18.102

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 16. SINIRLI D ¨ ON ¨ US ¸ ¨ UMLER, ¨ UN˙ITER D ¨ ON ¨ US ¸ ¨ UMLER VE ˙IZ˙I SONLU BOYUTLU D ¨ ON ¨ US ¸ ¨ UMLER

Onerme 23. Tersinir d¨ ¨ on¨ u¸s¨ umlerin k¨ umesi GL(H), B(H)’nın a¸cık altk¨ umesidir.

Kanıt. Neumann serilerinin yakınsaklı˘ gını kullanarak A ∈ B(H) ve kAk < 1 ise Id − A d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un tersinir oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti, yani B(H) da 2-y¨ onl¨ u tersi vardır ( bu, A¸cık D¨ on¨ u¸s¨ um Teoreminden dolayı, 1-1 ve ¨ orten olmasına denktir).

Dolayısıyla, G ∈ GL(H) verilsin. Varsayımdan, G’nın 2-y¨ onl¨ u tersinir ve tek bir tersi G ⁻¹ ∈ B(H) vardır, yani:

(16.1) G ⁻¹ G = GG ⁻¹ = Id.

Bu durumda bazı  > 0 i¸cin B(G, ) ⊂ GL(H) oldu˘ gunu g¨ ostermek istiyoruz.

Aslında  = kG ⁻¹ k ⁻¹ olarak se¸cebilece˘ gimiz g¨ orece˘ giz. Temel fikir G + B nın 1-1 ve ¨ orten ve dolayısıyla tersinir oldu˘ gunu g¨ ostermektir. Bu ama¸cla E k¨ umesini

(16.2) E = G ⁻¹ B ⇒ G + B = G ⁻¹ (Id + G ⁻¹ B).

olarak alalım. Id + G ⁻¹ B 1-1 ve ¨ orten ise, G ⁻¹ 1-1 ve ¨ orten oldu˘ gundan, G + B 1-1 ve ¨ ortendir. ¨ Ote taraftan:

(16.3) G ⁻¹ B < 1 ⇒ Id + G ⁻¹ B tersinirdir.

kG ⁻¹ Bk ≤ kG ⁻¹ k kBk oldu˘ gundan, beklenildi˘ gi gibi, kBk < kG ⁻¹ k elde edilir.



B¨ oylece GL(H) ⊂ B(H), tersinir elemanların k¨ umesi a¸cıktır. Ayrıca bu gruptur-¸c¨ unk¨ u, G 1 , G 2 ∈ GL(H) ise G 1 G 2 ’nın tersi G ⁻¹ ₂ G ⁻¹ ₁ dır.

Bu grubun daha k¨ u¸c¨ uk bir altgrubu vardır, U (H), a¸ a˘ gıda tanımlanan bir- imsel grup

(16.4) U (H) = {U ∈ GL(H) : U ⁻¹ = U ^∗ }.

Bu ¨ onemli bir konudur ve daha sonra kullanılacaktır.

Ayrılabilir bir Hilbert uzayında birimsel grup n × n bildik matris grupları

U (n) ye ¸cok benzer ¨ ozellikler g¨ osterir. Elbette buradaki grup ¸cok daha b¨ uy¨ ukt¨ ur.

Aslında daha sonra g¨ osterilece˘ gi gibi ba¸ska ¨ onemli farklar vardır (ya da prob- lemlerde ele alaca˘ gımız gibi). Kanıtını vermeyece˘ gim fakat bilinmesi gereken- lerden biri, U (H) bir metrik uzayı olarak, b¨ uz¨ ulebilirdir- ancak ¨ onemli bir topolojisi yoktur. Buna kar¸sın U (n) nın a¸sikar olmayan, ¨ ozellikle b¨ uy¨ uk n ler i¸cin, bir ¸cok topolojisi vardır- U (H), n → ∞ i¸cin U (n) nin limitine benzemez.

S ¸imdi GL(H) elemanları olarak ”b¨ uy¨ uk” operat¨ orlerin kar¸sıtlarından bahsedile- cek.

Tanım 7. Bir d¨ on¨ u¸s¨ um T ∈ B(H)’nın sonlu ranklı olması, g¨ or¨ unt¨ u uzayının sonlu boyutlu olması anlamındadır (bu durumda boyuta T ’nın rankı denir.) Sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin k¨ umesi R(B) ile g¨ osterilir.

Sonlu ranklı iki d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un toplamı da sonlu ranklıdır: C ¸ ¨ unk¨ u g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesi g¨ or¨ unt¨ u uzaylarının toplamı i¸cindedir.

(16.6) (T ₁ + T ₂ )(u) ∈ Ran(T ₁ ) + Ran(T ₂ ),

burada ge¸cen Ran(T ), T ’nin g¨ or¨ unt¨ u uzayının boyutudur. T ’nin bir sabitle

¸carpılmasıyla edilen d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un g¨ or¨ unt¨ us¨ u T ’nin g¨ or¨ unt¨ us¨ un¨ un i¸cnde kalaca˘ gından, sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin k¨ umesi B(H)’nın bir altuzayıdır. Ayrıca

(16.7) B ∈ B(H) ve T ∈ R(B) ise BT ∈ R(B)

dir. Ger¸cekten BT ’nin g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesi, B’nin T ’nin g¨ orunt¨ une kısıtlanan d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesidir. Ve bu, Ran(T )’nin bir tabanının g¨ or¨ unt¨ us¨ u ile ¨ uretilen uzay oldu˘ gundan sonlu boyutludur. Aynı bi¸cimde, T B’nin g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesi, T ’nin g¨ or¨ unt¨ us¨ unde kaldı˘ gından T B ∈ R(H) dır. B¨ oylece a¸sa˘ gıdaki

¨

onermenin bir¸cok kısmını kanıtlamı¸s olduk.

Onerme 24. A¸sa˘ ¨ gıdakidaki anlamda sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umler B(H) i¸cinde bir *-kapalı idealdir: Yani a¸sa˘ gıdaki (16.8) sa˘ glayan bir altuzaydır.

(16.8) B ₁ , B ₂ ∈ B(H), T ∈ R(H) ⇒ B ₁ T B ₂ , T ^∗ ∈ R(H).

Kanıt. T sonlu ranklı olsun. T ^∗ nın sonlu ranklı oldu˘ gunu g¨ osterelim. Di˘ ger kısımlar zaten g¨ osterildi. Bunu yapmak i¸cin sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin a¸cık bir temsilini bulalım. Ran(T ) sonlu boyutlu oldu˘ gundan her u ∈ H i¸cin, f 1 , ..., f N

ler Ran(T ) nin tabanı olmak ¨ uzere

(16.9) T u =

N

X

i=1

c i f i

olarak yazılabilir. Burada c _i ler sabitlerdir. B¨ oylece, f _i vekt¨ orleri taban oldu˘ gundan, u → c _i fonksiyonellerini tanımlayalım. Bunlar s¨ ureklidir. Ba- sitce f i leri ortonormal olarak se¸cerek f i ile (16.9) daki g¨ osterimi kullanarak,

(16.10) c _j = (T u, f _j ) = (u, T ^∗ f _j ) buluruz. Ayrıca (Riesz Teoreminden)

(16.11) T u =

N

X

i=1

(u, e _i )f _i

olacak bi¸cimde e _i = T ^∗ f _i ∈ H elemanları vardır. Tersine T , (16.11) deki gibi yazılabiliyorsa, T ’nin g¨ or¨ unt¨ u uzayı f _i ile ¨ uretilen uzayın i¸cinde kalaca˘ gından, sonlu ranklıdır.

(16.11) den dolayı,

(16.12) (T ^∗ v, u) = (v, T u) =

N

X

j=1

(v, f _i )(e _i , u) ∀u ∈ H ⇒ T ^∗ v =

N

X

i=1

(u, f _i )e _i ,

T ^∗ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u de sonlu ranklıdır. Burada f _i ve e _i lerin rolleri de˘ gi¸sti.  Daha sonra B(H) i¸cinde R(H) idealinin kapanı¸sının kompakt operat¨ orlerin ideali oldu˘ gu g¨ osterilecek. Kapanı¸s kesinlikle kapalı bir k¨ umedir. ¨ Ustelik,

B ₁ , B ₂ ∈ B(H) ve normda T _n → K olması

(16.13) B ₁ T _n B ₂ → B ₁ KB ₂ , T _n ^∗ → K ^∗ gerektirece˘ ginden,R(H) k¨ umesi, *-kapalı idealdir.

Sonu¸c olarak kompakt d¨ on¨ u¸s¨ umler sonlu ranklı operat¨ orlerin kapanı¸sıdır ve kapalı, *-idealdir.

Burada ideal ko¸sulunun ¨ onemi altgrupların normallik ko¸suluna benzemesidir- bir B cebirinin bir I idealine b¨ ol¨ unmesiyle elde edilen b¨ ol¨ um uzayı B/I yine bir cebirdir. Kompakt d¨ on¨ u¸s¨ umler ideali K(H)’nin b¨ ol¨ um¨ u, K kapalı oldu˘ gundan, bir Banach uzayıdır. Buna Calkin cebiri denir.

Onteorem 11 (Satır rank=S¨ ¨ ut¨ un rank). Bir Hilbert uzayında sonlu ranklı her d¨ on¨ u¸s¨ um i¸cin, T ’nin g¨ or¨ unt¨ us¨ un¨ un boyutu T ^∗ ’nın g¨ or¨ unt¨ us¨ un¨ un boyutuna e¸sittir.

Kanıt. Sonlu ranklı her d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un (16.11) bi¸ciminde oldu˘ gu g¨ osterildi.

f _i ler T ’nin g¨ or¨ unt¨ us¨ un¨ un bir tabanı ise, N = dimRan(T ), e _i ler do˘ grusal

ba˘ gımsızıdırlar. Ger¸cekten, de˘ gil ise, en az bir e _i , e _i = ^P _j6=i c _j e _j bi¸cimindedir.

Bunu (16.11) e yerle¸stirerek

(16.14) T u = ^X

j6=i

(u, e _j )(f _j + c _j f _j )

elde edilir ve buradan g¨ or¨ unt¨ un¨ un boyutu en fazla N − 1 olur, bu f _i lerin se¸cimiyle ¸celi¸sir.

e _i ler do˘ grusal ba˘ gımsız olduklarından (16.12) den T ^∗ nın g¨ or¨ unt¨ u uzatının

boyutu N (f _i ler do˘ grusal ba˘ gımsız)-her sonlu ranklı operat¨ or i¸cin dimRan(T ^∗ ) ≤

N ise e¸sitli˘ gi elde etmek i¸cin (T ^∗ ) ^∗ = T e¸sitli˘ gini kullanınız.

PROBLEMLER 8

Problem 8.1 S¨ urekli bir fonksiyon K : [0, 1] → L ² (0, 2π)’nın her x ∈ [0, 1] i¸cin K(x) ∈ L ² (0, 2π) nın Fourier serisinin d¨ uzg¨ un yakınsadı˘ gını g¨ osteriniz, yani:

K n (x), |k| ≤ n ¨ uzerinde Fourier serisinin toplamı ise K n : [0, 1] → L ² (0, 2π) s¨ ureklidir ve

(18.8) sup

x∈[0,1]

kK(x) − K _n (x)k _L

(0,2π) → 0.

˙Ip ucu: Daha ¨once kanıtı verilen bir Hilbert uzayında kompaktlık ¨ozelli˘gini kullanınız.

Problem 8.2 C ¸ ekirde˘ gi K ∈ C([0, 1] ² ) olan L ² (0, 1) de tanımlı integral d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u ele alalım, yani

(18.9) T (u)(x) =

Z

(0,1)

K(x, y)u(y).

T ’nın L ² de s¨ urekli oldu˘ gunu ve sonlu ranklı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin norm kapanı¸sında oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu: ¨ Onceki problemi kullanınız. Bu ¸sekilde tanımlanan s¨ urekli fonksiyon K i¸cin, x ∈ [0, 1] → K(x, .) ∈ C([0, 1]) fonksiyonunun s¨ urekli oldu˘ gunu ve b¨ oylece K : [0, 1] → L ² (0, 1) s¨ urekli, dolayısıyla az ¨ onceki problem aralık yeniden ayarlanarak uygulanır.

Daha detaylı bir yardımcı g¨ or¨ u¸s: K(x, y) yi L ² (0, 1) de de˘ ger alan x de˘ gi¸skenli bir fonksiyon olarak ele alabiliriz. K _n (x, y) ¨ onceki problemde verilen de˘ gi¸skenleri x, y olan fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun n noktasında y de˘ gi¸skenine g¨ ore Fourier serisinin budanmı¸s halini alalım. Bu fonksiyonun L ² (0, 1) de sonlu ranklı bir d¨ on¨ u¸s¨ um tanımladı˘ gını g¨ osteriniz. S¨ urekli fonksiyonlarda de˘ ger aldı˘ gı ku¸skusuz. Ama aynı zamanda g¨ or¨ unt¨ uler kare integrallenebilirdir. Bu- radaki fikir n b¨ uy¨ ud¨ uk¸ce fark d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un olan K − K _n d¨ on¨ u¸s¨ um normunun sıfıra gitmesidir. Bunu g¨ ostermek a¸cıklayıcı olabilir. Di˘ ger durum i¸cin x ve y lerin rolleri de˘ gi¸stirilir.

Problem 8.3 Bir de˘ gi¸skenli Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlara odak- lanılmasına kar¸sın, bir yerde, ¨ ortme ¨ onteoremi 2 boyut i¸cin kanıtlandı. Burada yapılan tartı¸smayı iki boyuta ta¸sımaktı. L ² ((0, 2π) ² ) nin bir Hilbert uzayı oldu˘ gunu g¨ osterdi˘ ginizi varsayalım. Kanıt i¸cin bilmedikleriniz bir listesini ya- parak exp(ikx+iyl)

2π , (k, l ∈ Z) fonksiyonlarının tam ortonormal taban oldu˘gunun

g¨ osterilmesidir.