MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

(1)

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102 Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

(2)

PROBLEM 7’N ˙IN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER ˙I Problem 7.1 Fourier tabanı exp(ikx)/ √

2π nın tam oldu˘ gu hesap ile g¨ osterilebilir mi? Belki. A¸sa˘ gıdaki sorular sizi y¨ onlendirmek i¸cindir. Sabit bir t ∈ (0, 2π) de˘ geri i¸cin

(1)

(16.17) 0 ≤ x < t i¸cin f _t (x) = 1, ve t ≤ x ≤ 2π i¸cin f _t (x) = 0 basamak fonksiyonlarının c k (t) = ^R _(0,2π) f t e ^−ikx Fourier katsayılarını bulunuz.

(2) Fourier serisinin L ² (0, 2π) uzayında f _t fonksiyonuna yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun

(16.18) 2 ^X

k>0

|c _k (t)| ² = 2πt − t ² , t ∈ (0, 2π) oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) Bu ko¸sulu Fourier serisi t¨ ur¨ unden yazınız ve Fourier serisinin tamlı˘ gının terimleri k ⁻² ve k ⁻⁴ lerden olu¸san toplamlar t¨ ur¨ unden ifade edilebilece˘ gini g¨ osteriniz.

(4) Ters y¨ onde giderek, yukarıdaki iki serinin toplamlarını kullanarak, Fourier bazının tamlı˘ gını nasıl elde edebilece˘ gimizi a¸cıklıyabilir misiniz?Burada ger¸cekten

¸cok ince bir nokta var, bakalım bu ince hususu g¨ orebilecek misiniz?

Problem 7.2 Se¸cilecek uygun d _k sabitleri i¸cin d _k sin(kx/2), k ∈ N fonksiyon- larının L ² (−2π, 2π) uzayında ortonormal taban oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu : Yapılacak i¸s d ⁰ _k exp(ikx/2), k ∈ Z fonksiyonlarının L ² (0, 2π) uzayında ortonormal taban olduklarını g¨ ostermek ve sonra bu fonksiyonları tek fonksiyon olarak (0, 2π) aralı˘ gından (−2π, 2π) aralı˘ gına geni¸sletmektir.

Problem 7.3 (e k ) dizisi ayrılabilir H Hilbert uzayında ortonormal bir taban olsun. S : H → H ve

(14.19) Se j = e j+1 , ∀j ∈ N

sa˘ glayan biri¸cik sınırlı do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gunu g¨ osteriniz. E˘ ger B : H → H sınırlı ve do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ um ise S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un bir 0 i¸cin ’nun,

< ₀ de˘ geri i¸cin tersinir olmadı˘ gını g¨ osteriniz.

˙Ip ucu : Lu = (Bu, e ₁ ) ile tanımlanan do˘ grusal fonksiyonel L : H → C

d¨ u¸s¨ unelim. B ⁰ u = Bu − (Lu)e 1 : H → H 1 = {u ∈ H : (u, e 1 ) = 0} do˘ grusal bir

d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. Kimi k¨ u¸c¨ uk ’lar i¸cin S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un tersinir oldu˘ gunu

g¨ osteriniz. Bunu kullanarak S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un H uzayından kendisine

(3)

bir izomorfizma olamıyaca˘ gını g¨ osteriniz.Bunu yaparken ya e ₁ vekt¨ or¨ un¨ un iz uzayında olmadı˘ gını veya ¸cekirdek uzayında sıfırdan farklı bir vekt¨ or oldu˘ gunu g¨ osterebilirsini.

Problem 7.4 Bir Hilbert uzayında sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin ¸carpımların noktasal yakınsama topolojisinde s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Ba¸ska bir deyi¸sle e˘ ger A _n ve B n noktasal olarak A ve B d¨ on¨ u¸s¨ umlerine yakınsıyorlarsa , yani A n x → Ax ,B _n x → Bx ise A _n B _n d¨ on¨ u¸s¨ umleri AB d¨ on¨ u¸s¨ um¨ une noktasal yakınsar.

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102 Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

(4)

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

Ders 17. SINAV SORULARI ve C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER˙I

(1) H ayrılabilir bir Hilbert uzayı olsun. Bu uzayın i¸c¸carpımını (., .), nor- munu ||.|| ile g¨ osterelim. H uzayındaki (u _n ) dizisinin zayıf yakınsaması H uzayındaki her v i¸cin (u _n , v) dizisinin C i¸cinde Cauchy dizisi olması demektir.

(a) ||u _n || _H dizisinin neden sınırlı oldu˘ gunu a¸cıklayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um: Her u _n ∈ H i¸cin H ¨ uzerinde

(17.1) T _n (v) = (v, u _n ), ||T _n || = ||u _n ||, T _n : H → C

sa˘ glayan s¨ urekli do˘ grusal fonksiyonel tanımlar. Sabit v i¸cin T _n (v) dizisi C i¸cinde Cauchy ve dolayısı ile sınırlıdır. D¨ uzg¨ un Sınırlılık Teoemi ile (||T _n ||) dizisinin sınırlılı˘ gını, buradan da ||u n || dizisinin R i¸cinde sınırlılı˘gını elde ederiz.

(b) Her v ∈ H i¸cin (u _n , v) → (u, v) sa˘ glayan u ∈ H ¨ o˘ gesinin bulunabilece˘ gini g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. (v, u n ) dizisi C i¸cinde Cauchy oldu˘gundan, her sabit v ∈ H i¸cin yakınsaktır. E˘ ger

(17.2) T v = lim n→∞ (v, u n )

ise, b¨ oylece tanımlanan T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u do˘ grusaldır. C ¸ ¨ unk¨ u,

(17.3) T (c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ ) = lim _n→∞ c ₁ (v ₁ , u _n ) + c ₂ (v ₂ , u _n ) = c ₁ T v ₁ + c ₂ T v ₂ . C = sup||u _n ||. tanımlandı˘ gında, |T v| ≤ C||v|| sa˘ glandı˘ gından T aynı za- manda sınırlıdır. Dolayısı ile Riesz Temsil Teoreminden bulunabilecek bir u ∈ H i¸cin T v = (v, u) sa˘ glanır. Buradan da T nin tanımı gere˘ gi

(17.4) (u n , v) → (u, v), ∀v ∈ H elde edilir.

(c) E˘ ger (e i ) bir orthonormal dizi ise, her j i¸cin (u n , e j ) dizisinin H i¸cinde yakınsadı˘ gı fakat u _n dizisinin zayıf yakınsak olmadı˘ gı bir u _n dizisinin bulun- abilmesini a¸cıklayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um. B¨ oylesi bir dizinin ¨ orne˘ gi u n = ne n dizisidir. Ku¸skusuz her i > n

i¸cin (u _n , e _i ) = 0 oldu˘ gundan sıfıra yakınsayacak ancak ||u _n || sınırlı olmaya-

caktır. Dolayısı ile yukarıdaki ilk kısımdan zayıf yakınsayamaz.

(5)

(d) E˘ ger e _i orthonormal bir taban ise, ||u _n || dizisinin sınırlılı˘ gını, ve her j i¸cin (u _n , e _j ) yakınsıyor ise u _n dizisinin zayıf yakınsadı˘ gını g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. Varsayım olarak verilen (u n , e j ) dizisinin her j i¸cin yakınsamasından, e _j vekt¨ orlerinin sonlu do˘ grusal bile¸simi olan v vekt¨ orleri i¸cin (u _n , v) dizisinin de yakınsaması elde edilir.Genel bir v ∈ H i¸cin, e _j orthonormal tabanına g¨ ore v nin Fourier-Bessel serisi olan

(17.5) v = ^X

k

(v, e _k )e _k

her v _k vekt¨ or¨ un¨ un e _j serisinin yakınsaması vekt¨ orlerinin gerdi˘ gi sonlu boyutlu vekt¨ or uzayında oldu˘ gu ve v _k → v sa˘ glayan v _k dizisini verir. S ¸imdi Cauchy e¸sitsizli˘ gini uygulayarak,

(17.6) |(u _n , v) − (u _m , v)| ≤ |(u _n , v _k ) − (u _m , v _k )| + |(u _n , v − v _k )| + |(u _m , v − v _k )|

.

Verilen > 0 i¸cin, ||u n || dizisinin sınırlılı˘ gı yukarıdaki ifadedeki son iki ter- imin k yeterince b¨ uy¨ uk se¸cilerek /4 den k¨ u¸c¨ uk yapılabilece˘ gini verir. n →

∞ iken (u _n , v _k ) yakınsadı˘ gından, yukarıda belirlenen k i¸cin ilk terim n, m sayılarının N sayısından b¨ uy¨ uk se¸cilmesi ile /4 den k¨ u¸c¨ uk yapılabilir. Bu- radan (u _n , v) dizisinin C de Cauchy ve dolayısı ile yakınsak oldu˘gunu elde ederiz.

Problem 2. f ∈ L ¹ (0, 2π) i¸cin c k =

Z

(0,2π)

f (x)e ^−ikx , k ∈ Z ile tanımlanan c _k sayılarının

X

k∈Z

|c _k | ² < ∞

sa˘ gladı˘ gını varsayalım. f ∈ L ² (0, 2π) g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. Bu d¨ u¸s¨ un¨ uld¨ u˘ g¨ unden daha zor bir soru oldu ama yinede denen-

meli. Oncelikle c ¨ _k sayıları vardır. C ¸ ¨ unk¨ u f ∈ L ¹ (0, 2π) verildi˘ ginden ve

e ^−ikx fonksiyonları s¨ urekli olduklarından ¸carpımları olan f e ^−ikx fonksiyonları

L ¹ (0, 2π) uzayındadırlar. S ¸imdi verilen ^P _k∈Z |c _k | ² < ∞ ko¸sulu Fourier serisinin

L ² (0, 2π) uzayında yakınsadı˘ gından

(6)

(17.7) g = 1 2π

X

k∈C

c _k e ^ikx

ile tanımlanan fonksiyon iyi tanımlıdır. S ¸imdi yapılmak istenen hemen hery- erde f = g oldu˘ gudur. Ku¸skusuz bu f ∈ L ² (0, 2π) verecektir. h = f − g ise f ∈ L ¹ (0, 2π) olur. Zira L ² (0, 2π) ⊂ L ¹ (0, 2π) vardır. Yukarıdaki (17.7) den f ve g nin Fourier katsayılarının aynı oldu˘ gunu, buradan da

(17.8)

Z

(0,2π)

h(x)e ^ikx = 0 , ∀k ∈ Z

buluruz. Dolayısı ile kanıtlamamız gereken hemen heryerde h = 0 oldu˘ gudur.

S ¸imdi L ² uzayında Fourier bazının tamlı˘ gının kanıtında g¨ ord¨ u˘ g¨ um¨ uz gibi sup normunda, son nokta yakınlarında sıfır de˘ geri alan s¨ urekli fonksiyonlar i¸cinde

¨

ustel fonksiyonların yo˘ gun oldu˘ gunu hatırlayalım. Buradan integralin s¨ ureklili˘ gini kullanarak, s¨ urekli g fonksiyonları i¸cin

(17.9)

Z

(0,2π)

hg = 0

elde ederiz. Daha ¨ once yapılanlardan, bir I aralı˘ gının karakteristik fonksiy- onu χ I fonsiyonuna yakınsayan ve s¨ urekli fonksiyonlardan olu¸san g n dizisinin varlı˘ gını biliyoruz. Dikkat ederseniz bu yakınsama d¨ uzg¨ un yakınsama de˘ gildir ancak integrallenebilir her h fonksiyonu i¸cin hg _n → hχ _I yakınsaması L ¹ uzayında ge¸cerlidir. Bunu kullanarak (17.9) da s¨ oylenenden fazlasını elde edebiliriz.

S ¸¨ oyleki, t¨ um basamak fonksiyonları g i¸cin (17.10)

Z

(0,2π)

hg = 0

vardır. Buradan hemen heryerde h = 0 elde ede¸ce˘ giz. E˘ ger, ^R _(0,2π) |h| = 0 elde edebilirsek istedi˘ gimiz hemen ¸cıkaca˘ gından, bunu g¨ ostermeye ¸calı¸salım.

E˘ ger g ∈ L ¹ ise (mutlak yakınsayan bir serinin kısmi toplamları olan) hem L ¹ (0, 2π) uzayında hem de hemen heryerde g fonksiyonuna yakınsayan h _n fonksiyonları vardır. Dolayısı ile her iki yakınsama t¨ ur¨ unde de |h _n | → |g|

vardır. S ¸imdi

(17.11) h _n (x) = 0 ı¸cin s _n (x) = 0, di˘ ger durumlarda s _n (x) = h _n (x)

|h _n (x)|

(7)

ile s _n fonksiyonlarını tanımlıyalım. Ku¸skusuz s _n dizisi bir basamak fonksiy- onları dizisidir (ve mutlak de˘ gerleri 1 oldu˘ gundan) sınırlı olup s _n h _n = |h _n | sa˘ glamaktadırlar. S ¸imdi a¸sa˘ gıdaki muhte¸sem ¨ ozde¸sli˘ ge ba¸svuralım:

(17.12) |h(x)| = |h(x)| − |h _n (x)| + s _n (x)(h _n (x) − h(x)) + s _n (x)h(x) S ¸imdi bu ¨ ozde¸slikte integral alalım ve ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gini kullanalım. n → ∞ iken;

Z

(0,2π)

|h| =

Z

(0,2π)

(|h(x)| − |h _n (x)|) +

Z

(0,2π)

s _n (x)(h _n − h) ≤ (17.13)

Z

(0,2π)

(||h(x)| − |h _n (x)|| +

Z

(0,2π)

|h _n − h| → 0

Burada ilk satırda (17.10) kullanarak,(17.12) nin sa˘ g tarafındaki ¨ u¸c¨ unc¨ u ter- imin integralinin sıfır oldu˘ gunu g¨ ord¨ uk. Sonrasında ise |s _n | ≤ 1 ve yakınsama

¨

ozelliklerini kullandık.

Dolayısı ile ger¸cekten hemen heryerde h = 0 veya f = g ve f ∈ L ² (0, 2π) vardır.

Problem 3. A¸sa˘ gıdaki iki dizi uzayını d¨ u¸s¨ unelim.

h ±2 = {c : N → C,

∞

X

j=1

j ^±4 |c _j | ² < ∞}

h _±2 uzaylarının Hilbert uzayları oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Bir C sabiti i¸cin

T : h ₂ → C, |T c| ≤ C||c|| h

2

sa˘ glayan do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ umlerin d : N → C, h ⁻² uzayının bir ¨ o˘ gesi olmak

¨ uzere

T c =

∞

X

j=1

c _i d _i bi¸ciminde oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. h ±2 uzaylarının Hilbert uzayları olduklarını kanıtlamak i¸cin l ²

uzayını kullanmak gerek. S ¸imdi kompleks sayıların dizileri ¨ uzerinde a¸sa˘ gıda

tanımlayaca˘ gımız d¨ on¨ u¸s¨ umleri d¨ u¸s¨ unelim:

(8)

(17.14) (T ^± c) _j = c _j j ^±2

h ±2 hakkında hi¸c bir ¸sey bilmeden de bu d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un h ±2 ile l ² arasında bire-bir bir d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gunu g¨ orebiliriz. ¨ Ustelik bu d¨ on¨ u¸s¨ um normla ilgili olarak

(17.15) ||c|| _h

_±2

= ||T c|| _l

²

sa˘ gladı˘ gı gibi do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur de. Buradan da h ±2 do˘ grusallı˘ gı elde edilir. Bu nedenle, bu uzaylar Hilbert uzaylarıdır ve T ^± , l ² uzayları ile izometrik, ¨ orten izomorfizmalar te¸skil ederler. h ±2 uzayları ¨ uzerindeki i¸c¸carpım ise

(17.16) (c, d) _h

_±2

=

∞

X

i=1

j ^±4 c _j d _j

¸seklindedir. S ¸imdi bir kez h ₂ uzayının Hilbert uzayı oldu˘ gunu saptadı˘ gımızda Riesz Temsil Teoremini kullanarak herhangi s¨ urekli ve do˘ grusal

T : h ₂ → C, |T c| ≤ C||c|| h

2

d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un (17.17) T c = (c, d ⁰ ) _h

₂

=

∞

X

j=1

j ⁴ c _j d ⁰ _j , d ⁰ ∈ h ₂

bi¸ciminde oldu˘ gunu g¨ or¨ ur¨ uz. E˘ ger d ⁰ ∈ h 2 ise d j = j ⁴ d ⁰ _j , h −2 uzayında bir dizi tanımlar. Bu dizi

(17.18) ^X

j

j ⁻⁴ |d j | ² = ^X

j

j ⁴ |d ⁰ _j | ² < ∞ ile betimlenen dizidir. Bunu (17.17) de yerine koyarak

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

PROBLEM 7’N ˙IN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER ˙I Problem 7.1 Fourier tabanı exp(ikx)/ √

2π nın tam oldu˘ gu hesap ile g¨ osterilebilir mi? Belki. A¸sa˘ gıdaki sorular sizi y¨ onlendirmek i¸cindir. Sabit bir t ∈ (0, 2π) de˘ geri i¸cin

(1)

(16.17) 0 ≤ x < t i¸cin f t (x) = 1, ve t ≤ x ≤ 2π i¸cin f t (x) = 0 basamak fonksiyonlarının c k (t) = R (0,2π) f t e −ikx Fourier katsayılarını bulunuz.

(2) Fourier serisinin L 2 (0, 2π) uzayında f t fonksiyonuna yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun

(16.18) 2 X

k>0

|c k (t)| 2 = 2πt − t 2 , t ∈ (0, 2π) oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) Bu ko¸sulu Fourier serisi t¨ ur¨ unden yazınız ve Fourier serisinin tamlı˘ gının terimleri k −2 ve k −4 lerden olu¸san toplamlar t¨ ur¨ unden ifade edilebilece˘ gini g¨ osteriniz.

(4) Ters y¨ onde giderek, yukarıdaki iki serinin toplamlarını kullanarak, Fourier bazının tamlı˘ gını nasıl elde edebilece˘ gimizi a¸cıklıyabilir misiniz?Burada ger¸cekten

¸cok ince bir nokta var, bakalım bu ince hususu g¨ orebilecek misiniz?

Problem 7.2 Se¸cilecek uygun d k sabitleri i¸cin d k sin(kx/2), k ∈ N fonksiyon- larının L 2 (−2π, 2π) uzayında ortonormal taban oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu : Yapılacak i¸s d 0 k exp(ikx/2), k ∈ Z fonksiyonlarının L 2 (0, 2π) uzayında ortonormal taban olduklarını g¨ ostermek ve sonra bu fonksiyonları tek fonksiyon olarak (0, 2π) aralı˘ gından (−2π, 2π) aralı˘ gına geni¸sletmektir.

Problem 7.3 (e k ) dizisi ayrılabilir H Hilbert uzayında ortonormal bir taban olsun. S : H → H ve

(14.19) Se j = e j+1 , ∀j ∈ N

sa˘ glayan biri¸cik sınırlı do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gunu g¨ osteriniz. E˘ ger B : H → H sınırlı ve do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ um ise S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un bir  0 i¸cin ’nun,

 <  0 de˘ geri i¸cin tersinir olmadı˘ gını g¨ osteriniz.

˙Ip ucu : Lu = (Bu, e 1 ) ile tanımlanan do˘ grusal fonksiyonel L : H → C

d¨ u¸s¨ unelim. B 0 u = Bu − (Lu)e 1 : H → H 1 = {u ∈ H : (u, e 1 ) = 0} do˘ grusal bir

d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. Kimi k¨ u¸c¨ uk ’lar i¸cin S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un tersinir oldu˘ gunu

g¨ osteriniz. Bunu kullanarak S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un H uzayından kendisine

bir izomorfizma olamıyaca˘ gını g¨ osteriniz.Bunu yaparken ya e 1 vekt¨ or¨ un¨ un iz uzayında olmadı˘ gını veya ¸cekirdek uzayında sıfırdan farklı bir vekt¨ or oldu˘ gunu g¨ osterebilirsini.

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

Ders 17. SINAV SORULARI ve C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER˙I

(1) H ayrılabilir bir Hilbert uzayı olsun. Bu uzayın i¸c¸carpımını (., .), nor- munu ||.|| ile g¨ osterelim. H uzayındaki (u n ) dizisinin zayıf yakınsaması H uzayındaki her v i¸cin (u n , v) dizisinin C i¸cinde Cauchy dizisi olması demektir.

(a) ||u n || H dizisinin neden sınırlı oldu˘ gunu a¸cıklayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um: Her u n ∈ H i¸cin H ¨ uzerinde

(17.1) T n (v) = (v, u n ), ||T n || = ||u n ||, T n : H → C

sa˘ glayan s¨ urekli do˘ grusal fonksiyonel tanımlar. Sabit v i¸cin T n (v) dizisi C i¸cinde Cauchy ve dolayısı ile sınırlıdır. D¨ uzg¨ un Sınırlılık Teoemi ile (||T n ||) dizisinin sınırlılı˘ gını, buradan da ||u n || dizisinin R i¸cinde sınırlılı˘gını elde ederiz.

(b) Her v ∈ H i¸cin (u n , v) → (u, v) sa˘ glayan u ∈ H ¨ o˘ gesinin bulunabilece˘ gini g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. (v, u n ) dizisi C i¸cinde Cauchy oldu˘gundan, her sabit v ∈ H i¸cin yakınsaktır. E˘ ger

(17.2) T v = lim n→∞ (v, u n )

ise, b¨ oylece tanımlanan T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u do˘ grusaldır. C ¸ ¨ unk¨ u,

(17.4) (u n , v) → (u, v), ∀v ∈ H elde edilir.

(c) E˘ ger (e i ) bir orthonormal dizi ise, her j i¸cin (u n , e j ) dizisinin H i¸cinde yakınsadı˘ gı fakat u n dizisinin zayıf yakınsak olmadı˘ gı bir u n dizisinin bulun- abilmesini a¸cıklayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um. B¨ oylesi bir dizinin ¨ orne˘ gi u n = ne n dizisidir. Ku¸skusuz her i > n

i¸cin (u n , e i ) = 0 oldu˘ gundan sıfıra yakınsayacak ancak ||u n || sınırlı olmaya-

caktır. Dolayısı ile yukarıdaki ilk kısımdan zayıf yakınsayamaz.

(d) E˘ ger e i orthonormal bir taban ise, ||u n || dizisinin sınırlılı˘ gını, ve her j i¸cin (u n , e j ) yakınsıyor ise u n dizisinin zayıf yakınsadı˘ gını g¨ osteriniz.

(17.5) v = X

k

(v, e k )e k

her v k vekt¨ or¨ un¨ un e j serisinin yakınsaması vekt¨ orlerinin gerdi˘ gi sonlu boyutlu vekt¨ or uzayında oldu˘ gu ve v k → v sa˘ glayan v k dizisini verir. S ¸imdi Cauchy e¸sitsizli˘ gini uygulayarak,

(17.6) |(u n , v) − (u m , v)| ≤ |(u n , v k ) − (u m , v k )| + |(u n , v − v k )| + |(u m , v − v k )|

.

Verilen  > 0 i¸cin, ||u n || dizisinin sınırlılı˘ gı yukarıdaki ifadedeki son iki ter- imin k yeterince b¨ uy¨ uk se¸cilerek /4 den k¨ u¸c¨ uk yapılabilece˘ gini verir. n →

∞ iken (u n , v k ) yakınsadı˘ gından, yukarıda belirlenen k i¸cin ilk terim n, m sayılarının N sayısından b¨ uy¨ uk se¸cilmesi ile /4 den k¨ u¸c¨ uk yapılabilir. Bu- radan (u n , v) dizisinin C de Cauchy ve dolayısı ile yakınsak oldu˘gunu elde ederiz.

Problem 2. f ∈ L 1 (0, 2π) i¸cin c k =

Z

(0,2π)

f (x)e −ikx , k ∈ Z ile tanımlanan c k sayılarının

X

k∈Z

|c k | 2 < ∞

sa˘ gladı˘ gını varsayalım. f ∈ L 2 (0, 2π) g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. Bu d¨ u¸s¨ un¨ uld¨ u˘ g¨ unden daha zor bir soru oldu ama yinede denen-

meli. Oncelikle c ¨ k sayıları vardır. C ¸ ¨ unk¨ u f ∈ L 1 (0, 2π) verildi˘ ginden ve

e −ikx fonksiyonları s¨ urekli olduklarından ¸carpımları olan f e −ikx fonksiyonları

L 1 (0, 2π) uzayındadırlar. S ¸imdi verilen P k∈Z |c k | 2 < ∞ ko¸sulu Fourier serisinin

L 2 (0, 2π) uzayında yakınsadı˘ gından

(17.7) g = 1 2π

X

k∈C

c k e ikx

(17.8)

Z

(0,2π)

h(x)e ikx = 0 , ∀k ∈ Z

buluruz. Dolayısı ile kanıtlamamız gereken hemen heryerde h = 0 oldu˘ gudur.

(16.17) 0 ≤ x < t i¸cin f _t (x) = 1, ve t ≤ x ≤ 2π i¸cin f _t (x) = 0 basamak fonksiyonlarının c k (t) = ^R _(0,2π) f t e ^−ikx Fourier katsayılarını bulunuz.

(2) Fourier serisinin L ² (0, 2π) uzayında f _t fonksiyonuna yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun

(16.18) 2 ^X

|c _k (t)| ² = 2πt − t ² , t ∈ (0, 2π) oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) Bu ko¸sulu Fourier serisi t¨ ur¨ unden yazınız ve Fourier serisinin tamlı˘ gının terimleri k ⁻² ve k ⁻⁴ lerden olu¸san toplamlar t¨ ur¨ unden ifade edilebilece˘ gini g¨ osteriniz.

Problem 7.2 Se¸cilecek uygun d _k sabitleri i¸cin d _k sin(kx/2), k ∈ N fonksiyon- larının L ² (−2π, 2π) uzayında ortonormal taban oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu : Yapılacak i¸s d ⁰ _k exp(ikx/2), k ∈ Z fonksiyonlarının L ² (0, 2π) uzayında ortonormal taban olduklarını g¨ ostermek ve sonra bu fonksiyonları tek fonksiyon olarak (0, 2π) aralı˘ gından (−2π, 2π) aralı˘ gına geni¸sletmektir.

sa˘ glayan biri¸cik sınırlı do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gunu g¨ osteriniz. E˘ ger B : H → H sınırlı ve do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ um ise S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un bir 0 i¸cin ’nun,

< ₀ de˘ geri i¸cin tersinir olmadı˘ gını g¨ osteriniz.

˙Ip ucu : Lu = (Bu, e ₁ ) ile tanımlanan do˘ grusal fonksiyonel L : H → C

d¨ u¸s¨ unelim. B ⁰ u = Bu − (Lu)e 1 : H → H 1 = {u ∈ H : (u, e 1 ) = 0} do˘ grusal bir

d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. Kimi k¨ u¸c¨ uk ’lar i¸cin S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un tersinir oldu˘ gunu

g¨ osteriniz. Bunu kullanarak S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un H uzayından kendisine

bir izomorfizma olamıyaca˘ gını g¨ osteriniz.Bunu yaparken ya e ₁ vekt¨ or¨ un¨ un iz uzayında olmadı˘ gını veya ¸cekirdek uzayında sıfırdan farklı bir vekt¨ or oldu˘ gunu g¨ osterebilirsini.

(1) H ayrılabilir bir Hilbert uzayı olsun. Bu uzayın i¸c¸carpımını (., .), nor- munu ||.|| ile g¨ osterelim. H uzayındaki (u _n ) dizisinin zayıf yakınsaması H uzayındaki her v i¸cin (u _n , v) dizisinin C i¸cinde Cauchy dizisi olması demektir.

(a) ||u _n || _H dizisinin neden sınırlı oldu˘ gunu a¸cıklayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um: Her u _n ∈ H i¸cin H ¨ uzerinde

(17.1) T _n (v) = (v, u _n ), ||T _n || = ||u _n ||, T _n : H → C

(b) Her v ∈ H i¸cin (u _n , v) → (u, v) sa˘ glayan u ∈ H ¨ o˘ gesinin bulunabilece˘ gini g¨ osteriniz.

(c) E˘ ger (e i ) bir orthonormal dizi ise, her j i¸cin (u n , e j ) dizisinin H i¸cinde yakınsadı˘ gı fakat u _n dizisinin zayıf yakınsak olmadı˘ gı bir u _n dizisinin bulun- abilmesini a¸cıklayınız.

i¸cin (u _n , e _i ) = 0 oldu˘ gundan sıfıra yakınsayacak ancak ||u _n || sınırlı olmaya-

(d) E˘ ger e _i orthonormal bir taban ise, ||u _n || dizisinin sınırlılı˘ gını, ve her j i¸cin (u _n , e _j ) yakınsıyor ise u _n dizisinin zayıf yakınsadı˘ gını g¨ osteriniz.

(17.5) v = ^X

(v, e _k )e _k

her v _k vekt¨ or¨ un¨ un e _j serisinin yakınsaması vekt¨ orlerinin gerdi˘ gi sonlu boyutlu vekt¨ or uzayında oldu˘ gu ve v _k → v sa˘ glayan v _k dizisini verir. S ¸imdi Cauchy e¸sitsizli˘ gini uygulayarak,

(17.6) |(u _n , v) − (u _m , v)| ≤ |(u _n , v _k ) − (u _m , v _k )| + |(u _n , v − v _k )| + |(u _m , v − v _k )|

Verilen > 0 i¸cin, ||u n || dizisinin sınırlılı˘ gı yukarıdaki ifadedeki son iki ter- imin k yeterince b¨ uy¨ uk se¸cilerek /4 den k¨ u¸c¨ uk yapılabilece˘ gini verir. n →

∞ iken (u _n , v _k ) yakınsadı˘ gından, yukarıda belirlenen k i¸cin ilk terim n, m sayılarının N sayısından b¨ uy¨ uk se¸cilmesi ile /4 den k¨ u¸c¨ uk yapılabilir. Bu- radan (u _n , v) dizisinin C de Cauchy ve dolayısı ile yakınsak oldu˘gunu elde ederiz.

Problem 2. f ∈ L ¹ (0, 2π) i¸cin c k =

f (x)e ^−ikx , k ∈ Z ile tanımlanan c _k sayılarının

|c _k | ² < ∞

sa˘ gladı˘ gını varsayalım. f ∈ L ² (0, 2π) g¨ osteriniz.

meli. Oncelikle c ¨ _k sayıları vardır. C ¸ ¨ unk¨ u f ∈ L ¹ (0, 2π) verildi˘ ginden ve

e ^−ikx fonksiyonları s¨ urekli olduklarından ¸carpımları olan f e ^−ikx fonksiyonları

L ¹ (0, 2π) uzayındadırlar. S ¸imdi verilen ^P _k∈Z |c _k | ² < ∞ ko¸sulu Fourier serisinin

L ² (0, 2π) uzayında yakınsadı˘ gından

c _k e ^ikx

h(x)e ^ikx = 0 , ∀k ∈ Z

S ¸imdi L ² uzayında Fourier bazının tamlı˘ gının kanıtında g¨ ord¨ u˘ g¨ um¨ uz gibi sup normunda, son nokta yakınlarında sıfır de˘ geri alan s¨ urekli fonksiyonlar i¸cinde

vardır. Buradan hemen heryerde h = 0 elde ede¸ce˘ giz. E˘ ger, ^R _(0,2π) |h| = 0 elde edebilirsek istedi˘ gimiz hemen ¸cıkaca˘ gından, bunu g¨ ostermeye ¸calı¸salım.

E˘ ger g ∈ L ¹ ise (mutlak yakınsayan bir serinin kısmi toplamları olan) hem L ¹ (0, 2π) uzayında hem de hemen heryerde g fonksiyonuna yakınsayan h _n fonksiyonları vardır. Dolayısı ile her iki yakınsama t¨ ur¨ unde de |h _n | → |g|

(17.11) h _n (x) = 0 ı¸cin s _n (x) = 0, di˘ ger durumlarda s _n (x) = h _n (x)

|h _n (x)|

ile s _n fonksiyonlarını tanımlıyalım. Ku¸skusuz s _n dizisi bir basamak fonksiy- onları dizisidir (ve mutlak de˘ gerleri 1 oldu˘ gundan) sınırlı olup s _n h _n = |h _n | sa˘ glamaktadırlar. S ¸imdi a¸sa˘ gıdaki muhte¸sem ¨ ozde¸sli˘ ge ba¸svuralım:

(17.12) |h(x)| = |h(x)| − |h _n (x)| + s _n (x)(h _n (x) − h(x)) + s _n (x)h(x) S ¸imdi bu ¨ ozde¸slikte integral alalım ve ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gini kullanalım. n → ∞ iken;

(|h(x)| − |h _n (x)|) +

s _n (x)(h _n − h) ≤ (17.13)

(||h(x)| − |h _n (x)|| +

|h _n − h| → 0

Burada ilk satırda (17.10) kullanarak,(17.12) nin sa˘ g tarafındaki ¨ u¸c¨ unc¨ u ter- imin integralinin sıfır oldu˘ gunu g¨ ord¨ uk. Sonrasında ise |s _n | ≤ 1 ve yakınsama

Dolayısı ile ger¸cekten hemen heryerde h = 0 veya f = g ve f ∈ L ² (0, 2π) vardır.

j ^±4 |c _j | ² < ∞}

h _±2 uzaylarının Hilbert uzayları oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

T : h ₂ → C, |T c| ≤ C||c|| h

sa˘ glayan do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ umlerin d : N → C, h ⁻² uzayının bir ¨ o˘ gesi olmak

c _i d _i bi¸ciminde oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. h ±2 uzaylarının Hilbert uzayları olduklarını kanıtlamak i¸cin l ²

(17.14) (T ^± c) _j = c _j j ^±2

h ±2 hakkında hi¸c bir ¸sey bilmeden de bu d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un h ±2 ile l ² arasında bire-bir bir d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gunu g¨ orebiliriz. ¨ Ustelik bu d¨ on¨ u¸s¨ um normla ilgili olarak

(17.15) ||c|| _h

= ||T c|| _l

sa˘ gladı˘ gı gibi do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur de. Buradan da h ±2 do˘ grusallı˘ gı elde edilir. Bu nedenle, bu uzaylar Hilbert uzaylarıdır ve T ^± , l ² uzayları ile izometrik, ¨ orten izomorfizmalar te¸skil ederler. h ±2 uzayları ¨ uzerindeki i¸c¸carpım ise

(17.16) (c, d) _h