MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.
18.102
Introduction to Functional Analysis Bahar 2009
Prof.Dr.Richard Melrose
18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009
DERS 8. CAUCHY ES ¸ ˙ITS˙IZL˙I ˘ G˙I VE LEBESGUE ¨ OLC ¸ ¨ UM ¨ U Once ¨ ¨ onHilbert uzayı ve Hilbert uzayının tanımlarını tartı¸saca˘ gız ve sonra Cauchy e¸sitsizli˘ gini ve paralelkenar kuralını kanıtlayaca˘ gız. Bunlar b¨ ut¨ un ders notlarında ve di˘ ger yerlerde bulunabilece˘ ginden burada tekrar edilmeyecek.
Konuyla ilgili iyi bir kaynak G.F. Simmons’un ”Introduction to topology and modern analysis’ kitabıdır. Ancak bu kitap basılmamaktadır.
S ¸u anda, herkesin ılgılendı˘ gı geldi˘ gimiz noktada Lebesgue ¨ ol¸c¨ um¨ un nasıl tanımlanaca˘ gıdır. Bunu anlayacak zamanımız olacak. Bunun i¸cin Salı g¨ unu altını ¸cizdi˘ gim gibi sadece integrali kullanaca˘ gız. Once fonksiyonların yerel ¨ integrallenebilirli˘ gini tanımlayaca˘ gız. Yani
(8.1) f : R → C
yerel integrallenebilir olması demek her N i¸cin f [−N,N ] = f χ [−N,N ] ∈ L 1 (R) demektir. Burada χ A , A k¨ umesinin karakteristik fonksiyonudur.
Orne˘ ¨ gin, R’da s¨urekli her fonksiyon yerel integrallenebilirdir.
Onteorem 4. Yerel integrallenebilir fonksiyonlar k¨ ¨ umesi bir vekt¨ or uzayıdır.
Kanıt. L 1 (R)’in vekt¨or uzayı olmasından hemen elde edilir.
Tanım E˘ ger χ A yerel integrallenebilir ise A ⊂ R ¨ol¸c¨ulebilirdir. ¨ Ol¸c¨ ulebilir k¨ umenin ¨ ol¸c¨ um¨ u sonlu ise χ A ∈ L 1 (R) ¨ol¸c¨um¨u ise
(8.2) µ(A) =
Z
χ N
olarak tanımlanır. µ(A), A’nın Lebesgue ¨ ol¸c¨ um¨ ud¨ ur. A ¨ ol¸c¨ ulebilir ve ¨ ol¸c¨ um¨ u sonlu de˘ gilse, tanım gere˘ gi, µ(A) = ∞ dir.
(a, b) aralı˘ gının (a¸cık, yarı a¸cık, kapalı) ¨ ol¸c¨ ulebilir oldu˘ gunu biliyoruz ve
¨
ol¸c¨ um¨ un sonlu olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul aralı˘ gın sonlu olmasıdır ve
¨
ol¸c¨ um b − a dır. Bunu g¨ ormek i¸cin:-
Onerme 13. ¨ ¨ Ol¸c¨ ulebilir bir k¨ umenin t¨ umleyeni ¨ ol¸c¨ ulebilirdir ve ¨ ol¸c¨ ulebilir k¨ umelerin sayılabilir birle¸simi ¨ ol¸c¨ ulebilirdir.
Kanıt Sabit 1 fonksiyonun yerel integrallenebilirdir ve b¨ oylece χ R\A = 1 − χ A ve χ A fonksiyonlarının yerel integrallenebilirlikleri aynı oldu˘ gundundan ilk kısım elde edilir.
Karakteristik fonksiyonlar ile onların tanımladıkları k¨ umeler arasındaki a¸sa˘ gıdaki e¸sitli˘ ge dikkat etmelisiniz:-
(8.3) χ A∪B = max(χ A , χ B ), χ A∩B = min(χ A , χ B ).
A n k¨ umeler dizisi ise B n = ∪ k≤n A k k¨ umelerin artan bir dizisidir ve (8.4) χ Bn → χ B , B = ∪ n A n
artan dizi ve yakınsama noktasaldır (her noktada sıfıra yakınsar, orada kalır ya da 0’da kalır.) E˘ ger χ [−N,N ] ile ¸carpılırsa o zaman
(8.5) f n = χ [−N,N ] χ Bn → χ B∩[−N,N ]
integrallenebilir fonksiyonların artan dizisidir. A k ’ların ¨ ol¸c¨ ulebilirli˘ gi varsayımı altında integral ¨ ustten 2N ile sınırlıdır. Monotonluk teoremi gere˘ gi limit inte- grallenebilir, dolayısıyla χ B yerel integrallenebilir ve dolayısıyla ∪ n A n ¨ ol¸c¨ ulebilirdir.
Onerme 14. ∅ ve R’ide i¸ceren R’nin ¨ol¸c¨ulebilir altk¨umelerinin k¨umesi M, ¨ sayılabilir birle¸sim, arakesit ve t¨ umleyen i¸slemleri altında kapalıdır.
Kanıt. Yukarıdakine benzer tartı¸sma, azalan diziler i¸cin, arakesit i¸slemine uygulanarak kanıt verilir.
Ol¸c¨ ¨ ulebilir ve ¨ ol¸c¨ um¨ u sonlu olmayan A k¨ umesinden bahsedildi, ¨ orne˘ gin R.
Ol¸c¨ ¨ ulebilir bir k¨ umenin ¨ ol¸c¨ um¨ u negatif olmadı˘ gından (¨ ol¸c¨ ulebilir de˘ gilse tanımsız) bu herhangi bir probleme neden olmaz ve ger¸cekte ∞ alınmasına izin ver- ildi˘ ginde Lebesgue ¨ ol¸c¨ um a¸sa˘ gıdaki anlamda sayılabilir toplamsaldır:-
(8.6) A n ∈ M, n ∈ N ⇒ [
n
A n ∈ M ve µ( [
n
A n ) ≤ X
n
µ(A n )
Burada k 6= j i¸cin A j ∩ A k = ∅ ise e¸sitlik vardır. Bunu kanıtlamak iyi bir
alı¸stırma olur.
PROBLEMLER 4
Problem 4.1 H bir normlu uzay ve norm a¸sa˘ gıdaki paralelkenar kuralını sa˘ glasın.
(8.7) ku + vk + ku − vk = 2(kuk 2 + kvk 2 ) u, v ∈ H.
Bu normun bir pozitif Hermitsel i¸c¸carpım’dan geldi˘ gini kanıtlayınız. Ana fikir olarak:-
(8.8) (u, v) = 1
4 (ku + vk 2 − ku − vk 2 + iku + ivk 2 − iku − ivk 2 ) e¸sitsizli˘ gini deneyiniz.
Problem 4.2 H sonsuz boyutlu bir (¨ on)Hilbert uzayı olsun. Dolayısıyla H’nın her elemanı i¸cin
(8.9) v = X
i
c i v i
olacak bi¸cimde (v i ) tabanı vardır. Burada v i ’ler arasında do˘ grusal ba˘ gımlılık ili¸ski yoktur-(8.9) da v = 0 temsili tek bir tanedir. (e i , e j ) = δ ij (i = j) i¸cin 1, di˘ ger durumda sıfır) anlamında H’nın bir ortonormal tabanı (e i ) ∞ i=1 vardır. Ortonormal taban i¸cin (8.9) da ge¸cen katsayıların c i = (v, e i ) oldu˘ gunu kanıtlayınız ve
(8.10) T : H → C n , T (v) = ((v, e i )) nın
(8.11) (u, v) = X
i
(T u) i (T v) i , kuk H = kT uk
C
n, u, v ∈ H
¨
ozelli˘ gini sa˘ glayan bir izomorfizma oldu˘ gunu kanıtlayınız. Ni¸cin sonlu boyutlu
¨
onHilbert uzayı bir Hilbert uzayıdır?
PROBLEM 3’ ¨ UN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER ˙I
A¸sa˘ gıdaki ¨ ozelliklileri kanıtlamanızı ve bunun yanında daha fazla soyut kanıt vermenizi isteyece˘ giz. h.h.y. e¸sitli˘ ginin ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir k¨ umenin t¨ umleyeni
¨
uzerinde e¸sit anlamında oldu˘ gunu hatırlayınız.
Problem 3.1 E˘ ger f ve g, L 1 (R) i¸cinde, yani ger¸cel sayılar ¨uzerinde Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlarsa, a¸sa˘ gıdakileri g¨ osteriniz.
(1) E˘ ger h.h.y. f (x) ≥ 0 ise R f ≥ 0 dır.
(2) E˘ ger h.h.y. f (x) ≤ g(x) ise R f ≤ R g dır.
(3) E˘ ger f kompleks de˘ gerli bir fonksiyon ise ger¸cel kısmı Ref Lebesgue
¨
ol¸c¨ ulebilirdir ve
|
Z
Ref | ≤
Z
|f | (4) Genel kompleks de˘ gerli bir fonksiyon i¸cin
(6.30) |
Z
f | ≤
Z
|f |
g¨ osteriniz.(˙Ip ucu: Kaynaklara bakabilirsiniz ama genellikle yapılan ¸sey θ ∈ [0, 2π] almak ve e iθ R f = R e iθ f ≥ kullanarak, ¨ onceki e¸sitsizli˘ gi g = e iθ f de kullanmaktır.
(5) ˙Integral
(6.31)
Z
: L 1 (R) → C s¨ urekli ve do˘ grusaldır.
C ¸ ¨ oz¨ um.
(1) f ger¸cel ve f n , f ’ye mutlak yakınsayan basamak fonksiyonların ger¸cel de˘ gerli mutlak toplanabilir bir serisi (sadece kompleks-de˘ gerli dizimiz varsa (3)’i kullanınız.)
(8.14) g 1 = |f 1 | , g j = |f j | − |f j−1 | , f ≥ 1
dizisinin |f |’ye h.h.y. mutlak yakınsadı˘ gını biliyoruz. Buradan f + = 1 2 (|f | + f ) = f , e˘ ger f ≥ 0 ise, 1 2 f j ve 1 2 g j ile elde edilen serinin h.h.y. limitidir:
(8.15) h n = 1
2 g k (n = 2k − 1 i¸cin) ve h n = f k (n = 2k i¸cin) B¨ oylece f + Lebesgue integrallenebilirdir. ¨ Ustelik
(8.16)
Z
f + = lim
k→∞
X
n≤2k
Z
h k = lim
k→∞
Z
(
k
X
j=1
f j
+
k
X
j=1
f j )
oldu˘ gunu biliyoruz. Burada her terim negatif olmayan basamak fonksiyonudur ve dolayısıyla R f + ≥ 0 dır.
(2) ¨ Onceki sonucu integrallenebilir g − f ’ye uygulayarak (8.17)
Z
g −
Z
f =
Z
(g − f ) ≥ 0 elde edilir.
(3) Temel kuralların kullanılmasıyla, f n kompleks de˘ gerli ve f ’ye h.h.y.
yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir bir serisi ise h 3k−2 = Ref k , h 3k−1 = Imf k , ve h 3k = −Imf k
olarak tanımlayalım. Basamak fonksiyonların bu serisi mutlak toplanabilirdir ve
(8.19) X
n
|h n (x)| < ∞ ⇐⇒ X
n
|f n (x)| < ∞ ⇒ X
n
|h n (x)| = Ref
dır. B¨ oylece Ref integrallenebilirdir. +Ref ≤ |f | oldu˘ gundan (8.20) +
Z
Ref ≤
Z
|f | ⇒
Z
Ref
≤
Z
|f | .
(4) Kompleks de˘ gerli f i¸cin a¸sa˘ gıda ¨ onerildi˘ gi gibi yapılır. z ∈ C’yi |z| = 1 ve z R f ∈ [0, ∞) olacak bi¸cimde se¸celim. B¨ oyle bir se¸cim kompleks sayıların
¨
ozelli˘ ginden yapılabilir. Integralin do˘ grusallı˘ gından (8.21)
z
Z
f =
Z
(zf ) =
Z
Re(zf ) ≤
Z
|zRef | ≤
Z
|f | ⇒
Z
f
= z
Z
f ≤
Z
|f | . (Buradaki ikinci e¸sitlik integralin ger¸cel kısmının integraline e¸sit olmasından elde edilir.)
(5) h.h.y. f = g ise R f = R g oldu˘ gundan,
(8.22) I : L 1 (R) → C, I([f ]) =
Z
f
nın do˘ grusal oldu˘ gunu biliyoruz. Do˘ grusal fonksiyonelin s¨ urekli olması ile
sınırlı olması denk oldu˘ gundan ve
(8.23) |I([f ])| =
Z
f
≤
Z
|f | = k|[f ]k| L1
oldu˘ gundan
I s¨ ureklidir. (Burada f ∈ L 1 (R)’nin yerine [f ] yazılması do˘grudur. Ancak yazılmasa da bu herkesin bildi˘ gi ve kullandı˘ gı bır ger¸cektir).
(6) L 1 (R)’nın dualinin bir elemani olarak I’nın normu nedir? Yanıt 1-emin olmanız i¸cin kanıtlayabilirsiniz.
Problem 3.2 I ⊂ R bir aralık ((−∞, a) ya da (a, ∞) olasılıkları da dahil) ise bir f : I → C fonksiyonun Lebesgue integrallenebilir olmasını
(8.24) f : I → C, f (x) = f χ I (x)
olarak tanımlanan fonksiyonun Lebesgue integrallebilir olması olarak tanımlayabiliriz.
f ’nın integralini
(8.25)
Z
I
f =
Z
f olarak tanımlarız.
(1) I ¨ uzerinde, bu anlamda tanımlanan integrallenebilir fonksiyonların vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu t¨ ur fonksiyonların k¨ umesini L 1 (I) ile g¨ osterelim.
(2) f , I ¨ uzerinde integrallenebilir ise |f |’nin de integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
(3) f , I da integrallenebilir ve R |f | = 0 ise h.h.y. f = 0, yani ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir E ⊂ I i¸cin, her x ∈ I \ E iken f (x) = 0, oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
(4) Daha ¨ onceki soruda tanımlanan anlamda h.h.y. sıfır fonksiyonlarının vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Bu uzayı N (I) ile g¨ osterelim.
(5) R I |f |’nın L 1 = L 1 (I)/N (I) de bir norm tanımladı˘ gını kanıtlayınız.
(6) f ∈ L 1 (R) ise
(8.26) g : I → C, g = f χ I
olarak tanımlanan fonksiyonun L 1 (R)’de oldu˘gunu ve dolayısıyla f ’nın I ¨uzerinde integrallenebilir oldu˘ gunu kanıtlayınız.
(7) Yukarıda tanımlanan I’ya kısıtlama d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u (8.27) L 1 (R) → L 1 (I)
¨
orten ve s¨ urekli do˘ grusal fonksiyonel tanımlar. (Bunların h.h.y. denklik ba˘ gıntısına
g¨ ore integrallenebilir fonksiyonların b¨ ol¨ um uzaylarının var oldu˘ gunu not edi-
niz.)
C ¸ ¨ oz¨ um.
(1) f ve g fonksiyonları I ¨ uzerinde integrallenebilir ve h = f + g ise h = f + g oldu˘ gu tanımdandır. Dolayısıyla L 1 (R)’nın vekt¨or uzayı olmasından f + g fonksiyonu I da integrallenebilirdir. Benzer bi¸cimde e˘ ger f integrallenebilir ise herhangi bir sabit c i¸cin h = cf olmak ¨ uzere h = cf fonksiyonu integral- lenebilirdir. B¨ oylece L 1 (I) bir vekt¨ or uzaydır.
(2) Yine tanımdan h = |f | ise h = f . Buradan f ’nın I da integrallenebilir olmasından f ∈ L 1 (R) elde edilir. Bilgilerimizden de f ∈ L 1 (R). B¨oylece h = |f | ise h ∈ L 1 (R), dolayısıyla |f | ∈ L 1 (I) elde edilir.
(3) f ∈ L 1 (I) ve R I |f | = 0 ise R R f = 0 dır ve buradan da ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir E ⊂ R i¸cin R \ E k¨umesinde f = 0 elde edilir. S¸imdi E I = E ∩ I ⊂ E k¨ umesinin ¨ ol¸c¨ um¨ u de sıfırdır (sıfır ¨ ol¸c¨ uml¨ u bir k¨ umenin altk¨ umesi oldu˘ gundan) ve f , E I k¨ umesinin dı¸sında sıfırdır.
(4) f ve g lar sıfırımsı fonksiyonlar olsun. (¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir k¨ ume dı¸sında sıfır de˘ gerli anlamında), bu k¨ umelere sırasıyla E f ⊂ I ve E g ⊂ I diyelim.
Yani E f ve E g lerin ¨ ol¸c¨ umleri sıfır ve her a ∈ I ⊂ E f ve b ∈ I ⊂ E g i¸cn f (a) = 0, g(b) = 0.) f + g fonksiyonu I \ (E f ∪ E g ) ¨ uzerinde sıfırdır. E f ∪ E g
k¨ umesinin ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır oldu˘ gundan f + g sıfırımsıdır. Aynı ¸sey c ve d sabit olmak ¨ uzere cf + dg fonksiyonları i¸cin de do˘ grudur, dolayısıyla N (I) bir vekt¨ or uzaydır.
(5) f ∈ L 1 (I), g ∈ N 1 (I) olmak ¨ uzere g’nin sıfır oldu˘ gu yerde |f + g| − |f | fonksiyonu sıfır oldu˘ gundan |f + g|−|f | ∈ N (I) dır. Buradan a¸sa˘ gıdaki e¸sitlik elde edilir.
(8.28)
Z
I
|f + g| =
Z
I
|f | ∀f ∈ L 1 (I), g ∈ N (I).
Buradan da
(8.29) k[f ]k I =
Z
I
|f |
fonksiyonu denklik sınıflarında aynı oldu˘ gundan L 1 (I) = L 1 (R)\N (I) ¨uzerinde iyi tanımlı bir fonksiyondur. Buradan R ¨uzerindeki aynı ¨ozelliklerinden dolayı bu fonksiyonun norm ¨ ozellikleri sa˘ gladı˘ gı g¨ or¨ ul¨ ur.
(6) f ∈ L 1 (R) ve g (8.26) daki gibi I’ya kısıtlanı¸s olarak tanımlansın.
g ∈ L 1 (R) g¨ostermek istiyoruz. R de, f n , f ’ye yakınsayan basamak fonksiyon-
ların mutlak toplanabilir serisi ise mutlak yakınsaktır. Burada I, I’nın sol uc
noktasının eklenmesi (zaten orada de˘ gilse) ve sa˘ g uc noktasının ¸cıkartılmasıyla
(e˘ ger orada ise) elde edilen yarı-a¸cık aralık olmak ¨ uzere
(8.30) g n = f n χ I
dizisini ele alalım. Burada g n bir basamak fonksiyonudur (bu niye I’ya gereksinimiz oldu˘ gunu a¸cıklar). ¨ Ustelik R |g n | ≤ R |f n | ve dolayısıyla g n mutlak toplanabilirdir ve I’nın dı¸sında g n ’ye yakınsar ve I i¸cindeki her noktada mut- lak yakınsaktır (bu durumda f n ’de ile aynı oldu˘ gundan ). Bu g’nin integral- lenebilir oldu˘ gunu g¨ osterir ve f , g’den en fazla iki noktada farklı oldu˘ gundan, integrallenebilirdir. Dolayısıyla tanım gere˘ gi f , I’da integrallenebilirdir.
(7) ¨ Oncelikle fonksiyon oldu˘ gunu kontrol etmeliyiz. f ∈ N (R) oldu˘gundan (8.26) da verilen g kesinlikle N (I) dadır. ”I’ya kısıtlama” L 1 (R)’den L 1 (I)’ye bir do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gundan (8.27)’yi tanımlar-g¨ or¨ unt¨ u sadece f ’nin den- klik sınıfına ba˘ glıdır. Bu d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un do˘ grusal oldu˘ gu a¸cık oldu˘ gundan ¨ orten oldu˘ gunu g¨ ostermeliyiz. g ∈ L 1 (I) ise bu I’nın dı¸sında 0 olacak bi¸cimde geni¸sletilebilir ve bu geni¸sletilmi¸s fonksiyon L 1 (R)’nın bir elemanıdır ve bu fonksiyon sınıfının (8.27) altındaki izi [g] dir.
(8) Problem 3.3 Bir ¨ oncekinin devamıdır.
(1) I = [a, b) ve f ∈ L 1 (I) ise her a ≤ x < b i¸cin f ’nin I x = [x, b)’ye kısıtlanı¸sının L 1 (I x ) de oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
(2)
(8.31) F (x) =
Z
I
xf : [a, b) → C nın s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
(3) x −1 cos( 1 x ) fonksiyonunun (0, 1] de Lebesgue integrallenebilir olmadı˘ gını kanıtlayınız (yukarıda g¨ osterdi˘ gin ¸seyi d¨ u¸s¨ un).
it C ¸ ¨ oz¨ um.
(1) Az ¨ onceki sorudan elde edilir. f ∈ L 1 ([a, b)) ve f 0 , f ’nin temsili ise f 0 nın aralı˘ gın dı¸sında sıfır olarak geni¸sletilmesiyle elde edilen fonksiyon L 1 (R) nın i¸cinde kalır. L 1 (R)’nın elemanı olarak bu f 0 se¸cimine ba˘ glı de˘ gildir ve (8.27) L 1 ([x, b))’nın bir elemanı olarak [x, b)’ye kısıtlanı¸sı verir ve do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur.
(2) Bir ¨ onceki sorudaki tartı¸smayı kullanarak, e˘ ger f n , f 0 (f ’nin temsili) ve yakınsayan mutlak toplanabilir bir seri ise ki-yakınsama mutlak yakınsamadır- her a ≤ x ≤ b i¸cin
(8.32) f n 0 = χ([a, x))f n , f n 00 = χ([x, b))f n
burada χ([a, b)), aralı˘ gın karakteristik fonksiyonudur ve bazen χ [a,b) ile g¨ osterilir.
Burada f n 0 nın f χ([a, b)) ye ve f n 00 nın f χ([a, b)) ye yakınsadı˘ gı g¨ or¨ ul¨ ur, yakınsama
mutlak yakınsamadır. B¨ oylece (8.33)
Z
[x,b)
f =
Z
f χ([x, b)) = X
n
Z
f n 00 ,
Z
[a,x)
f =
Z
f χ([a, x)) = X
n
Z
f n 0 . S ¸imdi basamak fonksiyonları i¸cin R f n = R f n 0 + R f n 00 oldu˘ gunu biliyoruz, dolayısıyla
(8.34)
Z
[a,b)
f =
Z
[a,x)
f +
Z
[x,b)
f.
B¨ oylece [a, b) da tanımlı her integrallenebilir f fonksiyon i¸cin (8.35) lim
x→a
Z
[a,x)
f = 0
oldu˘ gunu g¨ ostermek yeterlidir. A¸sa˘ gıdaki genel e¸sitsizli˘ gı kullanarak (8.36)
Z
[a,x)
f
≤
Z
[a,x)
X
n≤N
f n
+ X
n>N
Z
[a,x)
|f n |
ve basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir dizisinin tanımından g¨ or¨ ulebilir.
Son toplam, N ’nin yeterince b¨ uy¨ uk se¸cilmesiyle x’den ba˘ gımsız olarak k¨ u¸c¨ uk yapılabilir. Di˘ ger taraftan N ’yi sabit tutarak x → a i¸cin, basamak fonksiy- onların tanımından ilk integral sıfıra gider. Bu (8.36)’yı kanıtlar ve b¨ oylece F ’nın s¨ ureklili˘ gini kanıtlanır.
(3) (0, 1] aralı˘ gında x −1 cos( x 1 ) Lebesgue integrallenebilir olsaydı (aralıkta tanımlıdır), bu fonksiyon sıfırda tanımlanarak, ¨ orne˘ gin 0’da 0 alınarak [0, 1) aralı˘ gında integrallenebilir olurdu. Aynı ¸sey mutlak de˘ geri i¸cinde do˘ gru olur ve Riemann integrali
(8.37) lim
t↓0
Z 1 t
x
cos( 1 x )
dx = ∞.
Bu limitlerin bir fonksiyonu olarak integrallerin s¨ ureklili˘ gi ile ¸celi¸sir.
Problem 3.4 [Zor ama denenmeli] f ∈ L 1 (R) verilsin.
(1) Her t ∈ R i¸cin
(8.38) f t (x) = f (x − t) : R → C d¨ on¨ u¸s¨ um¨ ulerinin L 1 (R)’nın elemanları oldu˘gunu g¨osteriniz.
(2)
(8.39) lim
t→0
Z
|f t − f | = 0
oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Buna ”integrallenebilir fonksiyonlar i¸cin integralin s¨ ureklili˘ gi”
denir. ˙Ipucu daha sonra verilecektir!
(3) Her f ∈ L 1 (R) i¸cin
(8.40) R → L 1 (R), t → [f t ]
(bu bir ”e˘ gridir”) fonksiyonunun s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
C ¸ ¨ oz¨ um.
(1) f n , f ’ye mutlak yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir serisi ise -yakınsama ger¸cekle¸sti˘ gi yerlerde mutlak yakınsamadır. f n (. − t) her t ∈ R i¸cin f (. − t)’ye yakınsar. B¨oylece her f (x − t) Lebesgue integrallenebilir, yani L 1 (R)’nın elemanıdır.
(2) f n , f ’ye yukarıda oldu˘ gu gibi yakınsayan bir seri ise (8.41)
Z
|f | ≤ X
n
Z
|f n |
oldu˘ gunu biliyoruz. Ilk terimleri bir N sayısına kadar toplayabilir ve geriye kalanları yeniden toplarsak, buradan her N i¸cin,
(8.42) |f | ≤
Z
X
n≤N
+ X
n>N
Z
|f n | elde edilir. Bunu f n (. − t) − f n (.) ye uygulayarak
(8.43)
Z
|f t − f | ≤
Z
X
n≤N
f n (. − t) − f n (.)
+ X
n>N
Z
|f n (. − t) − f n (.)|
bulunur. Burada ikinci toplam 2 P n>N R |f n | ile sınırlıdır. Verilen δ > 0 i¸cin, mutlak yakınsamadan dolayı, bu toplamı δ 2 ile sınırlı olabilecek yeterince b¨ uy¨ uk N se¸cebiliriz. Dolayısıyla problem |t| yeterince k¨ u¸c¨ uk ise
(8.44)
Z
X
n≤N
f n (. − t) − f n (.)
≤ δ 2
e¸sitsizli˘ gini kanıtlamaya indirgenir. ¨ Ustelik bu basamak fonksiyonlarının sonlu toplamıdır. Dolayısıyla her bir bile¸ske i¸cin, yani bir sabit c i¸cin, 2 |c| |t| ile sınırlı bir [a, b) aralı˘ gındaki karakteristik fonksiyonun c katı i¸cin a¸sa˘ gıdakini g¨ ostermek yeterlidir. t → 0 i¸cin
(8.45)
Z
g(. − t) − g(.)
→ 0,
(3) f t 0 e˘ grisi i¸cin ki , bu e˘ gri
(8.46) R → L 1 (R), t → f t
funksiyonudur. f t+s = (f t ) s dir ve yukarıdaki tartı¸smayı uygulayabilir ve her s i¸cin
(8.47) lim
t→s
Z
|f t − f s | = 0 ⇒ lim
t→s k[f t ] − [f s ]k L
1= 0
ifadesini g¨ ostermek i¸cin uygulayabiliriz. Bu (8.46) daki fonksiyonun s¨ urekli oldu˘ gunu kanıtlar.
Problem 3.5 Son alı¸stırmalarda bir kompakt aralık ¨ uzerinde tanımlı bir fonksiyonun aralık dı¸sında sıfır de˘ geri alacak bi¸cimde geni¸sletilmesiyle elde edilen fonksiyonun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. Bunu ve basamak fonksiyonların L 1 (R) da yo˘gun oldu˘gunu kullanarak R da tanımlı ve bir kompakt k¨ umenin dı¸sında sıfır olan s¨ urekli fonksiyonların vekt¨ or uzayınin L 1 (R) de yo˘gun oldu˘gunu g¨osteriniz.
C ¸ ¨ oz¨ um. Basamak fonksiyonları (aslında basamak fonksiyonların denklik sınıfları) L 1 (R) da yo˘gun oldu˘gundan, her basamak fonksiyonun, L 1 e g¨ ore, bir kompakt k¨ ume dı¸sında sıfır de˘ geri alan s¨ urekli fonksiyonların limiti oldu˘ gunu g¨ ostermek yeterlidir. Dolayısıyla bir [a, b) aralı˘ gının karakteristik fonksiyonu i¸cin kanıtı vermek yeterlidir ve sonra sabitlerle ¸carpma ve toplama yapabiliriz.
g n dizisi
(8.48) g n = n(x − a + 1 n )χ [a−1
n
,a] + n(b + 1
n − x)χ [b,a+1
n
