MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

(1)

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102 Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

(2)

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 26.HAHN-BANACH TEOREM˙I ve ¨ OZET

Bu derste neler yaptı˘ gımızın hızlı bir ¨ ozetini vermeden ¨ once Hahn-Banach Teoremini ifade edip kanıtlayaca˘ gız. Bu teorem fonksiyonellerin geni¸slemesi hakkındadır. Temel sorulardan biri: Normlu uzaylarda a¸sikar (yani, sıfırdan farklı) olmayan s¨ urekli bir fonksiyonel var mıdır? sorusudur. Bu dual uzayın a¸sikar olmayaca˘ gını yanıtlar. Bu sorunun yanıtı Hilbert uzaylarında hatta ¨ on Hilbert uzayları i¸cin Riesz Temsil Teoreminden elde edilir, ¸c¨ unk¨ u bu uzaylarda uzayın duali ile kendisi aynydır. Hahn-Banach teoremini bir normlu uzayın tamlanı¸sının oldu˘ gunu g¨ ostermek i¸cin de kullanaca˘ gız.

Theorem 19(Hahn-Banach). E˘ ger M ⊂ V bir normlu uzayın do˘ grusal altuzayı, u : M → C a¸sa˘gıdaki (26.1) s¨ureklilik ko¸sulunu sa˘glayan dogrusal d¨ on¨ u¸s¨ um ve

(26.1) |u(t)| ≤ Cktk _V ∀t ∈ M

ise her x ∈ M i¸cin U (x) = u(x) ve kU k ≤ C olacak bi¸cimde sınırlı bir U : V → C do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um vardır.

Once hesaplamalarla, s¨ ¨ urekli do˘ grusal fonksiyonları normu arttırmadan ’bi- raz’ geni¸sletiriz.

Onteorem 20. M ⊂ V normlu uzayın bir altuzayı, x 6∈ M ve u : M → C ¨ (26.1) de oldu˘ gu gibi sınırlı do˘ grusal bir fonksiyonel olsun. Bu durumda

(26.2) u ⁰ | _M = u, |u ⁰ (t + ax)| ≤ C||t + ax|| _V , ∀ t ∈ M, a ∈ C olacak bi¸cimde u ⁰ ∈ M ⁰ = {t ⁰ ∈ V : t ⁰ = t + ax, a ∈ C} fonksiyoneli vardır.

Kanıt. M ⁰ uzayındakidaki bir noktanın t ⁰ = t + ax yazılımı tektir, ¸c¨ unk¨ u t + ax = t + ^e _e ax ise (a − _e a)x ∈ M dolayısıyla, x 6∈ M oldu˘ gundan, a = _e a ve b¨ oylece t = t elde edilir. Buradan ^e

(26.3) u ⁰ (t + ax) = u ⁰ (t) + au(x) = u(t) + λa, λ = u ⁰ (x)

elde edilir. Burada kullanabilece˘ gimiz tek ¸sey λ’nın se¸cimidir. λ’nın her- hangi bir se¸cimi u’nın bir geni¸slemesini verir, burada sorun u’nın normunu arttırmadan geni¸sletimin yapılmasıdır. E˘ ger C = 0 ise u = 0 bir geni¸sletimdir.

u fonksiyonelini 1/C ile ¸carparak C sayısını 1 olarak alabiliriz. S ¸imdi e˘ ger u ⁰

u/C fonksiyonelinin geni¸sletimi ise Cu ⁰ fonksiyoneli u fonksiyonelinin geni¸sletimidir

ve (26.2) ko¸sullarını sa˘ glar. Artık,

(3)

(26.4) |u(t)| ≤ ktk _V ∀t ∈ M

oldu˘ gunu varsayabiliriz. λ sayısını a¸sa˘ gıdaki e¸sitsizli˘ gi sa˘ glayacak bi¸cimde se¸cmek istiyoruz.

(26.5) |u(t) + aλ| ≤ ||t + ax|| _V ∀t ∈ M, a ∈ C

a = 0 ise λ ¨ uzerinde bir kısıtlama yoktur. a 6= 0 i¸cin (26.5) da a ile b¨ olerek (26.6) |a|u( t

a ) − λ| = |u(t) + aλ| ≤ ||t + ax|| _V = |a||| t

a − x|| _V elde ederiz. _a ^t ∈ M oldu˘ gundan

(26.7) |u(t) − λ| ≤ ||t − x|| _V ∀u ∈ M olacak bi¸cimde ayarlanır ve genel durum buradan elde edilir.

Dolayısıyla λ’yı ger¸cel se¸cebiliriz. Kompleks de˘ gerli bir fonksiyonel ger¸cel kısmından elde edilebilir. Dolayısı ile her t ∈ M i¸cin,

(26.8) w(t) = Re(u(t)) ∀t ∈ M

diyelim ve w’yi ger¸cel de˘ gerler alan bir fonksiyonele geni¸sletmeye ¸calı¸salım- bu elbetde komplex sayılar ¨ uzerinde do˘ grusal olmayacak ama ger¸cel sayılar

¨

uzerinde do˘ grusal olacaktır, ancak (26.7)’nin bir benzerini elde etmek istiyoruz:

(26.9) |w(t) − λ| ≤ ||t − x|| V ∀t ∈ M,

bu do˘ grusallı˘ gı i¸cermiyor. w fonksiyonelinin (26.4) deki norm e¸sitsizli˘ gini sa˘ gladı˘ gını bildi˘ gimizden, oradan

(26.10) |w(t ₁ ) − w(t ₂ )| ≤ |u(t ₁ ) − u(t ₂ )| ≤ ||t ₁ − t ₂ || ≤ ||t ₁ − x|| _V + ||t ₂ − x|| _V buluruz. Buradan da

w(t 1 ) − w(t 2 ) ≤ ||t 1 − x|| V + ||t 2 − x|| V =⇒

(26.11)

w(t ₁ ) − ||t ₁ − x|| ≤ w(t ₂ ) + ||t ₂ − x|| _V ∀t ₁ , t ₂ ∈ M.

(4)

elde ederiz. Bu e¸sitsizli˘ gin sa˘ g tarafından inf, sol tarafından sup alarak arada bir λ se¸cebiliriz-yani

(26.12) w(t ₁ ) − ||t ₁ − x|| ≤ sup

t

1

∈M

(w(t ₁ ) − ||t ₁ − x||) ≤ λ

≤ inf

t

2

∈M (w(t 2 + ||t 2 − x||) ≤ w(t) + ||t − x|| V ∀t 1 , t 2 ∈ M.

Bu a¸sa˘ gıdaki ifadeyi gerektirir.

(26.13) −||t−x|| _V ≤ −w(t)+λ ≤ ||t−x|| _V =⇒ |w(t)λ| ≤ −||t−x|| _V ∀t ∈ M.

Bu aradı˘ gımız durumdur-u’nın ger¸cel kısmını geni¸sletmeyi ba¸sardık.

(26.14) w ⁰ (t + ax) = w(t) − (Rea)λ ve |w ⁰ (t + ax)| ≤ ||t + ax|| V . B¨ oylece u ⁰ nın geni¸slemesini kompleksle¸stirme yaparak elde ederiz. B¨ oylece

(26.15) u ⁰ (t + ax) = w ⁰ (t + ax) − iw ⁰ (i(t + ax))

elde ederizki bu geni¸sletim kompleks sayılar ¨ uzerinde do˘ grusaldır. C ¸ ¨ unk¨ u;

u ⁰ (z(t + ax)) = w ⁰ (z(t + ax)) − iw ⁰ (iz(t + ax))

(26.16) = w ⁰ (Rez(t + ax) + iImz(t + ax) − iw ⁰ (iRez(t + ax)) + iw ⁰ (Imz(t + ax))

= (Rez + iImz)w ⁰ (t + ax) − i(Rez + iImz)(w ⁰ (i(t + ax)) = zu ⁰ (t + ax) sa˘ glandı˘ gından u ⁰ kompleks sayılar ¨ uzerinde do˘ grusaldır. Bu kesinlikle u’yu M ¨ uzerinde geni¸sletir, ¸c¨ unk¨ u yukarıdaki aynı ¨ ozde¸slik, u fonksiyonelini ger¸cel kısmı w ile ifade eder. Son olarak norm ko¸sulunun sa˘ glandı˘ gını g¨ ormek i¸cin,

¸cok ¨ onceden kullanılan,

|u ⁰ (t + ax)| = Ree îθ u ⁰ (t + ax) = Reu ⁰ (e îθ t + e îθ ax) (26.17)

= w ⁰ (e îθ u + e îθ ax) ≤ ||e îθ (t + ax)|| _V = ||t + ax|| _V

olacak bi¸cimde tek bir θ ∈ [0, 2π) oldu˘ gunu anımsamak yeterlidir. Bu kanıtı tamamlar.

Hahn Banach Teoreminin kanıtı

(5)

Zorn ¨ Onteoreminin bir uygulamasıdır. Se¸cme belitinden Zorn ¨ Onteoreminin nasıl elde edildi˘ gi ile ilgilenmeyece˘ giz. Se¸cme Belitine inanıyorsanız Zorn ¨ onteoremine de inanabilirsiniz.

Zorn ¨ Onteoremi sıralı k¨ ume ¨ uzerinde bir ifadedir. Bir E k¨ umesi ¨ uzerindeki kısmı sıralama E×E’nin a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glayan bir altk¨ umesidir. (e, f )’nin bu altk¨ umede olmasını e ≺ f ile g¨ osterecek olursak,

(26.18) e ≺ e, e ≺ f ve f ≺ e ⇒ e = f, e ≺ f ve f ≺ g ⇒ e ≺ g.

Kısmi sıralama ile sıralama arasındaki ¨ onemli fark herhangi iki ¨ o˘ genin mutlaka kar¸sıla¸stırılabilir olmamasıdır.

E˘ ger k¨ umenin her iki elemanı kar¸sıla¸stırılabilir ise kısmi sıralı bir k¨ umeye zincir denir. Bir D ⊂ E k¨ umesinin bir ¨ ust sınırı, her d ∈ D i¸cin d ≺ e ko¸sulunu sa˘ glayan e ∈ E elemanıdır. E’nin bir maksimal(en b¨ uy¨ uk) elemanı e ≺ f oldu˘ gunda e = f ko¸sulunu sa˘ glayan, e ∈ E elemanıdır.

Onteorem 21(Zorn) Bo¸s k¨ ¨ umeden farklı kısmi sıralı bir k¨ umede her zincirin bir ¨ ust sınırı varsa en az bir maksimal elemanı vardır.

Kanıt. M ⊂ V bir normlu uzayın altuzayı ve u : M → C sınırlı bir d¨ on¨ u¸s¨ um ve u, M ’nin V den kısıtlama ile elde edilen normuna g¨ ore sınırlı olsun. Zorn ¨ onteoremini E ile g¨ osterece˘ gimiz (v, N ) ¸ciftlerine uygulayaca˘ gız.

Burada (v, N ), M ⊂ N ⊂ V , v| _M = u ve ||v|| _N = ||u|| _N sa˘ glanmaktadır. Ba¸ska bir deyi¸sle, v, M altuzayını i¸ceren bir altuzay N uzayına u fonksiyonelinin u ile aynı norma sahip geni¸slemesidir. Bu k¨ ume bo¸s k¨ umeden farklıdır, ¸c¨ unk¨ u (u, M ) ¸ciftini i¸cerir ve N ₁ ⊂ N ₂ , v ₂ | _N

₁

= v ₁ ise (v ₁ , N ₁ ) ≺ (v ₂ , N ₂ ) dir. Bunun bir kısmi sıra oldu˘ gunu kontrol edebilirsiniz.

C bu geni¸slemelerin bir zinciri olsun. Yani (v _i , N _i ) ∈ C ise (v ₁ , N ₁ ) ≺ (v ₂ , N ₂ ) ya da (v ₂ , N ₂ ) ≺ (v ₁ , N ₁ ) olmalıdır. Buradan

(26.19) N = ∪{N : bazı v i¸cin ^f (v, N ) ∈ C} ⊂ V

bir do˘ grusal altuzaydır. Bu birle¸sim sayılabilir de˘ gildir ya da benzeri bir du- rumu yoktur. Ancak, zincir olma kuralı nedeniyle, bu k¨ umeye ait iki elemandan biri di˘ gerinin i¸cindedir. Benzer bi¸cimde

(26.20) v : e N → C, ^f v = v(x) ^e e˘ ger x ∈ N, (v, N ) ∈ C.

Verilen bir x i¸cin x ∈ N olacak bi¸cimde bir s¨ ur¨ u (v, N ) ikilisi vardır. An- cak zincir olma ¨ ozelli˘ ginden dolayı v(x)’nin de˘ geri aynıdır. Dolayısıyla, v iyi e

tanımlı ve do˘ grusaldır. ¨ Ustelik | v(x)| ≤ ||u|| _e _M ||v|| _V e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan bir

geni¸slemedir. Yani ( v, e N ), C’nin bir ¨ ^f ust sınırıdır.

(6)

Zorn ¨ Onteoremi gere˘ gi E’nin bir maksimal elemanı vardır. Bunu ( u, _e M ) ^f ile g¨ osterelim. M = V ise istenilene ula¸sılmı¸s olur. Tersi durumunda, x ∈ ^f V \ M vardır. ¨ ^f Onteorem 20 yi ( u, e M )’nin ( ^f u ^e ⁰ , M ^f ⁰ ) geni¸slemesine uygulayalım.

Dolayısıyla ( u, _e M ) ≺ ( ^f u ^e ⁰ , M ^f ⁰ ). Bu ( u, _e M )’nın maksimal olmasıyla ¸celi¸sir. ^f Zorn ¨ Onteoreminin bir¸cok uygulaması vardır. Bunlardan ¨ onemli biri a¸sa˘ gıdakidir:

Onerme 33. Herhangi bir normlu uzay V ve x ∈ V i¸cin f (x) = 1 ve ¨

||f || ≤ ||x|| _V olacak bi¸cimde s¨ urekli do˘ grusal f : V → C fonksiyoneli vardır.

Kanıt. M , x tarafından ¨ uretilen altuzay olsun ve u(zx) = z olarak tanımlansın.

Bu fonksiyonelin normu ||x|| V dır. Bunun geni¸slemesiyle istenilen f elde edilir.

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 26.HAHN-BANACH TEOREM˙I ve ¨ OZET

Theorem 19(Hahn-Banach). E˘ ger M ⊂ V bir normlu uzayın do˘ grusal altuzayı, u : M → C a¸sa˘gıdaki (26.1) s¨ureklilik ko¸sulunu sa˘glayan dogrusal d¨ on¨ u¸s¨ um ve

(26.1) |u(t)| ≤ Cktk V ∀t ∈ M

ise her x ∈ M i¸cin U (x) = u(x) ve kU k ≤ C olacak bi¸cimde sınırlı bir U : V → C do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um vardır.

Once hesaplamalarla, s¨ ¨ urekli do˘ grusal fonksiyonları normu arttırmadan ’bi- raz’ geni¸sletiriz.

Onteorem 20. M ⊂ V normlu uzayın bir altuzayı, x 6∈ M ve u : M → C ¨ (26.1) de oldu˘ gu gibi sınırlı do˘ grusal bir fonksiyonel olsun. Bu durumda

(26.2) u 0 | M = u, |u 0 (t + ax)| ≤ C||t + ax|| V , ∀ t ∈ M, a ∈ C olacak bi¸cimde u 0 ∈ M 0 = {t 0 ∈ V : t 0 = t + ax, a ∈ C} fonksiyoneli vardır.

Kanıt. M 0 uzayındakidaki bir noktanın t 0 = t + ax yazılımı tektir, ¸c¨ unk¨ u t + ax = t + e e ax ise (a − e a)x ∈ M dolayısıyla, x 6∈ M oldu˘ gundan, a = e a ve b¨ oylece t = t elde edilir. Buradan e

(26.3) u 0 (t + ax) = u 0 (t) + au(x) = u(t) + λa, λ = u 0 (x)

elde edilir. Burada kullanabilece˘ gimiz tek ¸sey λ’nın se¸cimidir. λ’nın her- hangi bir se¸cimi u’nın bir geni¸slemesini verir, burada sorun u’nın normunu arttırmadan geni¸sletimin yapılmasıdır. E˘ ger C = 0 ise u = 0 bir geni¸sletimdir.

u fonksiyonelini 1/C ile ¸carparak C sayısını 1 olarak alabiliriz. S ¸imdi e˘ ger u 0

u/C fonksiyonelinin geni¸sletimi ise Cu 0 fonksiyoneli u fonksiyonelinin geni¸sletimidir

ve (26.2) ko¸sullarını sa˘ glar. Artık,

(26.4) |u(t)| ≤ ktk V ∀t ∈ M

oldu˘ gunu varsayabiliriz. λ sayısını a¸sa˘ gıdaki e¸sitsizli˘ gi sa˘ glayacak bi¸cimde se¸cmek istiyoruz.

(26.5) |u(t) + aλ| ≤ ||t + ax|| V ∀t ∈ M, a ∈ C

a = 0 ise λ ¨ uzerinde bir kısıtlama yoktur. a 6= 0 i¸cin (26.5) da a ile b¨ olerek (26.6) |a|u( t

a ) − λ| = |u(t) + aλ| ≤ ||t + ax|| V = |a||| t

a − x|| V elde ederiz. a t ∈ M oldu˘ gundan

(26.7) |u(t) − λ| ≤ ||t − x|| V ∀u ∈ M olacak bi¸cimde ayarlanır ve genel durum buradan elde edilir.

Dolayısıyla λ’yı ger¸cel se¸cebiliriz. Kompleks de˘ gerli bir fonksiyonel ger¸cel kısmından elde edilebilir. Dolayısı ile her t ∈ M i¸cin,

(26.8) w(t) = Re(u(t)) ∀t ∈ M

diyelim ve w’yi ger¸cel de˘ gerler alan bir fonksiyonele geni¸sletmeye ¸calı¸salım- bu elbetde komplex sayılar ¨ uzerinde do˘ grusal olmayacak ama ger¸cel sayılar

¨

uzerinde do˘ grusal olacaktır, ancak (26.7)’nin bir benzerini elde etmek istiyoruz:

(26.9) |w(t) − λ| ≤ ||t − x|| V ∀t ∈ M,

bu do˘ grusallı˘ gı i¸cermiyor. w fonksiyonelinin (26.4) deki norm e¸sitsizli˘ gini sa˘ gladı˘ gını bildi˘ gimizden, oradan

(26.10) |w(t 1 ) − w(t 2 )| ≤ |u(t 1 ) − u(t 2 )| ≤ ||t 1 − t 2 || ≤ ||t 1 − x|| V + ||t 2 − x|| V buluruz. Buradan da

w(t 1 ) − w(t 2 ) ≤ ||t 1 − x|| V + ||t 2 − x|| V =⇒

(26.11)

w(t 1 ) − ||t 1 − x|| ≤ w(t 2 ) + ||t 2 − x|| V ∀t 1 , t 2 ∈ M.

elde ederiz. Bu e¸sitsizli˘ gin sa˘ g tarafından inf, sol tarafından sup alarak arada bir λ se¸cebiliriz-yani

(26.12) w(t 1 ) − ||t 1 − x|| ≤ sup

t

∈M

(w(t 1 ) − ||t 1 − x||) ≤ λ

≤ inf

t

∈M (w(t 2 + ||t 2 − x||) ≤ w(t) + ||t − x|| V ∀t 1 , t 2 ∈ M.

Bu a¸sa˘ gıdaki ifadeyi gerektirir.

(26.13) −||t−x|| V ≤ −w(t)+λ ≤ ||t−x|| V =⇒ |w(t)λ| ≤ −||t−x|| V ∀t ∈ M.

Bu aradı˘ gımız durumdur-u’nın ger¸cel kısmını geni¸sletmeyi ba¸sardık.

(26.14) w 0 (t + ax) = w(t) − (Rea)λ ve |w 0 (t + ax)| ≤ ||t + ax|| V . B¨ oylece u 0 nın geni¸slemesini kompleksle¸stirme yaparak elde ederiz. B¨ oylece

(26.15) u 0 (t + ax) = w 0 (t + ax) − iw 0 (i(t + ax))

elde ederizki bu geni¸sletim kompleks sayılar ¨ uzerinde do˘ grusaldır. C ¸ ¨ unk¨ u;

u 0 (z(t + ax)) = w 0 (z(t + ax)) − iw 0 (iz(t + ax))

(26.16) = w 0 (Rez(t + ax) + iImz(t + ax) − iw 0 (iRez(t + ax)) + iw 0 (Imz(t + ax))

¸cok ¨ onceden kullanılan,

|u 0 (t + ax)| = Ree iθ u 0 (t + ax) = Reu 0 (e iθ t + e iθ ax) (26.17)

= w 0 (e iθ u + e iθ ax) ≤ ||e iθ (t + ax)|| V = ||t + ax|| V

olacak bi¸cimde tek bir θ ∈ [0, 2π) oldu˘ gunu anımsamak yeterlidir. Bu kanıtı tamamlar.

Hahn Banach Teoreminin kanıtı

Zorn ¨ Onteoreminin bir uygulamasıdır. Se¸cme belitinden Zorn ¨ Onteoreminin nasıl elde edildi˘ gi ile ilgilenmeyece˘ giz. Se¸cme Belitine inanıyorsanız Zorn ¨ onteoremine de inanabilirsiniz.

Zorn ¨ Onteoremi sıralı k¨ ume ¨ uzerinde bir ifadedir. Bir E k¨ umesi ¨ uzerindeki kısmı sıralama E×E’nin a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glayan bir altk¨ umesidir. (e, f )’nin bu altk¨ umede olmasını e ≺ f ile g¨ osterecek olursak,

(26.18) e ≺ e, e ≺ f ve f ≺ e ⇒ e = f, e ≺ f ve f ≺ g ⇒ e ≺ g.

Kısmi sıralama ile sıralama arasındaki ¨ onemli fark herhangi iki ¨ o˘ genin mutlaka kar¸sıla¸stırılabilir olmamasıdır.

Onteorem 21(Zorn) Bo¸s k¨ ¨ umeden farklı kısmi sıralı bir k¨ umede her zincirin bir ¨ ust sınırı varsa en az bir maksimal elemanı vardır.

Kanıt. M ⊂ V bir normlu uzayın altuzayı ve u : M → C sınırlı bir d¨ on¨ u¸s¨ um ve u, M ’nin V den kısıtlama ile elde edilen normuna g¨ ore sınırlı olsun. Zorn ¨ onteoremini E ile g¨ osterece˘ gimiz (v, N ) ¸ciftlerine uygulayaca˘ gız.

= v 1 ise (v 1 , N 1 ) ≺ (v 2 , N 2 ) dir. Bunun bir kısmi sıra oldu˘ gunu kontrol edebilirsiniz.

C bu geni¸slemelerin bir zinciri olsun. Yani (v i , N i ) ∈ C ise (v 1 , N 1 ) ≺ (v 2 , N 2 ) ya da (v 2 , N 2 ) ≺ (v 1 , N 1 ) olmalıdır. Buradan

(26.19) N = ∪{N : bazı v i¸cin f (v, N ) ∈ C} ⊂ V

bir do˘ grusal altuzaydır. Bu birle¸sim sayılabilir de˘ gildir ya da benzeri bir du- rumu yoktur. Ancak, zincir olma kuralı nedeniyle, bu k¨ umeye ait iki elemandan biri di˘ gerinin i¸cindedir. Benzer bi¸cimde

(26.20) v : e N → C, f v = v(x) e e˘ ger x ∈ N, (v, N ) ∈ C.

Verilen bir x i¸cin x ∈ N olacak bi¸cimde bir s¨ ur¨ u (v, N ) ikilisi vardır. An- cak zincir olma ¨ ozelli˘ ginden dolayı v(x)’nin de˘ geri aynıdır. Dolayısıyla, v iyi e

tanımlı ve do˘ grusaldır. ¨ Ustelik | v(x)| ≤ ||u|| e M ||v|| V e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan bir

geni¸slemedir. Yani ( v, e N ), C’nin bir ¨ f ust sınırıdır.

Zorn ¨ Onteoremi gere˘ gi E’nin bir maksimal elemanı vardır. Bunu ( u, e M ) f ile g¨ osterelim. M = V ise istenilene ula¸sılmı¸s olur. Tersi durumunda, x ∈ f V \ M vardır. ¨ f Onteorem 20 yi ( u, e M )’nin ( f u e 0 , M f 0 ) geni¸slemesine uygulayalım.

Dolayısıyla ( u, e M ) ≺ ( f u e 0 , M f 0 ). Bu ( u, e M )’nın maksimal olmasıyla ¸celi¸sir. f Zorn ¨ Onteoreminin bir¸cok uygulaması vardır. Bunlardan ¨ onemli biri a¸sa˘ gıdakidir:

Onerme 33. Herhangi bir normlu uzay V ve x ∈ V i¸cin f (x) = 1 ve ¨

||f || ≤ ||x|| V olacak bi¸cimde s¨ urekli do˘ grusal f : V → C fonksiyoneli vardır.

Kanıt. M , x tarafından ¨ uretilen altuzay olsun ve u(zx) = z olarak tanımlansın.

Bu fonksiyonelin normu ||x|| V dır. Bunun geni¸slemesiyle istenilen f elde edilir.

(26.1) |u(t)| ≤ Cktk _V ∀t ∈ M

(26.2) u ⁰ | _M = u, |u ⁰ (t + ax)| ≤ C||t + ax|| _V , ∀ t ∈ M, a ∈ C olacak bi¸cimde u ⁰ ∈ M ⁰ = {t ⁰ ∈ V : t ⁰ = t + ax, a ∈ C} fonksiyoneli vardır.

Kanıt. M ⁰ uzayındakidaki bir noktanın t ⁰ = t + ax yazılımı tektir, ¸c¨ unk¨ u t + ax = t + ^e _e ax ise (a − _e a)x ∈ M dolayısıyla, x 6∈ M oldu˘ gundan, a = _e a ve b¨ oylece t = t elde edilir. Buradan ^e

(26.3) u ⁰ (t + ax) = u ⁰ (t) + au(x) = u(t) + λa, λ = u ⁰ (x)

u fonksiyonelini 1/C ile ¸carparak C sayısını 1 olarak alabiliriz. S ¸imdi e˘ ger u ⁰

u/C fonksiyonelinin geni¸sletimi ise Cu ⁰ fonksiyoneli u fonksiyonelinin geni¸sletimidir

(26.4) |u(t)| ≤ ktk _V ∀t ∈ M

(26.5) |u(t) + aλ| ≤ ||t + ax|| _V ∀t ∈ M, a ∈ C

a ) − λ| = |u(t) + aλ| ≤ ||t + ax|| _V = |a||| t

a − x|| _V elde ederiz. _a ^t ∈ M oldu˘ gundan

(26.7) |u(t) − λ| ≤ ||t − x|| _V ∀u ∈ M olacak bi¸cimde ayarlanır ve genel durum buradan elde edilir.

(26.10) |w(t ₁ ) − w(t ₂ )| ≤ |u(t ₁ ) − u(t ₂ )| ≤ ||t ₁ − t ₂ || ≤ ||t ₁ − x|| _V + ||t ₂ − x|| _V buluruz. Buradan da

w(t ₁ ) − ||t ₁ − x|| ≤ w(t ₂ ) + ||t ₂ − x|| _V ∀t ₁ , t ₂ ∈ M.

(26.12) w(t ₁ ) − ||t ₁ − x|| ≤ sup

(w(t ₁ ) − ||t ₁ − x||) ≤ λ

(26.13) −||t−x|| _V ≤ −w(t)+λ ≤ ||t−x|| _V =⇒ |w(t)λ| ≤ −||t−x|| _V ∀t ∈ M.

(26.14) w ⁰ (t + ax) = w(t) − (Rea)λ ve |w ⁰ (t + ax)| ≤ ||t + ax|| V . B¨ oylece u ⁰ nın geni¸slemesini kompleksle¸stirme yaparak elde ederiz. B¨ oylece

(26.15) u ⁰ (t + ax) = w ⁰ (t + ax) − iw ⁰ (i(t + ax))

u ⁰ (z(t + ax)) = w ⁰ (z(t + ax)) − iw ⁰ (iz(t + ax))

(26.16) = w ⁰ (Rez(t + ax) + iImz(t + ax) − iw ⁰ (iRez(t + ax)) + iw ⁰ (Imz(t + ax))

|u ⁰ (t + ax)| = Ree îθ u ⁰ (t + ax) = Reu ⁰ (e îθ t + e îθ ax) (26.17)

= w ⁰ (e îθ u + e îθ ax) ≤ ||e îθ (t + ax)|| _V = ||t + ax|| _V

= v ₁ ise (v ₁ , N ₁ ) ≺ (v ₂ , N ₂ ) dir. Bunun bir kısmi sıra oldu˘ gunu kontrol edebilirsiniz.

C bu geni¸slemelerin bir zinciri olsun. Yani (v _i , N _i ) ∈ C ise (v ₁ , N ₁ ) ≺ (v ₂ , N ₂ ) ya da (v ₂ , N ₂ ) ≺ (v ₁ , N ₁ ) olmalıdır. Buradan

(26.19) N = ∪{N : bazı v i¸cin ^f (v, N ) ∈ C} ⊂ V

(26.20) v : e N → C, ^f v = v(x) ^e e˘ ger x ∈ N, (v, N ) ∈ C.

tanımlı ve do˘ grusaldır. ¨ Ustelik | v(x)| ≤ ||u|| _e _M ||v|| _V e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan bir

geni¸slemedir. Yani ( v, e N ), C’nin bir ¨ ^f ust sınırıdır.

Zorn ¨ Onteoremi gere˘ gi E’nin bir maksimal elemanı vardır. Bunu ( u, _e M ) ^f ile g¨ osterelim. M = V ise istenilene ula¸sılmı¸s olur. Tersi durumunda, x ∈ ^f V \ M vardır. ¨ ^f Onteorem 20 yi ( u, e M )’nin ( ^f u ^e ⁰ , M ^f ⁰ ) geni¸slemesine uygulayalım.

Dolayısıyla ( u, _e M ) ≺ ( ^f u ^e ⁰ , M ^f ⁰ ). Bu ( u, _e M )’nın maksimal olmasıyla ¸celi¸sir. ^f Zorn ¨ Onteoreminin bir¸cok uygulaması vardır. Bunlardan ¨ onemli biri a¸sa˘ gıdakidir:

||f || ≤ ||x|| _V olacak bi¸cimde s¨ urekli do˘ grusal f : V → C fonksiyoneli vardır.