para todo (y, α) ∈ epi(f). Portanto, (¯ξ, −1) ∈ NP
epi(f )(¯x, f (¯x)).
Observação 2.1.1. A Proposição 2.1.3 é uma extensão do conceito de gradiente dado no sentido clássico visto que, sendo f de classe C2 segue que
{∇f(¯x)} = ¯ξ ∈ Rn : ( ¯ξ,−1) ∈ Nepi(f )P (¯x, f (¯x)),
e assim fica relacionado o gradiente de f em ¯x dado no sentido clássico com o cone normal proximal ao epigrafo de f em (¯x, f(¯x)). Caso f seja apenas semicontínua inferior, então, esse elementos, ¯ξ, são chamados de subgradientes. Isso motiva a próxima seção.
2.2
Subdiferenciais proximal, estrita e limite.
Definição 2.2.1. Sejam f : Rn → R ∪ {+∞} semicontínua inferior e ¯x ∈ dom(f). As
Subdiferenciais proximal, estrita e limite, denotadas por ∂Pf (¯x), ˆ∂f (¯x) e ∂f (¯x), respecti-
vamente, são os conjuntos
1. ∂Pf (¯x) =ξ∈ Rn : (ξ,−1) ∈ NP epi(f )(¯x, f (¯x)) ; 2. ˆ∂f (¯x) =ξ ∈ Rn: (ξ,−1) ∈ ˆ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) ; 3. ∂f(¯x) =ξ ∈ Rn: (ξ, −1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) .
Os elementos em ∂Pf (¯x), ˆ∂f (¯x) e ∂f (¯x) são chamados de subgradiente proximal, estrito
e limite, respectivamente.
Proposição 2.2.1. Sejam f : Rn → R ∪ {+∞} semicontínua inferior e ¯x ∈ dom(f).
Então,
∂Pf (¯x)⊂ ˆ∂f (¯x)⊂ ∂f(¯x).
Demonstração. Esse resultado segue diretamente da Proposição 1.1.12.
Definição 2.2.2. Seja C ⊂ Rn um conjunto convexo. A função f : C → R ∪ {+∞} é
dita convexa se, para quaisquer x, y ∈ C e qualquer t ∈ [0, 1] tem-se que f [(1− t)x + ty] ≤ (1 − t)f(x) + tf(y).
Uma outra forma de caracterizar uma função f : C → R ∪ {+∞}, como convexa, é verificando se para quaisquer x, y ∈ C e α, β ∈ [0, 1] com α + β = 1, tem-se que
2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. 52
Proposição 2.2.2. Sejam C ⊂ Rn um conjunto convexo, f : C → R ∪ {+∞} e
¯
x∈ dom(f). O conjunto epi(f) é convexo se, e somente se, para qualquer
(ξ, λ)∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) tem-se que (ξ, λ) [(y, α)− (¯x, f(¯x))] ≤ 0 para todo (y, α) ∈ epi(f).
Demonstração. Seja epi(f) um conjunto convexo. Então, pela Proposição A.0.3 segue que f é convexa, consequentemente f é contínua, em particular é semicontínua inferior. Portanto, epi(f) é um conjunto fechado e convexo. Aplicando a Proposição 1.1.15 segue que
Nepi(f ) ={(ξ, λ) : (ξ, λ) [(y, α) − (¯x, f(¯x))] ≤ 0, ∀(y, α) ∈ epi(f)}.
Logo, para todo (ξ, λ) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)), tem-se que, (ξ, λ) [(y, α)− (¯x, f(¯x))] ≤ 0 para
qualquer (y, α) ∈ epi(f).
Reciprocamente, considere verdadeira a seguinte condição: Para todo (ξ, λ) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x))
tem-se que (ξ, λ) [(y, α) − (¯x, f(¯x))] ≤ 0 para todo (y, α) ∈ epi(f).
Logo, Nepi(f )(¯x, f (¯x))⊂ {(ξ, λ) : (ξ, λ) [(y, α) − (¯x, f(¯x))] ≤ 0, ∀(y, α) ∈ epi(f)}, repetindo
os passos realizados na demonstração da Proposição 1.1.15 concluímos que Nepi(f ) ={(ξ, λ) : (ξ, λ) [(y, α) − (¯x, f(¯x))] ≤ 0, ∀(y, α) ∈ epi(f)}.
Portanto, epi(f) é convexo pois, caso contrário, não teríamos essa igualdade.
Proposição 2.2.3. Sejam f : Rn → R ∪ {+∞} uma função convexa e ¯x ∈ dom(f).
Então,
∂Pf (¯x) = ˆ∂f (¯x) = ∂f (¯x) = {ξ ∈ Rn: ξ(x− ¯x) ≤ f(x) − f(¯x), ∀x ∈ Rn} .
Demonstração. Sendo f uma função convexa segue que f é contínua e consequentemente epi(f ) é fechado. Como epi(f ) é um conjunto convexo e fechado, segue da Proposição 1.1.15 que NP
epi(f )(¯x, f (¯x)) = ˆNepi(f )(¯x, f (¯x)) = Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Então, ∂Pf (¯x) = ˆ∂f (¯x) =
∂f (¯x). Por outro lado, como epi(f ) é um conjunto convexo, tem-se da Proposição 2.2.2 que, para qualquer (ξ, λ) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)), vale que (ξ, λ) [(y, α)− (¯x, f(¯x))] ≤ 0 para
todo (y, α) ∈ epi(f). Logo, se p ∈ ∂f(¯x), então, (p, −1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Consequente-
mente, (p, −1) [(x, f(x)) − (¯x, f(¯x))] ≤ 0 para todo x ∈ Rn. Logo, p(x− ¯x) ≤ f(x) − f(¯x),
para todo x ∈ Rn. Desse modo, p ∈ {ξ ∈ Rn: ξ(x− ¯x) ≤ f(x) − f(¯x), ∀x ∈ Rn} . Por-
tanto,
∂f (¯x)⊂ {ξ ∈ Rn: ξ(x− ¯x) ≤ f(x) − f(¯x), ∀x ∈ Rn} . Agora, dado p ∈ {ξ ∈ Rn : ξ(x− ¯x) ≤ f(x) − f(¯x), ∀x ∈ Rn} segue que
2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. 53
(p,−1) [(x, α) − (¯x, f(¯x))] ≤ 0 ∀(x, α) ∈ epi(f).
Tome o : R+→ R+ tal que o(ǫ)ǫ → 0 quando ǫ ↓ 0. Então,
(p,−1) [(x, α) − (¯x, f(¯x))] ≤ o( (x, α) − (¯x, f(¯x)) ) ∀(x, α) ∈ epi(f), logo, (p, −1) ∈ ˆNepi(f )(¯x, f (¯x)). Desse modo, concluímos que
{ξ ∈ Rn: ξ(x− ¯x) ≤ f(x) − f(¯x), ∀x ∈ Rn} ⊂ ˆNepi(f )(¯x, f (¯x)) = Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Portanto,
∂Pf (¯x) = ˆ∂f (¯x) = ∂f (¯x) = {ξ ∈ Rn: ξ(x− ¯x) ≤ f(x) − f(¯x), ∀x ∈ Rn} .
Em [10] foram exibidos os seguintes exemplos:
Exemplo 2.2.1. Seja f :R → R dada por f(x) = |x|, ∀x ∈ R. Então, ∂Pf (0) = ˆ∂f (0) = ∂f (0) = [−1, 1].
Exemplo 2.2.2. Seja f :R → R dada por f(x) = −|x|, ∀x ∈ R. Então, ∂Pf (0) = ˆ∂f (0) =∅ e ∂f(0) = {−1} ∪ {1}.
Exemplo 2.2.3. Seja f :R → R dada por f(x) =$|x|. Então, ∂Pf (0) = ˆ∂f (0) = ∂f (0) = (−∞, +∞). Exemplo 2.2.4. Seja f :R → R dada por f(x) = (sgn{x}) ·$|x|.
∂Pf (0) = ˆ∂f (0) = ∂f (0) =∅.
Observação 2.2.1. Nos Exemplos 2.2.3 e 2.2.4 verificamos casos em que as
subdiferenciais são vazias ou ilimitadas. Esses fenômenos fornecem indícios de que a inclinação da retas tangentes ao gráfico da função f avaliada numa ǫ-bola de centro ¯x, arbitrária, pode ser "ilimitadas". Para determinar a direção dessas retas tangentes, ne- cessitamos do conceito de Subdiferencial assintótica.
Definição 2.2.3. Sejam f : Rn → R ∪ {+∞} semicontínua inferior e ¯x ∈ dom(f). As
Subdiferenciais proximal assintótica, estrita assintótica e limite assintótica, denotadas por ∂∞
P f (¯x), ˆ∂∞f (¯x) e ∂∞f (¯x), respectivamente, são os conjuntos
1. ∂∞ P f (¯x) = ξ∈ Rn : (ξ, 0)∈ NP epi(f )(¯x, f (¯x)) ;
2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. 54 2. ˆ∂∞f (¯x) = ξ∈ Rn : (ξ, 0)∈ ˆ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) ; 3. ∂∞f (¯x) = ξ∈ Rn : (ξ, 0) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) . Os elementos em ∂∞
P f (¯x), ˆ∂∞f (¯x) e ∂∞f (¯x) são chamados de subgradiente
proximal assintótico, estrito assintótico e limite assintótico, respectivamente.
Observação 2.2.2. No Exemplo 2.2.4 temos que ∂f (0) =∅, porém ∂∞f (0) = [0,∞), ou
seja, as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função f avaliada numa ǫ-bola de centro ¯x = 0 que tendem ao "infinito"são todas positivas
Definição 2.2.4. Seja f : Rn → R uma função. Dizemos que f é Lipschitz( ou lips-
chitziana ) se, dados arbitrariamente x, y ∈ R, existe k > 0 tal que |f(y) − f(x)| ≤ k y − x .
A constante k é chamada constante Lipschitz da função f.
Observação 2.2.3. Considere f : I ⊂ R → R derivável e Lipschitz sobre I, com constante Lipschitz igual a k. Fixado ¯x ∈ I de modo arbitrário, temos que
|f′(¯x)| = lim y→¯Ix f (y)− f(¯x) y− ¯x = lim y→¯Ix f (y)− f(¯x) y− ¯x = lim y→¯Ix |f(y) − f(¯x)| |y − ¯x| ≤ k.
Logo, |f′(¯x)| ≤ k. Uma vez que ¯x ∈ I foi tomado de modo arbitrário segue que,
|f′(x)| ≤ k, para todo x ∈ I. Geometricamente isso nos diz que, sendo f uma função
derivável e lipschitziana sobre I segue que suas derivadas sobre I estão contidas na bola k· BR[0, 1], isto é, essas derivadas sobre I formam um conjunto limitado.
Proposição 2.2.4. Sejam f : Rn → R ∪ {+∞} semicontínua inferior e ¯x ∈ Rn. Se f é
Lipschitz numa vizinhança de ¯x com constante Lipschitz igual a k, então, 1. ∂f(¯x) ⊂ k · BRn[0, 1];
2. ∂∞f (¯x) = {0}.
Demonstração. Mostraremos alguns resultado que são úteis para demonstrar os ítens acima.
Dado (ξ, −λ) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) de forma arbitrária, existem (xi, αi) epi(f )
→ (¯x, f(¯x)) e (ξi,−λi) → (ξ, −λ) tal que (ξi,−λi) ∈ Nepi(f )P (xi, αi), para todo i ∈ N. Em particular,
2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. 55
onde f é Lipschitz. Então, para cada um desses i suficientemente grandes, existe Mi > 0
tal que (ξi,−λi)[(y, α)− (xi, αi)]≤ Mi (y, α) − (xi, αi) 2, para qualquer (y, α)∈ epi(f).
Considere · como a norma do máximo. Sem perda de generalidade, suponha que (y, α) − (xi, αi) = y − xi . Desse modo,
(ξi,−λi)[(y, α)− (xi, αi)]≤ Mi (y, α) − (xi, αi) 2 ≤ ≤ Mi y−xi 2 ≤ Mi y−xi 2+Mi|α−αi|2 = Mi " y − xi 2+|α − αi|2 # , ∀(y, α) ∈ epi(f). Uma vez que, para qualquer x ∈ Rntem-se que (x, f(x)) ∈ epi(f), então, para todo β ≥ 0
segue que (x, [f(x) + β]) ∈ epi(f). Além disso, temos que αi ≥ f(xi). Consequentemente,
existe βi ≥ 0 tal que αi = f (xi) + βi. Logo,
(ξi,−λi)[(x, [f (x) + β])− (xi, αi)]≤ Mi " x − xi 2+|f(x) + β − f(xi)− βi|2 # , ou seja, ξi(x− xi)− λi(f (x) + β− f(xi)− βi)≤ Mi " x − xi 2+|f(x) + β − f(xi)− βi|2 # , para todo x ∈ Rn e para todo β ≥ 0. Em particular, para x = x
i e β > βi temos que
−λi(β− βi)≤ Mi|β − βi|2 = Mi(β− βi)2. Como β > βi, então, − λi ≤ Mi(β− βi).
Ao fazer βi → β, temos que −λi ≤ 0, ou seja, λi ≥ 0 para todo i ∈ N suficientemente
grande.
Observe que: Na verdade λi ≥ 0 para todo i ∈ N pois, em momento algum se fez
necessária a hipótese de que f é lipschitziana. Uma vez que λi → λ, segue que λ ≥ 0 e
desse modo, mostramos também que, se (ξ, −λ) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)), então, λ≥ 0.
Agora, se tomarmos β = βi e x na vizinhança de ¯x, onde f é Lipschitz, tem-se que
ξi(x− xi)− λi(f (x)− f(xi))≤ Mi " x − xi 2+|f(x) − f(xi)|2 # . Logo, ξi(x− xi)≤ Mi " x − xi 2+|f(x) − f(xi)|2 # + λi(f (x)− f(xi))≤ ≤ Mi " x − xi 2+|f(x) − f(xi)|2 # + λi|f(x) − f(xi)| ≤ ≤ Mi " x − xi 2+ k2 x − xi 2 # + λik x − xi .
Como x foi escolhido de modo arbitrário na vizinhança onde f é lipschitziana, podemos então, fazer x = xi+ rξi, com r > 0 suficientemente pequeno. Desse modo,
ξi(xi+ rξi− xi)≤ Mi( xi+ rξi− xi 2+ k2 xi+ rξi− xi 2) + λik xi+ rξi− xi . Logo,
r ξ 2 ≤ M
2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. 56
Faça r → 0. Logo, ξ 2 ≤ λ
ik ξ . Note que, se ξ = 0 trivialmente ξ ≤ λik. Suponha
que ξ > 0, então, também vale que ξ ≤ λik. Fazendo i→ ∞ tem-se que ξ ≤ λk.
Agora vamos provar os ítens.
1. Sabemos que ∂f(¯x) = {ξ ∈ Rn : (ξ,−1) ∈ N
epi(f )(¯x, f (¯x))}. Dado
(ξ,−λ) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) arbitrariamente, concluímos que ξ ≤ λk. Então, dado
ξ ∈ ∂f(¯x) segue que (ξ, −1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) e consequentemente, ξ ≤ k, ou
seja, se ξ ∈ ∂f(¯x), então, ξ ∈ k · BRn[0, 1]. Portanto, ∂f (¯x)⊂ k · BRn[0, 1].
2. Sabemos que ∂∞f (¯x) = {ξ ∈ Rn : (ξ, 0) ∈ N
epi(f )(¯x, f (¯x))}. Dado ξ ∈ ∂∞f (¯x)
arbitrariamente, segue que (ξ, 0) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Portanto, ξ ≤ 0 e isto implica
que ξ = 0. Logo, ∂∞f (¯x) ={0}.
Proposição 2.2.5. Sejam f : Rn → R ∪ {+∞} semicontínua inferior e ¯x ∈ dom(f).
Então,
1. Nepi(f )(¯x, f (¯x)) ={λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)} ∪ (∂∞f (¯x)× {0}) ;
2. ∂f(¯x) = ∅ ou ∂∞f (¯x) possui elementos não nulos.
Demonstração. 1. Primeiro vamos mostrar que
A ={λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)} ∪ (∂∞f (¯x)× {0}) ⊂ Nepi(f )(¯x, f (¯x)).
Seja p ∈ A. Então, p ∈ {λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)} ou p ∈ (∂∞f (¯x)× {0}) .
(a) Se p ∈ {λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)}, existe α > 0 e ¯ξ ∈ ∂f(¯x) tal que p = α( ¯ξ,−1). Por outro lado, ¯ξ ∈ ∂f(¯x), logo, (¯ξ,−1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Como
Nepi(f )(¯x, f (¯x)) é um cone no Rn, então α( ¯ξ,−1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)), ou seja,
p∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Portanto, {λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)} ⊂ Nepi(f )(¯x, f (¯x)).
(b) Se p ∈ (∂∞f (¯x)× {0}) , então, existe ξ ∈ ∂∞f (¯x) tal que p = (ξ, 0). Como
ξ ∈ ∂∞f (¯x) então, (ξ, 0)∈ N
epi(f )(¯x, f (¯x)), logo, p∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Portanto,
(∂∞f (¯x)× {0}) ⊂ N
epi(f )(¯x, f (¯x)).
Então, {λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)} ∪ (∂∞f (¯x)× {0}) ⊂ N
epi(f )(¯x, f (¯x)).
Agora vamos mostrar que
2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. 57
Dado (¯ξ,−¯λ) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) de modo arbitrário, pela demonstração da
Proposição 2.2.4 garantimos que −¯λ ≤ 0.
(c) Suponha que ¯λ = 0. Então, (¯ξ, 0) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)), logo, ¯ξ ∈ ∂∞f (¯x). Desse
modo, (¯ξ,−¯λ) ∈ (∂∞f (¯x)× {0}) . Portanto, N
epi(f )(¯x, f (¯x))⊂ (∂∞f (¯x)× {0}) .
(d) Suponha que ¯λ > 0. Como o conjunto Nepi(f )(¯x, f (¯x)) é um cone em Rn segue
que ξ¯ ¯ λ,−1 ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)), então, ¯ ξ ¯ λ ∈ ∂f(¯x). Tome η = λξ¯¯ , desse modo, existem η ∈ ∂f(¯x) e ¯λ > 0 tal que (¯ξ, −¯λ) = ¯λ(η, −1), consequentemente ( ¯ξ,−¯λ) ∈ {λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)}.
Portanto, Nepi(f )(¯x, f (¯x))⊂ {λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)}.
Como (c) e (d) são as únicas possibilidades para (¯ξ,−¯λ) segue que Nepi(f )(¯x, f (¯x))⊂ {λ(ξ, −1) : λ > 0 ξ ∈ ∂f(¯x)} ∪ (∂∞f (¯x)× {0}) ,
e assim concluímos a demonstração de 1.
2. Suponha que ∂f(¯x) = ∅ e ∂∞f (¯x) = {0}. Então, pelo item 1 temos que
Nepi(f )(¯x, f (¯x) = {(0, 0)}. Logo, pela Proposição 1.1.13 segue que (¯x, f(¯x)) ∈ int(epi(f)),
o que é um absurdo pela definição de conjunto epigrafo de uma função. Portanto, ∂f (¯x) = ∅ ou ∂∞f (¯x) = {0}.
Proposição 2.2.6. Sejam f : Rn → R ∪ {+∞} semicontínua inferior e ¯x ∈ dom(f).
Então,
1. ∂f(¯x) é um conjunto fechado em Rn. Além disso, dadas de modo arbitrário as se-
quências xi f
→ ¯x e ξi → ξ, tal que ξi ∈ ∂f(xi) para todo i∈ N, podemos concluir que
ξ ∈ ∂f(¯x), neste caso dizemos que a multifunção, ¯x → ∂f(¯x), que a cada ¯x ∈ Rn
associa um conjunto ∂f(¯x), possui gráfico fechado.
2. ∂∞f (¯x) é um cone fechado em Rn. Além disso, dadas de modo arbitrário as sequên-
cias xi f
→ ¯x e ξi → ξ, tal que ξi ∈ ∂∞f (xi) para todo i ∈ N, podemos concluir que
ξ ∈ ∂∞f (¯x), neste caso dizemos que a multifunção, ¯x→ ∂∞f (¯x), que a cada ¯x∈ Rn
associa um conjunto ∂∞f (¯x) possui gráfico fechado.
A notação xi f
→ ¯x significa que xi → ¯x e f(xi)→ f(¯x).
Demonstração. 1. Temos que ∂f(¯x) = {ξ ∈ Rn : (ξ,−1) ∈ N
epi(f )(¯x, f (¯x))}. Dado
2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. 58
N, ξi ∈ ∂f(¯x), então, (ξi,−1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) para todo i ∈ N. Disto segue
que, para cada i ∈ N dado, existem x(i)j , α(i)j epi(f )→ (¯x, f(¯x)) e pi j, qji
→ (ξi,−1)
quando j → ∞, de modo que p(i)j , qi (j)
∈ Nepi(f )(x(i)j , α (i)
j ) para todo j ∈ N.
Como p(i)j , qj(i) → (ξi,−1) quando j → ∞ e ξi → ξ quando i → ∞, então, pela
convergência da diagonal segue que p(i)i , qi (i)
→ (ξ, −1) quando i → ∞. Uma vez que x(i)j , α(i)j epi(f )→ (¯x, f(¯x)) então qualquer subsequência x(i)j , α(i)j
j∈N
também converge para (¯x, f(¯x)), em particular, x(i)i , α(i)i epi(f )→ (¯x, f(¯x)) quando i→ ∞. Desse modo, existem x(i)i , α(i)i epi(f )→ (¯x, f(¯x)) quando i → ∞ e
p(i)i , qi
(i)
→ (ξ, −1) quando i → ∞, de modo que (pi
i, qii) ∈ Nepi(f )
x(i)i , α(i)i para todo i ∈ N. Logo, (ξ, −1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) e consequentemente ξ ∈ ∂f(¯x).
Portanto, ∂f(¯x) ⊂ ∂f(¯x), ou seja, ∂f(¯x) é um conjunto fechado. Por hipótese xi
f
→ ¯x e ξi → ξ, com ξi ∈ ∂f(xi) para todo i∈ N. Como ξi ∈ ∂f(xi)
para todo i ∈ N, então, (ξi,−1) ∈ Nepi(f )(xi, f (xi)) para todo i ∈ N. Através da
definição de cone normal limite segue que, para cada i ∈ N dado, existem
y(i)j , α(i)j epi(f )→ (xi, f (xi)) quando j → ∞ e
p(i)j , qj(i)→ (ξi,−1) quando j → ∞,
tal que, p(i)j , q(i)j ∈ NP epi(f )
y(i)j , αj(i) para todo j ∈ N. Como (xi, f (xi)) epi(f )
→ (¯x, f (¯x)) quando i → ∞ e y(i)j , α(i)j epi(f )→ (xi, f (xi)) quando j → ∞, então, pela
convergência da diagonal temos que y(i)i , α(i)i epi(f )→ (¯x, f(¯x)) quando i → ∞ e argumentando de modo análogo temos que p(i)i , qi(i) → (ξ, −1) quando i → ∞. Portanto, (ξ, −1) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) e consequentemente, ξ∈ ∂f(¯x).
2. Dado ξ ∈ ∂∞f (¯x) de modo arbitrário, segue que (ξ, 0) ∈ N
epi(f )(¯x, f (¯x)). Como
Nepi(f )(¯x, f (¯x)) é uma cone no Rn segue que para qualquer α ≥ 0 dado, tem-se
que α(ξ, 0) = (αξ, 0) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)). Logo, (αξ) ∈ ∂∞f (¯x), ou seja, para todo
¯
ξ ∈ ∂∞f (¯x) dado, tem-se que (λ ¯ξ) ∈ ∂∞f (¯x) para todo λ≥ 0. Portanto, ∂∞f (¯x) é
um cone em Rn.
Dado ξ ∈ ∂∞f (¯x), temos que existe {ξ
i} ⊂ ∂∞f (¯x) tal que ξi → ξ. Então, (ξi, 0) ∈
Nepi(f )(¯x, f (¯x)) para todo i∈ N e pela definição de cone normal limite tem-se que,
para cada i ∈ N dado, existem x(i)j , α(i)j epi(f )→ (¯x, f(¯x)) e p(i)j , q(i)j → (ξi, 0)
quando j → ∞, de modo que p(i)j , q(i)j ∈ Nepi(f )(x(i)j , α (i)
j ) para todo j ∈ N. Como
p(i)j , qj(i) → (ξi, 0) quando j → ∞ e ξi → ξ quando i → ∞, então, pela con-
vergência da diagonal segue que p(i)i , qi(i)→ (ξ, 0) quando i → ∞. Além disso, da convergência x(i)j , α(i)j epi(f )→ (¯x, f(¯x)) quando j → ∞, tem-se que, x(i)i , α(i)i epi(f )→
2.3 Representação Analítica dos Subgradientes proximal e estrito. 59
(¯x, f (¯x)) quando i→ ∞. Portanto, existemx(i)i , α(i)i epi(f )→ (¯x, f(¯x)) quando i → ∞ e p(i)i , qi(i) → (ξ, 0) quando i → ∞, tal que p(i)i , qi(i) ∈ Nepi(f )(x(i)i , α
(i) i ) para
todo i ∈ N. Consequentemente, ξ ∈ ∂∞f (¯x). Portanto, ∂∞f (¯x)⊂ ∂∞f (¯x), ou seja,
∂∞f (¯x) é um conjunto fechado.
Por hipótese xi f
→ ¯x e ξi → ξ, com ξi ∈ ∂∞f (xi) para todo i ∈ N, ou seja,
(ξi, 0) ∈ Nepi(f )(xi, f (xi)) para todo i ∈ N. Através da definição de cone normal
limite, segue que, para cada i ∈ N dado, existem yj(i), α(i)j epi(f )→ (xi, f (xi)) e
(zj(i), w(i)j ) → (ξi, 0), quando j → ∞, de modo que
zj(i), w(i)j ∈ Nepi(f )
yj(i), α(i)j , para todo j ∈ N. Uma vez que yj(i), α(i)j epi(f )→ (xi, f (xi)) quando j → ∞ e
(xi, f (xi))→ (¯x, f(¯x)) quando i → ∞, então, pela convergência da diagonal segue
que, yi(i), α(i)i epi(f )→ (¯x, f(¯x)), quando i → ∞. Como zj(i), w(i)j → (ξi, 0) quando
j → ∞ e (ξi, 0) → (ξ, 0) quando i → ∞, novamente pela convergência da diago-
nal, segue que zi(i), wi(i)→ (ξ, 0) quando i → ∞. Portanto, existem (yi i, αii)
epi(f )
→ (¯x, f (¯x)) ez(i)i , w(i)i → (ξ, 0) quando i → ∞ tal quezi(i), wi(i)∈ Nepi(f )
yi(i), α(i)i para todo i ∈ N. Logo, (ξ, 0) ∈ Nepi(f )(¯x, f (¯x)) e consequentemente, ξ∈ ∂∞f (xi).