18.102

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 6. SIFIRIMSI FONKSIYONLAR

S ¸imdiye kadar yapılanlardan kanıtların yapılarına alı¸smı¸ssınızdır umarım - yine de her¸sey apa¸cık oluncaya kadar devam etmek istiyorum.

Ger¸cel sayılar ¨ uzerindeki Lebesgue integrallenebilir fonksiyonların tanımını, bunların L ¹ (R) vekt¨or uzayını meydana getirdiklerini ve ger¸cel sayıların ¨ol¸c¨um¨u sıfır olan bir E altk¨ umesinin ne anlama geldi˘ ginin tanımlarını anımsamanızı istiyorum. Yapaca˘ gımız ilk i¸s L ¹ (R) normunun anlamlı oldu˘gudur.

Onerme 9. E˘ ¨ ger f ∈ L ¹ (R) ise |f | ∈ L ¹ (R) ve e˘ger f n dizisi f fonksiyonuna hemen heryerde yakınsayan mutlak toplanabilir basamak fonksiyonlarının bir dizisi ise

(6.1)

Z

|f | = lim _{N →∞}

Z

|

N

X

k=1

f _k |

Dolayısıyla Lebesgue integrali tanımında ’yok etme’ bulunmamaktadır. Inte- gralin yok etme yi kullanan geni¸sletimleri vardır, hatta bunları biz de g¨ orebiliriz.

Kanıt. E˘ ger f ∈ L ¹ (R) ise,tanım gere˘gince, f toplanabilir basamak fonksiy- onlarının dizisi f _n fonksiyonlarının, mutlak yakınsamanın ger¸cekle¸sti˘ gi k¨ ume

¨

uzerindeki, limitidir. Yapmamız gereken |f | fonksiyonu i¸cin de b¨ oylesi bir dizi bulmaktır. Buradaki fikir a¸sikar olanı kullanmaktır. S ¸imdi

(6.2) e˘ ger ^X

j=1

|f _j (x)| < ∞ ise

n

X

j=1

f _j (x) → f (x) oldu˘ gundan, e˘ ger

(6.3) g ₁ (x) = |f ₁ (x)|, g _k (x) = |

k

X

j=1

f _j (x)| − |

k−1

X

j=1

f _j (x)| ∀x ∈ R denirse, buradan,

(6.4) e˘ ger ^X

j

|f _j (x)| < ∞ ise

N

X

k=1

g _k (x) = |

N

X

j=1

f _j (x)| → |f (x)|

elde ederiz. ˙Ilk g¨ ostermemiz gereken ¸sey (g _j ) dizisinin de mutlak toplanabilir

basamak fonksiyonları dizisi oldu˘ gudur.

Bunun i¸cin ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ ginin ||v|−|w|| ≤ |v −w| bi¸cimini kullanarak, k > 1 sayıları i¸cin

(6.5) |g _k (x)| = ||

k

X

j=1

f _j (x)| − |

k−1

X

j=1

f _j (x)|| ≤ |f _k (x)|

B¨ oylelikle

(6.6) ^X

k

Z

|g k (x)| ≤ ^X

k

Z

|f k (x)| < ∞

buluruz. Dolayısı ile g k dizisi ger¸cekten mutlak toplanabilir bir dizidir. ˙In¸sa y¨ onteminden

(6.7) e˘ ger ^X

n

|f n (x)| < ∞ ise

N

X

j=1

g k (x) = |

N

X

j=1

f j (x)| → |f (x)|

olarak tanımlarız. Bu tam olarak elde etmek istedi˘ gimiz ise de ^P |g _k (x)| <

∞ sa˘ glandı˘ gı k¨ ume, yakınsamanın ger¸cekle¸sti˘ gi k¨ umeden daha b¨ uy¨ uk olabilir.

Notlarınızda bu sorunu ¸c¨ ozecek bir sonu¸c olsa da elimizdeki seriyi daha yava¸s yakınsatmak i¸cin ’noktasız’ altseri’ ekleyebiliriz. Ba¸ska bir deyi¸sle g _k dizisini

(6.8) h n (x) =



 

 

g _k (x) n = 3k − 2 f _k (x) n = 3k − 1

−f _k (x) n = 3k

ile de˘ gi¸stiririz. Bu serinin mutlak yakınsaması i¸cin gerekli ve yeter ko¸sul hem

|g k (x)| , hem de |f k (x)| serilerinin yakınsamasıdır-ikinci serinin yakınsaması ilk serinin yakınsamasını gerektirir, yani

(6.9) ^X

n

|h n (x)| < ∞ ⇔ ^X

k

|f k (x)|

Di˘ ger yandan bu ger¸cekle¸sti˘ ginde (6.10) ^X

n

h _n (x) = |f (x)|

Zira her kısmi toplam ya g _k lar i¸cin bir toplam veya g _k + f _n (x) ¸seklinde bir toplamdır. f _n (x) → 0 oldu˘ gundan, serinin mutlak yakınsadı˘ gı durumlarda (6.10) ge¸cerli olur ve ger¸cekten |f | ∈ L ¹ (R) sa˘glanır. 

S ¸imdi ele alaca˘ gımız husus normun ne zaman sıfır oldu˘ gudur. Yani ne zaman

R |f | = 0 vardır? Bu sorunu bir y¨ on¨ u oldukca kolaydır. ˙Istenilen sonu¸c ¸sudur:

Onerme 10. f ∈ L ¨ ¹ (R) gibi integrallenebilir bir f fonksiyonunun inte- gralinin ^R |f | sıfır olması , f in sıfırımsı olmasını, ba¸ska bir deyi¸sle, ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan E k¨ umesinin t¨ umleyeninde, yani

(6.11) ∀x ∈ R \ E, f (x) = 0

olmasını gerektirir. Tersine, e˘ ger (6.11) do˘ gru ise, f ∈ L ¹ (R) ve ^R |f | = 0 sa˘ glanır.

Kanıt. Kanıtın ana kısmı ^R |f | = 0 ise f nin sıfırımsı bir fonksiyon oldu˘ gunun ileri s¨ ur¨ uld¨ u˘ g¨ u ilk kısımdır. Bunu bir sonraki ¨ onermeyi kullanarak yapaca˘ gız.

Bunun tersi i¸sin kolay oldu˘ gu y¨ ond¨ ur.

Ger¸cekten f (6.11) sa˘ glayan sıfırımsı bir fonksiyon ise, bir k¨ umenin ¨ ol¸c¨ um¨ un¨ un sıfır olması tanımı gere˘ gince, mutlak toplanabilir basamak fonksiyonlar serisi f _n i¸cin

(6.12) E ⊂ {x ∈ R : ^X

n

|f _n (x)| = ∞}

var olmalıdır. Buradaki mutlak serinin E den daha b¨ uy¨ uk bir k¨ umede ırak- saması olasıdır. Yinede, a¸sa˘ gıdaki alterne seriyi d¨ u¸s¨ un¨ ursek;

(6.13) g n (x) =

( f k (x) n = 2k − 1

−f _k (x) n = 2k Buradan ^P _n |f _n (x)| < ∞ ger¸cekle¸sti˘ gi zaman

(6.14) ^X

n

g n (x) = 0 buluruz. Ger¸cekten (6.12) nedeni ile

(6.15) ^X

n

|g _n (x) < ∞ ⇒ f (x) = ^X

n

g _n (x) = 0

elde ederiz. B¨ oylelikle, sıfırımsı f ∈ L ¹ (R) ve dolayısı ile |f | ∈ L ¹ (R) sa˘ glanaca˘ gı gibi (6.12) dan

(6.16)

Z

|f | = ^X

k

Z

g _k = lim _k

Z

f _k = 0

buluruz ki buradaki son ifade mutlak toplanabilirli˘ gin sonucudur.

Ters y¨ ondeki kanıt i¸cin a¸sa˘ gıdaki sonu¸cu kullanaca˘ gız. Bu sonu¸c L ¹ (R)

uzayının tamlı˘ gı ile de ilgilidir.

Onerme 11.E˘ ¨ ger f _n ∈ L ¹ (R) i¸cinde ^P n

R |f _n | < ∞ anlamında mutlak toplanabilir bir seri ise,

(6.17) E = {x ∈ R : ^X

n

|f _n (x)| = ∞}

k¨ umesinin ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfırdır. E˘ ger f : R → C ve

(6.18) f (x) = ^X f _n (x) ∀x ∈ R/E ise f ∈ L ¹ (R) ve

(6.19)

Z

f = ^X

n

Z

f _n

sa˘ glanır. Bu ¨ onerme esas olarak tanımdaki ’basamak fonksiyonları’ yerine

’integrallenebilir’ fonksiyonların alınabilece˘ gini ve aynı sonu¸ca varılabilinece˘ gini s¨ oylemektedir. Ku¸skusuz ilk tanım olmaksızın bunların bir anlamı yoktur.

Kanıt. Buradaki fikirler bir normlu uzayın tamlanı¸sının tam olması ile ilgili ve Alı¸stırma 2 deki bir probleme benzemektedir. Buradaki biraz daha somuttur.

Varsayım gere˘ gi her n i¸cin f _n ∈ L ¹ (R) oldu˘gundan her n i¸cin ¨oyle mutlak toplanabilir basamak fonksiyonları f n,j vardırki bunlar

(6.20) ^X

j

|f _n,j | < ∞ ⇒ f _n (x) = ^X

j

f _n,j (x)

sa˘ glarlar. Genelde f (x) fonksiyonunun f _n,j fonksiyonlarının hem n, hem de j ¨ ust¨ unden ,toplamı oldu˘ gunu beklersek te bu ¸cift toplamlı seriler mutlak toplanabilir olmayabilirler. Ancak bunları ¨ oyle kılabiliriz. Her n i¸cin N n ,

(6.21) ^X

j>N n

Z

|f _n,j | < 2 ⁻ⁿ

sa˘ glanacak bi¸cimde se¸cilirse- bu mutlak toplanabilirlik varsayıldı˘ gından m¨ umk¨ und¨ ur- dolayısı ile serinin kuyru˘ gu k¨ u¸c¨ ukt¨ ur. Bunu yaptıktan sonra f _n,j serisini a¸sa˘ gıdaki gibi se¸cerek,

(6.22) f _n,1 ⁰ = ^X

j≤N

f _n,j (x), f _n,j ⁰ = f _n,N

_+k−1 (x) ∀j ≥ 2

Bu hala (6.20) deki aynı k¨ ume ¨ uzerinde f _n fonksiyonuna yakınsayacaktır.

B¨ oylece f n,j fonksiyonlarını f _n,j ⁰ ile de˘ gi¸stirerek ,

(6.23) ^X

j

Z

|f _n,j ⁰ | ≤

Z

|f _n | + 2 ⁻ⁿ⁺¹ ∀n

ba˘ gıntılarını elde ederiz. Bu ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ ginden elde edilir, (6.21) kul- lanılarak

(6.24)

Z

|f _n,1 ⁰ +

N

X

k=1

f _n,j ⁰ | ≥

Z

|f _n,1 ⁰ | − ^X

j≥2

Z

|f _n,j ⁰ | ≥

Z

|f _n,1 ⁰ | − 2 ⁻ⁿ

ve sol taraf (6.1) gere˘ gince N → ∞ iken ^R |f _n | yakınsar.(6.21) bir kez daha kullanarak (6.23) elde edilir.

f _n,j ⁰ g¨ osteriliminde, ¨ uss¨ u i¸saretini atıp yeni seride f _n,j ifadesini kullanarak ve (6.25) g _k (x) = ^X

n+j=k

f _n,j

tanımını yaparsak, mutlak toplanabilir yeni bir basamak fonksiyonları dizisi elde ederiz, ¸c¨ unk¨ u

(6.26)

N

X

k=1

Z

|g _k | ≤ ^X

n,j

Z

|f _n,j | ≤ ^X

n

(

Z

|f _n | + 2 ⁻ⁿ⁺¹ ) < ∞ S ¸imdi, mutlak yakınsak olan bu diziyi yeni ba¸stan d¨ uzenliyerek

(6.27) ^X

n,j

|f _n,j (x)| < ∞ ⇒ f (x) = ^X

k

|g _k (x)| = ^X

n

X

j

f _n,j (x)

elde edilir. Gecen derste ¨ o˘ grendiklerimizi kullanarak, sol taraftaki k¨ umenin

¨

ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir E k¨ umesi i¸cin R \ E bi¸ciminde oldu˘guna h¨ukmederiz. E, k¨ umesi ¨ uzerlerinde ^P _j |f _n,j (x)| = ∞ sa˘ glanan E _n k¨ umelerinin birle¸simidir.

S ¸imdi, mutlak yakınsayan ancak en azından E ¨ uzerinde mutlak yakınsayamayan basamak fonksiyonları h _k alır ve birbirlerini izleyen g _k ler arasına daha ¨ once oldu˘ gu gibi h _k ve −h _k yerle¸stirelim. Bu yeni seri (6.27) nedeni ile hala f fonksiyonuna yakınsayacaktır. Bu da (6.17)yı verdi˘ gi gibi f ∈ L ¹ (R) vere- cektir. (6.19) daki son sonuc ise integraldeki mutlak yakınsayan ¸cifte serinin yeniden d¨ uzenlenmesi ile elde edilir.

S ¸imdilik t¨ um bunların i¸cinde (6.17) deki sonu¸ca gereksinimimiz var. Bu ise integrallenebilir fonksiyonların herhangi mutlak toplanabilir bir serisinin,

¨

ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir k¨ ume dı¸sında noktasal olarak mutlak yakınsadı˘ gını s¨ oyler-

ba¸ska bir deyi¸sle sadece ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir k¨ ume ¨ uzerinde ıraksama vardır.

Biraz ¸sa¸sırtıcı da olsa bu bize (10) da geri kalanları kanıtlamamızı sa˘ glar. Yani, e˘ ger f ∈ L ¹ (R) ve ^R |f | = 0 ise, ¨ Onerme 11 i, her terimi |f | olan seriye uygulayalım. T¨ um integraller sıfır oldu˘ gundan bu seri mutlak toplanabilirdir.

Dolayısı ile ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir k¨ ume dı¸sında noktasal olarak yakınsamalıdır.

f (x) 6= 0 zaman ise ıraksayacaktır, dolayısı ile;

(6.28)

Z

|f | = 0 ⇒ {x : f (x) 6= 0}

k¨ umesinin ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfırdır ki, bu tamda bizim g¨ ostermek istedi˘ gimiz ¸seydir.

Son olarak, yaptıklarımız bize alı¸sılagelmi¸s Lebesgue uzayını tanımlamamıza olanak tanır;

(6.29) f ∈ L ¹ (R) = f ∈ L ¹ (R)/N

ki burada N sıfırımsı fonksiyonlardır. ^R |f | bu uzay ¨ uzerinde bir normdur.

PROBLEMLER 3

Alı¸stırmalarda Lebesgue integral ile ilgili kimi ¨ ozellikleri kanıtlamanız ve buna ek olarak ta kimi soyut kanıtları yapmanız istenecektir. Bir e¸sitli˘ gin hemen heryerde (h.h.y) olması onun ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan bir k¨ umenin dı¸sında gecerli olması anlamına gelmektedir.

Problem 3.1 E˘ ger f ve g, L ¹ (R) i¸cinde , yani ger¸cel sayılar ¨uzerinde Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlarsa a¸sa˘ gıdakileri g¨ osteriniz.

(1) E˘ ger h.h.y. f (x) ≥ 0 ise ^R f ≥ 0 dır.

(2) E˘ ger h.h.y. f (x) ≤ g(x) ise ^R f ≤ ^R g dır.

(3) E˘ ger f kompleks de˘ gerli bir fonksiyon ise ger¸cel kısmı Ref Lebesgue

¨

ol¸c¨ ulebilirdir ve

|

Z

Ref | ≤

Z

|f | (4) Genel kompleks de˘ gerli bir fonksiyon i¸cin

(6.30) |

Z

f | ≤

Z

|f |

g¨ osteriniz.(˙Ip ucu: Kaynaklara bakabilirsiniz ama genellikle yapılan ¸sey θ ∈ [0, 2π] almak ve e ^{iθ R} f = ^R (e ^iθ f ) ≥ 0 se¸cerek, ¨ onceki e¸sitsizli˘ gi g = e ^iθ f de kullanmaktır.

(5) ˙Integral

(6.31)

Z

: L ¹ (R) → C s¨ urekli ve do˘ grusaldır.

Problem 3.2 I ger¸cel sayıların (−∞, a) veya (a, ∞) olasılıkların da dı¸slanmadı˘ gı bir aralı˘ gı ise bir f : I → C fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilirli˘gi

(6.32) f : R → C : ~ ~ f (x) =

( f (x) x ∈ I 0 x ∈ R \ I

fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilirli˘ gi olarak tanımlanır. Buradan f fonksiyonunun I ¨ uzerindeki integrali

(6.33)

Z

I

f =

Z f ~ olarak tanımlanır.

(1) I ¨ uzerinde b¨ oylesi integrallenebilir fonksiyonların bir vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu

g¨ osteriniz. Bu uzay L ¹ (I) ile g¨ osterilecektir.

(2) f fonksiyonu I ¨ uzerinde integrallebilir ise |f | fonksiyonun da integral- lenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) E˘ ger f , I ¨ uzerinde integrallenebilir ve ^R |f | = 0 ise h.h.y f = 0 g¨ osteriniz.

Yani, ger¸cel sayıların ¨ ol¸c¨ um¨ u sıfır olan E ⊂ I k¨ umesi i¸cin, ∀x ∈ I \ E f (x) = 0 g¨ osteriniz.

(4) Bir ¨ onceki soruda yer alan ve N (I) ile g¨ osterece˘ gimiz sıfırımsı foksiyon- ların vekt¨ or uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) ^R _I |f | ifadesinin L ¹ (I)/N ¨ uzerinde norm oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(6) f ∈ L ¹ (R) ise

(6.34) g : I → C, g(x) =

( f (x) x ∈ I 0 x ∈ R \ I

ile tanımlanan g fonksiyonunun I ¨ uzerinde integrallebilili˘ gini g¨ osteriniz.

(7) Yukarıdaki kısıtlama d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un

(6.35) L ¹ (R) → L ¹ (I)

¨

orten ve s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz. (Dikkat: Her iki uzayda integral- lenebilir fonksiyonların hemen heryerde e¸sitlik ile alınmı¸s b¨ ol¨ um uzaylarıdır.)

Problem 3.3 Bir ¨ onceki 3.2 nin devamıdır:

(1) I = [a, b) ve f ∈ L ¹ (I) ise f fonksiyonunun I _x = [x, b) aralı˘ gına kısıtlamasının , her a ≤ x < b i¸cin L ¹ (I _x ) uzayının ¨ o˘ gesi oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2)

(6.36) F (x) =

Z

I

f : [a, b) → C fonksiyonunun s¨ ureklili˘ gini g¨ osteriniz.

(3) x ⁻¹ cos( _x ¹ ) fonksiyonunun (0, 1] aralı˘ gı ¨ uzerinde Lebesgue integrallenebilir olmadı˘ gını g¨ osteriniz. ˙Ip ucu: yukarıda ne g¨ osterdi˘ gimizi biraz d¨ u¸s¨ un¨ un¨ uz.

Problem 3.4 ( Biraz daha zor ancak yapılabilir!) f ∈ L ¹ (R) olsun.

(1) Her t ∈ R i¸cin , kaydırmalar

(6.37) f _t (x) = f (x − t) : R → C lerin de L ¹ (R) i¸cinde oldu˘gunu g¨osteriniz.

(2)

(6.38) lim _t→0

Z

|f _t − f | = 0

oldu˘ gunu g¨ osteriniz.Bu integrallenebilir fonksiyonların ortalama yakınsaması

olarak betimlenir.

(3) f ∈ L ¹ (R) i¸cin

(6.39) t → [f _t ] ∈ L ¹ (R) fonksiyonunun s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 3.5 Problemler 2’de kompakt bir aralıkta s¨ urekli fonksiyonun, aralık dı¸sına sıfır olarak geni¸sletildi˘ ginde Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyon elde edildi˘ gini g¨ ord¨ uk. Bunu ve basamak fonksiyonlarının L ¹ (R) de yo˘gun olduk- larını kullanarak bir kompakt aralık dı¸sında sıfır olan R ¨uzerindeki s¨urekli fonksiyonların L ¹ (R) i¸cinde yo˘gun oldu˘gunu g¨osteriniz.

Problem 3.6 (1) E˘ ger g : R → C sınırlı, s¨urekli ve f ∈ L ¹ (R) ise gf ∈ L ¹ (R) oldu˘ gunu ve

(6.40)

Z

|gf | ≤ sup _R |g|.

Z

|f | g¨ osteriniz.

(2) S ¸imdi C(K) bir kompakt metrik uzayı ¨ uzerinde s¨ urekli fonksiyonları g¨ ostermek ¨ uzere G ∈ C([0, 1]×[0, 1]) alalım. Artık L ¹ [0, 1] uzayını tanıdı˘ gımıza g¨ ore ilk kısmı kullanarak f ∈ L ¹ [0, 1] ise

(6.41) F (x) =

Z

[0,1] G(x, .)f (.) ∈ C

ifadesinin [0,1] deki her x i¸cin iyi tanımlı oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Burada . g¨ osterilimi her x ∈ [0, 1] i¸cin iyi tanımlı olan ve integralin alındı˘ gı de˘ gi¸skeni g¨ ostermektedir.

(3) Her f ∈ L ¹ [0, 1] i¸cin F fonksiyonunun [0,1] ¨ uzerinde s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4)

(6.42) L ¹ ([0, 1]) → C([0, 1]) f → F

d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un L ¹ [0, 1] uzayından C[0, 1] Banach uzayına sınırlı (s¨ urekli ) oldu˘ gunu

g¨ osteriniz. S¨ urekli fonksiyonlar ¨ uzerinde sup normunu alınız.

PROBLEM 2’N ˙IN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER ˙I

Problem 2.1 Derste in¸sa etti˘ gimiz B uzayının tamlı˘ gını g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. Normlu V uzayı ile ba¸slayalım. Bu uzaydan V ^∼ ile g¨ osterece˘ gimiz ve V deki mutlak toplanabilir serilerden olu¸san yeni bir vekt¨ or uzayı elde edece˘ giz.

Sonra da V ^∼ uzayında, S ile g¨ osterilen ve V i¸cinde sıfıra yakınsayan serileri ele alaca˘ gız. Burada

(6.43) B = V ^∼ /S

b¨ ol¨ um uzayı ile ilgileniyoruz. Bu uzayın normlu bir uzay oldu˘ gunu ve (v _n ), V uzayında mutlak toplanabilir bir seri olmak ¨ uzere, b = (v _n ) + S gibi bir

¨

o˘ gesinin normunun ise;

(6.44) ||b|| = lim _{N →∞} ||

N

X

n=1

v _n || _V

verildi˘ gini biliyoruz. Bu tanımın, b ¨ o˘ gesini temsil eden serilerden ba˘ gımsız oldu˘ gunu, yani, S den alınıp eklenecek her ¨ o˘ ge i¸cin aynı olaca˘ gını da biliyoruz.

B uzayında mutlak toplanabilir serileri biraz daha iyi anlamak adına, b¨ oylesi bir seri (b _n ) alalım. Bilinen

(6.45) ^X

n

||b _n || < ∞

oldu˘ gudur. Bu serinin B uzayında yakınsadı˘ gını g¨ osterelim. ˙Ilk ¨ odevimiz limitinin ne oldu˘ gunu kestirebilmek. Her b _n , V uzayında mutlak toplanabilir olan v _k ⁽ⁿ⁾ serisidir. S ¸imdi bu serilerin k¨ o¸segenlerinden, yeni bir seri tanımlayalım;

(6.46) w _j = ^X

n+k=j

v _k ⁽ⁿ⁾ .

Buradaki sorun tanımlanan serinin her zaman V uzayında mutlak toplan- abilir bir seri olmayabilece˘ gidir. Hesaplamak istenilen;

(6.47) ^X

j

||w _j || = ^X

j

|| ^X

n+k=j

v _k ⁽ⁿ⁾ || < ∞.

Bunu hesaplamanın tek yolu ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gini kullanmak ve (6.48)

∞

X

j=1

||w _j || = ^X

k,n

||v _k ⁽ⁿ⁾ || _V

h¨ ukmetmektir. Sa˘ g tarafta k ¨ uzerinden alınan toplamlar sonlu olmalarına kar¸sın bunların toplamlarının sonlu olup olmadıklarını bilmiyoruz. S ¸imdi akla gelen ilk ¸sey ile yola ¸cıkarak, b n ni temsil eden ve mutlak toplanabilir v ⁽ⁿ⁾ _k serisini

(6.49) ^X

k

||v _k ⁽ⁿ⁾ || ≤ ||b n || B + 2 ⁻ⁿ

sa˘ glayacak bi¸cimde se¸celim. ¨ Once b _n temsil eden mutlak toplanabilir bir seri olarak u _k se¸celim- yani-

||b _n || = lim _{N →∞} ||

N

X

k=1

u _k || ve ^X

k

||u _k || < ∞ sa˘ glansın. M sayısını yeterince b¨ uy¨ uk se¸cerek,

(6.50) ^X

k>M

||u _k || _V ≤ 2 ⁻ⁿ⁻¹

kabul edebiliriz. M ’in bu se¸cimi ile v ₁ ⁽ⁿ⁾ = ^{P M} _k=1 u _k ve v _k ⁽ⁿ⁾ = u _{M +k−1} , ∀k ≥ 2 alalım. Bu seri hala (b _n ) i¸cin bir temsildir, ¸c¨ unk¨ u a¸sa˘ gıdaki toplamların farkı, her N i¸cin;

(6.51)

N

X

k=1

v ⁽ⁿ⁾ _k −

N

X

k=1

u _k = −

N +M −1

X

k=N

u _k

olur. Sa˘ g taraftaki limit, sadece sonlu terim i¸cerdi˘ ginden, sıfıra yakınsar.(6.50) den ¨ ot¨ ur¨ u,

(6.52) ^X

k

||v _k ⁽ⁿ⁾ || _V = ||

M

X

j=1

u _j || _V + ^X

k>M

||u _k || ≤ ||

N

X

j=1

u _j || + 2 ^X

k>M

||u _k ||

≤ ||

N

X

j=1

u j || + 2 ⁻ⁿ N sonsuza giderken alınan limit (6.49) verir.

Her b _n i¸cin yukarıdaki ¨ ozellikleri sa˘ glayan temsilciler se¸cilip w _j ler (6.46) sa˘ glayacak bi¸cimde se¸cildiklerinde, (6.47) bize, b _n mutlak toplanabilir oldu˘ gundan,

(6.53) ^X

j

||w _j || _V ≤ ^X

n

||b _n || _B + ^X

n

2 ⁻ⁿ < ∞

verir. Dolayısı ile (w _j ) ∈ V ^∼ verirki, bu da b ∈ B demektir.

Son olarak ^P _n b _n = b g¨ ostermek istiyoruz. Bu ise (6.54) lim _{N →∞} ||b −

N

X

n=1

b _n || = 0

g¨ ostermemizi gerektirir. Hatırlamamız gereken buradaki normun kendisin de bir limit oldu˘ gudur-b − ^{P N} _n=1 b n ifadesi n-inci terimi

(6.55) w _k −

N

X

n=1

v _k ⁽ⁿ⁾ olan toplanabilir seridir. Normu da

(6.56) lim _p→∞ ||

p

X

k=1

(w _k −

N

X

n=1

v ⁽ⁿ⁾ _k )|| _V

ile verilir. Burada anlamamız gereken N → ∞ iken ne oldu˘ gudur! Tanımdan, w _k ’lar v ⁽ⁿ⁾ _j lerin k¨ o¸segen ¨ uzerinden alınan toplamıdır. Bu nedele, k ¨ uzerinden alınan toplam v ⁽ⁿ⁾ _j lerin k¨ o¸segensel olmayan ilk p tanesinin toplamı ile uzunlu˘ gu N , y¨ uksekli˘ gi p olan d¨ ortgen ¨ uzerinden alınan toplamın farkı kadardır. Dolayısı ile ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ ginden farkın normunu, normların ’ kullanılmayan terimler

¨

uzerinden alınan toplamlar ile hesaplıyabiliriz. Buradan L = min(p, N ) olmak

¨ uzere

(6.57) ||

p

X

k=1

(w _k −

N

X

n=1

v ⁽ⁿ⁾ _k )|| _V ≤ ^X

l+m≥L

||v _l ^(m) || _V

buluruz. Bu toplam sonludur. p → ∞ iken bunu l + m ≥ N olan toplamla de˘ gi¸stirebiliriz. S ¸imdi, N → ∞ iken, (¸cifte serinin) mutlak toplanabilirli˘ ginden sıfıra yakınsar. Dolayısı ile;

(6.58) lim _{N →∞} ||b −

N

X

n=1

b _n || _B = 0 ederiz ve bu tam da istedi˘ gimiz, ^P _n b _n = b dir.

Problem 2.2 S ¸imdi basamak fonksiyonlarının mutlak toplanabilir bir seri

¨

orne˘ gini d¨ u¸s¨ unelim. Soldan kapalı, sa˘ gdan a¸cık [0, 1) aralı˘ gını ele alalım.

Alı¸sılagelmi¸s Cantor k¨ umesi in¸sasının biraz de˘ gi¸sik hali olan a¸sa˘ gıdaki in¸sa’yı

d¨ u¸s¨ unelim. Ortadaki merkezi aralık [1/3, 2/3) ¸cıkarıp, geriye kalan C 1 =

[0, 1/3) ∪ [2/3, 1) k¨ umesinden yine merkezi aralıkları ¸cıkartarak geriye kalan C ₂ = [0, 1/9) ∪ [2/9, 1/3) ∪ [2/3, 7/9) ∪ [8/9, 1) k¨ umesini ve bu ¸sekilde de- vam ederek her biri yarı-a¸cık, yarı-kapalı aralıkların sonlu birle¸simleri olan C _k ⊂ C _k−1 k¨ umelerini d¨ u¸s¨ unelim. S ¸imdi herbiri C _k k¨ umelerinin karakteristik fonksiyonu olan f _k fonksiyonlarından olu¸san seriyi ele alalım.

(1) Bu seri mutlak toplanabilir bir seridir.

(2) [0, 1) deki hangi x ¨ o˘ geleri i¸cin ^P _k |f _k (x)| serisi yakınsar?

(3) Yukarıdaki seri ile tanımlanan [0, 1) ¨ uzerinde tanımlı hangi fonksiyon Lebesgue integrallenebilirdir? ˙Integralini hesaplayınız.

(4) Bu fonksiyon Riemann integrallenebilir midir?

(5) Yukarıdaki in¸sa sırasında atılan aralıkların birle¸simlerinde bir, dı¸sında sıfır olan fonksiyon g olsun. g fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu ve integralini hesaplayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um . (1) Her seferinde aralıkların toplam boyu 1/3 oranında azalmak- tadır. Bu nedenle l(C k ) = 2 ^k /3 ^k dır. Buradan, f fonksiyonunun negatif ol- mayan integrali

(6.59)

Z

f _k = 2 ^k /3 ^k ⇒ ^X

k

Z

|f _k | =

∞

X

k=1

2 ^k /3 ^k = 2 bulunur ve seri mutlak toplanabilirdir.

(2) C k azalan bir k¨ umeler dizisi oldu˘ gundan, sadece (6.60) x ∈ E = ^\

k

C _k

i¸cin ^P _k |f _k (x)| serisi ıraksak, di˘ ger durumlar i¸cin yakınsaktır.

(3) Serinin yakınsadı˘ gı yerlerde, serinin toplamı, di˘ ger durumlarda 0 olarak tanımlanan

(6.61) f (x) =

( P

k f _k (x), x ∈ R \ E 0, x ∈ E

fonksiyon, tanımdan,integrallenebilirdir. Integrali ise, yine tanımdan, (6.62)

Z

f = ^X

k

Z

f k = 2

(4) f fonksiyonu sınırlı olmadı˘ gından, tanım gere˘ gi, Riemann integrallenebilir

de˘ gildir. ¨ Ozellikle, bo¸s olmayan C _k \ C _k+1 k¨ umesindeki bir x i¸cin f (x) = k

olur.

(5) F ile g¨ osterilen ve ¸cıkarılan k¨ umelerin birle¸simi olan k¨ ume [0, 1) \ E dir.

C ¸ ıkarılan k¨ umelerin herbirinde 1 olan basamak fonksiyonları mutlak toplan- abilir bir seri verir. Bu fonksiyonlar negatif de˘ gildirler ve k = 1, 2, ... i¸cin k-incin integrali 1/3 × (2/3) ^k−1 dir. Bu seri, F k¨ umesi ¨ uzerinde g fonksiyonuna yakınsar. Dolayısıyla g Lebesgue integrallenebilirdir ve integrali

(6.63)

Z

g = 1 dir.

Problem 2.3 R ² i¸cin ¨ ortme ¨ onteoremi. Bir dikd¨ ortgen ile kastedilen k¨ ume R ² de [a ₁ , b ₁ ) × [a ₂ , b ₂ ) bi¸ciminde olan bir k¨ umedir.

B¨ oylesi bir dikd¨ ortgenin alanı (b ₁ − a ₁ ) × (b ₂ − a ₂ ) olarak tanımlıdır.

(1) Bir dikd¨ ortgeni tanımlayan aralıkları aralıklara b¨ olerek dikd¨ ortgeni de altdikd¨ ortgenlere b¨ olm¨ u¸s oluruz. B¨ oylesi bir b¨ ol¨ unme ile elde edilen dikd¨ ortgenlerin alanlarının toplamının ilk dikd¨ ortgenin alanına e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) Yarı-a¸cık-kapalı anlamında sonlu tane ke¸si¸smeyen dikd¨ ortgenin birle¸simi de bir dikd¨ ortgen ise alanların toplamının, birle¸simin alanına e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.(ip ucu: altaralıklara b¨ olerek ilerleyiniz).

(3) Bir dikd¨ ortgen i¸cinde olan, sayılabilir ¸coklukta, ke¸si¸smeyen dikd¨ ortgenlerin alanlarının toplamının b¨ uy¨ uk dikd¨ ortgenin alanından k¨ u¸c¨ uk veya e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4) Sonlu sayıda dikd¨ ortgenin birle¸simi verilen bir dikd¨ ortgeni i¸ceriyorsa, dikd¨ ortgenlerin alanlarının toplamının en az birle¸simlerini i¸ceren dikd¨ ortgenin alanı kadar oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) Bir ¨ onceki alı¸stırmayı sayılabilir ¸cokluktaki dikd¨ ortgenlere geni¸sletiniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. (1) Bir dikd¨ ortgen i¸cin bu olduk¸ca a¸cıktır.C ¸ ¨ unk¨ u sadece bir i¸c nokta c i¸cin ya ilk aralı˘ gı ya da ikincisini iki altaralı˘ ga b¨ olebiliriz. B¨ ol¨ und¨ ukten sonra iki dikd¨ ortgenin alanları ya

(6.64) (c − a ₁ )(b ₂ − a ₂ ) + (b ₁ − c)(b ₂ − a ₂ ) = (b ₁ − c)(b ₂ − a ₂ ) veya

(b ₁ − a ₁ )(c − a ₂ ) + (b ₁ − a ₁ )(b ₂ − c) = (b ₁ − c)(b ₂ − a ₂ )

olacaktır. Buradan,t¨ umevarımla, b¨ ol¨ unm¨ u¸s dikd¨ ortgenlerin alanlarının toplamının ilk dikd¨ ortgenin alanına e¸sit oldu˘ guna h¨ ukmederiz.

(2)E˘ ger sonlu tane ke¸si¸smeyen dikd¨ ortgenin birle¸simi yine,[a ₁ , b ₁ ) × [a ₂ , b ₂ )

¸seklinde bir dikd¨ ortgen ise, bu dikd¨ ortgenlerin herhangi birinin b¨ ol¨ unmesi ile

elde edilen dikd¨ ortgenlerin birle¸simi i¸cin de aynı ¸sey do˘ grudur. ¨ Ustelik, b¨ oylesi bir b¨ ol¨ umme ile elde edilen dikd¨ ortgenlerin alanlarının toplamı da aynı kalır.

S ¸imdi, C 1 ⊆ [a 1 , b 1 ) k¨ umesi b¨ oylesi dikd¨ ortgenlerin ilk aralıklarının u¸c nok- talarından olu¸san k¨ ume olsun. Benzer bi¸cimde, C ₂ k¨ umesi de ikinci aralıkta olan dikd¨ ortgenlerin u¸c noktaların olu¸san k¨ ume olsun. Dikd¨ ortgenlerin her birini C 1 , C 2 k¨ umelerinin u¸c noktalarını kullanarak sonlu kez b¨ olelim. B¨ oylece elde edilen dikd¨ ortgenlerin toplam alanları de˘ gi¸smeyecektir. [a ₁ , b ₁ ) × [a ₂ , b ₂ ) dikd¨ ortgenini ¨ orten dikd¨ ortgenler A _i , [a ₁ , b ₁ ) aralı˘ gını ¨ orten ve ke¸si¸smeyen aralıklardan, B j , [a 2 , b 2 ) dikd¨ ortgenini ¨ orten ve ke¸si¸smeyen aralıklardan ol- mak ¨ uzere, A _i × B _j bi¸cimindedirler. Sınıfta yapılan bir boyutlu ¨ orne˘ ge ben- zer bi¸cimde ilk aralı˘ gı A _i olmak ¨ uzere b¨ oylesi aralıkların alanlarının toplamı a¸sa˘ gıdaki ¸carpımdır:

(6.65) A _i boyu × (b ₂ − a ₂ )

bi¸cimindedir. S ¸imdi i ¨ ust¨ unden toplam alır ve aynı neticeyi bir kez daha kullanarak aradı˘ gımız sonu¸ca varabiliriz.

(3)[a ₁ , b ₁ )×[a ₂ , b ₂ ) dikd¨ ortgeninde bulunan sonlu tane ke¸si¸smeyen dikd¨ ortgen ailesine aynı b¨ olme i¸slemini yapabilir ve bu aileye kesi¸smeyen yeni dikd¨ ortgen ailesi ekleyerek b¨ uy¨ uk dikd¨ ortgeni ¨ orten bir aile bulabiliriz.Burada daha ¨ onceki sonu¸cumuzu kullanarak dikd¨ ortgenlerin alanlarının toplamının (b ₁ −a ₁ )(b ₂ −a ₂ )

¸carpımından k¨ u¸c¨ uk veya e¸sit oldu˘ guna h¨ ukmedebiliriz. Buradan da sayılabilir ve ke¸si¸smeyen dikd¨ ortgenler ailesinin alanları toplamının yukarıdaki sabitten k¨ u¸c¨ uk veya e¸sit oldu˘ guna h¨ ukmedebiliriz.

(4) D i , i = 1, ..., N dikd¨ ortgenlerinin birle¸simi D dikd¨ ortgenini i¸cersin. D 1

dikd¨ ortgenini D dikd¨ ortgeninin son noktalarını kullanarak alt dikd¨ ortgenlere b¨ olelim. B¨ oylece elde edilen dikd¨ ortgenler ya tamamen D i¸cindedirler veya onu kesmezler.D 1 dikd¨ ortgenini (ger¸cekte biricik olan)tamamen D i¸cinde kalan dikd¨ ortgenle de˘ gi¸stirelim. S ¸imdi t¨ umevarım’a ba¸svurarak ilk N −k dikd¨ ortgenin kesi¸smedi˘ gini,ve t¨ um¨ un¨ un D i¸cinde kaldı˘ gını ve birle¸simlerinin D dikd¨ ortgenini

¨

ortt¨ u˘ g¨ un¨ u varsayabiliriz. S ¸imdi, bir sonraki dikd¨ ortgene, D N −k+1 dikd¨ ortgenine bakalım. Bu dikd¨ ortgeni daha ¨ onceki D ₁ , ..., D _k , D dikd¨ ortgenlerini belirleyen

aralıkların son noktalarını kullanarak alt dikd¨ ortgenlere b¨ olelim. D _{N −k+1} dikd¨ ortgeninin b¨ ol¨ unesinden sonra elde edilen dikd¨ ortgenler ya tamamen bir D j , j ≤ N −

k i¸cinde kalırlar ya da D i¸cinde de˘ gildirler. Bunları atarak k sayısını bir

azaltırız(Bunu yaparken belki N artırılmak zorunda kalsak bile bunda bir

sakınca yoktur). Ba¸ska bir deyi¸sle, t¨ umevarımla, dikd¨ ortgenleri b¨ olerek ve

gerekmeyenleri atarak, birbirlerini kesmeyen, D i¸cinde kalan ve birle¸simleri D

dikd¨ ortgenini ¨ orten bir aile elde ederiz. Bu yeni dikd¨ ortgenler ailesinin alanları

toplamı, bir ¨ onceki g¨ ozlemden, tamtamına D’ nin alanına e¸sittir. Dolayısı ile alanlar toplamı ba¸slangı¸cta, en az, bu kadardır.

(5) D = [a 1 , b 1 ) × [a 2 , b 2 ) dikd¨ ortgenini ¨ orten, sayılabilir dikd¨ ortgenler, ailesi i¸cin bir boyuttaki gibi hareket ederiz. ˙Ilk olarak kenarların boylarını ¨ usten sınırlayan bir C sabiti oldu˘ gunu kabul edebiliriz. Sonra k-in¸ci dikd¨ ortgeni biraz daha b¨ uy¨ uk olacak ¸sekilde, her iki ¨ ust limiti de, δ > 0 olmak ¨ uzere, 2 ^−k δ kadar b¨ uy¨ ut¨ ur¨ uz. S ¸imdi alan artmı¸stır ama bu artı¸s 2C2 ^−k dan b¨ uy¨ uk de˘ gildir. S ¸imdi b¨ uy¨ ut¨ ulen ve sayılabilir k¨ umelerin i¸clerinden olu¸san ¨ ort¨ u [a ₁ , b ₁ −δ]×[a ₂ , b ₂ −δ]

kompakt k¨ umesini ¨ ortecektir. Kompaktlık gere˘ gi ¨ orten a¸cık k¨ umelerin sonlu tanesi de yine a¸cık bir ¨ ort¨ u olacaktır. Aynı teoremin yarı-a¸cık bi¸cimini kul- lanarak, aynı son noktaları kullanan ve [a ₁ , b ₁ − δ) × [a ₂ , b ₂ − δ) i¸cin bir ¨ ort¨ u bulabiliriz. Daha ¨ once elde edilen sonlu haldeki sonu¸cu kullanarak,

(6.66) alanlar toplamı + 2Cδ ≥ alanD − 2Cδ bulunur. δ keyfi oldu˘ gundan, sonu¸ca ula¸sılmı¸stır.

Sizleri basmak fonksiyonlarının integrallerini alma konusundaki detayları

¨

o˘ grenmeye te¸svik etmek isterim. S ¸imdi aralıklar yerine dikd¨ ortgenleri kulla- narak, yaptı˘ gımız her ¸seyin iki boyuta da yapılabilece˘ gini g¨ ormenizi istiyorum.

˙I¸sin ger¸ce˘gine bakarsanız her ¸sey R ⁿ de de ¸calı¸sır.

Problem 2.4 (1) [0, 1] ¨ uzerindeki her s¨ urekli fonksiyon bir basamak fonksiy- onları dizisinin d¨ uzg¨ un limitidir.(˙Ip ucu: ¨ Once ger¸cel durumu d¨ u¸s¨ un¨ un. Aralı˘ gı 2 ⁿ e¸sit par¸caya b¨ ol¨ un ve basamak fonksiyonlarını o altaralık ¨ uzerinde s¨ urekli fonksiyonun infimumu olarak tanımlayın. Sonrada d¨ uzg¨ un yakınsaklık kul- lanın.

(2) Calculus’te ¨ o˘ grendi˘ giniz ’teleskopik seri’ hilesini kullanarak [0, 1) ¨ uzerindeki

her s¨ urekli fonksiyonun f _j fonksiyonları basamak fonksiyonları ve ∀x ∈ [0, 1), ^P _j |f _j (x)| <

∞ olmak ¨ uzere

(6.67) ^X

i

f _i (x), ∀x ∈ [0, 1) olarak yazılabilece˘ gini kanıtlayınız.

(3) Buradan [0, 1] ¨ uzerindeki her s¨ urekli fonksiyonun bu aralı˘ gın dı¸sına 0 ola- cak bi¸cimde geni¸sletildi˘ ginde, Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyon oldu˘ gunu kanıtlayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um.(1) S¨ urekli bir fonksiyonun ger¸cel ve sanal kısımları da s¨ urekli oldu˘ gundan

¨

once ger¸cel de˘ gerli s¨ urekli fonksiyonlar i¸cin kanıt yapar sonra da toplama ya-

parız. S¨ urekli fonksiyonların kompakt k¨ umeler ¨ uzerindeki d¨ uzg¨ un s¨ urekliliklerinden,

ki burada k¨ ume [0, 1] k¨ umesidir, verilen n sayısı i¸cin ¨ oyle bir N buluruz ki

|x − y| ≤ 2 ^−N i¸cin |f (x) − f (y)| ≤ 2 ^−N olur. S ¸imdi N, n ba˘ glı olmak ¨ uzere verilen aralı˘ gı 2 ^N e¸sit par¸caya b¨ oler ve n nin fonksiyonu olarak azalmayan olmasında ısrarcı olur ve her altaralı˘ gın kapanı¸sında basamak fonksiyonu F n , minf = inf f olacak bi¸cimde tanımlanırsa,

(6.68) |f (x) − F n (x)| ≤ 2 ⁻ⁿ , ∀x ∈ [0, 1)

ve (6.68) deki e¸sitsizlik aralıkların son noktalarında da ge¸cerli olur. Dolayısı ile [0, 1) k¨ umesi ¨ uzerinde d¨ uzg¨ un olarak F n → f yakınsaması vardır.

(2) f ₁ = F ₁ , ve k > 1 i¸cin f _k = F _k − F _k−1 tanımlanırsa, bunlar basamak fonksiyonları olacaklar ve

(6.69)

n

X

k=1

F _k = f _n

sa˘ glanır. F n+1 tanımındaki aralık F n i¸cin de bir altaralık olacaktır.F n tanımındaki her altaralıkta f ’in de˘ geri 2 ⁻ⁿ den fazla de˘ gi¸semiyece˘ gi i¸cin ,

(6.70) |f n (x)| = |F n+1 (x) − F n (x)| ≤ 2 ⁻ⁿ , ∀n > 1

bulunur ve buradan da ^R |f _n | ≤ 2 ⁻ⁿ elde ederiz. Bu serinin mutlak toplabilir oldu˘ gunu verir. Esasında seri [0, 1) aralı˘ gının her noktasında yakınsaktır ve (6.68) gere˘ gince f fonksiyonuna d¨ uzg¨ un yakınsar.

(3) Bu nedenle f Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyondur.

(4) Sa˘ g taraftaki integral Riemann integrali olmak ¨ uzere (6.71)

Z

f =

Z 1 o

f (x)dx e¸sitli˘ gini sormamı¸sım. Fakat, bu a¸sa˘ gıdaki

(6.72)

Z

f = lim _n

Z

F _n

e¸sitli˘ giden ve basamak fonksiyonlarının [0, 1] ¨ uzerindeki integralleri de˘ gerlerinin

o altaralıktaki ¨ ust Riemann toplamları ve alt Riemann toplamları arasında

kalmasından elde edilir.