MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 12. KOMPAKT K ¨ UMELER, ZAYIF KOMPAKT

K ¨ UMELER VE ZAYIF YAKINSAMA

Bir metrik uzayın bir altk¨ umesiyle ilgili ¨ ozelliklerden biri bu k¨ umeden alınan bir dizinin yakınsak bir altdizisinin varlı˘ gı ve limitin bu k¨ umede olmasıyla ilgi- lidir. Bu ¨ ozelli˘ ge denk olan ¨ ozelliklerden biri, bu k¨ umenin her a¸cık ¨ ort¨ us¨ un¨ un sonlu bir a¸cık alt¨ ort¨ us¨ un¨ un olmasıdır (Bu denk ko¸sul genel topolojide oldukca kullanı¸slıdır ve topolojik uzaylarda da ge¸cerlidir). Dolayısıyla ayrılabilir Hilbert uzayında bir kompakt k¨ ume kavramı kesinkez bellidir. Bu haftanın problem- lerinde kompakt k¨ umenin ¸ce¸sitli betimleni¸sleri ayrıntıları ile ele alınacaktır.

Bir metrik uzayda genel sonu¸clardan biri kompakt k¨ umenin kapalı ve sınırlı olmasıdır, dolayısı ile bu genel sonu¸c Hilbert uzaylarında da do˘ grudur. R ⁿ ya da C ⁿ de (ve b¨ oylece sonlu boyutlu normlu uzayda), Heine-Borel teoremi bunun tersini verir, yani kapalı ve sınırlı k¨ ume kompaktır. C ⁿ de bir dizinin yakınsaklı˘ gı her bir koordinatına kar¸sılık gelen dizinin yakınsak olmasına denk- tir, bunun i¸cin ¨ once R den C ye ve oradan da C ⁿ ye ge¸cilir. Bu durum son- suz boyutta do˘ gru de˘ gildir-kapalı ve sınırlı bir k¨ umenin kompakt oldu˘ gunu g¨ ostermek i¸cin bazı ek ko¸sullara ihtiyacımız vardır.

Bir metrik uzayda, bir dizinin s : N → M elemanları ve bu dizinin limit noktalarından olu¸san S k¨ umesi her zaman kompaktır. Burada S k¨ umesi s’nin g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesi ve bu g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesinin limit noktalarından olu¸san k¨ umedir ( Tam sayılardan metrik uzayda de˘ gerler alan bir fonksiyonun g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesi olarak ta d¨ u¸s¨ unebilece˘ gimiz bu k¨ ume dizinin yakınsayan altdizilerinin limit- lerini de i¸cine alır). Bu k¨ ume, ilk noktanın di˘ ger noktalara olan uzaklı˘ gı sınırlı oldu˘ gundan, kesinlikle sınırlıdır. Bu k¨ umeden alınacak bir dizi ilk dizinin ele- manlarının keyfi sırada alınmı¸s ve belki de tekrar edilmi¸s ¨ o˘ gelerinden olu¸sur.

Ancak ogijinal dizinin ¨ o˘ geleri de tekrar edebileceklerinden, se¸cilen yeni dizinin damgaları tek de˘ gildir. Bu k¨ ume, kolayca g¨ or¨ ulece˘ gi gibi, kapalıdır. ¨ Ustelik M \S a¸cık oldu˘ gundan S kapalıdır-bir p ∈ M \S noktası limit noktasından sıfır olmayan sonlu d(p, s), uzaklıkta oldu˘ gundan, B(p, ^d(p,s) ₂ ), S’nin sadece sonlu sayıda elemanını i¸cerebilir, ve b¨ oylece yarı-¸capı daha k¨ u¸c¨ uk bir a¸cık k¨ ureyle kesi¸smez.

Onteorem 6. Bir Hilbert uzayda yakınsayan bir serinin izi her ortonormal ¨

diziye g¨ ore kuyru˘ gu k¨ u¸c¨ uk-e¸s olan bır dizidir, yani e _k bir ortonormal dizi ve

u _n → u ise verilen her  > 0 i¸cin (12.1) ^X

k>N

|(u _k , e _k )| ² <  ² ∀n.

olacak bi¸cimde N vardır.

Kanıt. Bessel e¸sitsizli˘ ginden dolayı her u ∈ H i¸cin (12.2) ^X

k

|(u, e _k )| ² ≤ kuk ²

vardır. Bu serinin yakınsaması, yeterince b¨ uy¨ uk N se¸cimiyle, (12.1)’nın dizinin her bir elemanı u _n ya da limiti u i¸cin ayarlanabilece˘ gi anlamındadır, yani verilen

 > 0’a kar¸sılık

(12.3) ^X

k>N

|(u, e _k )| ² <  ² 2

olacak bi¸cimde N ⁰ se¸cilebilir. Aslında, tam olup olmadı˘ gı ¨ onemli olmayan (e _k ) bir ortonormal dizi i¸cin tanımlanan

(12.4) P : H → H, P (u) = ^X

k

(u, e k )e k

s¨ ureklidir ve d¨ on¨ u¸s¨ um normu en fazla birdir. Ger¸cekten Bessel e¸sitsizli˘ ginden kP uk ² ≤ kuk ² . Bunun

(12.5) P _N u = ^X

k>N

(u, e _k )e _k

ya uygulanmasıyla u _n → u yakınsaması, normda kP _N u _n k → kP _N uk yakınsamasını ve dolayısıyla

(12.6) ^X

k>N

|(u, e _k )| ² <  ²

olmasını gerektirir. Dolayısıyla n > n ⁰ , N = N ⁰ i¸cin (12.1)’i ayarladık. Elbette bu e¸sitsizlik N ’nin artan de˘ gerleri i¸cin de do˘ grudur. n ≤ n ⁰ i¸cin yeterince b¨ uy¨ uk N se¸cerek yeniden ayarlayabiliriz. Bu ger¸cekten (12.1)’nin yeterli b¨ uy¨ uk N se¸cimiyle her n i¸cin ayarlanabilece˘ gini g¨ osterir.

Bu sonucu kullanarak bir Hilbert uzayında bir k¨ umenin kompaktlı˘ gının kul- lanı¸slı bir betimleni¸si a¸sa˘ gıdaki gibi verebiliriz.

Onerme 19. H ayrılabilir bir Hilbert uzayı olsun. Bir altk¨ ¨ ume K ⊂ H nın

kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul K’nın sınırli, kapalı ve her ortonor- mal tabana g¨ ore k¨ u¸c¨ uk-e¸s kuyru˘ gu olmasıdır.

Kanıt. Kompakt bir k¨ umenin kapalı ve sınırlı oldu˘ gunu biliyoruz. Bazı ortonormal tabana g¨ ore kuyruk kısmının e¸s k¨ u¸c¨ uk-e¸s ko¸sulunu sa˘ glanmadı˘ gını varsayalım. Yani bazı  > 0 ya g¨ ore verilen her N i¸cin

(12.7) ^X

k>N

|(u _N , e _k )| ² ≥  ²

olacak bi¸cimde u N ∈ K bulunabilsin. Bu durum, kanıtlanan ¨ onteorem ile

¸celi¸sece˘ ginden, (u _N ) dizisinin yakınsak bir altdizisi yoktur, ve b¨ oylece K kom- pakt de˘ gildir.

B¨ oylece bir k¨ umenin kompakt olması i¸cin kapalı, sınırlı ve kuyru˘ gun k¨ u¸c¨ uk- e¸s olma ko¸sulunun gereklili˘ gi kanıtladık. Geriye bunların yeterli oldu˘ gunu g¨ ostermek kalıyor. Dolayısıyla K’nın kapalı, sınırlı ve bir ortonormal e _k ta- banına g¨ ore kuyru˘ gun k¨ u¸c¨ uk-e¸s olma ko¸sulunun sa˘ glandı˘ gını varsayalım ve (u n ) K da bir dizi olsun. (u _n ) dizisinin sadece Cauchy oldu˘ gunu g¨ ostermek yeter- lidir, ¸c¨ unk¨ u bu durumda H tam oldu˘ gundan yakınsayacaktır ve K’nın kapalı olmasından dolayı da limit noktası K’da kalacaktır. k sabit olmak ¨ uzere C de (u _n , e _k ) dizisini ele alalım. K’nın sınırlı olmasından dolayı bu dizi sınırlıdır:

(12.8) |(u n , e k )| ≤ ku n k ≤ C.

Heine-Borel teoreminden l → ∞ i¸cin (u _n

, e _k ) dizisini yakınsak yapabilecek bi¸cimde, u _n dizisinin bir u _n

altdizisi vardır.

Bu tartı¸smayı k = 1, 2, ... i¸cin uygulayabiliriz. Bunlardan ilki olan (u _n

, e ₁ )dizisinin yakınsak olacak bi¸cimde bir u ¹ _n altdizisi vardır. Bu altdizinin de u ¹ _n , (u ² _n , e ₂ ) yakınsak olabilecek bi¸cimde, bir (u ² _n ) altdizisi vardır. Bu ¸sekilde olu¸sturulan (u _n ) altdizilerin k¨ o¸segenine ge¸cerek yeni bir altdizi elde ederiz. Bu altdizin k’nıncı ¨ o˘ gesi, k’nıncı altdizinin k’inci ¨ o˘ gesidir. Bu altdizi i¸cin ((u _n

) diyelim), (u _n

, e _k ) dizisi her k i¸cin yakınsaktır.

Kısa g¨ osterim olarak (u _n

) dizisini (v _n ) ile g¨ osterecek olursak ve Bessel

¨

ozde¸sli˘ gini d¨ u¸s¨ un¨ ursek (varsayımdan dolayı e _k ortonormal k¨ umesi tamdır) C’de paralelkenar kuralıilkesi kullanılarak ;

kv _n − v _n+1 k ² _H = ^X

k≤N

|(v _n − v _n+l , e _k )| ² + ^X

k>n

|(v _n − v _n+l , e _k )| ² (12.9)

≤ ^X

k≤n

|(v _n − v _n+l , e _k )| ² + 2 ^X

k>n

|(v _n , e _k )| ² + 2 ^X

k>n

|(v _n+l , e _k )| ²

elde edilir. Bu toplamı  ² den k¨ u¸c¨ uk yapmak i¸cin son iki toplamı ^ ₂

k¨ u¸c¨ uk yapacak bi¸cimde yeterince b¨ uy¨ uk N se¸cebiliriz ve bu kuyru˘ gun k¨ u¸c¨ uk-e¸s olması nedeniyle her n ve l i¸cin yapılabilir. Ilk toplamdaki terimlerin herbirini, her biri sonlu toplam olan (v _n , e _k ) dizisinin ¨ uzerinde Cauchy ko¸sulu kullanarak her l > 0 i¸cin, _2N ^

den k¨ u¸c¨ uk yapacak bi¸cimde yeterince b¨ uy¨ uk n se¸cilsin. B¨ oylece (v n ), (u n )’nın bir Cauchy altdizisidir ve dolayısıyla dikkatiniz ¸cekildi˘ gi gibi K i¸cinde yakınsaktır. Bu K’nın ger¸cekten kompakt oldu˘ gunu g¨ osterir..

Fourier-Bessel serisinin katsayıları olan (u _n , e _k ) dizilerinin ’nın yakınsıyor olma fikrinin genelle¸stirilmesi uygun olur.

Tanım 6. Bir Hilbert uzayı H da verilen bir (u _n ) dizisi norm sınırlı ve her v ∈ H i¸cin C de (u ^j , v) → (u, v) ise dizi, u ∈ H noktasına zayıf yakınsıyor denir. Bu durumda

(12.10) u _n * u yazılır.

Daha sonra g¨ or¨ ulece˘ gi gibi (ku _n k) dizisinın sınırlılı˘ gı ve u’nın varlı˘ gı ko¸sulları gerekli de˘ gildir. Bir dizinin zayıf yakınsak olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul her v ∈ H i¸cin (u _n , v) dizisinin C de yakınsak olmasıdır. Tersine, sınırlılık ve ’zayıf limit’ u ∈ H nın varlık aksiyomunu koymak sonucu de˘ gi¸stirmez. u ve u ⁰ noktaları u _n dizisinin zayıf limit noktaları oldu˘ gunda her v ∈ H i¸cin (u − u ⁰ , v) = lim _n→∞ (u _n , v) − lim _n→∞ (u _n , v) = 0 olaca˘ gından, v = u − u ⁰ alınmasıyla u = u ⁰ elde edilir, ve b¨ oylece zayıf limit tektir.

Onteorem 7. Yakınsak (kuvvetli) bir dizi zayıf yakınsaktır ve limit aynıdır. ¨ Kanıt. Bu i¸c¸carpımın s¨ ureklili˘ gidir. u _n → u ise her v ∈ H i¸cin

(12.11) |(u _n , v) − (u, v)| ≤ ku _n − uk kuk → 0.

Bu dizinin zayıf yakınsadı˘ gını g¨ osterir.

S ¸imdi birka¸c ¸sey daha kanıtlanacak ve di˘ gerleri ¨ odev olarak bırakılacaktır.

Onteorem 8. Ayrılabilir Hilbert uzayında zayıf yakınsama bir ortonormal ¨ tabana g¨ ore kordinatlarının yakınsamasına denktir.

Kanıt. e k bir ortonormal taban olsun. u n dizisi zayıf yakınsak ise her k i¸cin (u _n , e _k ) → (u, e _k ) dır. Tersine bunun sınırlı bir dizi i¸cin do˘ gru oldu˘ gunu varsayalım, bu durumda her k i¸cin C de (u n , e _k ) → c _k dır. Bu durumda norm sınırlılıktan ve Bessel e¸sitsizli˘ ginden, her p i¸cin

(12.12) ^X

k≤p

|c _k | ² = lim

n→∞

X

k≤p

|(u _n , e _k )| ² ≤ C ² sup

n ku _n k ²

elde edilir. Bu (c _k ) ∈ l ² verir ve b¨ oylece, H’nın tamlı˘ gından dolayı, (12.13) u = ^X

k

w k e k ∈ H

dir. Her k i¸cin (u _n , e _k ) → (u, e _k ) oldu˘ gu a¸cıktır. Geriye her v ∈ H i¸cin (u n , v) → (u, v) oldu˘ gunu g¨ ostermek kalıyor. Bu e k ’ların sonlu do˘ grusal birle¸simleri i¸cin kesinlikle do˘ grudur. C, ku _n k’lerin bir sınırı ve her v i¸cin v _p = ^P _k≤p (v, e _k )e _k v’nin Fourier-Bessel serisinin sonlu kısmı olmak ¨ uzere

(12.14) (u _n , v) − (u, v) = (u _n , v _p ) − (u, v _p ) + (u _n , v − v _p ) − (u, v − v _p ) ⇒

|(u n , v) − (u, v)| = |(u n , v p ) − (u, v p )| + 2C kv − v p k

olarak yazabiliriz. v _p → v, yakınsaması (12.14) deki son terim, n den ba˘ gımsız olarak yeterince b¨ uy¨ uk p se¸cimiyle, k¨ u¸c¨ uk yapılabilir. v _p , e _k ’ların sonlu do˘ grusal birle¸simi oldu˘ gundan, se¸cilecek b¨ uy¨ uk n lerle sondan ikinci terim de k¨ u¸c¨ uk yapılabilir. Bu ger¸cekten her v ∈ H i¸cin (u _n , v) → (u, v) oldu˘ gunu g¨ osterir, yani u _n dizisi u’ya zayıf yakınsar.

Onerme 20. Ayrılabilir bir Hilbert uzayında sınırlı bir (u ¨ _n ) dizisinin zayıf yakınsayan bir altdizisi vardır.

Bu, ayrılabilir bir Hilbert uzayında kapalı ve sınırlı bir altk¨ umeye zayıf kom- pakt’ denecek olunursa, Heine-Borel teoreminin sonsuz boyutlu bir bi¸cimi olarak d¨ u¸s¨ un¨ ulebilir.

Kanıt. Bir ortonormal e _k tabanı se¸celim ve ¨ Onerme 19 daki i¸slemi verilen sınırlı diziye uygulayarak her k i¸cin (u _n

, e _k ) yakınsak olacak bi¸cimde (u _n

) altdizisi se¸celim. ¨ Onceki ¨ Onteorem’den bu altdizi zayıf yakınsaktır.

Onteorem 9. Zayıf yakınsayan bir dizi u ¨ _n * u i¸cin (12.15) ku k≤ lim infk u _n k sa˘ glanır.

Kanıt. Bir e _k ortonormal tabanı se¸celim ve a¸sa˘ gıdaki e¸sitli˘ gi g¨ ozlemleyelim:

(12.16) ^X

k≤p

k(u, e _k )k ² = lim

n→∞ k(u, e _k )k ² .

Sa˘ g taraftaki dizi p den ba˘ gımsız olarak sınırlı oldu˘ gundan, lim inf tanımından dolayı

(12.17) ^X

k≤p

ku, e _k k ² ≤ lim inf ku _n k ² .

elde edilir. p → ∞ i¸cin limit alınarak, buradan kuk ² ≤ lim inf

n ku _n k ²

elde edilir. Buradan da (12.15) g¨ or¨ ul¨ ur.

PROBLEMLER 6

˙Ip ucu: ¨ Onerece˘ gim yardımcı g¨ or¨ u¸sler yararlı olmayabilir, o a¸cıdan bu g¨ or¨ u¸slere fazla odaklanmamalıdır.

Problem 6.1 H ayrılabilir bir Hilbert uzayı olsun. Bir K ⊂ H k¨ umesinin kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul sınırlı, kapalı ve K da zayıf yakınsayan her dizinin kuvvetli yakınsak olması oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu: Bir y¨on i¸cin sınırlı her dizinin zayıf yakınsayan bir altdizisinin oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 6.2 Ayrılabilir bir Hilbert uzayında zayıf yakınsayan bir (v _n ) dizisinin (kuvvetli) yakınsak olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun zayıf limit v’nin

(12.19) kvk _H = lim

n→∞ kv _n k _H ko¸sulunu sa˘ glaması oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu: A¸sa˘gıdaki e¸sitli˘gi g¨ostermek yeterlidir.

(12.20) (v _n − v, v _n − v) = kv _n k ² − 2Re(v _n , v) + kvk ² .

Problem 6.3 Bir Hilbert uzayı H nın altk¨ umesinin kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun kapalı, sınırlı ve ’sonlu boyutlu yakla¸sım’ ¨ ozelli˘ ginin olması, yani, her  > i¸cin

(12.21) d(K, D _N ) = sup

u∈K v∈D inf

{d(u, v)} ≤ 

olacak bi¸cimde sonlu boyutlu bir D _N ⊂ H do˘ grusal altyuzayın olmasıdır gerekti˘ gini g¨ osteriniz ˙Ip ucu: Gereklili˘ gi g¨ ostermek i¸cin her ortonormal tabana g¨ ore bir kompakt k¨ umenin k¨ u¸c¨ uk-e¸s kuyruk ¨ ozelli˘ gini kullanınız. Sonlu boyutlu yakla¸sım ko¸sulunu kullanmak i¸cin K da zayıf yakınsayan dizinin yakınsadı˘ gını kullanınız, konvekslik sonucunu kullanarak D _N ’nın v _n ’ye olan en yakın nok- tası v ⁰ _n olmak ¨ uzere D _N de (v _n ⁰ ) dizisini tanımlayınız. v ⁰ _n nin zayıf ve b¨ oylece yakınsak oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve buradan da (v _n ) dizisinin Cauchy oldu˘ gunu g¨ or¨ un¨ uz.

Problem 6.4 A : H → H sınırlı ve A(H) sonlu boyutlu olsun. (v _n ) zayıf yakınsak is Av _n dizisinin H da kuvvetli yakınsadı˘ gını g¨ osteriniz.

Problem 6.5 H ₁ ve H ₂ iki farkı Hilbert uzayı ve A : H ₁ → H ₂ sınırlı bir do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um olsun.

(12.22) (Au ₁ , u ₂ ) _H

= (u ₁ , A ^∗ _u

) _H

∀u ₁ ∈ H ₁ , u ₂ ∈ H ₂

olacak bi¸cimde tek bir tane (e¸slenik) A ^∗ : H ₂ → H ₁ sınırlı do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un

oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

PROBLEMLER 5’˙IN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER˙I

A¸sa˘ gıdaki ¸cesitli yerlerde Lebesgue Sınırlı Yakınsama teoremini kullanmayı d¨ u¸s¨ un¨ un¨ uz.

Problem 5.1 f : R → C, L ¹ (R) nın bir elemanı olsun. F L a¸sa˘ gıdaki gibi (12.23) x ∈ [−L, L] i¸cin f _L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlansın. f _L ∈ L ^∞ (R) ve L → ∞ i¸cin ^R |f _L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. [−L, L]’nın karakteristik fonksiyonunu χ _L ile g¨ osterelim. Bu du- rumda f _L = f χ _L . f _n , h.h.y f ’ye yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir bir serisi ise, ^R |f n χ L | ≤ ^R |f n | oldu˘ gundan ve f n χ L dizisi f L ye h.h.y yakınsadı˘ gından, f _n χ _L mutlak toplanabilirdir. Dolayısıyla f _L ∈ L ¹ (R) dır. Her x ∈ R i¸cin, L → ∞ iken |f L (x) − f (x)| → 0 ve |f _L (x) − f (x)| ≤

|f L (x)| + |f (x)| ≤ 2 |f (x)|. Dolayısıyla, Lebesgue sınırlı yakınsama teore- minden, ^R |f − f _L | → 0 elde edilir.

Problem 5.2 f : R → R fonksiyonu yerel integrallenebilir, yani, her L ∈ N i¸cin, g L olarak tanımlanan

(12.24) x ∈ [−L, L] i¸cin g _L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 fonksiyonun Lebesgue integrallenebilir olsun.

(1) Sabit L i¸cin

g _L (x) ∈ [−N, N ] ise g ^{(N )} _L (x) = g _L (x) (12.25)

g _L (x) > N ise g ^{(N )} _L (x) = N, g _L (x) < N ise g _L ^{(N )} (x) = −N

olarak tanımlanan g ^{(N )} _L fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) N → ∞ i¸cin ^R    g _L ^{(N )} − g _L    → 0 oldu˘ gunu kanıtlayınız.

(3) A¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikte basamak fonksiyonların bir (h _n ) dizisi oldu˘ gunu g¨ osteriniz:

(12.26) h _n (x) → f (x) h.h.y ∈ R .

(4) h ^{(N )} _n,L fonksiyonu a¸sa˘ gıdaki gibi tanımlansın:

x 6∈ [−L, L] ise h ^{(N )} _n,L = 0, h _n (x) ∈ [−N, N ], x ∈ [−L, L] ise h ^{(N )} _n,L = h _n (x)

(12.27)

x ∈ [−L, L], h _n (x) > N ise h ^{(N )} _n,L = N, h _n (x) < −N, x ∈ [−L, L] ise h ^{(N )} _n,L = −N.

n → 0 i¸cin ^R    h ^{(N )} _n,L − g ^{(N )} _L    → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um.

(1) χ _L , [−L, L]’nın karakteristik fonksiyonu olmak ¨ uzere tanım gere˘ gi g _L ^{(N )} = maks(−N χ L , min(N χ L , g L )) oldu˘ gundan, bu fonksiyon L ¹ (R) i¸cindedir.

(2) Her x ∈ R i¸cin g L ^{(N )} (x) → g L (x) ve    g _L ^{(N )}    ≤ |g L (x)| oldu˘ gundan Lebesgue Sınırlı Yakınsama teoreminden dolayı, dizi noktasal olarak 0 a yakınsadı˘ gından ve ¨ ustten 2 |g(x)| ile sınırlı oldu˘ gundan, L ¹ de g _L ^{(N )} → g _L , yani N → ∞ i¸cin

R  

 g ^N _L − g _L    → 0 vardır.

(3) S _L,n dizisi h.h.y g _L fonksiyonuna yakınsayan basamak fonksiyonların bir dizisi olsun. ¨ Orne˘ gin, g _L ’ye yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplan- abilir serilerin kısmi toplamları dizisini alabiliriz-integrallenebilme varsayımından dolayı b¨ oyle bir dizi vardır. S _L,n dizisini S _L,n χ _L ile de˘ gi¸stirerek [−N, N ] dı¸sında sıfır oldu˘ gunu varsayabiliriz, bu durumda dizi yine g _L ’ye h.h.y yakınsar.

A¸sa˘ gıda h _n dizisini tanımlayalım:

1 ≤ k ≤ n, x ∈ [k, −k] \ [(k − 1), −(k − 1)] i¸cin h _n (x) = S _k,n−k (x) (12.28)

x ∈ R \ [−n.n] i¸cin h n (x) = 0

olarak tanımlansın. Her n i¸cin h _n basamak fonksiyonların bir toplamı oldu˘ gundan bu dizi basamak fonksiyonların bir dizisidir- ve yeterince b¨ uy¨ uk L i¸cin [L, −L]\

[−(L − 1), (L − 1)] de S _L,n−L → g _L . Buradan da, ¨ ol¸c¨ umleri sıfır olan sayılabilir k¨ umelerin birle¸simleri dı¸sında h _n (x) → f (x) oldu˘ gu ve b¨ oylece yakınsamanın h.h.y yakınsama oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur.

(4) Bu ilk problemin tekrarıdır. h ^{(N )} _n,L → g _L ^{(N )} hemen heryerde ve    h ^{(N )} _n,L    ≤ N χ _L , dolayısıyla g _L ^{(N )} ∈ L ¹ (R) ve n → ∞ i¸cin ^R    h ^{(N )} _n,L − g ⁽ⁿ⁾ _L    → 0.

Problem 5.3 L ² (R)’nın bir Hilbert uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz-bu konunun ¨oz¨u oldu˘ gu i¸cin detayların ¨ ozenle yapılması yararlı olur.

L ² (R) k¨umesinin elemanlarını f : R → R yerel integrallenebilir ve |f | ² integrallenebilir olan fonksiyonlar olarak tanımlayalım.

(1) f fonksiyonu i¸cin h _n se¸celim ve g _L , g _L ^{(N )} ve h ^{(N )} _n yi (12.24), (12.25) ve

(12.27) deki gibi tanımlayalım.

(2) Sabit N ve L i¸cin h ^{(N )} _n,L ’yi kullanarak g _L ^{(N )} ve (g ^{(N )} _L ) ² fonksiyonlarının L ¹ (R) da oldu˘gunu ve n → ∞ i¸cin ^R    (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g _L ^{(N )} ) ²    → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) (g _L ) ² ∈ L ¹ (R) ve N → ∞ i¸cin ^R    (g _L ^{(N )} ) ² − (g _L ) ²    → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4) L → ∞ i¸cin ^R |(g _L ) ² − f ² | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) f, g ∈ L ² (R) ise f g ∈ L ¹ (R) ve (12.29)

    Z

f g

    ≤

Z

|f g| ≤ kf k _L

kgk _L

, kgk ² _L

=

Z

|f | ² oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(6) Bu sonu¸cları kullanarak L ¹ (R) nın bir vekt¨or uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz.

(7) N sıfırımsı fonksiyonlar olmak ¨ uzere L ² (R) = L ² (R)/N b¨ol¨um uzayının bir Hilbert uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(8) Tartı¸smaları kompleks de˘ gerli fonksiyonlar i¸cin geni¸sletiniz.

C ¸ ¨ oz¨ um.

(1) Yapıldı sanırım. h ^{(N )} _n,L olmalı.

(2) g _L ^{(N )} ∈ L ¹ (R) oldu˘gu kontrol edildi. Aynı fikir (g L ^{(N )} )’ye uygulanır, yani (h ^{(N )} _n,L ) ² → g _L ^{(N )} hemen heryerde ve her ikisi de N ² χ L ile sınırlı olduklarından Lebesgue Sınırlı yakınsama teoremi ile

(h ^{(N )} _n,L ) ² → (g _L ^{(N )} ) ² ≤ N ² χ _L h.h.y ⇒ (g ^{(N )} _L ) ² ∈ L ¹ (R) ve (12.30)    (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g _L ^{(N )} ) ²    → 0 h.h.y

 (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g ^{(N )} _L ) ²    ≤ 2N ² χ _L ⇒

Z  

 (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g _L ^{(N )} ) ²    → 0.

(3) N → ∞ i¸cin (g ^{(N )} _L ) ² → (g _L ) ² h.h.y ve (g ^{(N )} _L ) ² → (g _L ) ² ≤ f ² dolayısıyla Sınırlı Yakınsama teoremi ile (g _L ) ² ∈ L ¹ ve N → ∞ i¸cin ^R    (g ^{(N )} _L ) ² − (g _L ) ²    → 0.

(4) Aynı Sınırlı Yakınsama teoremindeki fikir gibi : f ² ∈ L ¹ (R) sınırı kul- lanılarak, g _L ² → f ² ve ^R |g ² _L − f ² | → 0 oldu˘ gunu g¨ osterilir.

(5) B¨ ut¨ un bunlar f, F = g ∈ L ² (R) i¸cin f g ∈ L ¹ (R) g¨ostermek i¸cindir.

Yukarıda oldu˘ gu gibi f i¸cin h ^{(N )} _n,L ve g i¸cin H _n,L ^{(N )} basamak fonksiyonlar dizileri ile yakla¸sılmı¸stır. Bu durumda L ¹ de ¸carpım dizisi-basamak fonksiyonların bir dizisi- hemen heryerde

(12.31) h ^{(N )} _n,L (x)H _n,L ^{(N )} (x) → g _L ^{(N )} (x)G ^{(N )} _L (x)

ve N ² χ _L ile mutlak sınırlıdır. Sınırlı yakınsamadan dolayı g ^{(N )} _L G ^{(N )} _L ∈ L ¹ (R).

N → ∞ i¸cin bu dizi g _L (x)G _L (x)’ye hemen hemen heryerde yakınsaktır ve a¸sa˘ gıdaki sınırlama vardır:

(12.32)    g _L ^{(N )} (x)G ^{(N )} _L (x)    ≤ |f (x)F (x)| 1

2 (f ² + F ² )

ve sınırlı yakınsamadan limit g _L G _L ∈ L ¹ dir. Son olarak L → ∞ i¸cin aynı fikir f F ∈ L ¹ (R) oldu˘gunu g¨osterir. ¨ Ustelik |f F | ∈ L ¹ (R) ve

(12.33)

    Z

f F

≤

Z

|f F | ≤ kf k _L

kF k _L

,

burada ge¸cen son e¸sitsizlik Cauchy e¸sitsizli˘ ginden elde edilir-arzu edilirse ¨ once ilk yakla¸sım dizisi i¸cin ve sonra limit alınmasıyla elde edilir.

(6) f, g ∈ L ² (R) ger¸cel de˘gerli ise f + g yerel integrallenebilirdir ve yukarıdaki tartı¸smadan

(12.34) (f + g) ² = f ² + 2f g + g ² ∈ L ¹ (R).

Sabit c ve f ∈ L ² (R) i¸cin cf ∈ L ² (R) oldu˘gu a¸cıktır.

(7) Yukarıda L ¹ i¸cin verilen fikir L ¹ i¸cin de aynıdır. Yani, ^R f ² = 0 ise hemen hemen heryerde f ² = 0 ve bu f = 0 h.h.y olmasına denktir. Bu durumda, h lar sıfırımsı fonksiyonlar olmak ¨ uzere, f h ve h ² fonksiyonları sıfırımsı ve (f + h) ² = f ² + 2f g + g ² oldu˘ gundan, f + h fonksiyonların normları f ’nin normu ile aynıdır. Aynı ¸sey i¸c¸carpım i¸cin de do˘ grudur ve buradan sıfırımsı fonksiyonlara b¨ ol¨ unmesiyle elde edilen b¨ ol¨ um uzayının

(12.35) L ² (R) = L ² (R)/N bir ¨ onHilbert uzayı oldu˘ gu elde edilir.

Geriye tamlı˘ gı g¨ ostermek kalıyor. ([f n ]) dizisi L ² (R) de ^P n kf n k _L

< ∞ an- lamında mutlak toplanabilir seri oldu˘ gunu varsayalım. Bu durumda budanmı¸s dizi f _n χ _L , L ¹ de Cauchy e¸sitsizli˘ ginden dolayı

(12.36)

Z

|f _n χ _L | ≤ L

(

Z

f _n ² )

mutlak toplanabilirdir. Burada F _n = ^{P n} _k=1 f _k alınırsa her L i¸cin F _n (x)χ _L dizisi hemen heryerde yakınsaktır. Dolayısıyla

(12.37) F _n (x) → f (x) hemen heryerde.

L ¹ ’nın tamlı˘ gından dolayı yerel integrallenebilir olan f fonksiyonunun f ∈ L ² (R) oldu˘gunu g¨ostermek istiyoruz. A¸sa˘gıdaki diziyi ele alalım.

(12.38) g ₁ = F ₁ ² , g _n = F _n ² − F _n−1 ² . Bu elemanlar L ¹ (R) dedir ve n > 1 i¸cin Cauchy e¸sitsizli˘ginden

(12.39)

Z

|g _n | =

Z  

 F _n ² − F _n−1 ²    ≤ kF _n − F _n−1 k _L

kF _n + F _n−1 k _L

≤ kf _n k _L

2 ^X

k

kf _k k _L

,

burada ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi kullanıldı. Bu aslında g _n dizisinin L ¹ de mutlak toplan- abilir oldu˘ gunu g¨ osterir ve

(12.40) ^X

n

Z

|g _n | ≤ 2( ^X

n

kf _n k _L

) ² .

Ger¸cekten kısmi toplamlar dizisi F _n ² , f ² ∈ L ¹ (R) ye yakınsar. Bu f ∈ L ² oldu˘ gunu g¨ osterir, ¨ ustelik

(12.41) n → ∞ i¸cin

Z

(F _n − f ) ² =

Z

F _n ² +

Z

f ² − 2

Z

F _n f → 0.

Ger¸cekten ilk terim ^R f ² ye yakınsar ve, Cauchy e¸sitsizli˘ ginden, ¸carpımların serisi f _n f , L ¹ de mutlak toplanabilir ve limiti f ² dır. Dolayısıyla ¨ u¸c¨ unc¨ u terim

−2 ^R f ² ye yakınsar. Bu L ² (R) de [F n ] → [f ] oldu˘ gunu g¨ osterir ve b¨ oylece tamlı˘ gı g¨ ostermi¸s oluruz.

(8) Kompleks durum i¸cin do˘ grusallı˘ gı kontrol etmeliyiz. f yerel integral- lenebilir ve |f | ² ∈ L ¹ (R) olsun. f ’nın ger¸cel kısmı yerel integrallenebilir ve yukarıdaki tartı¸smadan F _L ^{(N )} yakla¸sımı (F _L ^{(N )} ) ² ≤ |f | ² e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan kare integrallenebilirdir ve sınırlı yakınsamadan ¨ once, N → ∞ ve sonra L → ∞ alınarak, ger¸cel kısmın L ² (R) de oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. S¸imdi do˘grusallık ve tamlık ger¸cel durumdan g¨ or¨ ul¨ ur.

Problem 5.4

A¸sa˘ gıdaki dizi uzayını ele alalım.

(12.42) h ^2,1 = {c : N → C, ^X

j

(1 + j ² )|c _j | ² < ∞}.

(1) A¸sa˘ gıda tanımlanan

(12.43) h ^2,1 × h ^2,1 → C, (c, d) →< c, d >= ^X

j

(1 + j ² )c _j d _j

fonksiyonun Hermitsel bir i¸c¸carpım oldu˘ gunu g¨ osteriniz. B¨ oylece h ^2,1 bir Hilbert uzayıdır.

(2) Bu uzaydaki norm k.k _2,1 ile g¨ osterilsin ve l ² deki norm k.k ₂ olmak ¨ uzere (12.44) h ^2,1 ⊂ l ² , kck ₂ ≤ kck _2,1 ∀c ∈ h ^2,1

oldu˘ gunu g¨ osteriniz. C ¸ ¨ oz¨ um : Cauchy e¸sitsizli˘ ginden

< c, d >= ^X

j

(1 + j ² )

c _j (1 + j ² )

)d _j

(12.45)

X

j

(1 + j ² )

c _j (1 + j ² )

)d _j

≤ ( ^X

j

(1 + j ² )|c _j | ² )

( ^X

j

(1 + j ² )|d _j | ² )

dolayı tanımlanan seri mutlak yakınsak oldu˘ gundan i¸c¸carpım iyi tanımlıdır.

Bu,

(12.46) kck _2,1 = ( ^X

j

(1 + j ² )|c _j | ² )

ifadesi sadece b¨ ut¨ un c _j lerin sıfır olması durumunda sıfır oldu˘ gundan, sanki- do˘ grusal ve pozitif tanımlıdır. Tamlık, l ² i¸cin oldu˘ gu gibi elde edilir-c ⁽ⁿ⁾ bir Cauchy dizisi ise (1+j)

c ⁽ⁿ⁾ _j Cauchy oldu˘ gundan, her kordinatı c ⁽ⁿ⁾ _j yakınsaktır.

c _j limitleri, dizi sınırlı ve A normların bir sınırı olmak ¨ uzere,

(12.47)

N

X

j=1

(1 + j ² )

|c _j | ² = lim

n→∞

N

X

j=1

(1 + j ² )

   c ⁿ _j    ² ≤ A

oldu˘ gundan, h ^2,1 nın elemanlarıdır. c ⁽ⁿ⁾ − c ^(m) ≤  ¨ uzerinden m → ∞ i¸cin h ^2,1 de Cauchy ko¸sulu c ⁽ⁿ⁾ → c verir.

(2) Her sonlu N i¸cin

(12.48)

N

X

j=1

|c j | ²

N

X

j=1

(1 + j) ² |c j | ² ≤ kck ² _2,1

oldu˘ gundan h ^2,2 ⊂ l ² oldu˘ gu a¸cıktır ve N → ∞ i¸cin (12.49) kck _l

≤ kck _2,1 .

Problem 5.5 Ayrılabilir durum i¸cin Riesz Temsil Teoremi’mini do˘ grudan kanıtlayınız.

Ayrılabilir Hilbert uzayından bir (e _i ) ortonormal tabanı se¸cilsin. T : H → C sınırlı bir do˘ grusal fonksiyonel olsun. A¸sa˘ gıdaki diziyi tanımlayalım.

(12.50) w _i = T (e _i ), i ∈ N

(1) Bazı sabit C ler i¸cin |T u| ≤ Ckuk _H oldu˘ gunu hatırlayalım. Her sonlu N i¸cin

(12.51)

N

X

j=1

|w _i | ² ≤ C ² . (2) (e _i ) ∈ l ² ve

(12.52) w = ^X

i

w _i e _i ∈ H oldu˘ guna karar veriniz.

(3) A¸sa˘ gıdaki ifadenin do˘ gru oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(12.53) T (u) =< u, w > _H ∀u ∈ H ve kT k = kwk _H .

C ¸ ¨ oz¨ um.

(1) Sonlu toplam w _N = ^{P N} _i=1 w _i e _i Hilbert uzayının bir elemanıdır ve normu Bessel ¨ ozde¸sli˘ ginden dolayı, kw N k ² _N = ^{P N} _i=1 |w i | ² . Bunu a¸carak

(12.54) T (w _N ) = T (

N

X

i=1

w _i e _i ) =

N

X

i=1

w _i T (e _i ) =

N

X

i=1

|w _i | ² ve T ’nın s¨ ureklili˘ ginden

(12.55) |T (w _N )| ≤ Ckw _N k _H ⇒ kw _N k ² _H ≤ Ckw _N k _H ⇒ kw _N k ² _H ≤ C ² ,

elde edilir, istenilen de budur.

(2) N → ∞ alınmasıyla sonsuz toplamın yakınsak oldu˘ gu ve kw _N − wk ≤

P

j>N |w _i ² | N ile sıfıra gitti˘ ginden (12.56) ^X

i

|w _i | ² ≤ C ² ⇒ w = ^X

i

w _i e _i ∈ H dır.

(3) Her u ∈ H i¸cin, (e _i ) lerin tamlı˘ gından dolayı u _N = ^{P N} _i=1 < u, e _i > e _i , dolayısıyla, T ’nin s¨ ureklili˘ ginden

T (u) = lim

N →∞ T (u _N ) = lim

N →∞

N

X

i=1

< u, e _i > T (e _i )

(12.57)

= lim

N →∞

N

X

i=1

< u, w _i e _i >= lim

N →∞ < u, w _N >=< u, w >

elde edilir, burada i¸c¸carpımın s¨ ureklili˘ gi kullanıldı. Buradan ve Cauchy e¸sitsizli˘ ginden kT k = sup _kuk

H

=1 |T (u)| ≤ kwk elde edilir. Tersi ise T (w) = kwk ² _H e¸sitsizli˘ ginden

¸cıkar.