MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

(1)

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102 Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

(2)

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 1. VEKT ¨ OR UZAYLARI, METR˙IK UZAYLAR, NORMLU UZAYLAR

Vekt¨ or uzayları, metrik uzaylar, normlu uzaylar.Banach uzayları. ¨ Ornekler:

- ¨ Oklid uzayları, kapalı bir aralık ¨ uzerinde supremum normu ile donanmı¸s s¨ urekli fonksiyonlar - C ⁰ [0, 1]. L ¹ normu, ve C ⁰ [0, 1] uzayının bu norma g¨ ore tam olmaması. l ₂ uzayının kısa tanıtımı - kanıt vermeksizin bu uzayın Hilbert uzayı olmasının a¸cıklanması. B¨ ut¨ un bunların neden yapıldı˘ gı ? Ana ama¸clar : - Fonksiyonel analizde ”standart” denebilecek kimi temel yapıları in¸sa ede- bilmek:

Soyut Hilbert Uzayları - her boyutta bir ¨ ornek

Somut Hilbert Uzayları - L ² [0, 1] uzayı gibi, bir ¸cok uzay. Bir teorem ¨ orne˘ gi : - Dirichlet problemi. V : [0, 1] → R ger¸cel de˘gerli bir fonksiyon olsun.

Bu fonksiyonun ” salınım modları” ile ilgileniyoruz; buna benzer bir olayla kuantum mekani˘ ginde kar¸sıla¸sırız. ¨ Orne˘ gin, [0, 1] aralı˘ gı ¨ uzerinde iki kez s¨ urekli t¨ urevlenebilen ve a¸sa˘ gıdaki (1.1) denklemini sa˘ glayan u(x) fonksiyonlarını ele alalım

(1.1) − d ² u

dx ² (x) + V (x)u(x) = λu(x)

Burada ilgilendi˘ gimiz soru hangi ’bilinmeyen’ λ sabitlerinin bulunabilece˘ gi sorusudur. Ku¸skusuz u = 0 i¸cin t¨ um λ sayıları gecerli olacaktır ama bu her zaman yukarıdaki e¸sitlik i¸cin bulunabilecek ” a¸sikar ¸c¨ oz¨ um ” i¸cindir. Ba¸ska hangi ¸c¨ oz¨ umler vardır? Ger¸cekte (1.1) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan ve a¸sikar olmayan ve hepsinin ger¸cel sayı oldu˘ gu sonsuz (λ _j ) dizisi vardır - ve bu dizinin t¨ um

¨

o˘ geleri kompleks sayılar olmayan ger¸cel sayılardır. Bu λ j sayılarının herbiri i¸cin en az bir (belki birden fazla) ”do˘ grusal” ba˘ gımsız ¸c¨ oz¨ um u _j vardır. Burada her¸sey hakkında daha fazla s¨ oylenecek s¨ oz olsa da ana ama¸cımız en azından bu noktaya gelebilmektir.

Ger¸cekte (1.1) bir ¨ ozde˘ ger denklemidir. Burada ele aldı˘ gımız ¸sey ”son- suz bir matris”’tir. Bu a¸sikar olmadı˘ gı gibi t¨ um olaya bakmak i¸cin iyi bir y¨ ontem de de˘ gildir(kuantum mekani˘ ginin ilk g¨ unlerinde b¨ oylesi bir matris yakla¸sımı s¨ oz konusu olmu¸ssa da bu daha sonra yerini Hilbert uzayları ¨ uzerinde d¨ on¨ u¸s¨ um kuramına bırakmı¸stır). Ancak yine de bir anlamda sonsuz matrislerle

¸calı¸sıyoruz denebilir. Sonlu boyut ile sonsuz boyut arasındaki temel ya¸samsal

fark ”‘topolojidir”. Bu fark normlu uzaylar kavramı i¸cinde mevcuttur.

(3)

Vekt¨ or Uzayları :- Belitlerden bahsetmemize gerek var mı? Bir vekt¨ or uzayı V aynen temel R ⁿ , veya C ⁿ uzaylarında oldu˘ gu gibi ¨ o˘ gelerinin toplanabildi˘ gi ve skalarlerle ¸carpılabildi˘ gi ve bu ikili i¸slemlerin R ⁿ ¨ orne˘ gindekilere benzer

¨

ozellikler ta¸sıdı˘ gı uzaylardır. Buradaki skalar kelimesi ile ger¸cel veya kom- pleks sayıları - ¸co˘ gu kezde kompleks sayıları - g¨ osterece˘ giz. Bundan sonra R veya C yerine sadece K yazaca˘gız. S¸imdi k¨umemiz V - ¨uzerinde ¸calı¸saca˘gımız vekt¨ orler- iki yapı ta¸sırlar. Bunlar

(1.2) + : V × V → V, • : K × V → V

yapılarıdırlar. Bunları v + w ve sv ile g¨ osterece˘ giz. Bu i¸slemlerin sa˘ gladı˘ gı belitler vardır ki- bunlar i¸cin do˘ grusal cebir kitaplarınıza geri d¨ on¨ up bakmanızı isterim. Bunlar + i¸cin K nın de˘gi¸smeli grup olması ve da˘gılma ¨ozelli˘gidir.

Ornekler: ¨

A¸sikar ¨ ornek olarak sonlu boyutlu vekt¨ or uzaylarını verebiliriz.

l ^p uzayları. Bunlar dizi uzaylarıdır. ˙Ilk alı¸stırma problemleri t¨ um¨ u ile bu uzaylara ayrılmı¸stır. ¨ Orne˘ gin, l ² - ki bu bir Hilbert uzayıdır- ¨ oyle a j , a(j) = a j

ile de g¨ osterilen, a : N → C dizilerinden olu¸smu¸sturki (1.3)

∞

X

j=1

|a j | ² < ∞

A¸sikar olmayan di˘ ger bir ¨ ornek ise [0, 1] ¨ uzerinde tanımlı ve kompleks sayılar de˘ gerli s¨ urekli fonksiyonlar uzayı C[0, 1] dir. B¨ ut¨ un bu uzaylar bir norm ile donanmı¸slardır. D¨ onemin b¨ uy¨ uk bir kısmında normlu uzayları ¸calı¸saca˘ gız.

Tanım 1. Vekt¨ or uzayı V ¨ uzerindeki bir norm ||.||

(1.4) ||.|| ∞ : V → [0, ∞) a¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikleri sa˘ glayan bir fonksiyondur:

(1) ||v|| = 0 ⇔ v = 0.

(2) ||tv|| = |t|||v|| t ∈ K, v ∈ V (3) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| v, w ∈ V

d(u, v) = ||u − v|| ifadesinin V uzayı ¨ uzerinde bir metrik tanımladı˘ gı ko- laylıkla g¨ or¨ ulebilir. Dolayısı ile bir metrik uzayında varolan kavramlar - a¸cık k¨ umeler, k¨ ureler, kapalı k¨ umeler, dizilerin yakınsaması, kompakt k¨ umeler, ba˘ glantılı k¨ umeler, tam metrik uzaylar artık kullanıma uygundurlar ve biz bu kavramların hepsini kullanaca˘ gız!

Tanım 2. Yukarıda verilen metrik altında tam olan normlu uzaylara Banach

uzayları denir.

(4)

C[0, 1] uzayı ¨ uzerinde supremum normu olarak bilinen (1.5) ||u|| ∞ = sup x∈[0,1] |u(x)|

tartı¸stık. Bu normun bir Banach uzayı verdi˘ gini s¨ oyledik ancak kanıtlamadık.

Benzer ¸sekilde yine C[0, 1] ¨ uzerinde L ¹ normu olarak bilinen (1.6) ||u|| _L

¹

=

Z 1 0

|u(x)|dx

normunu tartı¸stık ve C[0, 1] uzayının neden bu norm altında tam olmadı˘ gına i¸saret ettik. Temel olarak Lebesgue integraline neden gereksinim olmasının altında bu vardır.

Ku¸skusuz birisi ”[0,1] ¨ uzerindeki Riemann integrallenebilir fonksiyonların

L ¹ normunda tam olup-olmadıklarını ” sorabilir. Hatta sormu¸stur da. Ger¸cek

odur ki L ¹ normu denen ¸sey Riemann integrallenebilir fonksiyonlar ¨ uzerinde

norm bile de˘ gildir. Sadece ”seminorm” dur. Ba¸ska bir deyi¸sle integrali sıfır

olan ama kendileri sıfır olmayan fonksiyonlar vardır. Bundan daha ¨ once bah-

setmememizin nedeni sorunun tam olarak ortaya konamamasıdır. Biri uza-

yla oynayarak ( yani b¨ ol¨ um uzayına ge¸cerek) bir norm elde edebilece˘ gimizi

s¨ oyleyebilirse de sorun yine orada duracaktır ¸c¨ unk¨ u uzay bu sefer de tam ol-

mayacaktır. Dolayısı ile do˘ gru yanıt uzayın bir Banach uzayı olmaması ve

bunun da nedeninin ta ba¸sta uzayımızın bir normlu uzay olmamasıdır. Bu

noktaya tekrar d¨ onece˘ giz.

(5)

PROBLEMLER 1

Problem 1.1 Her p, 1 ≤ p < ∞ veya sadece p = 2 i¸cin;

l ^p = {a : N → C,

∞

X

j=1

|a j | ^p < ∞, a j = a(j)}

dizilerinin a¸sa˘ gıdaki normla,

||a|| _p = (

∞

X

j=1

|a _j | ^p ) ^1/p

normlu bir uzay oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu tanımlanan dizilerin bir vekt¨ or uzayı olduklarını ve tanımlanan normun norm olmak i¸cin sa˘ glaması gereken ¨ u¸c ko¸sulu sa˘ gladı˘ gının g¨ osterilmesi demektir.

Problem 1.2 Problem 1.1 deki zor kısım ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi idi. E˘ ger size her N i¸cin

(

N

X

j

|a _j | ^p ) ^1/p

ifadesinin C ^N de norm oldu˘ gu verilseydi, bunu kullanabilir miydiniz?

Problem 1.3 Problem 1.1 de tanımlanan l ^p nin ya da l ² nin tam oldu˘ gunu kanıtlayınız. Yani Banach uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Yani her Cauchy dizisinin yakınsak oldu˘ gunu kanıtlayınız. Burada problem verilen Cauchy dizisinin lim- itini bulmaktır. Her N i¸cin N noktasında budanmayla elde edilen C ^N deki her dizinin C ^N de bir Cauchy dizisi oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 1.4 ˙Isterseniz n = 2 alabilirsiniz, l ^p uzayının birim yuvarı S k¨ umesini d¨ u¸s¨ unelim. Bu k¨ ume uzunlukları 1 olan vekt¨ orlerin k¨ umesidir.

S = {a ∈ l ^p , |||a|| _p = 1}

k¨ umesidir.

(1) S k¨ umesinin kapalı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) Dilerseniz Rudin’nin kitabına da bakarak, metrik uzaylarda kompakt

k¨ umelerin dizisel betimleni¸sini anımsayınız.

(6)

(3) Dilerseniz n-inci yerde 1, kalan koordinatlarda 0 olan diziyi d¨ u¸s¨ unerek S k¨ umesinin kompakt olmadı˘ gını kanıtlayınız.

Problem 1.5 Normlu her uzayda, norm s¨ ureklidir.

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 1. VEKT ¨ OR UZAYLARI, METR˙IK UZAYLAR, NORMLU UZAYLAR

Vekt¨ or uzayları, metrik uzaylar, normlu uzaylar.Banach uzayları. ¨ Ornekler:

Soyut Hilbert Uzayları - her boyutta bir ¨ ornek

Somut Hilbert Uzayları - L 2 [0, 1] uzayı gibi, bir ¸cok uzay. Bir teorem ¨ orne˘ gi : - Dirichlet problemi. V : [0, 1] → R ger¸cel de˘gerli bir fonksiyon olsun.

Bu fonksiyonun ” salınım modları” ile ilgileniyoruz; buna benzer bir olayla kuantum mekani˘ ginde kar¸sıla¸sırız. ¨ Orne˘ gin, [0, 1] aralı˘ gı ¨ uzerinde iki kez s¨ urekli t¨ urevlenebilen ve a¸sa˘ gıdaki (1.1) denklemini sa˘ glayan u(x) fonksiyonlarını ele alalım

(1.1) − d 2 u

dx 2 (x) + V (x)u(x) = λu(x)

¨

¸calı¸sıyoruz denebilir. Sonlu boyut ile sonsuz boyut arasındaki temel ya¸samsal

fark ”‘topolojidir”. Bu fark normlu uzaylar kavramı i¸cinde mevcuttur.

Vekt¨ or Uzayları :- Belitlerden bahsetmemize gerek var mı? Bir vekt¨ or uzayı V aynen temel R n , veya C n uzaylarında oldu˘ gu gibi ¨ o˘ gelerinin toplanabildi˘ gi ve skalarlerle ¸carpılabildi˘ gi ve bu ikili i¸slemlerin R n ¨ orne˘ gindekilere benzer

¨

(1.2) + : V × V → V, • : K × V → V

yapılarıdırlar. Bunları v + w ve sv ile g¨ osterece˘ giz. Bu i¸slemlerin sa˘ gladı˘ gı belitler vardır ki- bunlar i¸cin do˘ grusal cebir kitaplarınıza geri d¨ on¨ up bakmanızı isterim. Bunlar + i¸cin K nın de˘gi¸smeli grup olması ve da˘gılma ¨ozelli˘gidir.

Ornekler: ¨

A¸sikar ¨ ornek olarak sonlu boyutlu vekt¨ or uzaylarını verebiliriz.

l p uzayları. Bunlar dizi uzaylarıdır. ˙Ilk alı¸stırma problemleri t¨ um¨ u ile bu uzaylara ayrılmı¸stır. ¨ Orne˘ gin, l 2 - ki bu bir Hilbert uzayıdır- ¨ oyle a j , a(j) = a j

ile de g¨ osterilen, a : N → C dizilerinden olu¸smu¸sturki (1.3)

∞

X

j=1

|a j | 2 < ∞

A¸sikar olmayan di˘ ger bir ¨ ornek ise [0, 1] ¨ uzerinde tanımlı ve kompleks sayılar de˘ gerli s¨ urekli fonksiyonlar uzayı C[0, 1] dir. B¨ ut¨ un bu uzaylar bir norm ile donanmı¸slardır. D¨ onemin b¨ uy¨ uk bir kısmında normlu uzayları ¸calı¸saca˘ gız.

Tanım 1. Vekt¨ or uzayı V ¨ uzerindeki bir norm ||.||

(1.4) ||.|| ∞ : V → [0, ∞) a¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikleri sa˘ glayan bir fonksiyondur:

(1) ||v|| = 0 ⇔ v = 0.

(2) ||tv|| = |t|||v|| t ∈ K, v ∈ V (3) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| v, w ∈ V

Tanım 2. Yukarıda verilen metrik altında tam olan normlu uzaylara Banach

uzayları denir.

C[0, 1] uzayı ¨ uzerinde supremum normu olarak bilinen (1.5) ||u|| ∞ = sup x∈[0,1] |u(x)|

tartı¸stık. Bu normun bir Banach uzayı verdi˘ gini s¨ oyledik ancak kanıtlamadık.

Benzer ¸sekilde yine C[0, 1] ¨ uzerinde L 1 normu olarak bilinen (1.6) ||u|| L

=

Z 1 0

|u(x)|dx

normunu tartı¸stık ve C[0, 1] uzayının neden bu norm altında tam olmadı˘ gına i¸saret ettik. Temel olarak Lebesgue integraline neden gereksinim olmasının altında bu vardır.

Ku¸skusuz birisi ”[0,1] ¨ uzerindeki Riemann integrallenebilir fonksiyonların

L 1 normunda tam olup-olmadıklarını ” sorabilir. Hatta sormu¸stur da. Ger¸cek

odur ki L 1 normu denen ¸sey Riemann integrallenebilir fonksiyonlar ¨ uzerinde

norm bile de˘ gildir. Sadece ”seminorm” dur. Ba¸ska bir deyi¸sle integrali sıfır

olan ama kendileri sıfır olmayan fonksiyonlar vardır. Bundan daha ¨ once bah-

setmememizin nedeni sorunun tam olarak ortaya konamamasıdır. Biri uza-

yla oynayarak ( yani b¨ ol¨ um uzayına ge¸cerek) bir norm elde edebilece˘ gimizi

s¨ oyleyebilirse de sorun yine orada duracaktır ¸c¨ unk¨ u uzay bu sefer de tam ol-

mayacaktır. Dolayısı ile do˘ gru yanıt uzayın bir Banach uzayı olmaması ve

bunun da nedeninin ta ba¸sta uzayımızın bir normlu uzay olmamasıdır. Bu

noktaya tekrar d¨ onece˘ giz.

PROBLEMLER 1

Problem 1.1 Her p, 1 ≤ p < ∞ veya sadece p = 2 i¸cin;

l p = {a : N → C,

∞

X

j=1

|a j | p < ∞, a j = a(j)}

dizilerinin a¸sa˘ gıdaki normla,

||a|| p = (

∞

X

j=1

|a j | p ) 1/p

normlu bir uzay oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu tanımlanan dizilerin bir vekt¨ or uzayı olduklarını ve tanımlanan normun norm olmak i¸cin sa˘ glaması gereken ¨ u¸c ko¸sulu sa˘ gladı˘ gının g¨ osterilmesi demektir.

Problem 1.2 Problem 1.1 deki zor kısım ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi idi. E˘ ger size her N i¸cin

(

N

X

j

|a j | p ) 1/p

ifadesinin C N de norm oldu˘ gu verilseydi, bunu kullanabilir miydiniz?

Problem 1.4 ˙Isterseniz n = 2 alabilirsiniz, l p uzayının birim yuvarı S k¨ umesini d¨ u¸s¨ unelim. Bu k¨ ume uzunlukları 1 olan vekt¨ orlerin k¨ umesidir.

S = {a ∈ l p , |||a|| p = 1}

k¨ umesidir.

(1) S k¨ umesinin kapalı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) Dilerseniz Rudin’nin kitabına da bakarak, metrik uzaylarda kompakt

Somut Hilbert Uzayları - L ² [0, 1] uzayı gibi, bir ¸cok uzay. Bir teorem ¨ orne˘ gi : - Dirichlet problemi. V : [0, 1] → R ger¸cel de˘gerli bir fonksiyon olsun.

(1.1) − d ² u

dx ² (x) + V (x)u(x) = λu(x)

Vekt¨ or Uzayları :- Belitlerden bahsetmemize gerek var mı? Bir vekt¨ or uzayı V aynen temel R ⁿ , veya C ⁿ uzaylarında oldu˘ gu gibi ¨ o˘ gelerinin toplanabildi˘ gi ve skalarlerle ¸carpılabildi˘ gi ve bu ikili i¸slemlerin R ⁿ ¨ orne˘ gindekilere benzer

l ^p uzayları. Bunlar dizi uzaylarıdır. ˙Ilk alı¸stırma problemleri t¨ um¨ u ile bu uzaylara ayrılmı¸stır. ¨ Orne˘ gin, l ² - ki bu bir Hilbert uzayıdır- ¨ oyle a j , a(j) = a j

|a j | ² < ∞

Benzer ¸sekilde yine C[0, 1] ¨ uzerinde L ¹ normu olarak bilinen (1.6) ||u|| _L

L ¹ normunda tam olup-olmadıklarını ” sorabilir. Hatta sormu¸stur da. Ger¸cek

odur ki L ¹ normu denen ¸sey Riemann integrallenebilir fonksiyonlar ¨ uzerinde

l ^p = {a : N → C,

|a j | ^p < ∞, a j = a(j)}

||a|| _p = (

|a _j | ^p ) ^1/p

|a _j | ^p ) ^1/p

ifadesinin C ^N de norm oldu˘ gu verilseydi, bunu kullanabilir miydiniz?

Problem 1.4 ˙Isterseniz n = 2 alabilirsiniz, l ^p uzayının birim yuvarı S k¨ umesini d¨ u¸s¨ unelim. Bu k¨ ume uzunlukları 1 olan vekt¨ orlerin k¨ umesidir.

S = {a ∈ l ^p , |||a|| _p = 1}