MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu
Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.a¸cık ders.org.tr adresini ziyaret ediniz.
18.102
Introduction to Functional Analysis Bahar 2009
Prof.Dr.Richard Melrose
18.102 Fonksiyonel Analize Giris Bahar D¨ onemi 2009 TEST 2 ICIN COZUMLER
1. PROBLEM 1
H, i¸c ¸capımı (., .) ve normu k.k olan bir Hilbert uzayı olsun. Bir u n dizisine zayıf yakınsar denir e˘ ger her v ∈ H i¸cin (u n , v), C de bir Cauchy dizisi ise.
(1) ku n k H nin neden sınırlı oldu˘ gunu a¸cıklayınız.
C ¸ ¨ oz¨ um: Her n i¸cin H da
(A.1) T n (u) = (v, u n ), kT n k = ku n k , T n : H → C do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u tanımlanır.
Sabit bir v i¸cin T n (v) dizisi Caucyh ve dolayısıyla C de sınırlıdır. ”D¨uzg¨un Yakınsama Prensibi gere˘ gi” kT n k sınırlı, ve b¨ oylece ku n k, R de sınırlıdır.
(2) Her v ∈ H i¸cin (u n , v) → (u, v) olacak bi¸cimde bir u ∈ H nin varlı˘ gını g¨ osteriniz.
C ¸ ¨ oz¨ um: Her v ∈ H i¸cin (v, u n ), C de bir Cauchy dizisi oldu˘gundan u n
yakınsaktır.
(A.2) T v = lim
n→∞ (v, u n ) diyelim. T ,
(A.3) T (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = lim
n→∞ c 1 (v 1 , u n ) + c 2 (v 2 , u) = c 1 T v 1 + c 2 T v 2
oldu˘ gundan do˘ grusaldır ve |T v| ≤ C kvk , C = sup n ku n k oldu˘ gundan sınırlıdır.
Riesz toreminden T v = (v, u) olacak bi¸cimde bir u ∈ H vardır. T ’nin tanımından (A.4) (u n , v) → (u, v) ∀v ∈ H
dır.
(3) e i ortonormal taban ise, H zayıf yakınsamayan fakat her j i¸cin (u n , e j ) yakınsayan bir dizi ¨ orne˘ gi veriniz.
¸
c¨ oz¨ um: u n = ne n olarak tamamla. Her i > n i¸cin (u n , e i ) = 0 dolayısıyla 0’a yakınsar. Ayrıca ku n k sınırlı de˘ gildir, dolayısıyla zayıf yakınsak olamaz.
(4) e i ortonormal taban, ku n k sınırlı ve her j i¸cin (u n , e j ) yakınsak ise u n
zayıf yakınsar.
C ¸ ¨ oz¨ um:Her j i¸cin (u n , e j )’nin yakınaklı˘ gının varsayımımdan dolayı her v i¸cin (u n , v) yakınsaktır ve e i lerin sonlu do˘ grusal kombinazasyonudur. Genel v i¸cin, e j ortonormal tabanına g¨ ore, v i¸cin Fourier-Bessel yakınsamasından
(A.5) v = X
k
(v, e k )e k .
Bu, v k ’ler e j ler tarafından gerilen uzaydadır ve v k → v dir. Cauchy e¸sitsizli˘ ginden (A.6) |(u n , v) − (u m , v)| ≤ |(u n , v k ) − (u m , v k )| + |(u n , v − v k )| + |(u m , v − v k )| . Verilen > 0 i¸cin ku n k sınırlı oldu˘ gundan, yeterince b¨ uy¨ uk k i¸cin, son iki terim /4 den k¨ u¸c¨ uk yapılabilir. k, Ilk terimi /4 den k¨ u¸c¨ uk olacak bi¸ciminde se¸cilmesi durumunda, (u n , v k ) yakınsar. Bu (u n , v) dizisinin C de Cauchy ve b¨ oylece yakınsaktır.
2. PROBLEM 2 f ∈ L 1 (0, 2π) fonksiyonu
c k = Z
(0,2π)
f (x)e −ikx , k ∈ Z olmak ¨ uzere
X
k∈Z
|c k | 2 < ∞
ko¸sulunu sa˘ glasın. f ∈ L 2 ((0, 2π)) oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
C ¸ ¨ oz¨ um: Bu birazcık zor. Oncelikle, e ¨ −ikx s¨ urekli, f e −ikx ∈ L 1 ((0, 2π)) oldu˘ gundan f ∈ L 1 ((0, 2π)) ve P
k |c k | 2 ko¸sulunun sa˘ glanmasından Fourier serisi L 2 (0, 2π) de yakınsar dolayısıyla
(A.1) g = 1 2π
X
k∈C
c k e ikx
fonksiyonu tanımlanır. f = g h.h oldu˘ gunu g¨ ostermek istiyoruz. Bu durumda f ∈ L 2 (0, 2π) olacaktır.
L 2 ⊂ L 1 ((0, 2π)) oldu˘ gundan h = f − g ∈ L 1 ((0, 2π)) dir. (A.1) den dolayı f ve g nin Fourier katsayıları aynıdır ve b¨ oylece
Z
S ¸imdi h = 0 h.h oldu˘ gunu g¨ ostermeye gereksinimimiz var. Onceki dersden ¨ aralıkların u¸clarında sıfır olan s¨ urekli fonksiyonlarda supremum normuna g¨ ore eksponensiyel’lerin yo˘ gun oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. Bu bi¸cimdeki s¨ urekli g fonksiy- onlar i¸cin integrallerin s¨ ureklili˘ ginden,
(A.3) Z
(0,2π)
f g = 0
oldu˘ gunu biliyoruz. Bazı noktalarda herhangi bir aralı˘ gın karakteristik fonksiy- onu χ I na yakla¸san s¨ urekli fonksiyonların dizisinin oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. Bu yakınsama d¨ uzg¨ un de˘ gildir, fakat herhangi bir integrallenebilir fonksiyon h i¸cin, L 1 de hg n → hχ I . Dolayısıyla (A.3) den
(A.4) Z
(0,2π)
hg = 0 her basamak fonksiyon g icin.
H¨ unerden dolayı (A.4) den h = 0 h.h oldu˘ gunu g¨ ostermektir. R
(0,2π) |h| = 0 oldu˘ gu biliniyorsa bu elde edilir. Dolayısıyla ama¸c bu olsun. H¨ uner: g ∈ L 1 oldu˘ gundan h.h ve L 1 ((0, 2π)) de h n → g olacak bi¸cimde h n basamak fonksiyonları vardır ve |h n | → |h n | (h.h ve L 1 ((0, 2π))).
(A.5) h n (x) = 0 icin s n (x) = 0, di˘ ger durumda s n (x) = h n (x)
|h N (x)|
olarak tanımlansın. s n ’nin sınırlı basamak fonksiyonların dizisidir ve s n h n =
|h n | dir. A¸sa˘ gıdaki g¨ uzel e¸sitli˘ ge bakalım:
(A.5) |h(x)| = |h(x)| − |h n (x)| + s n (x)(h n (x) − h(x) + s n (x)h(x).
Bu e¸sitli˘ gin integralini alarak (A.5)
Z
(0,2π)
|h| = Z
(0,2π)
(|h(x)| − |h n (x)|) + Z
(0,2π)
s n (x)(h n − h)
≤ Z
(0,2π)
(||h(x)| − |h n (x)|| + Z
(0,2π)
|h n − h| → 0.
Buradan |s n | ≤ 1.
Bu h = 0 h.h. Dolayısıyla f = g ve f ∈ L 2 ((0, 2π)).
3. PROBLEM 3
∗ i¸sareti + ve − i¸saretlerini g¨ ostermek ¨ uzere
h ∗ 2 = {c : N → C,
∞
X
j=1
j ∗4 |c j | 2 < ∞
olarak tanımlansın. h ∗2 nin Hilbert uzayı oldu˘ gunu ve bazı C ler i¸cin T : h 2 → C, |T c| ≤ C kck h
2
ko¸sulunu sa˘ glayan fonksiyonelin d : N → C, d ∈ h −2 olmak ¨ uzere T c =
∞
X
j=1
c i d i bi¸ciminde oldu˘ gunu g¨ osteriniz.
C ¸ ¨ oz¨ um: h ∗2 ’nin Hilbert uzayı oldu˘ gunu g¨ ostermek i¸cin l 2 nin kendisini kul- lanaca˘ gız. A¸sa˘ gıdaki fonksiyonu ele alalım.
(A.1) (T ∗ c j = c j j ∗2 .
h ∗2 ’nin hakkında bir¸sey bilmesekte bu birebir ¨ otendir ve (A.2) kck h
∗2
