MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.a¸cık ders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

Problem 2’nin ¸c¨ oz¨ umleri

Problem 2.1 Derste in¸sa etti˘ gimiz B uzayının tamlı˘ gını g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um: Normlu V uzayı ile ba¸slayalım. Bu uzaydan V

ile g¨ osterece˘ gimiz ve V deki mutlak toplanabilir serilerden olu¸san yeni bir vekt¨ or uzayı elde edece˘ giz. Sonrada V

uzayında, S ile g¨ osterilen ve sıfıra yakınsayan serileri ele alaca˘ gız. Burada

(6.43) B = V

/S

b¨ ol¨ um uzayı ile ilgileniyoruz. Bu uzayın normlu bir uzay oldu˘ gunu ve (v

), V uzayında mutlak toplanabilir bir seri olmak ¨ uzere, b = (v

) + S gibi bir

¨

o˘ gesinin normunun ise;

(6.44) ||b|| = lim

||

N

X

n=1

v

||

verildi˘ gini biliyoruz. Bu tanımın, b ¨ o˘ gesini temsil eden serilerden ba˘ gımsız oldu˘ gunu, yani, S den alınıp eklenecek her ¨ o˘ ge i¸cin aynı olaca˘ gını da biliyoruz.

B uzayında mutlak toplanabilir serileri biraz daha iyi anlamak adına, b¨ oylesi bir seri, (b

) alalım. Bilinen

(6.45) X

n

||b

|| < ∞

oldu˘ gudur. Bu serinin B uzayında yakınsadı˘ gını g¨ osterelim. ˙Ilk ¨ odevimiz limitinin ne oldu˘ gunu kestirebilmektir. Her b

, V uzayında mutlak toplan- abilir olan v

serisidir. S ¸imdi bu serilerin k¨ o¸segenlerinden, yeni bir seri tanımlayalım;

(6.46) w

= X

n+k=j

v

.

Buradaki sorun tanımlanan serinin her zaman V uzayında mutlak toplan- abilir bir seri olmayabilece˘ gidir. Hesaplamak istenilen;

(6.47) X

j

||w

|| = X

j

|| X

n+k=j

v

|| < ∞

.

Bunu hesaplamanın tek yolu ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gini kullanmak ve (6.48) X

j

||w

|| = X

k,n

||v

||

h¨ ukmetmektir. Sa˘ g tarafta k ¨ uzerinden alınan toplamlar sonlu olmalarına kar¸sın bunların toplamlarının sonlu olup-olmadıklarını bilmiyoruz. S ¸imdi akla gelen ilk ¸sey ile yola ¸cıkarak, b

ni temsil eden ve mutlak toplanabilir v

serisini

(6.49) X

k

||v

|| ≤ ||b

||

+ 2

sa˘ glayacak bi¸cimde se¸celim. ¨ Once b

temsil eden mutlak toplanabilir bir seri olarak u

se¸celim- yani-

b

= lim

||

N

X

k=1

u

|| ve X

k

||u

|| < ∞ sa˘ glansın. M sayısını yeterince b¨ uy¨ uk se¸cerek,

(6.50) X

k>M

||u

||

≤ 2

kabul edebiliriz. M ’in bu se¸cimi ile v

= P

k=1

u

ve v

= u

, ∀k ≥ 2 alalım. Bu seri hala (b

) i¸cin bir temsildir, ¸c¨ unk¨ u a¸sa˘ gıdaki toplamların farkı, her N i¸cin;

(6.51)

N

X

k=1

v

−

N

X

k=1

u

=

N +M −1

X

k=1

u

olur. Sa˘ g taraftaki limit, sadece sonlu terim i¸cerdi˘ ginden, sıfıra yakınsar.(6.50) den ¨ ot¨ ur¨ u,

(6.52)

N

X

k

||v

||

=

M

X

k=1

||u

||

+ X

k>M

||u

|| ≤ ||

N

X

j=1

u

|| + 2 X

k>M

||u

||

≤ ||

N

X u

|| + 2

N sonsuza giderken alınan limit (6.49) verir.

Her b

i¸cin yukarıdaki ¨ ozellikleri sa˘ glayan temsilciler se¸cilip w

ler (6.46) sa˘ glayacak bi¸cimde se¸cildiklerinde,(6.47) bize, b

mutlak toplanabilir oldu˘ gundan,

(6.53) X

j

||w

||

≤ X

n

||b

||

+ X

n

2

< ∞ verir. Dolayısı ile (w

) ∈ V

verirki, bu da b ∈ B demektir.

Son olarak P

n

b

= b g¨ ostermek istiyoruz. Bu ise (6.54) lim

||b −

N

X

n=1

b

|| = 0

g¨ ostermemizi gerektirir. Hatırlamamız gereken buradaki normun kendisin de bir limit oldu˘ gudur-b − P

n=1

b

ifadesi n-inci terimi (6.55) w

−

N

X

n=1

v

olan toplanabilir seridir. Normu da

(6.56) lim

||

p

X

k=1

(w

−

(n)

X

n=1

v

)||

ile verilir. Burada anlamamız gereken N → ∞ iken ne oldu˘ gudur! Tanımdan,w

,lar v

lerin k¨ o¸segensel toplamı oldu˘ gundan, k ¨ uzerinden toplamları k¨ o¸segensel ol- mayan v

lerin ilk p-terimin toplamı ile uzunlukları N(n) t¨ ur¨ unden, y¨ uksekli˘ gi p olan dikd¨ ortgen ¨ uzerinden alınan toplamın farkı kadardır. Dolayısı ile ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ ginden farkın normunu, normların ’ kullanılmayan terimler ¨ uzerinden ’

¨

uzerinden alınan toplamlar ile hesaplıyabiliriz. Buradan L = min(p, N ) olmak

¨ uzere

(6.57)||

p

X

k=1

(w

−

N

X

n=1

v

||

≤ X

l+m≥L

||v

||

buluruz. Bu toplam sonludur. p → ∞ iken bunu l + m ≥ N olan toplamla

de˘ gi¸stirebiliriz. S ¸imdi, N → ∞ iken, (¸cifte serinin) mutlak toplanabilirli˘ ginden

sıfıra yakınsar. Dolayısı ile;

(6.58) lim

||b −

N

X

n=1

b

||

= 0 ederiz ve bu tam da istedi˘ gimiz, P

n

b

= b dir.

Problem 2.2 S ¸imdi basamak fonksiyonlarının mutlak toplanabilir bir seri

¨

orne˘ gini d¨ u¸s¨ unelim. Sa˘ gdan kapalı, soldan a¸cık [0, 1) aralı˘ gını ele alalım.

Alı¸sılagelmi¸s Cantor k¨ umesi in¸sasının biraz de˘ gi¸sik hali olan a¸sa˘ gıdaki in¸sa’yı d¨ u¸s¨ unelim. Ortadaki merkezi aralık [1/3, 2/3) ¸cıkarıp, geriye kalan C

= [0, 1/3) ∪ [2/3, 1) k¨ umesinden yine merkezi aralıkları ¸cıkartarak geriye kalan C

= [0, 1/9) ∪ [2/9, 1/3) ∪ [2/3, 7/9) ∪ [8/9, 1) k¨ umesini ve bu ¸sekilde de- vam ederek her biri yarı-a¸cık, yarı-kapalı aralıkların sonlu birle¸simleri olan C

⊂ C

k¨ umelerini d¨ u¸s¨ unelim. S ¸imdi herbiri C

k¨ umelerinin karakteristik fonksiyonu olan f

fonksiyonlarından olu¸san seriyi ele alalım.

(1) Bu seri mutlak toplanabilir bir seridir.

(2) [0, 1) deki hangi x ¨ o˘ geleri i¸cin P

k

|f

(x)| serisi yakınsar.

(3) Yukarıdaki seri ile tanımlanan [0, 1) ¨ uzerinde tanımlı hangi fonksiyon Lebesgue integrallenebilirdir? ˙Integralini hesaplayınız?

(4) Bu fonksiyon Riemann integrallenebilir midir?

(5) Yukarıdaki in¸sa sırasında atılan aralıkların birle¸simlerinde bir, dı¸sında sıfır olan fonksiyon g olsun.g fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu ve integralini hesaplayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um: (1) Her seferinde aralıkların toplam boyu 1/3 oranında azalmak- tadır. Bu nedenle l(C

) = 2

/3

dır. Buradan, f fonksiyonunun negatif ol- mayan integrali

(6.59) Z

f

= 2

/3

⇒ X

k

Z

|f

| = X

2

/3

= 2 bulunur ve seri mutlak toplanabilirdir.

(2) C

azalan bir k¨ umeler dizisi oldu˘ gundan, sadece (6.60) x ∈ E = \

k

C

i¸cin P

k

|f

(x)| serisi ıraksak, di˘ ger durumlar i¸cin yakınsaktır.

(3) Serinin yakınsadı˘ gı yerlerde, serinin toplamı, di˘ ger durumlarda 0 olarak

tanımlanan

(6.61) f (x) =

 P

k

f

(x), x ∈ R \ E 0, x ∈ E

tanımlanan fonksiyon, tanımdan,integrallenebilirdir. Integrali ise, yine tanımdan, (6.62)

Z

f = X

k

Z

f

= 2

(4) f fonksiyonu sınırlı olmadı˘ gından, tanım gere˘ gi, Riemann integrallenebilir de˘ gildir. ¨ Ozellikle, bo¸s olmayan C

− C

k¨ umesindeki bir x i¸cin f (x) = k dır.

(5) F ile g¨ osterilen ve ¸cıkarılan k¨ umelerin birle¸simi olan k¨ ume [0, 1) − E dir.

C ¸ ıkarılan k¨ umelerin herbirinde 1 olan basamak fonksiyonları mutlak toplan- abilir bir seri verir. Bu fonksiyonlar negatif de˘ gildirler ve k = 1, 2, ... i¸cin k-inci aralıktaki integrali 1/3 × (2/3)

dir. Bu seri, F k¨ umesi ¨ uzerinde g fonksiyonuna yakınsar. Dolayısıyla g Lebesgue integrallenebilirdir ve integrali

(6.63) Z

g = 1 dir.

Problem 2.3 R

i¸cin ¨ ortme lemması. Bir d¨ ortgen ile kast edilen k¨ ume R

de [a

, b

) × [a

, b

) bi¸ciminde olan bir k¨ umedir.

B¨ oylesi bir d¨ ortgenin alanı (b

− a

) × (b

− a

) olarak tanımlıdır.

(1)Bir d¨ ortgeni tanımlayan aralıkları aralıklara b¨ olerek d¨ ortgeni de altd¨ ortgenlere b¨ olm¨ u¸s oluruz. B¨ oylesi bir b¨ ol¨ umme ile elde edilen d¨ ortgenlerin alanlarının toplamının ilk d¨ ortgenin alanına e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) yarı-a¸cık-kapalı anlamında sonlu tane ke¸si¸smeyen d¨ ortgenin birle¸simi de

bir d¨ ortgen ise alanların toplamının, birle¸simin alanına e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.(ipu¸cu:

altaralıklara b¨ olerek ilerleyiniz).

(3) Bir d¨ ortgen i¸cinde olan, sayılabilir ¸coklukta, ke¸si¸smeyen d¨ ortgenlerin alanlarının toplamının b¨ uy¨ uk d¨ ortgenin alanından k¨ u¸c¨ uk veya e¸sit oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4) Sonlu sayıda d¨ ortgenin birle¸simi verilen bir d¨ ortgeni i¸ceriyorsa, d¨ ortgenlerin alanlarının toplamının en az birle¸simlerini i¸ceren d¨ ortgenin alanı kadar oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) Bir ¨ onceki alı¸stırmayı sayılabilir ¸cokluktaki d¨ ortgenlere geni¸sletiniz.

C ¸ ¨ oz¨ um: (1) Bir d¨ ortgen i¸cin bu olduk¸ca a¸cıktır. C ¸ ¨ unk¨ u sadece bir i¸c nokta

c i¸cin ya ilk aralı˘ gı ya da ikincisini iki altaralı˘ ga b¨ olebiliriz. B¨ ol¨ und¨ ukten sonra

iki d¨ ortgenin alanları ya

(6.64)(c − a

)(b

− a

) + (b

− c)(b

− a

) = (b

− c)(b

− a

) veya

(b

− a

)(c − a

) + (b

− a

)(b

− c) = (b

− c)(b

− a

)

olacaktır. Buradan, t¨ umevarımla, b¨ ol¨ unm¨ u¸s d¨ ortgenlerin alanlarının toplamının ilk d¨ ortgenin alanına e¸sit oldu˘ guna h¨ ukmederiz.

(2) E˘ ger sonlu tane ke¸si¸smeyen d¨ ortgenin birle¸simi yine,[a

, b

) × [a

, b

)

¸seklinde bir d¨ ortgen ise, bu d¨ ortgenlerin herhangi birinin b¨ ol¨ unmesi ile elde edilen d¨ ortgenlerin birle¸simi i¸cin de aynı ¸sey do˘ grudur. ¨ Ustelik, b¨ oylesi bir b¨ ol¨ umme ile elde edilen d¨ ortgenlerin alanlarının toplamı da aynı kalır. S ¸imdi, C

⊆ [a

, b

) k¨ umesi b¨ oylesi d¨ ortgenlerin ilk aralıklarının son noktalarından olu¸san k¨ ume olsun. Benzer bi¸cimde, C

k¨ umesi de d¨ ortgenlerin ikinci aralıkta olan son noktalarından olu¸san k¨ ume olsun. D¨ ortgenlerin her birini C

, C

k¨ umelerinin son noktalarını kullanarak sonlu kez b¨ olelim. B¨ oylece elde edilen d¨ ortgenlerin toplam alanları de˘ gi¸smeyecektir.[a

, b

) × [a

, b

) d¨ ortgenini ¨ orten d¨ ortgenler A

, [a

, b

) aralı˘ gını ¨ orten ve ke¸si¸smeyen d¨ ortgenlerden,B

,[a

, b

) d¨ ortgenini ¨ orten ve ke¸si¸smeyen d¨ ortgenlerden olmak ¨ uzere, A

×B

bi¸cimindedirler.

Sınıfta yapılan bir boyutlu ¨ orne˘ ge benzer bi¸cimde ilk aralı˘ gı A

den olmak ¨ uzere b¨ oylesi aralıkların alanlarının toplamı a¸sa˘ gıdaki ¸carpımdır:

(6.65) A

boyu × (b

− a

)

bi¸cimindedir. S ¸imdi i ¨ ust¨ unden toplam alır ve aynı neticeyi bir kez daha kullanarak aradı˘ gımız sonu¸ca varabiliriz.

(3)[a

, b

) × [a

, b

) d¨ ortgeninde bulunan sonlu tane ke¸si¸smeyen d¨ ortgen aile- sine aynı b¨ olme i¸slemini yapabilir ve bu aileye ke¸si¸smeyen yeni d¨ ortgen ailesi ekleyerek b¨ uy¨ uk d¨ ortgeni ¨ orten bir aile bulabiliriz.Burada daha ¨ onceki sonu¸cumuzu kullanarak d¨ ortgenlerin alanlarının toplamının (b

− a

)(b

− a

) ¸carpımından k¨ u¸c¨ uk veya e¸sit oldu˘ guna h¨ ukmedebiliriz. Buradan da sayılabilir ve ke¸si¸smeyen d¨ ortgenler ailesinin alanları toplamının yukarıdaki sabitten k¨ u¸c¨ uk veya e¸sit oldu˘ guna h¨ ukmedebiliriz.

(4) D

, i = 1, ..., N d¨ ortgenlerinin birle¸simi D d¨ ortgenini i¸cersin. D

d¨ ortgenini

D d¨ ortgeninin son noktalarını kullanarak alt d¨ ortgenlere b¨ olelim. B¨ oylece elde

edilen d¨ ortgenler ya tamamen D i¸cindedirler veya onu kesmezler.D

d¨ ortgenini

(ger¸cekte biricik olan)tamamen D i¸cinde kalan d¨ ortgenle de˘ gi¸stirelim. S ¸imdi

t¨ umevarım’a ba¸svurarak ilk N − k d¨ ortgenin ke¸si¸smedi˘ gini,ve t¨ um¨ un¨ un D

i¸cinde kaldı˘ gını ve birle¸simlerinin D d¨ ortgenini ¨ ortt¨ u˘ g¨ un¨ u varsayabiliriz. S ¸imdi, bir sonraki d¨ ortgene, D

d¨ ortgenine bakalım. Bu d¨ ortgeni daha ¨ onceki D

, ..., D

, D d¨ ortgenlerini belirleyen aralıkların son noktalarını kullanarak alt d¨ ortgenlere b¨ olelim. D

d¨ ortgeninin b¨ ol¨ ummesinden sonra elde edilen d¨ ortgenler ya tamamen bir D

, j ≤ 1, ..., N − k i¸cinde kalırlar ya da D i¸cinde

de˘ gildirler. Bunları atarak k sayısını bir azaltırız. Ba¸ska bir deyi¸sle, t¨ umevarımla,d¨ ortgenleri b¨ olerek ve gerekmeyenleri atarak, birbirlerini kesmeyen,D i¸cinde kalan ve birle¸simleri

D d¨ ortgenini ¨ orten bir aile elde ederiz.Bu yeni d¨ ortgenler ailesinin alanları toplamı, bir ¨ onceki g¨ ozlemden, tamtamına D’ nin alanına e¸sittir. Dolayısı ile alanlar toplamı ba¸slangı¸cta, en az, bu kadardır.

(5) D = [a

, b

)×[a

, b

) d¨ ortgenini ¨ orten, sayılabilir d¨ ortgenler, ailesi i¸cin bir boyuttaki gibi hareket ederiz. ˙Ilk olarak kenarların boylarını ¨ usten sınırlayan bir C sabiti oldu˘ gunu kabul edebiliriz. Sonra k-in¸ci d¨ ortgeni biraz daha b¨ uy¨ uk olacak ¸sekilde, her iki ¨ ust limiti de, δ > 0 olmak ¨ uzere, 2

δ kadar b¨ uy¨ ut¨ ur¨ uz.

S ¸imdi alan artmı¸stır ama bu artı¸s 2C2

dan b¨ uy¨ uk de˘ gildir. S ¸imdi de ¨ orten sayılabilir k¨ umeyi her biri kompakt bir k¨ ume olan [a

, b

− δ] × [a

, b

− δ] ile b¨ uy¨ utelim. Kompaktlık gere˘ gi ¨ orten a¸cık k¨ umelerin sonlu tanesi de yine a¸cık bir ¨ ort¨ u ola¸caktır. S ¸imdi aynı teoremin yarı-a¸cık bi¸cimini kullanarak, aynı son noktaları kullanan ve [a

, b

− δ) × [a

, b

− δ) i¸cin bir ¨ ort¨ u bulabiliriz. Daha

¨

once elde edilen sonlu haldeki sonu¸cu kullanarak,

(6.66) alanlar toplamı + 2Cδ ≥ alanD − 2Cδ bulunur.δ keyfi oldu˘ gundan, sonu¸ca ula¸sılmı¸stır.

Sizleri basamak fonksiyonlarının integrallerini alma konusundaki detayları

¨

o˘ grenmeye te¸svik etmek isterim.S ¸imdi aralıklar yerine d¨ ortgenleri kullanarak, yaptı˘ gımız her ¸seyin iki boyuta da yapılabilece˘ gini g¨ ormenizi istiyorum. ˙I¸sin ger¸ce˘ gine bakarsanız her ¸sey R

de de ¸calı¸sır.

Problem 2.4 (1) [0, 1] ¨ uzerindeki her s¨ urekli fonksiyon bir basamak fonksiy- onları dizisinin d¨ uzg¨ un limitidir.(˙Ipu¸cu: ¨ On¸ce ger¸cel durumu d¨ u¸s¨ un¨ un. Aralı˘ gı 2

e¸sit par¸caya b¨ ol¨ un ve basamak fonksiyonlarını o altaralık ¨ uzerinde s¨ urekli fonksiyonun infimumu olarak tanımlayın. Sonrada d¨ uzg¨ un yakınsaklık kul- lanın.

(2) Calculus’te ¨ o˘ grendi˘ giniz ’teleskop eden seri’ hilesini kullanarak [0, 1)

¨

uzerindeki her s¨ urekli fonksiyonun f

fonksiyonları basamak fonksiyonları ve

∀x ∈ [0, 1), P

j

|f

(x)| < ∞ olmak ¨ uzere (6.67) X

i

f

(x), ∀x ∈ [0, 1)

yazılabilece˘ gini kanıtlayınız.

(3) Buradan [0, 1] ¨ uzerindeki her s¨ urekli fonksiyonun bu aralı˘ gın dı¸sına o ola¸cak bi¸cimde geni¸sletildi˘ ginde, Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyon oldu˘ gunu kanıtlayınız.

C ¸ ¨ oz¨ um: S¨ urekli bir fonksiyonun ger¸cel ve sanal kısımları da s¨ urekli oldu˘ gundan

¨

once ger¸cel de˘ gerli s¨ urekli fonksiyonlar i¸cin kanıt yapar sonra da toplama ya- parız. S¨ urekli fonksiyonların kompakt k¨ umeler ¨ uzerindeki d¨ uzg¨ un s¨ urekliliklerinden, ki burada k¨ ume [0, 1] k¨ umesidir. verilen n sayısı i¸cin ¨ oyle bir N buluruzki

|x − y| ≤ 2

i¸cin |f (x) − f (y)| ≤ 2

olur. S ¸imdi N ,n ba˘ glı olmak ¨ uzere verilen aralı˘ gı 2

e¸sit par¸caya b¨ olerek her altaralı˘ gın kapanı¸sında basamak fonksiyonu f

, minf = inf f olacak bi¸cimde tanımlanırsa,

(6.68) |f (x) − F

(x)| ≤ 2

, ∀x ∈ [0, 1)

ve (6.68) deki e¸sitsizlik aralıkların son noktalarında da ge¸cerli olur. Dolayısı ile [0, 1) k¨ umesi ¨ uzerinde d¨ uzg¨ un olarak F

→ f yakınsaması vardır.

(2) f

= F

, ve k > 1 i¸cin f

= F

− F

tanımlanırsa, bunlar basamak fonksiyonları olacaklar ve

(6.69)

n

X

k=1

F

= f

sa˘ glanır ve F

tanımındaki aralık F

i¸cin de bir altaralık olacaktır.F

tanımındaki her altaralıkta f ’in de˘ geri 2

den fazla de˘ gi¸semiye¸ce˘ gi i¸cin ,

(6.70) |f

(x)| = |F

(x) − F

(x)| ≤ 2

, ∀n > 1

bulunur ve buradan da R |f

| ≤ 2

elde ederiz. Bu serinin mutlak toplan- abilir oldu˘ gunu verir. Esasında seri [0, 1) aralı˘ gının her noktasında yakınsaktır ve (6.68) gere˘ gince f fonksiyonuna d¨ uzg¨ un yakınsar.

(3) Bu nedenle f Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyondur.

(4) Sa˘ g taraftaki integral Riemann integrali olmak ¨ uzere (6.71)

Z f =

Z

f (x)dx e¸sitli˘ gini sormamı¸sım. Fakat, bu a¸sa˘ gıdaki

(6.72) Z

f = lim

Z

F

e¸sitli˘ giden ve basamak fonksiyonlarının [0, 1] ¨ uzerindeki integralleri de˘ gerlerinin

o altaralıktaki ¨ ust Riemann toplamları ve alt Riemann toplamları arasında

kalmasından elde edilir.