H v = (Id − K)u kapalı } ve

Ran(Id − K) ^⊥ = {w ∈ H : (w, Ku) = 0, ∀u ∈ H}, sonlu boyutlu

ve ¨ ustelik

(19.5) dim(null(Id − K)) = dim(Ran(Id − K) ^⊥ ).

Tanım. Bir Hilbert uzayında tanımlı sınırlı bir d¨ on¨ u¸s¨ um F ∈ B(H), (19.4) deki

¨

u¸c ko¸sul sa˘ glanıyorsa, bu d¨ on¨ u¸s¨ ume Fredholm denir- sıfır uzayı sonlu boyutlu, g¨ or¨ unt¨ us¨ u kapalı ve g¨ or¨ unt¨ us¨ un¨ un dikt¨ umleyeni sonlu boyutludur.

Genelde, satır-rank = s¨ ut¨ un-rankı olan Fredholm d¨ on¨ u¸s¨ umlerinde (19.5) e¸sitli˘ gi do˘ gru de˘ gildir. Ger¸cekten bu iki tamsayının farkı

(19.6) ind(F ) = dim(null(Id − K)) − dim(Ran(Id − K) ^⊥ )

¸cok ilgin¸c ¨ ozellikleriyle ¸cok ¨ onemlidir ve kullanılır.

Bir altuzayın dikt¨ umleyeni uzayın kapanı¸sının dikt¨ umleyeni gibi oldu˘ gundan son iki ko¸sul birbirlerinden ba˘ gımsızdırlar. Ayrılabilir bir Hilbert uzayında,

¨

orne˘ gin, sıfır uzayı a¸sikar olan ve g¨ or¨ unt¨ us¨ u yo˘ gun kapalı olmayan sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umlerler vardır. Bu nasıl olabilir? L ² (0, 1) de x fonksiyonuyla ¸carpma d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u ele

alalım. Bu bir d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur ve sıfır uzayında bir u elemanı xu(x) = 0 h.h.y

¨

ozelli˘ gındedir ve b¨ oylece u h.h.y sıfırdır. Ustelik  > 0 i¸cin, fonksiyonların ¨ x <  ¨ uzerinde sıfır olması, g¨ or¨ unt¨ un¨ un yo˘ gun oldu˘ gunu g¨ osterir. A¸cıkca bu d¨ on¨ u¸s¨ um tersinir de˘ gildir.

Kanıtı vermeden ¨ once bu sonucu kontrol edelim-(19.9) deki ¨ u¸c¨ unc¨ u ko¸sul ilkinden elde edilir.

Onerme 27. B ∈ B(H) bir Hilbert uzayında sınırlı ve B ¨ ^∗ e¸slenik d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u ise

(19.7) Ran(B) ^⊥ = (Ran(B)) ^⊥ = {v ∈ H : (u, w) = 0, ∀w ∈ Ran(B)} = N ul(B ^∗ ).

Kanıt. Ran(B) nin dikt¨ umleyeninin tanımından

(19.8) v ∈ (Ran(B)) ^⊥ ⇔ (v, w) = 0, ∀w ∈ Ran(B) ⇒ (v, Bu) = 0, ∀u ∈ H

⇒ (B ^∗ v, u) = 0, ∀u ∈ H ⇔ B ^∗ v = 0 ⇔ v ∈ N ul(B ^∗ ).

Di˘ ger taraftan, herhangi bir altuzay i¸cin V ^⊥ = (B) ^⊥ oldu˘ gu g¨ ozlemlenmi¸sti-

sa˘ g taraf kesinlikle sol tarafın i¸cerisinde ve i¸c¸carpımın s¨ ureklili˘ ginden her v ∈ V

i¸cin (u, v) = 0 ise her w ∈ V i¸cin, V de v _n → w olacak bi¸cimde bir (u _n ) dizisi

olaca˘ gından, (u, w) = 0 dır.

Bir sonu¸c olarak, kompakt K d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u i¸cin N ul(Id − K) sonlu boyutlu ise, N ul(Id − K ^∗ ) sonlu boyutludur ve dolayısıyla Ran(Id − K) ^⊥ sonlu boyutlu elde edilir.

Onerme 26 nın Kanıtı. ¨ ¨ Oncelikle sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ um K = T i¸cin kontrol edelim. Bu durumda

(19.9) N ul(Id − T ) = {u ∈ H : u = T u} ⊂ Ran(T ).

Sonlu boyutlu bir uzayın her altuzayı da sonlu boyutlu oldu˘ gundan sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin durumunda bu ilk ko¸sulu kanıtlar. Yine T ’nin sonlu ranklı ol- ması durumunda g¨ or¨ unt¨ u

(19.10) Ran(Id − T ) = {v ∈ H : v = (Id − T )u bazı u ∈ H}.

{u ∈ H : T u = 0} uzayını ele alalım. T s¨ urekli oldu˘ gundan, bu uzayın kapalı oldu˘ gunu biliyoruz. Di˘ ger taraftan (19.10) dan

(19.11) N ul(T ) ⊂ Ran(Id − T ).

Sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin

(19.12) T u =

N

X

i=1

(u, e _i )f _i

bi¸ciminde yazılabildi˘ gini hatırlayalım. Burada f _i leri T ’nin g¨ or¨ unt¨ u uzayının tabanın olarak alabiliriz. Bu durumda e _i ler do˘ grusal ba˘ gımsızdır-ger¸cekten, e˘ ger olmasalardı, bazı N ler i¸cin, ¨ orne˘ gin son vekt¨ or olan e N i¸cin, e N =

P

j<N c _i e _j di˘ gerlerinin do˘ grusal birle¸simi olarak yazilabilirdi. Buradan (19.13) T u =

N −1

X

i=1

(u, e _i )(f _i + c _j f _N )

T ’nin g¨ or¨ unt¨ us¨ un¨ un en fazla N − 1 boyutlu oldu˘ gunu elde edilirki, bu f _i lerin taban vekt¨ orleri olmasıyla ¸celi¸sir.

(19.12) ye geri gitmeyle, N ul(T )’nin kalan boyutu sonludur. H’nın her

elemanı

(19.14) u = u ⁰ +

N

X

i=1

d _i e _i , u ⁰ ∈ N ul(T )

bi¸cimindedir. Dolayısıyla, (19.12)’e geri gidersek, e˘ ger Ran(Id − T ) 6=

N ul(T ) ise ve e¸sitlik olmayabilirler -N ul(T )’nin kapalı olmasını kullanarak- N ul(T )’ye dik olacak bi¸cimde bir g ∈ Ran(Id − T ) \ N ul(T ) bulabiliriz. Bunu yapmak i¸cin N ul(T ) de olmayan Ran(Id − T ) de bir g ⁰ se¸cerek ba¸slayalım.

g⊥N ul(T ), u ⁰⁰ ∈ N ul(T ) olmak ¨ uzere g ⁰ = u ⁰⁰ + g bi¸ciminde yazabiliriz. Bu durumda g 6= 0, Ran(Id − T ) i¸cinde ve N ul(T )’ye diktir. S ¸imdi yeni uzay N ul(T ) ⊕ C g , Ran(Id − T ) i¸cinde yine kapalıdır. Bu i¸sleme N ul(T )’yi ka- palı ve daha b¨ uy¨ uk altuzayla de˘ gi¸stirerek devam ederiz. Sonlu adımdan sonra Ran(Id − T )’nin kapalı olma durumunu elde ederiz.

B¨ oylece a¸sa˘ gıdaki ¨ onteoremi kanıtladık.

Onteorem 13. Bir Hilbert uzayının altuzayı V ⊂ H, H da kalan boyutu ¨ sonlu kapalı bir altuzayını i¸ceriyorsa -yani W kapalı olmak ¨ uzere W ⊂ V ve her u ∈ H elemanı

(19.15) u = u ⁰ +

N

X

i=1

c _i e _i , c _i ∈ C olacak bi¸cimde e ₁ , e ₂ , ..., e _N ∈ H varsa- V kapalıdır.

Bu, K = T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un sonlu ranklı olması durumunda kanıtı verir. Genel olarak K’nın kompakt olması durumunda ne yapılmalıdır? K kompakt ise ona sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlerle yakla¸sırız. E˘ ger K kompakt ise,

(19.16) K = B + K, kBk < 1 2

olacak bi¸cimde B ∈ B(H) sonlu ranklı T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u vardır. S ¸imdi Id − K’nın sıfır uzayını ele alalım ve (19.16)’ı kullanarak

(19.17) Id − K = (Id − B) − T = (Id − B)(Id − T ⁰ ), T ⁰ = (Id − B) ⁻¹ T olarak yazalım. Burada Neumann serisinin yakınsaklı˘ gını kullandık. Dolayısıyla (Id − B) ⁻¹ vardır.

S ¸imdi T ⁰ sonlu ranklı ise ideal ¨ ozelli˘ ginden

(19.18) N ul(Id − K) = N ul(Id − T ⁰ ) sonlu boyutludur.

Id − B tersinir oldu˘ gundan (Id − K)u = 0 olması (Id − T ⁰ )u = 0 ifadesine

denk olmasını kullandık. Bu (19.4) deki ilk ko¸suldur.

Benzer bi¸cimde farklı bir yoldan ikinci ko¸sulu analiz edebiliriz.

(19.19) Id − K = (Id − B) − T = (Id − T ⁰⁰ )(Id − B), T ⁰⁰ = T (Id − B) ⁻¹ yazabiliriz. Burada T ⁰⁰ sonlu ranklıdır ve

(19.20) Ran(Id − K) = Ran(Id − T ⁰⁰ ) kapalıdır.

Tekrar Id−B nin tersinirli˘ gini kullanarak-(Id−K)u bi¸cimindeki her elemanın, u ⁰ = (Id − B)u olmak ¨ uzere, (Id − T ⁰⁰ )u ⁰ bi¸ciminde oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur. Tersi de do˘ grudur.

B¨ oylece (19.4) dekilerin hepsi kanıtlandı, daha ¨ once tartı¸sıldı˘ gı gibi ¨ u¸c¨ un¸c¨ us¨ u birincisinden elde edilir.

(19.5) i¸cin durum ne olur? ¨ Oncelikle d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un sonlu ranklı olması i¸cin kontrol edelim. Bir kompakt d¨ on¨ u¸s¨ um K i¸cin, T sonlu ranklı, kBk < ¹ ₂ tersinirdir ve G = Id − B olmak ¨ uzere

(19.21) (Id − K) = G(Id − T ) yazabiliriz. G¨ ormek istedi˘ gimiz ¸sey

(19.22) dimN ul(Id − K) = dimN ul(Id − T ) = dimN ul(Id − K ^∗ ).

Ustelik, Id − K ¨ ^∗ = (Id − T ^∗ )G ^∗ ve G ^∗ tersinirdir, dolayısıyla (19.23) dimN ul(Id − K ^∗ ) = dimN ul(Id − T ^∗ )

ve b¨ oylece dimN ul(Id−T ) = dimN ul(Id−T ^∗ ) oldu˘ gunu g¨ ostermek yeterlidir- bu sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ um i¸ci aynı ¸sey demektir.

Bir sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ um i¸cin, (19.12) de yazıldı˘ gı gibi, b¨ ut¨ un e _i lerle birlikte, f _i ler tarafından ¨ uretilen W uzayına bakabiliriz. S ¸imdi T : W → W i¸cin,

(19.24) T ^∗ v =

N

X

i=1

(v, f _i )e _i .

Dolayısıla T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u de W uzayını W uzayına g¨ ot¨ urmektedir. Aslında

w ⁰ ∈ W ^⊥ ise, T w ⁰ = 0 ve T ^∗ w ⁰ = 0 oldu˘ gundan her i i¸cin (w ⁰ , e _i ) = 0 ve

(w ⁰ , f _i ) = 0 dır. Buradan, bu sonlu boyutlu uzayda Id − T ye e¸sit d¨ on¨ u¸s¨ um

i¸cin R : W ←→ W yazılırsa, W de R ^∗ , Id − T ^∗ ile verilir ve Hilbert uzay

yapısını W de H’nın bir altuzayı gibi kullanılabilir. Dolayısıyla

(19.25)(Id − T )u = 0 ⇐⇒ u ∈ W ve Ru = 0,

(Id − T ^∗ )u = 0 =⇒ u ∈ W ve R ^∗ u = 0 g¨ osterilmi¸s oldu. B¨ oylece Teoremi sonlu boyutta

(19.26) dimN ul(R) = dimN ul(R ^∗ ) ifadesine indirgedik.

Ku¸skusuz bu teoremi biliyorsunuz. Bu teorem her¸seyin W uzayı ¨ uzerinde olmasından ve W ¨ uzerinde dimN ul(R) = dimN ul(R ^∗ ) ve sonlu boyutta

(19.27) dimN ul(R) + dimRan(R) = dimW = dimRan(W ) + dimN ul(R ^∗ ).

sa˘ glanmasından elde edilir. 

PROBLEMLER 9 A¸sa˘ gdaki d¨ uzeltmelere dikkat ediniz.

(1) P9.2(2) ve di˘ ger yerlerde C ^∞ (S) yerine C ⁰ (S) gelecek. Burada C ⁰ (S) daire ¨ uzerinde tanımlı s¨ urekli fonksiyonlardır, ve supremum normu ile do- nanmı¸stır.

(2) (19.4) da u = Sv de˘ gil, u = F v olacak.

(3) (19.41) den ¨ once u = F v olacak.

(4) (19.43) deki tartı¸sma detaylandırıldı.

(5) P10.2’nın son kısmı detaylandırıldı.

Bu hafta, periyodik fonksiyonlar ¨ uzerinde, (19.28) Qu = (− d ²

dx ² + V (x))u(x)

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan d¨ on¨ u¸s¨ umlerin tersinirli˘ gini ¸calı¸smak yararlı olur. Buna yakla¸smak i¸cin integral d¨ on¨ u¸s¨ umlere ihtiya¸c vardır.

Problemlere ba¸slamadan ¨ once periyodik fonksiyonlara g¨ ozatmaya gereksinim vardır.

Problem 9.1 Periyodik Fonksiyonlar S kompleks sayılarda bir yarı¸caplı, 0 merkezli ¸cember olsun, yani, S = {z : |z| = 1}.

(1) A¸sa˘ gıda 1-1 ili¸ski oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(19.29) C ⁰ (S) = {u|u : S → C, s¨urekli} → {u : R → C, s¨urekli u(x + 2π) = u(x) ∀x ∈ R}.

(2) A¸sa˘ gıda 1-1 ili¸ski oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(19.30) L ² (0, 2π) ←→ {u ∈ L ¹ _loc (R), u| (0,2π) ∈ L ² (0, 2π) ve u(x + 2π) = u(x) ∀x ∈ R} \ N ^P ,

burada N _P , her x ∈ R i¸cin u(x + 2π) = u(x) e¸sitli˘gini sa˘glayan ve hemen her yerde sıfır olan fonksiyonların uzayını g¨ ostermektedir.

(3) L ² (S), (19.30) nın sol tarafındaki uzayı g¨osteriyorsa, C ⁰ (S) uzayını L ² (S) uzayına yo˘ gun olacak bi¸cimde g¨ omen, bir

(19.31) C ⁰ (S) → L ² (S)

d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Buradaki fikir S ¨uzerindeki fonksiyonların R de 2π-periyodik fonksiyonlar olarak d¨ u¸s¨ un¨ ulebilece˘ gidir.

Problem 9.2. Schr¨ odinger d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u A¸sa˘ gıdaki ¨ orne˘ gi ele alalım.

(19.32) − d ² u(x)

dx ² + V (x)u(x) = f (x) x ∈ R,

(1) ¨ Once V = 1 alalım. Neden V = 0 almıyoruz? Bu b¨ ol¨ um¨ un sonına kadar bunu yanıtlamaya ¸calı¸smayınız

(2) f (x) ∈ C ⁰ (S) ger¸cel sayılarda 2π-periyodik fonksiyonlar olmak ¨uzere (19.33) − d ² u(x)

dx ² + u(x) = f (x) x ∈ R

denkleminin ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u hatırlayın. R de (19.33) i sa˘glayan iki-kez t¨urevlenebilen ve ikinci t¨ urevi s¨ urekli olan 2π-periyodlu tek bir u fonksiyonunun oldu˘ gunu kanıtlayınız ve bu ¸c¨ oz¨ um

(19.34) u(x) = (Sf )(x) =

Z

(0,2π)

A(x, y)f (y)

olarak yazılabilir, burada A(x, y) ∈ C ⁰ (R ² ) ve her x, y ∈ R i¸cin A(x + 2π, y + 2π) = A(x, y) sa˘ glanır. ˙Ip ucu: ¨ Once periyodiklik kısmını yok varsayarak

¸c¨ oz¨ um bulunuz. Bunu yapmak i¸cin, verilen denklemin diferansiyel d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u

¸carpanlarına ayırırız. Kar¸sılıklı terimler yok olaca˘ gından, (19.35) v = du

dx − v ise − d ² u(x)

dx ² + u(x) = −( dv(x) dx + v)

denklemine bakalım. Integral ¸carpanları bulmak i¸cin a¸sa˘ gıdaki denklemi ele alalım.

du

dx − u = e ^x dφ

dx , φ = e ^−x u (19.36)

dv

dx + v = e ^−x dψ

dx , ψ = e ^−x u.

Iki kez integral alarak denklemi ¸ o¨ oz¨ un¨ uz ve b¨ oylece (19.33) deki diferensiyel

denklemin bir ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u bulunuz. Bunu iki katlı integral bi¸ciminde yazınız ve

integrallerin sırasını de˘ gi¸stirerek ¸c¨ oz¨ um¨ u, A ⁰ , R×[0, 2π] ¨uzerinde s¨urekli olmak

¨ uzere

(19.37) u ⁰ (x) =

Z

(0,2π)

A ⁰ (x, y)f (y)dy

bi¸ciminde yazınız. u ⁰ (2π) − u ⁰ (0) ve ^du _dx

(2π) − ^du _dx

(0) farklarını f ’yi i¸ceren integraller bi¸ciminde hesaplayınız ve u ⁰ yi homojen denklemin ¸c¨ oz¨ um¨ u olarak ekleyiniz, f = 0 i¸cin c 1 e ^x + c 2 e ^−x dir, dolayısıyla (19.33)’ ¨ un yeni ¸c¨ oz¨ um¨ u u(2π) = u(0) ve ^du _dx (2π) = ^du _dx (0) ifadelerini sa˘ glar. S ¸imdi u’nın (19.34) gibi verildi˘ gini kontrol ediniz.

(3) Do˘ grudan ya da dolaylı olarak A(x, y) = A(y, x) ve A’nın ger¸cel oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4) S d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un L ² (S) de sınırlı bir d¨on¨u¸s¨ume geni¸sletilebilece˘gi g¨or¨uz.

(5) A¸sa˘ gıdaki ifadeyi do˘ grulayınız.

(19.38) S(e ^ikx ) = (k ² + 1) ⁻¹ e ^ikx , k ∈ Z.

(6) Az ¨ onceki sonucu kullanarak ya da bir ba¸ska ¸sekilde S’nin L ² (S)’nın

¨

oze¸slenik kompakt d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(7) g ∈ C ⁰ (S) ise Sg’nin iki-kez s¨urekli t¨urevlenebilir oldu˘gunu g¨osteriniz.

˙Ip ucu :integralin t¨urevini alarak i¸slem yapınız.

(8) F , L ² (S) de tanımlı, ¨ozde˘gerleri (k ² +1) ⁻

olan ¨ oze¸slenik kompakt olmak

¨

uzere S = F ² oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(9) F : L ² (S) → C ⁰ (S) oldu˘gunu g¨osteriniz.

(10) (19.32) deki ger¸cel e¸sitli˘ ge gidelim ve V ’nin s¨ urekli, ger¸cel de˘ gerli ve 2π periyodik oldu˘ gunu varsayalım. u iki-kez t¨ urevlenebilir, 2π periyodik ve verilen bir f ∈ C ⁰ (S) i¸cin (19.32) sa˘glanıyorsa

(19.39) u + S((V − 1)u) = Sf ve b¨ oylece u = −F ² ((V − 1)u) + F ² f oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve

(19.40) v ∈ L ² (S) ve v + (F (V − 1)F )v = F f olmak ¨ uzere u = F v oldu˘ gu sonucuna varınız, burada V − 1, V − 1 ile ¸carpma d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur.

(11) Tersine, v ∈ L ² (S)

(19.41) v + (F (V − 1)F )v = F f, f ∈ C ⁰ (S)

ifadesini sa˘ glıyorsa u = F v, 2π periyodik, R de iki-kez t¨urevlenebilen bir

fonksiyondur ve (19.32) yi sa˘ glar.

(12) Spektral teoremi F (V − 1)F ’e uygulayınız ve her C \ {0} i¸cin (19.42) λv + (F (V − 1)F )v = g, g ∈ L ² (S)

nin her g ∈ L ² (S) i¸cin tek ¸c¨oz¨um¨un¨um olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun her j i¸cin λ 6= λ j olacak bi¸cimde |λ j | → 0 ifadesini sa˘ glayan R \ {0} de bir λ ^j dizisinin varlı˘ gı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(13) Her λ _j i¸cin

(19.43) λ j v + (F (V − 1)F )v = 0, v ∈ L ² (S)

denkleminin ¸c¨ oz¨ umlerinin R de s¨urekli 2π periyodik oldu˘gunu g¨osteriniz.

(14) (19.43) de v’yi sa˘ glayan fonksiyona kar¸sılık gelen u = F v fonksiyonunun iki-kez s¨ urekli s¨ urekli t¨ urevlenebilen, R de 2π periyodik ve

(19.44) − d ² u

dx ² + (1 − s _j + s _j V (x))u(x) = 0, s _j = 1 λ _j e¸sitli˘ gini sa˘ gladı˘ gını g¨ osteriniz.

(15) Tersine, u sıfıra e¸sit olmayan, iki-kez s¨ urekli t¨ urevlenebilen 2π periyodik ve a¸sa˘ gıdaki denklemi sa˘ glayan bir fonksiyon ise,

(19.45) − d ² u

dx ² + (1 − s + sV (x))u(x) = 0, s ∈ C bazı j ler i¸cin s = s _j oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(16) (19.32) denklemi i¸cin Fredholm alternatifi’nin do˘ grulu˘ gunu g¨ osteriniz.

Teorem 14 Ger¸cel sayılar ¨ uzerinde tanımlı ve ger¸cel de˘ gerli s¨ urekli 2π periy- odlu V fonksiyonu i¸cin ya (19.32) s¨ urekli ve 2π periyodlu her f i¸cin yine 2π peryodlu, iki-kez s¨ urekli t¨ urevlenebilen tek bir ¸c¨ oz¨ ume , veya

(19.46) − d ² w(x)

dx ² + V (x)w(x) = 0, x ∈ R

homojen denkleminin sonlu boyutlu, iki-kez s¨ urekli t¨ urevlenebilir fonksiy-

onlardan ve 2π-periyodlu fonksiyonlardan olu¸san ¸c¨ oz¨ um uzayı vardır. (19.32)

denkleminin ¸c¨ oz¨ um¨ u olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul (19.46) denkleminin her

2π- periyodlu ¸c¨ oz¨ um¨ u w i¸cin ^R _(0,2π) f w = 0 sa˘ glanmasıdır.

Yukarıdan, Schr¨ odinger d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un t¨ um 2π periyodlu ¨ ozfonksiyonlarını anlayabiliriz. ¨ Once, − _dx ^d

ifadesine 1 eklemede ilahi bir ¸sey olmadı˘ gını belirte- lim, hakikaten herhangi bir pozitif sabit ekleyip, benzeri sonu¸cu elde edebili- riz. 0 ile ilgili problem − ^d _dx

^u

= 0 homojen denklemini sa˘ glayan sabitlerdedir.

Ger¸cekten kanıtladı˘ gımız ¸sey;

(19.47) u → Qu = − d ² u

dx ² u + V u

d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un iki-kez s¨ urekli t¨ urevlenebilen fonksiyonlar uzayı ¨ uzerinde sol tersinir olması veya

(19.48) − d ² u

dx ² u + V u = 0

denkleminin sıfırdan farklı bir ¸c¨ oz¨ um¨ u olmasıdır, bu sol ters R = F (Id + F (V − 1)F ) ⁻¹ F dir. Bu d¨ on¨ u¸s¨ um kompakt ve ¨ oze¸slenik’tir. Burada hala

yapılacak ¸cok i¸s vardır. ¨ Orne˘ gin,Q d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un iki-kez t¨ urevlenebilir ¨ ozfonksiyonları, yani Qu = τ u denkleminin ¸c¨ oz¨ umleri Ru = τ ⁻¹ u denkleminin sıfırdan farklı

¸c¨ oz¨ umleridir.

(19.48) denkleminin sıfırdan farklı ¸c¨ oz¨ um¨ u oldu˘ gunda ne yapılmalıdır? Bu

durumda bu ¸c¨ oz¨ umler uzayının sonlu boyutlu oldu˘ gunu ve L ² (S) uzayının

dikt¨ umleyeninde ¸calı¸sarak aynı sonu¸cun do˘ gru oldu˘ gunu g¨ osteriniz.