MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.
18.102
Introduction to Functional Analysis Bahar 2009
Prof.Dr.Richard Melrose
18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009
DERS 13.BA˙IRE TEOREM˙I, D ¨ UZG ¨ UN SINIRLILIK, ZAYIF YAKINSAK D˙IZ˙ILER˙IN SINIRLILI ˘ GI
9 Ders’te ele alınan Baire Teoreminin geni¸sletilmi¸s hali.
Teorem 8 E˘ ger M bo¸stan farklı ve tam metrik uzay, C
n⊂ M ∀n ∈ N kapalı altk¨ umeler ve
(13.1) M = ∪
nC
nvarsa, C
nlerden en az birinin i¸ci bo¸s de˘ gildir.
Kanıt p
1∈ C /
1se¸cebiliriz ¸c¨ unk¨ u aksi halde C
1a¸cık bir yuvar i¸cerirdi. C
1kapalı oldu˘ gundan B(p
1,
1) ∩ C
1= φ sa˘ glayan
1> 0 varolmalıdır. S ¸imdi C
2i¸cinde olmayan p
2∈ B(p
1, /3) se¸celim. Bu m¨ umk¨ und¨ ur zira aksi durumda B(p
1,
1/3) ⊂ C
2,
2> 0,
2<
1/3 ve B(p
2,
2) ∩ C
2= φ olurdu. G¨ or¨ uld¨ u˘ g¨ u gibi hem C
2k¨ umesinin kapalı oldu˘ gunu ve i¸cinin bo¸s oldu˘ gu ger¸ceklerini kul- landık. T¨ umevarımla devam edece˘ giz. Sonlu p
i, i = 1, 2, ..., k ve 0 <
k<
k−1/3 <
k−2/3
2< ... <
1/3
k−1< 3
−kdizisi, hem p
j∈ B(p
j−1,
j−1/3) hem de B(p
j,
j) ∩ C
j= φ sa˘ glasın. S ¸imdi C
knın ¨ ozelliklerini kullanarak p
k+1noktası bulaca˘ gız. C
kk¨ umesinin i¸ci bo¸s de˘ gildir -yani - B(p
k, /3) olup, C
k+1k¨ umesinde olmayan bir p
k+1noktası, ¨ ustelik
k+1> 0 i¸cin
k+1<
k/3 i¸cin B(p
k+1,
k+1) ∩ C
k+1= φ nedeni ile bir ba¸ska p
k+1ekleyebiliriz. Bu ¸sekilde M i¸cinde (p
k) dizisini in¸sa edebiliyoruz. d(p
k, p
k+1) < /3 oldu˘ gundan, bu dizi bir Cauchy dizisidir. Ger¸cekten her l > 0 sayısı i¸cin
(13.2) d(p
k, p
k+1) <
k/3 + ... +
k+l−1/3 < 3
−k< 2
k/3
ve bu k sonsuza giderken sıfıra gider. M tam oldu˘ gundan bu dizi yakınsamalıdır.
(13.2) den g¨ or¨ unen limit q ∈ M , her k i¸cin B(p
k, 2
k/3) k¨ urelerinin kapanı¸sı i¸cinde kalmalıdır. Dolayısı ile her k i¸cin q / ∈ C
kolmalıdır ki, bu da (13.1) ile
¸celi¸sir. Dolayısı ile en az bir C
nnin i¸ci bo¸s olmamalıdır.
Bu teoremin bir uygulaması d¨ uzg¨ un sınırlılık ilkesi olarak bilinen teoremdir.
Teorem 9 (D¨ uzg¨ un sınırlılık ilkesi) B bir Banach uzayı, V normlu uzay ve her n ∈ N i¸cin T
n: B → V (s¨ urekli) sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umler olsun. E˘ ger her b ∈ B i¸cin (T
n(b)) dizisi V i¸cinde sınırlı ise sup
n||T
n|| < ∞ dir.
Kanıt. Bu Baire teoreminin do˘ grudan a¸sa˘ gıdaki k¨ umelere uygulanması ile elde edilir. Bu ba˘ glamda
(13.3) S
p= {b ∈ B : ||b|| ≤ 1, ||T
nb||
V≤ p, ∀n}, p ∈ N
tanımlayalım. Her T
ns¨ urekli oldu˘ gundan, her S
Pkapalıdır. Dolayısı ile e˘ ger b
n→ b yakınsak bir dizi ise ||b|| ≤ 1 ve ||T
n(p)|| ≤ p vardır. S
pk¨ umelerinin birle¸simi B uzayının birim yuvarıdır. Yani,
(13.4) {b ∈ B : d(b, 0) ≤ 1} =
[p
S
pNoktasal yakınsamanın gere˘ gi olarak ||b|| ≤ 1 sa˘ glayan her b vekt¨ or¨ u bir S
pk¨ umesinde olmalıdır. S ¸imdi Baire teoremini uygulayarak, S
pk¨ umelerinden en az birinin i¸cinin bo¸s olmadı˘ gına h¨ ukmederiz. Bu ise p, v ∈ S
pi¸cin bulunacak δ > 0 i¸cin
(13.5) w ∈ B, ||w||
B≤ δ ⇒ ||T
n(v + w)||
V≤ p, ∀n
sa˘ glanması demektir. v yerine (1−δ/2)v, δ’yıda gerekti˘ gi gibi se¸cerek B(v, δ) yuvarının sıfır vekt¨ or¨ u etrafındaki bir yarı¸caplı a¸cık yuvar i¸cinde oldu˘ gunu s¨ oyleyebiliriz. ¨ U¸cgen e¸sitsizli˘ gini, ||T
n(v)|| ≤ p ve T nin d¨ on¨ u¸s¨ um normunun kapalı birim yuvar ¨ uzerinde alınan supremum oldu˘ gunu anımsayarak T
n’ lerin d¨ on¨ u¸s¨ um normunda sınırlılı˘ gını, yani
(13.7) ||T
n|| ≤ 2p/δ elde ederiz.
Ge¸cen derste bahsetti˘ gim gibi bir Hilbert uzayında zayıf topolojide yakınsayan bir dizinin norm sınırlı oldu˘ gunu varsaymak zorunda de˘ giliz.
Sonu¸ c. Bir Hilbert uzayındaki (u
n) dizisi, e˘ ger her v ∈ H i¸cin kompleks sayılarda,
(13.8) (u
n, v) → F (v)
yakınsaması vardır. Bu nedenle, ||u
n||
Hsınırlıdır ve bir w ∈ H i¸cin (u
n), w vekt¨ or¨ une zayıf yakınsar.
Kanıt D¨ uzg¨ un sınırlılık ilkesini
(13.9) T
n(u) = (u, u
n), T
n: H → C
s¨ urekli fonksiyonellerine uygulayalım. Her (|T
n(u)|) dizisi kompleks sayılarda yakınsak oldu˘ gundan, sınırlıdır. Dolayısı ile, bir C sayısı i¸cin a¸sa˘ gıdaki
(13.10) ||T
n|| ≤ C
sa˘ glanır. Ancak ||T
n|| = ||u
n||
Holdu˘ gundan (u
n) dizisi H uzayında sınırlıdır.
S ¸imdi her u i¸cin T : H → C fonksiyonelini
(13.11) T (u) = lim
nT
n(u) = lim
n(u, u
n)
olarak tanımlayalım. Varsayımdan, bu limit her u ∈ H i¸cin vardır. Do˘ grusallık ve (13.10) gere˘ gince sınırlıdır, ||T || ≤ C. Riesz G¨ osterim Teoreminden bir w ∈ H i¸cin
(13.12) T (u) = (u, w), ∀u ∈ H
elde ederiz. Dolayısı ile her u ∈ H i¸cin (u
n, u) → (w, u) ve ileri s¨ ur¨ uld¨ u˘ g¨ u gibi u
n* w zayıf yakınsaması vardır.
Baire teoreminin ikinci ana uygulaması a¸sa˘ gıdakidir.
Teorem 10. (A¸ cık d¨ on¨ u¸ s¨ umler) E˘ ger T : B
1→ B
2Banach uzayları arasında s¨ urekli ve ¨ uzerine ise, a¸cık bir d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. Yani B
1deki her a¸cık O k¨ umesi i¸cin
(13.13) T (O) a¸cıktır.
Kanıt. Bu bir bakıma yanlı¸s y¨ ondeki s¨ urekliliktir ve d¨ on¨ u¸s¨ umlerin ters- lerinin s¨ ureklili˘ ginde kullanılır. Kanıt, Baire teoremini kullanırsa da burada benzer ancak farklı bir yol izlenecektir. Kanıtı iki kısma ayıralım.
(1). Bu kısımda kanıtlanacak husus B
1deki a¸cık bir yuvarın T altındaki g¨ or¨ unt¨ us¨ un¨ un kapanı¸sı i¸cin 0 vekt¨ or¨ un¨ un bir i¸c nokta oldu˘ gudur - ba¸ska bir deyi¸sle- B
2i¸cinde sıfır vekt¨ or¨ u etrafında a¸cık bir yuvar i¸cerir. Bunu g¨ ormek i¸cin Baire teoremini
(13.14) C
p= T (B(0, p))
ile tanımlanan k¨ umelere uygulayalım. Kapanı¸s almamızın nedeni Baire teo- remindeki k¨ umelerin kapalı olmalarındandır. Ancak buraya ge¸cmeden ¨ once, T
¨
uzerine oldu˘ gundan- yani iz uzayındaki her¸sey bir vekt¨ or¨ un g¨ or¨ unt¨ us¨ u oldu˘ gundan, (13.15) B
2=
[p
T (B(0, p))
ger¸ce˘ gini yazalım. Dolayısı ile birle¸simdeki C
pk¨ umelerinden birisinin i¸c noktası v vardır. T nin ¨ uzerine oldu˘ gunu kullanarak, bir u ∈ B
1i¸cin v = T u yazılabilir.
C
pk¨ umeleri p ile arttıklarından, gere˘ ginde daha b¨ uy¨ uk bir p se¸cerek ve v nin
hala bir i¸c nokta oldu˘ gunu g¨ ozardı etmeksizin, 0 = v − T u vekt¨ or¨ un¨ un de bir i¸c nokta oldu˘ gunu g¨ ozlemliyelim. Dolayısı ile bir δ > 0 i¸cin
(13.16) C
p⊃ B(0, δ) bulalım.
(2) Baire teoremini kullandıktan sonra, ¸simdi (13.16) nın ne anlama geldi˘ gini d¨ u¸s¨ unelim. Bu her v ∈ B
2, ||v|| < δ vekt¨ or¨ un¨ un u
nler, ||u
n|| ≤ p olmak
¨
uzere bir (T u
n) dizisinin limiti oldu˘ gu anlamına gelir. Bu dizinin yakınsadı˘ gını g¨ ostermek istiyoruz. T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un do˘ grusallı˘ gını kullanıp, v vekt¨ or¨ un¨ un normunu de˘ gi¸stirebiliriz. Dolayısı ile (13.16) kullanarak verilen keyfi v ∈ B
2i¸cin v
0= δv/2||v|| alarak, ||u
0n|| ≤ p sa˘ glatarak, T u
0n→ v
0kabul edebiliriz.
S ¸imdi, u
n= ||v||u
0n/δ, hem ||u
n|| ≤ 2p||v||/δ hem de T u
n→ v sa˘ glayacaktır.
Aritmeti˘ gi sadele¸stirmek gayesi ile c = p/2δ olmak ¨ uzere T yerine cT alalım.
Bu her v ∈ B
2i¸cin ||u
n|| ≤ ||v|| sa˘ glamak ¨ uzere T u
n→ v sa˘ glayan u
n∈ B
1dizisinin varlı˘ gını verir.
S ¸imdi dizinin limitine ge¸cmeden ¨ once v vekt¨ or¨ une istedi˘ gimiz kadar yakınla¸sa bilece˘ gimizi g¨ orelim. Bu, B
2deki her v vekt¨ or¨ u i¸cin
(13.17) ∃u ∈ B
1, ||u|| < ||v||, ||v − T u|| ≤ 1 2 ||v||
demektir. Buradan ¨ oteleme ile daha iyi bir dizi se¸cebiliriz.Keyfi alınan w = w
1∈ B
1ve normu ||w
1|| < 1 olmak ¨ uzere (13.17) den v = w = w
1i¸cin u
1= u se¸celim. B¨ oylece ||u
1|| < 1, w
2= w
1− T u
1vekt¨ or¨ u ise ||w
2|| <
12sa˘ glanmı¸s olur. S ¸imdi t¨ umevarım yapmak i¸cin B
1de j < n, u
jdizisini ||u
j|| ≤ 2
−j+1ve w
j= w
j−1− T u
j−1ve ||w
j1|| < 2
−j+1verilmi¸s kabul edelim. T¨ umevarımı tamamlamak ve u
ndizisini elde etmek i¸cin
(13.18) w − T (
n
X
j=1
u
j) = w
1− T u
1− T (
n
X
j=2
u
j) = w
2− T u
2− T (
n
X
j=3
u
j) = w
n+1yazalım.Terimleri u
nolan seri, B
1uzayı tam oldu˘ gundan mutlak toplan- abilirdir ve
(13.19) w = T u, u =
Xj
u
j, ||u|| ≤ 2
sa˘ glanır. Dolayısı ile B
2de w ∈ B(0, 1) vekt¨ or¨ un¨ un B
1de B(0, 2) yuvarının
T altındaki izinde kaldı˘ gını g¨ ord¨ uk. c ile ¸carpılmamı¸s T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ une geri
d¨ onersek bir δ > 0 i¸cin
(13.20) B(0, δ) ⊂ T (B(0, 1)) elde ederiz.
(3) S ¸imdi artık her a¸cık O k¨ umesinin T altındaki izinin a¸cık oldu˘ gunu g¨ orebiliriz. C ¸ ¨ unk¨ u, e˘ ger w ∈ T (O) ise bir u ∈ O i¸cin w = T u olacaktır ve bu nedenle yeterince k¨ u¸c¨ uk i¸cin, B(w, δ) k¨ umesi u+B(0, ) ⊂ O sa˘ glanacaktır.
S ¸imdi A¸cık g¨ onderim teoreminin iki uygulamasını verece˘ giz.
Sonu¸ c 3. T : B
1→ B
2iki Banach uzayı arasında 1-1 ve ¨ orten sınırlı do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ um olsun. T bir homomorfizmadır. Yani, mutlaka do˘ grusal olması gereken, tersi aynı zamanda sınırlıdır.
Kanıt. Burada karı¸sıklı˘ ga neden olabilecek tek ¸sey g¨ osterimdir. T ’nin tersini S ile g¨ osterirsek S : B
2→ B
1do˘ grusaldır. E˘ ger O ⊂ B
1a¸cık bir k¨ ume ise S
−1= T (O) a¸cık g¨ onderim teoreminden a¸cık ve S s¨ urekli olacaktır.
˙Ikinci uygulama ise ;
Teorem 11( Kapalı Grafik Teoremi) T : B
1→ B
2iki Banach uzayı arasında do˘ grusal T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un sınırlılı˘ gı i¸cin yeterli ve gerekli ko¸sul grafi˘ gi
(13.21) Gr(T ) = {(u, v) ∈ B
1× B
2, v = T u}
k¨ umesinin ¸carpım Banach uzayı B
1× B
2de kapalı olmasıdır. (C ¸ arpım Ba- nach uzaylarını i¸sledik mi? E˘ ger yanıtınız hayır ise bir-iki dakika d¨ u¸s¨ un¨ un l¨ utfen!)
Kanıt. T sınırlı (s¨ urekli) olsun. Bir (u
n, v
n) dizisinin Gr(T ) de olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul v
n= T u
nolmasıdır. E˘ ger dizi yakınsıyor ise bu u
n→ u ve T nin s¨ ureklili˘ ginden v
n= T u
n→ T v demektir. Bu ise lim- itin Gr(T ) k¨ umesinde oldu˘ gunu, bir ba¸ska deyi¸sle Gr(T ) grafi˘ ginin kapalılı˘ gını verir. S ¸imdi grafi˘ gin kapalı oldu˘ gunu varsayalım. B
1× B
2¸carpım uzayından
¸carpan uzaylarına π(u, v) → u ve π(u, v) → v tanımlı projeksiyonları d¨ u¸s¨ unelim.
Her ikisi de s¨ urekli olan bu d¨ on¨ u¸s¨ umleri Gr(T ) ⊂ B
1×B
2uzayına kısıtlıyalım.Buradan
¸su ¸sekle ula¸sırız:
Gr(T )
B
1T
-
π
1B
2π
2-
