MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.a¸cık ders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

1

PROBLEMLER 1

Problem 1.1 Her p, 1 ≤ p < ∞ veya sadece p = 2 i¸cin;

l

= {a : N → C,

∞

X

j=1

|a

|

< ∞, a

= a(j)}

dizilerinin a¸sa˘ gıdaki normla,

||a||

= (

∞

X

j=1

|a

|

)

normlu bir uzay oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu tanımlanan dizilerin bir vekt¨ or uzayı olduklarını ve tanımlanan normun norm olmak i¸cin sa˘ glaması gereken ¨ u¸c ko¸sulu sa˘ gladı˘ gının g¨ osterilmesi demektir.

Problem 1.2 Problem 1.1 deki zor kısım ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi idi. E˘ ger size herN i¸cin

(

N

X

j

|a

|

)

ifadesinin C

de norm oldu˘ gu verilseydi, bunu kullanabilir miydiniz?

Problem 1.3 Problem 1.1 de tanımlanan l

nin ya da l

nin tam oldu˘ gunu kanıtlayınız. Yani Banach uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Yani her Cauchy dizisinin yakınsak oldu˘ gunu kanıtlayınız. Burada problem verilen Cauchy dizisinin lim- itini bulmaktır. Her N i¸cin N . noktasında budanmayla elde edilen dizi C

deki her dizinin C

de bir Cauchy dizisi oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 1.4 ˙Isterseniz n = 2 alabilirsiniz, l

uzayının birim yuvarı S k¨ umesini d¨ u¸s¨ unelim. Bu k¨ ume uzunlukları 1 olan vekt¨ orlerin k¨ umesidir.

S = {a ∈ l

: ||a||

= 1}

k¨ umesidir.

(1) S k¨ umesinin kapalı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

1

(2) Dilerseniz Rudin’nin kıtabına da bakarak, metrik uzaylarda kompakt k¨ umelerin dizisel betimleni¸sini anımsayınız.

(3) Dilerseniz n-inci yerde 1, kalan koordinatlarda 0 olan diziyi d¨ u¸s¨ unerek S k¨ umesinin kompakt olmadı˘ gını kanıtlayınız.

Problem 1.5 Normlu her uzayda, norm s¨ ureklidir.

2