MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009 DERS 3. BANACH UZAYLARI

Bir normlu uzaydan bir Banach uzayına tanımlı sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin bir Ba- nach uzayı oldu˘ gunun kanıtını hatırlayalım. Bunun i¸cin ¸cok zor olmayan kanıtın adımlarını hatırlamakta yarar var: Bir normlu uzayın Banach uzayı olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul her “mutlak toplanabilir (absolutely conver- gent)” serinin yakınsak olmasıdır. Burada ge¸cen mutlak toplanabilme, norm- ların toplamının sonlu olması anlamındadır. Kanıtın b¨ uy¨ uk bir kısmı mutlak toplanabilir diziler yardımıyla, her normlu uzayın bir Banach uzayına tama- malanabilece˘ gi ile ilgilidir. Kanıtın son kısmı bir sonraki ev ¨ odevinin, ve kanıtın nasıl sonlandırılabilece˘ gi konusunda yol g¨ osterici olan, ilk sorusudur. ¨ Onceki dersde yer alan tamlık ile ilgili kısmın kanıtı a¸sa˘ gıdakilerin i¸cerisindedir.

(1) Wilde:- ¨ Onerme 1.6 (2) Chen:-Bulamadım.

(3) Ward:- En kolay yolu ¨ Onteorem 2.1.

Bug¨ unk¨ u derste normlu uzayın tamlanı¸sı hakkında yapmı¸s oldu˘ gum konunun biraz kısaltılmı¸s bi¸cimi burada. ˙Ikinci problem listesinde yer alan problemlerin birinci kısmını 24 S ¸ubat a kadar de˘ gil, MIT takvimine g¨ ore bitirmenizi istiy- orum. Bu problemler zor g¨ oz¨ ukse de bunlara ¸calı¸smanız konuyu anlamanızı sa˘ glayacaktır. Bunları yapmadan ¨ once, bize gerekecek bilgileri verece˘ giz.

V , k.k _V normuna g¨ ore bir normlu uzay olsun. V ’nin tamlanı¸sı a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glayan bir B Banach uzayıdır.

(1) Bir I : V → B birebir (1-1) do˘ grusal fonksiyon vardır.

(2) Her v ∈ V i¸cin

(3.1) kI(v)k _B = kvk _V . (3) V ’nin g¨ or¨ unt¨ us¨ u I(V ) ⊂ B, B’de yo˘ gundur.

V ’nin kendisi bir Banach uzayı ise B = V ve I’yi birim fonksiyon olarak se¸cebiliriz.

Teorem 1 Her normlu uzayın bir tamlanı¸sı vardır.

”Kanıt” ( Son kısmı size bırakıldı). ¨ Oncelikle daha b¨ uy¨ uk bir uzay tanımlayalım.

(3.2) V = {(u ˜ _k ) ^∞ _k=1 : u _k ∈ V, Σ ^∞ _k=1 ku _k k < ∞}.

V ’nın elemanlarına V ’deki mutlak toplanabilir seriler denir. ˜

V ’nın elemanlarının bir Cauchy dizisi oldu˘ ˜ gu g¨ osterildi. Yani (u _k ) mut-

lak toplanabilir bir dizi ise v _N = Σ ^N _k=1 kısmi toplamlar dizisi, Cauchy dır.

A¸sa˘ gıdaki dizilerin toplama ve bir sabitle ¸carpma i¸slemine g¨ ore ˜ V bir vekt¨ or uzayıdır (lineer uzay):-

(3.3) t ₁ (u _k ) + t ₂ (u

_k ) = (t ₁ u _k + t ₂ u

_k ).

Bu mutlak toplanabilir seriler i¸cin ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gini verir:

(3.4) ^X

t ₁ ^X

k

u _k + t ₂ u

_k

≤ |t ₁ | ku _k k + |t ₂ | ^X

k

u

_k . V ’nin altuzayı ˜

(3.5) S = {(u _k ) : ^X

k

ku _k k < ∞, ^X

k

u _k = 0}

ele alalım. ˜ V ’nin S’ye g¨ ore b¨ ol¨ um uzayına B diyelim. Yani (3.6) B = ˜ V /S.

B’nin elemanları, (u _k ) ∈ ˜ V olmak ¨ uzere, (u _k ) + S ⊂ ˜ V bi¸cimindedir. B’nın a¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikleri sa˘ gladı˘ gını kontrol edelim.

(1) B ¨ uzerinde bir norm

(3.7) kbk _B = lim

n→∞

n

X

k=1

u _k

, (u _k ) + S = b olarak tanımlanır.

(2) ˙Ilk uzay V , B uzayına a¸sa˘ gıdaki gibi g¨ om¨ ulebilir:

(3.8) V 3 v → I(v) = (u _k ) + S, u ₁ = v, u _k = 0 ∀k > 1 ve norm (3.1)’ı sa˘ glar.

(3) I(V ) ⊂ B yo˘ gundur.

(4) B, (3.7) deki norma g¨ ore bir Banach uzayıdır.

Oncelikle (3.7) bir normdur. Bir Cauchy dizisinin normlari R de bir Cauchy ¨ dizisi oldu˘ gundan (3.7)’nin sa˘ g tarafındaki limit vardır. S’nin elemanlarının

¨

ozelli˘ ginden dolayı, S’nin bir elemanının (u _k ) ∈ ˜ V eklenmesiyle kısmı toplam-

lar dizisinin normu de˘ gi¸smez. Buradan b ∈ B i¸cin kbk _B iyi tanımlı oldu˘ gu

g¨ or¨ ul¨ ur. Ayrıca kbk _B = 0 olması tam anlamıyla (u _k ) dizisinin normda 0’a

yakınsamasıdır ve dolayısıyla S nin elemanı ve b¨ oylece b = 0. b, b

∈ B sırasıyla

V deki (u ˜ _k ) ve (u

_k ) dizileriyle temsil edilsin. Bu durumda tb, b + b

∈ B ele- manları ˜ V de sırasıyla (tu _k ) ve (u _k + u

_k ) dizileriyle temsil edilirler ve

n→∞ lim

n

X

k=1

tu _k

= |t| lim _n→∞

n

X

k=1

u _k

,

n→∞ lim

n

X

k=1

(u k + u

k )

= A =⇒

(3.9)verilen  > 0, i¸cin∃N 3 ∀n ≥ N, A −  ≤

n

X

k=1

(u k + u

k )

=⇒

A −  ≤

n

X

k=1

u _k

+

n

X

k=1

u

_k

∀n ≥ N =⇒

A −  ≤ kbk _B + kb ⁰ k _B ∀ > 0 =⇒

kb + b ⁰ k _B ≤ kbk _B + kb ⁰ k _B .

Bu durumda I(v) = v, 0, 0, ..., elemanının normu kısmi toplamlar dizisinin normlarının limitidir ve b¨ oylece kvk _V dolayısıyla kI(v)k _B = kvk _V ve I(v) = 0, buradan da v = 0 elde edilir. Yani I birebirdir.

B’nin tam ve I(V )’nin yo˘ gun oldu˘ gunu g¨ ostermeliyiz. Bunun zorlu˘ gunun tartı¸sması burada. Belki siz kendi y¨ onteminizle farklı bir y¨ onden bakabilirsiniz.

Bu konuda sonraki problemler listesi i¸cin kendi y¨ ontemlerinizi yazmanızı istiy- orum.

Bug¨ un dersde g¨ ord¨ ug¨ um¨ uz gibi, B’nin Banach uzayı olması B’deki her mut- lak toplanabilir serinin yakınsak olmasıdır. (u ⁽ⁿ⁾ _k ) ∈ ˜ V olmak ¨ uzere B’de (b n ) dizisi b _n = (u ⁽ⁿ⁾ _k ) + S verilsin ve toplanabilme ko¸sulu sa˘ glansın. Yani

(3.10) ∞ > ^X

n

kb _n k _B = ^X

n N →∞ lim

N

X

k=1

u ⁽ⁿ⁾ _k

V

.

Buradan ^P _n b _n = b oldu˘ gunu, limit b’yi bulmamız gerekiyor. Bunun mutlak toplanabilir bir seriyle verilece˘ gi varsayılıyor. Burada ”problem” belli anlamda bu serinin ^P _n ^P _k u ⁽ⁿ⁾ _k ne benzeyece˘ gi. C ¸ ¨ unk¨ u serinin b _n lerin toplamıyla temsil edildi˘ gi varsayılıyor. S ¸imdi

(3.11) ^X

n

X

k

u ⁽ⁿ⁾ _k

V < ∞

oldu˘ gunun g¨ osterilmesi ¸cok iyi olacaktır. C ¸ ¨ unk¨ u bu ¸cift toplamdan kurtul- mamıza firsat verir ve buradan mutlak toplanabilir bir seri elde edilebilir.

K¨ ot¨ u olan durum (3.11)’nin olmasının gerekmedi˘ gi. k ¨ uzerinden toplamın her n i¸cin yakınsak oldu˘ gunu biliyoruz fakat toplamın yakınsak oldu˘ gunu bilmiyoruz.

Bildi˘ gimiz (3.10) da sadece ’normların limitlerinin’ toplamının yakınsadı˘ gı.

Problemin ¸c¨ oz¨ um¨ u i¸cin yollardan biri b _n ’nin ’temsilini’ ilk olarak (u ⁽ⁿ⁾ _k ) olarak se¸cmek zorunda olmamamiz-b _n ’nin temsilini (u ⁽ⁿ⁾ _k )’e S’nin bir elemanını ekley- erek yapabiliriz. Her sabit n i¸cin, u ⁿ _k ’i ’daha hızlı yakınsayacak bi¸cimde d¨ uzenlemek bir fikir. Verilen  > 0’e kar¸sılık her N ≥ N ₁ i¸cin

(3.12)

X

k≤N

u ^{(N )} _k

_V

− kb _n k _B

≤ , ^X

k≥N

u ⁽ⁿ⁾ _k

V ≤ 

olacak bi¸cimde N ₁ sayısı se¸cebiliriz. ¨ Ustelik N _j < N _j−1 olarak se¸cebiliriz (n’nin sabitlendi˘ gini hatırlayalım), dolayısıyla

(3.13)

X

k≤N

u ^{(N )} _k

V

− kb n k _B

≤ 2 ^−j , ^X

k≥N

u ⁽ⁿ⁾ _k

V ≤ 2 ^−j .

S ¸imde ’serinin yeni toplamı’ v ⁽ⁿ⁾ ₁ = ^{P N} _k=1

u ⁽ⁿ⁾ _k , v ⁽ⁿ⁾ _j = ^{P N} _k=N

j−1

u ⁽ⁿ⁾ _k tanımlamasıyla, n’inci seriler i¸cin  = 2 ⁻ⁿ alınsın. S ¸imdi

(3.14) ^X

n

X

k

kv ⁿ _k k _V < ∞

oldu˘ gunu kontrol ediniz.

Tabii ki, ilk toplanabilir seri gibi b _n = (v _k ⁿ ) + S alınarak elde edilen yeni toplanabilir serinin de ¸calı¸stı˘ gı kontrol edilmeli. S ¸imdi

(3.15) b = (w _k ) + S, w _k = ^X

l+p=k

v _l ^(p) ∈ V

olarak tanımlanan dizinin limitini bulmaya ¸calı¸salım. Dolayısıyla (w _k )’nin V ’de mutlak toplanabilir ve n → ∞ i¸cin b _n → b oldu˘ gunu kontrol etmeliyiz.

Tamlık hakkında gerekirse daha fazla tartı¸sma yapabilirim.

Son olarak I(v)’nin B i¸cerisinde yo˘ gun oldu˘ gu sorusu var. Bu yukarıdaki

aynı fikirle yapılabilir-belkide bunu ¨ once yapmak daha iyi olabilirdi. Verilen

b ∈ B elemanı i¸cin, k → ∞ iken kI(v _k ) − bk _B → 0 olacak bi¸cimde v _k ∈ V

elemanları bulmalıyız. b’yi temsil eden mutlak toplanabilir (u _k ) serisini ve v _j = ^{P N} _k=1

u _k alalım, N _j ’ler yukarıdaki gibi olu¸sturuldu.

(3.16) kI(v _j ) − bk _B = lim

p→∞

X

p>N

u _p

V

≤ ^X

p>N

ku _p k _V

e¸sitsizli˘ ginden I(v _j ) → b oldu˘ gunu kontrol ediniz.

PROBLEMLER 2

Problem 2.1 10 S ¸ubat da dersde in¸sa edilmi¸s olan uzayın tam oldu˘ gu konusun- daki kanıtı tamamlayınız. Bu in¸sanın betimlenmesi Ders 3’de bulunaca˘ gı gibi g¨ osterilen yol izlenerek de yapılabilir.

Problem 2.2. Basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir dizileri ¨ orne˘ gine bakalım. [0, 1) aralı˘ gi i¸cin (sa˘ gdan kapalılık ve soldan a¸cıklık se¸cimi konusunda kuvvetli bir tercih oldu˘ gunu hatırla) bir ¸ce¸sit standart Cantor altk¨ umesinin, basamaklardaki 3 i¸slemini g¨ oz¨ on¨ une alalım. Yani merkez aralık [ ¹ ₃ , ¹ ₃ ) aralı˘ gını

¸cıkartalım. Geriye C ₁ = [0, ¹ ₃ ) ∪ [ ² ₃ , 1) kalacaktır. Kalan aralıkların herbirinin merkez aralıklarının ¸cıkarılmasıylada C 2 = [0, ¹ ₉ ) ∪ [ ² ₉ , ¹ ₃ ) ∪ [ ² ₃ , ⁷ ₉ ) ∪ [ ⁸ ₉ , 1) k¨ umesi elde edilir. Bu yol takip edilerek C _k ⊂ C _k−1 ¨ ozelli˘ ginde her biri sonlu tane yarı-a¸cık aralıkların birle¸simi olan k¨ umeler elde ederiz. S ¸imdi C _k uzerinde ¨ f k (x) = 1, di˘ ger durumlarda 0 olan f k basamak fonksiyonlarının serisini ele alalım.

(1) Bu serinin mutlak toplanabilir oldu˘ gunu kontrol ediniz.

(2) Hangi x ∈ [0, 1) i¸cin ^P _k |f k (x)| yakınsaktır.

(3) Bu serinin varlı˘ gı yardımıyla [0, 1) aralı˘ gında Lebesgue integrallenebilir (Ders 4 de tanımlandı˘ gı gibi) bir fonksiyon tanımla ve bunun Lebesgue inte- gralini hesaplayınız.

(4) Bu fonksiyon Riemann integrallenebilir midir (Riemann integralin tanımı hatırlanırsa bu kolay, zor de˘ gildir).

(5) Son olarak ¸cıkartılan k¨ umelerin birle¸simleri ¨ uzerinde 1 ve di˘ ger yerlerde sıfır olan g fonksiyonunu ele alalım. g’nin Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ osterip ve integralini hesaplayınız.

Problem 2.3 R ² i¸cin ¨ ortme ¨ Onteoremi. R ² nin [a ₁ , b ₁ ) × [a ₂ , b ₂ ) bi¸cimindeki alt k¨ umesine bir dikd¨ ortgen diyece˘ giz. Bu dikd¨ ortgenin alanı (b ₁ − a ₁ ) × (b ₂ − a ₂ ) olarak tanımlanır.

(1) Aralıkları alt aralı˘ ga b¨ olerek bir dikd¨ ortgeni altdikd¨ ortgenlere ayırabiliriz.- [a ₁ , b ₁ )’i [a ₁ , b ₁ )∪[a ₂ , b ₂ )] ile de˘ gi¸stirerek. Bir dikd¨ ortgenin alanının altdikd¨ ortgenlerinin alanlarının toplamına e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) Sonlu ve ayrık dikd¨ ortgenlerin birle¸siminin bir dikd¨ ortgen oldu˘ gunu varsayalım (her zaman aynı yarı-a¸cık anlamında). Ayrık dikd¨ ortgenlerin alan- larının toplamının birle¸simlerinin olu¸sturdu˘ gu dikd¨ ortgenin alanı oldu˘ gunu g¨ osteriniz (˙Ip ucu: altb¨ olme i¸slemini uygula).

(3) Birle¸simleri bir dikd¨ ortgen i¸cinde kalan sayılabilir ayrık dikd¨ ortgenler

toplulu˘ gunun alanları toplamının bunları i¸cine alan dikd¨ ortgenin alanından

k¨ u¸c¨ uk ya da e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4) Sonlu dikd¨ ortgenler toplulu˘ gunun alanlarının toplamının bunları i¸cine alan dikd¨ ortgenin alanından, k¨ u¸c¨ uk ya da e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) ¨ Onceki sonu¸cda ge¸cen i¸slemi sayılabilir dikd¨ ortgenlerin birle¸simleri i¸cerisinde kalan dikd¨ ortgenler i¸cin geni¸sletilebilece˘ gini kanıtlayınız.

Problem 2.4

(1) [0, 1] aralı˘ gındaki tanımlı s¨ urekli her fonksiyonun [0, 1) aralı˘ gında tanımlı basamak fonksiyonların d¨ uzg¨ un limiti oldu˘ gunu g¨ osteriniz. (˙Ip ucu:- ger¸cel duruma indirgeme, aralı˘ gı 2 ⁿ e¸sit aralı˘ ga b¨ ol ve basamak fonksiyonu her bir b¨ ol¨ unen aralıkta s¨ urekli fonksiyonun infimum de˘ geri olarak tanımla. Sonra d¨ uzg¨ un yakınsamayı kullan.

(2) ’Teleskopik yoketme’ y¨ ontemini kullanarak s¨ urekli her fonksiyonun, f _j ler her x ∈ [0, 1) i¸cin ^P _i |f j (x)| < ∞ ko¸sulunu sa˘ glayan basamak fonksiyonlar olmak ¨ uzere f _j lerin toplami, yani

(3.17) ^X

i

f _j (x) x ∈ [0, 1) olarak yazılabilece˘ gini g¨ osteriniz.

(3) [0, 1] aralı˘ gında tanımlı s¨ urekli her fonksiyonun, bu aralık dı¸sında 0

de˘ geri alan geni¸sletilmi¸s fonksiyonun R de Lebesgue integrallenebilir oldu˘gunu

g¨ osteriniz.

PROBLEM 1’ ˙IN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER ˙I

˙Ilk d¨ort problem k¨u¸c¨uk L _p uzayları olarak ta anılan l ^p uzayları hakkındadır.

C ¸ ¨ oz¨ umleri l ₂ i¸cin verebilece˘ giniz gibi her p, 1 ≤ p < ∞ i¸cin de verebilirsiniz.

Problem 1.1 Her p, 1 ≤ p < ∞ veya sadece p = 2 i¸cin;

l ^p = {a : N → C,

∞

X

j=1

|a _j | ^p < ∞, a _j = a(j)}

dizilerinin a¸sa˘ gıdaki normla,

||a|| _p = (

∞

X

j=1

|a _j | ^p ) ^1/p

normlu bir uzay oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu tanımlanan dizilerin bir vekt¨ or uzayı olduklarını ve tanımlanan normun norm olmak i¸cin sa˘ glaması gereken ¨ u¸c ko¸sulu sa˘ gladı˘ gının g¨ osterilmesi demektir.

C ¸ ¨ oz¨ um. Herhangi bir k¨ umeden de˘ gerlerini bir vekt¨ or uzayında alan fonksiy- onların vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu biliyoruz- buradaki toplama i¸slemi de˘ gerlerin toplamı bi¸cimindedir. Dolayısı ile l ^p ’nin vekt¨ or uzayı olabilmesi i¸cin toplama ve skalerler ile ¸carpma i¸slemleri altında kapalı olması gerekiyor. Skalerler ile

¸carpma i¸slemi altında kapalılı˘ gı g¨ ostermek kolaydır:

(3.18) |ta _i | = |t||a _i | ⇒ ||ta|| _p = |t|||a|| _p

Bu zaten ||.|| _p ifadesinin norm oldu˘ gunu g¨ ostermekte gerekliydi. l ^p de olan a, b dizilerinin toplamı a + b nin de l ^p de olması ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ ginin uygulaması ile edilir. 0 ≤ t i¸cin t ^p fonksiyonunun artan oldu˘ gunu kullanarak;

(3.19) |a _i + b _i | ^p ≤ (2maks(|a| _i , |b| _i )) ^p = 2 ^p maks(|a _i | ^p , |b _i | ^p ) ≤ 2 ^p (|a _i | ^p + |b _i | ^p ).

Buradan da

||a + b|| ^p _p = ^X

j

|a _j + b _j | ^p ≤ 2 ^p (||a|| ^p + ||b|| ^p )

elde edilir. l ^p nin norm uzayı oldu˘ gunu kanıtlamak i¸cin ||a|| _p nin ger¸cekten bir norm oldu˘ gunu kanıtlamalıyız. ||a|| _p sıfır’dan k¨ u¸c¨ uk de˘ gerler alamaz. E˘ ger

||a|| _p = 0 ise, bu her i i¸cin, a _i = 0 demek olaca˘ gından, a = 0 buluruz. Geriye

kalan tek husus ise ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ ginin sa˘ glandı˘ gıdır. E˘ ger p = 1 ise, istenilen, mutlak de˘ ger fonksiyonunun ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gini sa˘ glamasından elde edilir:

(3.20) ||a + b|| ₁ = ^X

i

|a _i + b _i | ≤ ^X

i

(|a _i | + |b _i |) = ||a|| ₁ + ||b|| ₁

p’nin 1 < p < ∞ de˘ gerleri i¸cin kanıtlamamız gereken e¸sitsizli˘ ge Minkowski e¸sitsizli˘ gi adı verilir. Minkowski e¸sitsizli˘ gi Young e¸sitsizli˘ gi olarak tanınan e¸sitlikten elde edilen H¨ older e¸sitsizli˘ ginin bir sonu¸cudur. Young e¸sitsizli˘ gi, 1/p + 1/q = 1 i¸cin (dolayısı ile q = p/(p − 1) dir).

(3.21) αβ ≤ α ^p p + β ^q

q , ∀α, β ≥ 0 Bunu g¨ ormek i¸cin, α = x fonksiyonu olarak,

(3.22) f (x) = x ^p

p − xβ + β ^q q

Bu fonksiyon x = 0’da negatif de˘ gildir ve x > 0 de˘ gerleri i¸cin x ^p , xβ dan daha hızlı b¨ uy¨ ud¨ u˘ g¨ u i¸cin, pozitiftir. Dahası, t¨ urevlenebilir bir fonksiyondur ve t¨ urevi sadece x ^p−1 = β de˘ gerinde sıfır olup, burada x > 0 i¸cin mutlak bir minimum de˘ gerine sahiptir. Bu noktada f (x) = 0 oldu˘ gundan Young e¸sitsizli˘ gini elde ederiz. S ¸imdi bu e¸sitsizli˘ gi, α = |a _i |/||a|| _p , β = |b _i |/||b|| _q (ku¸skusuz iki sayı da sıfırdan farklı kabul edilmektedir) sayıları i¸cin kullanıp, i ¨ uzerinden toplam alarak H¨ older e¸sitsizli˘ gini

(3.23)| ^X

i

a _i b _i |/||a|| _p ||b|| _q ≤ ^X

i

|a _i ||b _i |/||a|| _p ||b|| _q ≤ ^X

i

|a _i | ^p

||a|| ^p p p + |b _i | ^q

||b|| ^q q q

!

= 1 ve buradan da

⇒ | ^X

i

a _i b _i | ≤ ||a|| _p ||b|| _q

buluruz. S ¸imdi buradan, ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi ve birinci ¸carpanda q kuvveti alarak, Minkowski e¸sitsizli˘ gini elde ederiz.

(3.24) ^X

i

|a _i + b _i | ^p ≤ ^X

i

|a _i + b _i | ^(p−1) |a _i + b _i |

≤ ^X

i

|a i + b i | ^(p−1) |a i | + ^X

i

|a i + b i | ^(p−1) |b i |

≤ ( ^X

i

(|a _i + b _i | ^p )) ^1/q (||a|| _p + ||b|| _q )

˙Ilk ¸carpanla b¨olerek, sa˘g tarafta

(3.25) ||a + b|| _p ≤ ||a|| _p + ||b|| _p Dolayısıyla, l ^p ger¸cekten normlu bir uzaydır.

Problem 1.2 Problem 1.1 deki zor kısım ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi idi. E˘ ger size herN i¸cin

(

N

X

j=1

|a _j | ^p ) ^1/p

ifadesinin C ^N de norm oldu˘ gu verilseydi, bunu kullanabilir miydiniz?

C ¸ ¨ oz¨ um. Evet, ger¸cekten her N i¸cin ,

(3.26)(

N

X

j=1

|a _j + b _j | ^p ) ^1/p ≤ (

N

X

j=1

|a _j | ^p ) ^1/p + (

N

X

j=1

|b j | ^p ) ^1/p

do˘ gru olsaydı, l ^p nin ¨ o˘ geleri i¸cin norm yukarıdaki sa˘ g taraf i¸cin bir ¨ ustsınır olurdu, yani,

(3.27) (

N

X

j=1

|a _j + b _j | ^p ) ^1/p ≤ ||a|| _p + ||b|| _p

Sol taraf N sayısının artan de˘ gerleri ile arttı˘ gından, yakınsar ve ¨ ustten, N sayısından ba˘ gımsız olan, sa˘ g taraftaki ifade ile sınırlı olur. Bu ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gidir. ¨ Ozetlersek, bu ilk problemdeki us y¨ ur¨ utmenin N’den ba˘ gımsız olarak tekrarıdır.

Problem 1.3 Problem 1.1 de tanımlanan l ^p nin ya da l ² nin tam oldu˘ gunu kanıtlayınız. Yani Banach uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Yani her Cauchy dizisinin yakınsak oldu˘ gunu kanıtlayınız. Burada problem verilen Cauchy dizisinin lim- itini bulmaktır. Her N i¸cin N noktasında budanmayla elde edilen C ^N deki her dizinin C ^N de bir Cauchy dizisi oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. l ^p uzayında Cauchy dizisi olan a ⁽ⁿ⁾ alalım. Dizideki her ¨ o˘ ge yine

l ^p de olan, {a ⁽ⁿ⁾ _j } ^∞ _j=1 dizisidir. A¸sa˘ gıdaki Problem 1.5 de kanıtlanacak olan

normun s¨ ureklili˘ ginden, ||a ⁽ⁿ⁾ || dizisi R de bir Cauchy dizisidir ve yakınsar.

Buradan dizinin sınırlı oldu˘ gunu elde ederiz. Yani, bir A sayısı ve her n i¸cin

||a ⁽ⁿ⁾ || p ≤ A vardır. Cauchy tanımından, verilen  > 0 i¸cin, ¨ oyle bir M sayısı vardırki her m, n > M i¸cin

(3.28) ||a ⁽ⁿ⁾ − a ^(m) || p = ( ^X

i

|a ⁽ⁿ⁾ _i − a ^(m) _i | ^p ) ^1/p < /2

Her i damgası i¸cin, |a ⁽ⁿ⁾ _i − a ^(m) _i | ≤ ||a ⁽ⁿ⁾ − a ^(m) || _p sa˘ glandı˘ gından, a ⁽ⁿ⁾ _i dizisi C’de Cauchy dizisidir. C tam oldu˘ gundan, her i = 1,2,... i¸cin

(3.29) lim _n a ⁽ⁿ⁾ _i = a _i

vardır. Verilen dizinin limiti i¸cin aday, a = (a i ) dizisidir. Normların sınırlılı˘ gı, (3.30)

N

X

i

|a ⁽ⁿ⁾ _i=1 | ^p ≤ A ^p verir, burada n → ∞ iken limit alarak

(3.31)

N

X

i

|a _i | ^p ≤ A ^p , ∀N ⇒ ||a|| _p ≤ A

bulunur. Dolayısı ile a ∈ l ^p bulundu. Benzer bi¸cimde Cauchy ko¸sulundaki sonlu e¸sitsizlikte m → ∞ iken limit alarak,

(3.32) (

N

X

i=1

|a ⁽ⁿ⁾ _i − a ^(m) _i | ^p ) ^1/p < /2 elde ederiz. Dolayısıyla, her N i¸cin

(3.33) (

N

X

i

|a ⁽ⁿ⁾ _i − a _i | ^p ) ^1/p ≤ /2 bulur ve buradan da

(3.34) ||a ⁽ⁿ⁾ − a|| < , ∀n > M elde ederiz ve bu l ^p uzayında, a ⁽ⁿ⁾ → a demektir.

Problem 1.4 ˙Isterseniz n = 2 alabilirsiniz, l ^p uzayının birim yuvarı S k¨ umesini

d¨ u¸s¨ unelim. Bu k¨ ume uzunlukları 1 olan vekt¨ orlerin

S = {a ∈ l ^p : ||a|| _p = 1}

k¨ umesidir.

(1) S k¨ umesinin kapalı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) Dilerseniz Rudin’nin kıtabına da bakarak, metrik uzaylarda kompakt k¨ umelerin dizisel betimleni¸sini anımsayınız.

(3) Dilerseniz n-inci yerde 1, kalan koordinatlarda 0 olan diziyi d¨ u¸s¨ unerek S k¨ umesinin kompakt olmadı˘ gını kanıtlayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um. Bir sonraki alı¸stırmada ele alınan, normun s¨ ureklili˘ gi nedeni ve S k¨ umesinin, kapalı {1}’in k¨ umesinin ters g¨ or¨ unt¨ us¨ une e¸sit olmasından, S kapalıdır.

Anımsanmasını istedi˘ gimiz sonu¸c, metrik uzaylarda bir altk¨ umenin kom- pakt olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun k¨ umedeki her dizinin yine k¨ ume i¸cinde yakınsayan bir altdizisinin olmasıdır.

Bu durumda a¸sa˘ gıdaki diziler dizisini ele alalım:

(3.36) a ⁽ⁿ⁾ _i =

( 0, e˘ ger, i 6= n 1, e˘ ger, i = n

Bu dizinin n 6= m i¸cin, ||a ⁽ⁿ⁾ − a ^(m) || _p = 2 ^1/p ¨ ozelli˘ gi vardır. Bu nedenle hi¸c bir Cauchy altdizisi olamaz. Bu nedenle yakınsak de˘ gildir. Bu da S k¨ umesinin kompakt olamıyaca˘ gını verir.

Bu sonu¸c ¨ onemlidir. Sonlu ve sonsuz boyutlu normlu uzaylar arasındaki temel farklılı˘ gı g¨ osterir. Sonlu boyutlu uzaylarda Heine-Borel teoreminden birim yuvar kompakt, sonsuz boyutlu uzaylarda ise kompakt de˘ gildir.

Problem 1.5 Normlu her uzayda, norm s¨ ureklidir.

C ¸ ¨ oz¨ um. Esasına bakarsanız bu problemi ¸cok daha ¨ once ele almalıydık! ¨ U¸cgen e¸sitsizli˘ gi normlu bir uzaydaki u, v vekt¨ orleri i¸cin

(3.37) ||u|| ≤ ||u − v|| + ||v||, ||v|| ≤ ||u − v|| + ||u||

verir, buradan da

(3.38) |||u|| − ||v||| ≤ ||u − v||

bulunurki, bu normun sadece s¨ ureklili˘ gini de˘ gil aynı zamanda Lipschitz

s¨ ureklili˘ gini de verir.