MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.
18.102
Introduction to Functional Analysis Bahar 2009
Prof.Dr.Richard Melrose
130
18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009
Ders 15. AC ¸ IK D ¨ ON ¨ US ¸ ¨ UM VE KAPALI GRAF˙IK TEOREM˙I Banach uzaylarının temel ¨ ozelliklerini ve ayrılabilir bir Hilbert uzayında tanımlı sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin B(H) nın cebir yapısını hatırlayalım. ¨ Ozel olarak bu uzay
(15.1) kAk = sup
||u||=1kAuk
Hnormuna g¨ ore bir Banach uzayıdır ve
(15.2) kABk ≤ kAk kBk e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanır.
A¸cık d¨ on¨ u¸s¨ um teoremini tekrar ifade ederek kanıtını verdik.
Teorem 13 (A¸cık D¨ on¨ u¸s¨ um). B
1ve B
2Banach uzayları arasında verilen A : B
1→ B
2sınırlı do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u A(B
1) = B
2sa˘ glıyor, yani ¨ orten ise, A a¸cıktır:
(15.3) her a¸cık k¨ ume O ⊂ B
1i¸cin A(O) ⊂ B
2a¸cıktır
Kanıt. Ders 13 de. Bunun iki sonu¸cu: A : B
1→ B
2sınırlı, 1-1 ve ¨ orten ise tersi de sınırlıdır. Ikincisi olarak Kapalı Grafik Teoremi ele aldık. Bunların hepsi Ders 13 nın notlarında. D¨ uzg¨ un Sınırlılık Teoreminin ikinci uygula- ması olarak-d¨ on¨ u¸s¨ umlerin kuvvetli yakınsamasından bahsedilmi¸sti. Ayrılabilir bir Hilbert uzayında verilen sınırlı bir d¨ on¨ u¸s¨ um dizisi A
n∈ B(H) kuvvetli yakınsaması her u ∈ H i¸cin A
n(u) nın yakınsaması anlamındadır. Buradan limitin sınılı bir d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur- ya da istenirse tanım olarak ek- lenebilir. D¨ uzg¨ un Sınırlılık Teoremi A
nkuvvetli yakınsak ise sup
nkA
nk < ∞ oldu˘ gunu g¨ osterir. Bu haftanın problemlerinde buna gereksinim duyulacak.
Kaydırma operat¨ or¨ u S : l
2→ l
2(15.4) S(
∞
X
j=0
c
je
j) =
∞
X
j=1
c
je
j+1tanımlanmı¸s-dizinin her elemanı ’bir ¨ uste’ kaydırılmı¸s ve sıfır vekt¨ or¨ u ile ba¸slanmı¸stı.
Bunun hakkında konu¸sulmu¸stu. Bu sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin bir ¨ orne˘ gidir ve a¸cıkca kSk = 1, Au = 0 ise u = 0 oldu˘ gundan 1 − 1 fakat ¨ orten de˘ gildir. Ger¸cekten S’nin g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesi
(15.5) H
1= {u ∈ L
2: (u, e
1) = 0}
131
altuzayıdır.
Do˘ grudan ya da A¸cık D¨ on¨ u¸s¨ um Teoremi kullanılarak, S’nin H dan H
1’e sınırlı do˘ grusal olarak tersinir oldu˘ gunu fakat H da ¨ orten olmadı˘ gını g¨ ostermek kolaydır. Bu haftanın alı¸stırmalarında g¨ or¨ ulebilece˘ gi gibi, k¨ u¸c¨ uk permutasy- onlarla tersinir yapılamaz. Bu ayrıca, B(H) nın tersinir elemanlarının k¨ umesi yo˘ gun olmadı˘ gını g¨ osterir-bu sonlu boyutlu olma durumundan epey farklıdır.
Sonu¸cta tersinebilir elemanlar hakkında konu¸sulmaya ba¸slandı:
(15.6) GL(H) = {A ∈ B(H) : ∃ B ∈ B(H), BA = AB = Id}.
Onteorem 10. A ∈ B(H) ve kAk < 1 ise ¨
(15.7) Id − A ∈ GL(A).
Kanıt. Neumann serileri. kAk < 1 ise kA
jk ≤ kAk
jve buradan Neumann serileri,
(15.8) B =
Xj
A
j,
P∞
j=0
kA
jk yakınsak oldu˘ gundan, B(H) da mutlak toplanabilirdir. Ustelik, ¨
¸carpımın norma g¨ ore s¨ ureklili˘ ginden
(15.9) AB = A lim
n→∞
n
X
j=0
A
j= lim
n→∞
n+1
X
j=1
