MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu
Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.a¸cık ders.org.tr adresini ziyaret ediniz.
18.102
Introduction to Functional Analysis Bahar 2009
Prof.Dr.Richard Melrose
1
PROBLEMLER 2
Problem 2.1 10 S ¸ubat da dersde in¸sa edilmi¸s olan uzayın tam oldu˘ gu konusun- daki kanıtı tamamla. Bu in¸sanın betimlenmesi Ders 3’de bulunaca˘ gı gibi g¨ osterilen yol izlenerek de yapılabilir.
Problem 2.2. Basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir dizileri ¨ orne˘ gine bakalım. [0, 1) aralı˘ gi i¸cin (sa˘ gdan kapalılık ve soldan a¸cıklık se¸cimi konusunda kuvvetli bir tercih oldu˘ gunu hatırla) bir ¸ce¸sit standart Cantor altk¨ umesinin, basamaklardaki 3 i¸slemini g¨ oz¨ on¨ une alalım. Yani ’merkez aralık [
13,
23) aralı˘ gını
¸cıkar. Geriye C
1= [0,
13) ∪ [
23, 1) kalacak. Kalan aralıkların herbirinin merkez aralıklarının ¸cıkarılmasıylada C
2= [0,
19) ∪ [
29,
13) ∪ [
23,
79) ∪ [
89, 1) k¨ umesi elde edilir. Bu yol takip edilerek C
k⊂ C
k−1¨ ozelli˘ ginde her biri sonlu tane yarı-a¸cık aralıkların birle¸simi olan k¨ umeler elde ederiz. S ¸imdi C
k¨ uzerinde f
k(x) = 1, di˘ ger durumlarda 0 olan f
kbasamak fonksiyonlarının serisini ele alalım.
(1) Bu serinin mutlak toplanabilir oldu˘ gunu kontrol et.
(2) Hangi x ∈ [0, 1) i¸cin P
k
|f
k(x)| yakınsaktır.
(3) Bu serinin varlı˘ gı yardımıyla [0, 1) aralı˘ gında Lebesgue integrallenebilir (Ders 4 de tanımlandı˘ gı gibi) bir fonksiyon tanımla ve bunun Lebesgue inte- gralini hesapla.
(4) Bu fonksiyon Riemann integrallenebilir midir (Riemann integralin tanımı hatırlanırsa o kadar zor de˘ gil)?
(5) Son olarak ¸cıkartılan k¨ umelerin birle¸simleri ¨ uzerinde 1 ve di˘ ger yerlerde sıfır olan g fonksiyonu ele alalım. g’nin Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ oster ve integralini hesapla.
Problem 2.3 R
2i¸cin ¨ ortme lemması. R
2nin [a
1, b
1) × [a
2, b
2) bi¸cimindeki altk¨ umesine bir dikd¨ ortgen diyece˘ giz. Bu dikd¨ ortgenin alanı (b
1− a
1) × (b
2− a
2) olarak tanımlanır. (1) Aralıkları altaralı˘ ga b¨ olerek bir dikd¨ ortgeni alt- dikd¨ ortgenlere ayırabiliriz.-[a
1, b
1)’i [a
1, b
1)∪[a
2, b
2)] ile de˘ gi¸stirerek. Bir dikd¨ ortgenin alanının altdikd¨ orgenlerinin alanlarının toplamınına e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
(2) Sonlu ve ayrık dikd¨ ortgenlerin birle¸siminin bir dikd¨ ortgen oldu˘ gunu varsayalım (her zaman aynı yarı-a¸cık anlamında). Ayrık dikd¨ ortgenlerin alan- larının toplamının birle¸simlerinin olu¸sturdu˘ gu dikd¨ ortgenin alanı oldu˘ gunu g¨ osteriniz (Yardımcı g¨ or¨ u¸s: altb¨ olme i¸slemini uygula).
(3) Birele¸simleri bir dikd¨ ortgen i¸erisinde kalan sayılabilir ayrık dikd¨ ortgenler toplulu˘ gunun alanlarının toplamı i¸cinde kalan dikd¨ ortgenin alanının toplamından k¨ u¸c¨ uk ya da e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
1
(4) Sonlu dikd¨ ortgenler toplulu˘ gunun alanlarının toplamı, birle¸simleri i¸crisinde her dikd¨ ortgenin alanından b¨ uy¨ uk yada e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
(5) ¨ Onceki sonu¸cta ge¸cen i¸slemi sayılabilir dikd¨ ortgenlerin birle¸simleri i¸cerisinde kalan dikd¨ ortgenler i¸cin geni¸sletilebilece˘ gini kanıtlayınız.
Problem 2.4
(1) [0, 1] aralı˘ gındaki tanımlı s¨ urekli her fonksiyonun [0, 1) aralı˘ gında tanımlı basamak fonksiyonların d¨ uzg¨ un limiti oldu˘ gunu g¨ osteriniz. (Yardımcı g¨ or¨ u¸s:- reel duruma indirgeme, aralı˘ gı 2
ne¸sit aralı˘ ga b¨ ol ve basamak fonksiyonu her bir b¨ ol¨ unen aralıkta s¨ urekli fonksiyonun infimum de˘ geri olarak tanımla. Sonra d¨ uzg¨ un yakınsamayı kullan.
(2) ’teleskopik h¨ uner (telescoping trick)’ y¨ ontemini kullanarak s¨ urekli her fonksiyonun, f
jler her x ∈ [0, 1) i¸cin P
i
|f
j(x)| < ∞ ko¸sulunu sa˘ glayan basamak fonksiyonları olmak ¨ uzere f
jlerin toplami, yani
(3.17) X
i
