MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

Ders 20. ¨ OZFONKS˙IYONLARIN TAMLI ˘ GI

A ∈ K(H) ayrılabilir bir Hilbert uzayında kompakt d¨ on¨ u¸s¨ um olsun. A kompakt olmasa bile

(20.1) N ul(A) ⊂ H

altk¨ umesinin kapalı, dolayısıyla N ul(A) ^⊥ bir Hilbert uzayı-sonlu boyutlu olabilir- (A = 0 durumunda bunun ilgin¸c bir durumu yoktur).

Theorem 15. Ayrılabilir bir Hilbert uzayı H i¸cin, A ∈ K(H) ¨ oze¸slenik, kom- pakt bir d¨ on¨ u¸s¨ um, A ^∗ = A ise null(A) ^⊥ nın A’nın ¨ ozfonksiyonlarından olu¸san bir ortonormal tabanı vardır-j → ∞ i¸cin λ _j → 0, |λ _j | artmayan bir dizi olmak

¨

uzere u _j ler

(20.2) Au _j = λ _j u _j , λ _j ∈ R \ {0}

olarak ayarlanabilir.N ull(A) ^⊥ sonlu boyutlu ise, dizi sonlu bir dizidir.

Bunun kanıtınını vermeden ¨ once ”Fredholm Alternatifi” olarak bilinen kul- lanı¸slı sonu¸clarını verelim.

Sonu¸ c 4. Ayrılabilir bir Hilbert uzayında A ∈ K(H) ¨ oze¸slenik kompakt d¨ on¨ u¸s¨ um ise

(20.3) u − Au = f e¸sitli˘ ginin her f ∈ H i¸cin ya tek ¸c¨ oz¨ um¨ u vardır ya da

(20.4) u − Au = 0

e¸sitli˘ ginin ¸c¨ oz¨ um¨ u a¸sikar olmayan sonlu boyutlu uzaydır ve (20.3) e¸sitli˘ ginin

¸c¨ oz¨ um¨ u olması i¸cin gerekli ve yerli ko¸sul f ’nin b¨ ut¨ un ¸c¨ oz¨ umlere dik olmasıdır.

Kanıt. Bu Id − A d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un sıfır uzayının kapalı g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesine dik olmasıdır. Dolayısıyla Id − A tersinir olup-olmamasından ba˘ gımsız olarak g¨ or¨ unt¨ u k¨ umesi tam olarak N ull(Id − A) nın dikt¨ umleyenidir. Bu ¸cerceveden bakıldı˘ gında, g¨ or¨ unt¨ u altuzayı sıfır uzaya her zaman dikt¨ umleyen oldu˘ gundan,

¸cok fazla alternatif olmadı˘ gı d¨ u¸s¨ unebilir.

Onteorem Ayrılabilir bir Hilbert uzayında (sonlu boyutlu da olabilir) A ∈ ¨ H(A) ¨ oze¸slenik kompakt d¨ on¨ u¸s¨ um ise

(20.5) F (u) = (Au, u), F : {u ∈ H : kuk = 1} → R.

fonksiyonu birim k¨ ume ¨ uzerinde supremum ve infimum de˘ gerini alan s¨ urekli bir fonksiyondur. ¨ Ustelik maksimum yada minumumu sıfır de˘ gil ise, bu, A’nın bir ¨ ozvekt¨ or¨ unde alınan, ¨ ozde˘ gerdir.

Kanıt. F (u) sonlu boyutlu uzaylarda bir fonksiyon gibi g¨ or¨ unse de ¨ oyle de˘ gildir. ¨ Oncelikle A’nın ¨ oze¸slenik olmasından dolayı

(20.6) (Au, u) = (u, Au) = (A ^∗ u, u) = (Au, u)

oldu˘ gundan F ger¸cekten ger¸cel de˘ gerlidir. A’nın ve i¸c¸carpımın s¨ ureklili˘ ginden ve a¸sa˘ gıdaki gerektirmeden

(20.7) |F (u) − F (u ⁰ )| ≤ |(Au, u) − (Au, u ⁰ )|+|(Au, u ⁰ ) − (Au ⁰ , u ⁰ )| ≤ 2 kAk ku − u ⁰ k dır (¸c¨ unk¨ u u ve u ⁰ nın normları birdir) dolayısıyla F s¨ ureklidir.

Sonlu boyutta, k¨ ure kompakt ve bir kompakt k¨ umede s¨ urekli fonksiyon mak- simum ve minumum de˘ gerini alaca˘ gından kanıt biterdi. Genel durum i¸cin A’nın kompaktlı˘ gı kullanılacak. F kesinlikle sınırlıdır.

(20.8) |F (u)| ≤ sup

kuk=1

|(Au, u)| ≤ kAk .

B¨ oylece F (u ⁺ _n ) → sup F ve F (u ⁻ _n ) → inf F olacak bi¸cimde u ⁺ _n ve u ⁻ _n dizileri vardır. Zayıf kompaktlıktan altdiziye ge¸cerek u ⁺ _n → u ⁺ ve u ⁻ _n → u ⁻ zayıf yakınsadıklarını varsayabiliriz. A’nın kompaktlı˘ gından Au ⁺ _n → Au ⁺ , Au ⁻ _n → Au ⁻ yakınsamaları kuvvetlidir, yani normda yakınsarlar. Bu durumda

(20.9)    F (u ^± _n ) − F (u ^± _n )    ≤    A(u ^± _n − u ^± ), u ^± _n )    +    A(u ^± , u ^± _n − u ^± )   

=    A(u ^± _n − u ^± ), u ^± _n )    +    (u ^± , A(u ^± _n − u ^± ))    ≤ 2 Au ^± _n − Au ^±

ifadesinden F (u ⁺ ) = lim F (u ⁺ ) ve F (u ⁻ ) = lim F (u ⁻ ) sırasıyla F ’nin supre- mum ve infumumlarıdır. B¨ oylece sonlu boyutda oldu˘ gu gibi supremum ve infumum de˘ gerleri sırasıyla maksimum ve minumum de˘ gerlerdir.

Dolayısıyla Λ ⁺ = sup F > 0 oldu˘ gunu varsayabiliriz. Bu durumda v⊥u ⁺ olan her v ∈ H i¸cin a¸sa˘ gıdaki e˘ gri

(20.10) L _v : (−π, π) → R L v (θ) = cosθu ⁺ + sinθv birim k¨ urenin i¸cerisindedir. Hesapla

(20.11) F (L _v (θ)) = (A(L _v (θ), L _v (θ)) = cos ² θF (u ⁺ )+2sin(2θ)Re(Au ⁺ , v)+sin ² (θ)F (v),

. Bu fonksiyonun θ = 0 noktasında maksimum de˘ ger aldı˘ gını biliyoruz. Bu fonksiyonun (π, −π) aralı˘ gında kesinlikle t¨ urevlenebilir ve t¨ urevi s¨ ureklidir).

O noktada t¨ urevi Re(Au ⁺ , v), dolayısıyla sıfırdır. Aynı durum v yerine iv alınması durumunda da do˘ grudur, dolayısıyla, aslında

(20.12) (Au ⁺ , v) = 0 ∀v⊥u ⁺ , kvk = 1.

Bu v’ler tarafından gerilen uzay alınırsa v⊥u ⁺ olan her v i¸cin (Au ⁺ , v) = 0 dolayısıyla A ⁺ u, u ⁺ nın bir ger¸cel katı olmalıdır. Bunun F ’nın tanımı i¸cinde de˘ gerlendirilmesiyle Au ⁺ = Λ ⁺ u ⁺ , ¨ ozde˘ geri Λ ⁺ = sup F olan, ¨ ozvekt¨ ord¨ ur.

Aynı fikir inf F negatif ise uygulanır, ¨ orne˘ gin A, −A ile de˘ gı¸stirilebilir. Bu

¨

onteoremin kanıtını tamamlar.

Teorem 15’nin kanıtı ¨ Oncelikle H ₀ = N ul(A) ^⊥ ⊂ H Hilbert uzayını ele alalım. Bu durumda

(20.13) (Au, v) = (u, Av) = 0 ∀u ∈ H ₀ , v ∈ N ul(A) ⇒ Au ∈ H ₀ , oldu˘ gundan A, H ₀ uzayını kendisine g¨ ot¨ ur¨ ur.

Ustelik A’nın H ¨ ₀ uzayına kısıtlanı¸sı olan A ₀ kompakt d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur-kompakt

olmasının nedeni, B(0, 1) ⊂ H ₀ i¸cin A(B(0, 1)) k¨ umesinın birim k¨ urenin g¨ or¨ unt¨ us¨ unden daha k¨ u¸c¨ uk olmasındandır(aslında e¸sittirler).

Kuadratic formu F ₀ olan A ₀ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ une ¨ Onteoremi uygulayarak bir

¨

ozvekt¨ or buluruz. sup _A

0

< − inf _F

olmadıkca, bu ¨ ozvekt¨ or, sup _A

0

kar¸sılık gelsin-di˘ ger durumda inf kar¸sılık getirilir. F ₀ = 0 olmadıkca bu yapılanda hi¸cbir hata yoktur. ¨ Ustelik,

Onteorem 15 Bir Hilbert uzayında, genelde, ¨ ¨ oze¸slenik d¨ on¨ u¸s¨ um i¸cin (20.14) F ≡ 0 ⇔ A ≡ 0.

Kanıt. ˙Ilkesel olarak F sadece birim k¨ urede tanımlanır, fakat elbette, bu- radan her u ∈ H i¸cin (Au, u) elde edebiliriz. Yani, u = 0 durumunda bu elbette sıfırdır ve di˘ ger durumda

(20.15) (Au, u) = kuk ² F ( u kuk ).

A yı kutupsal olarak ifade edebiliriz.

(20.16) 2(Au, v) = (A(u + v), u + v) + i(A(u + iv, u + iv).

Bu F ≡ 0 ise A ≡ 0 oldu˘ gunu g¨ osterir

Dolayısıyla A ≡ 0 olmadık¸ca bir ¨ ozvekt¨ or bulabiliriz-A ≡ 0 durumunda N ul(A) = H dır. S ¸imdi t¨ umevarım kullanabiliriz. A i¸cin normları bir olan birbirlerine dik e j ¨ ozvekt¨ orleri ve ¨ ozde˘ gerleri λ j olmak ¨ uzere

(20.17) H _N = {u ∈ H ₀ = N ul(A) ^⊥ : (u, e _j ) = 0, j = 1, 2, ..., N }

olacak bi¸cimde bir N ’nın oldu˘ gunu varsayalım. Yukarıdaki tartı¸smadan dolayı,

(20.18) u ∈ H _N ⇒ (Au, e _j ) = (u, Ae _j ) = λ _j (u, e _j ) = 0 oldu˘ gundan u ∈ H _N ⇒ Au ∈ H _N , b¨ oylece A d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u H _N uzayını kendisine g¨ ot¨ ur¨ ur.

Ustelik bu kısıtlanmı¸s d¨ ¨ on¨ u¸s¨ um H N de kompakt ve ¨ oze¸sleniktir. Dolayısıyla, H _N da kısıtlanmı¸s d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un ¨ ozde˘ geri F ’nın maksimum ya da minumumu olan bir ¨ ozvekt¨ or¨ un¨ u bulabiliriz. Problem, herhangi bir yerde, F = 0 oldu˘ gu zaman olu¸sabilir, fakat bu durumda H N ¨ uzerinde A ≡ 0 ve H N ⊥N ul(A) oldu˘ gundan H _N = {0} elde edilir, dolayısıyla H ₀ sonlu boyutlu olmak zorun- dadır.

Buradan ya H 0 sonlu boyutludur ya da ¨ ozde˘ gerleri (|λ i |) artmayan olacak bi¸cimde, H ₀ da A’nın ¨ ozvekt¨ orlerinin sonsuz bir ortonormal (e _i ) dizisini elde edilebiliriz- ¸c¨ unk¨ u birbirlerini izleyen F _N ler bir ¨ oncekinin kısıtlaması olup mak- simim ve minumumları sıfıra daha ¸cok yakla¸smaktadırlar, en azından sıfırdan uzakla¸smamaktadırlar. Aslında bu durumda λ _i → 0 dır, ¸c¨ unk¨ u di˘ ger durumda λ 6= o gibi bir ¨ ozde˘ gere kar¸sılık gelen ¨ ozvekt¨ orlerin uzayının sonsuz boyutlu ol- ması gerekir bu ise, son olarak g¨ osterildi˘ gi gibi, λ(Id − λ ⁻¹ A) d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un sıfır uzayının sonlu boyutlu olma durumuna aykırıdır.

Sonu¸cta, bu ortonormal dizi neden H ₀ ’nın bir ortonormal tabanıdır? E˘ ger de˘ gilse, in¸sa edilen (e i ) dizisi tarafından ¨ uretilen uzayın kapanı¸sı H ⁰ , ve bu uzayın H ₀ da dikt¨ umleyenini-bu a¸sikar olmayabilir- bulabiliriz. Daha ¨ onceki gibi, F nin bu uzaya kısıtlanı¸sına F ⁰ , A nın da kısıtlanı¸sına A ⁰ dersek, yine

¨

oze¸slenik kompakt bir d¨ on¨ u¸s¨ um elde ederiz. Dolayısıyla F ⁰ sıfır de˘ gil ise, F ⁰ sıfırdan farklı ¨ ozde˘ geri olan ¨ ozvekt¨ or¨ un¨ u bulabiliriz. Bu ise her zaman, en azından, mutlak de˘ gerde en b¨ uy¨ uk olan ¨ ozde˘ ger se¸cmemize ters d¨ u¸ser. B¨ oylece F ⁰ ≡ 0 dolayısıyla A ⁰ ≡ 0 ve ¨ ozvekt¨ orler N ul(A) ^⊥ ’nın bir ortonormal tabanıdır.

Bu Teoremin kanıtını tamamlar.