• Sonuç bulunamadı

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

N/A
N/A
Info
İndir
Protected

Academic year: 2021

Share "MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu"

Copied!
3
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Şimdi indir ( 3 sayfa )

Tam metin

(1)

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

77

(2)

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 9. BA˙IRE TEOREM˙I VE UYGULAMALAR˙I

Bu derste daha sonra kullanaca˘ gımız Baire Kategori Teoremini kanıtlayaca˘ gız.

Buradaki kategori isminin modern kategori kuramı ile ili¸skisi yoktur.

Bu teorem tam metrik uzaylar hakkında olup daha ¸cok fonksiyonel analiz konusunda uygulamaya sahiptir.

Teorem 4 Baire Teoremi M , tam bir metrik uzayın bo¸s olmayan altk¨ umesi, C

n

⊆ C

n+1

, n ∈ N kapalı altk¨umeler ve

(9.1) M =

[

n

C

n

varsa, C

n

lerden en az birinin i¸ci bo¸s de˘ gildir.

Kanıt. Genellikten kaybetmeden (verilen k¨ umelerin hepsi bo¸s olamay- aca˘ gından) bo¸s olan kimi C

n

atılabilir ve bo¸s olamayan ilk k¨ ume C

1

olarak alınabilir. ˙Istenilenin tersine, bir ¸celi¸skiye varmak umudu ile t¨ um C

n

k¨ umelerinin i¸clerinin bo¸s olduklarını kabul edelim. Bu M k¨ umesinin bir p noktasındaki B(p, ) a¸cık k¨ uresinin hi¸cbir C

n

i¸cinde kalamayaca˘ gı anlamına gelir.

Dolayısı ile bir p ∈ C

1

vardır. S ¸imdi p

1

∈ B(p, 1/3) ancak C

1

de olmayan p

1

vardır. C

1

kapalı oldu˘ gundan 1/3 sayısından k¨ u¸c¨ uk se¸cilebilecek bir 

1

i¸cin B(p

1

, 

1

) ∩ C

1

= φ oldu˘ gunu g¨ orelim. Bu ¸sekilde devam ederek, C

2

de olmayan p

2

∈ B(p

1

, 

1

/3) ve B(p

2

, 

2

) ∩ C

2

= φ, 

2

> 0, 

2

< 

1

/3 se¸celim. Burada C

2

k¨ umesinin i¸cinin bo¸s olmasının yanısıra, kapalı oldu˘ gunu da kullanıyoruz.

S ¸imdi t¨ umevarımla p

i

, i = 1, 2, .., k dizisini ve 0 < 

k

< 

k−1

/3 < 

k−2

/3

2

<

... < 

1

/3

k−1

< 3

−k

dizileri

B(p

j

, 

j

) ∩ C

j

= φ, p

j

∈ B(p

j−1

, 

j−1

/3)

sa˘ glayacak bi¸cimde se¸cilir. C

k

k¨ umesinin ¨ ozelli˘ gi kullanılarak bir p

k+1

daha ekliyebiliriz- C

k

k¨ umesinin i¸ci bo¸s olmadı˘ gından B(p

k

, 

k

/3) k¨ umesinde olup, C

k+1

olmayan p

k+1

vardır. S ¸imdi 

k+1

> 0 fakat 

k+1

< 

k

/3 olmak ¨ uzere B(p

k+1

, 

k+1

) ∩ C

k+1

= φ sa˘ glanmaktadır. Dolayısı ile M k¨ umesinde olan p

k

dizisi bulduk. d(p

k+1

, p

k

) < /3 den ¨ ot¨ ur¨ u, bu bir Cauchy dizisidir. Ger¸cekten

(9.2) d(p

k

, p

k+l

) < /3 + ... + 

k+l−1/3

< 3

−k

M tam bir k¨ ume oldu˘ gundan dizi bir q ∈ M noktasına yakınsar. Dikkat ederseniz her k > l i¸cin p

l

∈ B(p

k

, 2

k

/3) oldu˘ gundan d(p

k

, q) ≤ 2

k

/3 ve bu

78

(3)

da her k i¸cin q / ∈ C

k

verirki bu (9.1) deki aranılan ¸celi¸skidir. Dolayısıyle C

n

lerden en az birinin i¸ci bo¸s de˘ gildir. 

Bu teoremin bir uygulaması daha sonra ele alaca˘ gımiz d¨ uzg¨ un sınırlılık ilke- sidir.

Teorem 5. B bir Banach uzayı, V normlu uzay olmak ¨ uzere T

n

: B → V sınırlı(s¨ urekli) d¨ on¨ u¸s¨ umler olsun. Her b ∈ B i¸cin (T

n

(b)) dizisi V ’nin normunda sınırlı ise, sup

n

||T

n

|| < ∞ vardır.

Kanıt. Ba¸ska kaynaklara da bakabilirsiniz ama kanıt Baire teoreminin (9.3) S

p

= {b ∈ B : ||b|| < 1, ||T

n

b||

V

≤ p, ∀n}, p ∈ N.

k¨ umelerine uygulanması ile yapılır. Bu k¨ umeler kapalı ve bile¸simleri B uzayının kapalı birim yuvarıdır( bu noktasal sınırlılı˘ gın bir sonucudur). S ¸imdi Baire teoremince bu k¨ umelerden birinin i¸ci bo¸s de˘ gildir. Bu bir p, v ∈ S

p

ve δ > 0 i¸cin

(9.4) w ∈ B, ||w||

B

≤ δ ⇒ ||T

n

(v + w)||

V

≤ p, ∀n

S ¸imdi ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi ve ||T

n

|| ≤ p ve d¨ on¨ u¸s¨ um normunun birim yuvar

¨

uzerinde alınan de˘ gerlerin supu oldu˘ gunu kullanarak

(9.5) w ∈ B, ||w||

B

≤ δ ⇒ ||T

n

(w)||

V

≤ 2p ⇒ ||T

n

|| ≤ 2p/δ bulunur.

Bunun neden yararlı oldu˘ gunu ileride g¨ orece˘ giz.

79

Referanslar

Şimdi indir ( PDF - 3 sayfa - 104.43 KB )

Benzer Belgeler

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Genel olarak sınırlı ¨ oze¸slenik d¨ on¨ u¸s¨ umlerin oldukca yerle¸smi¸s spektral kuramı olmasına kar¸ın burada yer verilmeyecektir.. Ayrıca ¨ oze¸slenik olmayan

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

¨ Ustelik maksimum yada minumumu sıfır de˘ gil ise, bu, A’nın bir ¨ ozvekt¨ or¨ unde alınan, ¨ ozde˘

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Integral d¨ on¨ u¸s¨ umleri diliyle elde edilen A w ’nin a¸cık yazılımından a¸sa˘

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu sorunun yanıtı Hilbert uzaylarında hatta ¨ on Hilbert uzayları i¸cin Riesz Temsil Teoreminden elde edilir, ¸c¨ unk¨ u bu uzaylarda uzayın duali ile kendisi aynydır..

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

Bu tanımlanan dizilerin bir vekt¨ or uzayı olduklarını ve tanımlanan normun norm olmak i¸cin sa˘ glaması gereken ¨ u¸c ko¸sulu sa˘ gladı˘ gının g¨ osterilmesi

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

C ¸ ¨ oz¨ um: Herhangi bir k¨ umeden de˘ gerlerini bir vekt¨ or uzayında alan fonksiy- onların vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu biliyoruz- buradaki toplama i¸slemi de˘ gerlerin

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

(3) Birele¸simleri bir dikd¨ ortgen i¸erisinde kalan sayılabilir ayrık dikd¨ ortgenler toplulu˘ gunun alanlarının toplamı i¸cinde kalan dikd¨ ortgenin alanının toplamından