18.102

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 14. FOUR˙IER SER˙ILER˙I VE L ² (0, 2π)

Soyut Hilbert uzayları hakkında ¨ o˘ grendiklerimizi, somuta indirgeyerek ger¸cel sayıların sonlu bir (a, b) aralı˘ gındaki L ² (a, b) Hilbert uzayında kullanaca˘ gız.

Bu uzayın Hilbert uzayı oldu˘ gunu siz g¨ osterdiniz. Hilbert uzayı tekniklerini geli¸stirmemizin ana nedeni a¸sa˘ gıdaki teoremdir.

Teorem 12 E˘ ger u ∈ L ² (0, 2π) ise u’nun Fourier serisi (14.1) 1

2π

X

k∈Z

c _k e ^ikx , c _k =

Z

(0,2π)

u(x)e ^−ikx dx L ² (0, 2π) uzayında u fonksiyonuna yakınsar.

Dikkat ederseniz serinin noktasal veya hemen her yerde noktasal yakınsadı˘ gı s¨ oylenmemektedir ¸c¨ unk¨ u bu u fonksiyonuna ba˘ glı olarak do˘ gru da olmayabilir.

˙Ileri s¨ur¨ulen sav sadece u ∈ L ² (0, 2π) i¸cin (14.2) lim _n→n

Z

|u(x) − 1 2π

X

|k|≤n

c _k e ^ikx | ² = 0

dir. S ¸imdi soyut Hilbert uzaylarından ¨ o˘ grendiklerimizin bunu kanıtlamada ne denli yararlı oldu˘ guna bakalım. ¨ Once e ⁰ _k (x) = exp(ikx) fonksiyonlarının L ² (0, 2π) uzayında ve her u ∈ L ² (0, 2π) i¸cin

(14.3)

Z

e _k ⁰ e ⁰ _j =

Z 2π 0

exp(i(k − j)x) = 2πχ _j B¨ oylece e _k fonksiyonları

(14.4) e _k = e ⁰ _k

||e ⁰ _k || = 1

√ 2π e ^ikx

L ² (0, 2π) uzayında ortonormal bir k¨ ume olu¸stururlar. Buradan (14.1) deki ifadenin u fonksiyonunun bu ortonormal k¨ umeye g¨ ore Fourier-Bessel serisi oldu˘ gunu elde ederiz.

(14.4) c _k = √

2π < u, e _k >⇒ 1

√ 2π c _k e ^ikx =< u, e _k > e _k

Bu serinin L ² (0, 2π) uzayında yakınsadı˘ gını, Bessel ¨ ozde¸sli˘ ginden, zaten

bildi˘ gimizden, yapmamız gereken sadece a¸sa˘ gıdakidir:

Onerme 21 k ∈ Z olmak ¨uzere e ¨ k fonksiyonları L ² (0, 2π) uzayında ortonor- mal bir bazdır. Ba¸ska bir deyi¸sle, L ² (0, 2π) uzayında tamdırlar:

(14.6)

Z

ue ^ikx = 0, ∀k ⇒ u = 0

Ancak bunun kanıtlanması o kadar kolay de˘ gildir. Denk bir ifade e _k fonksiyon- larının sonlu do˘ grusal bile¸senlerinin gerdi˘ gi uzayın L ² (0, 2π) uzayında yo˘ gun oldu˘ gudur. Bu ifadeyi Fejer’in y¨ ontemi ile kanıtlıyaca˘ gız. Bu yakla¸sımda [0, 2π] aralı˘ gındaki u(0) = u(2π) ko¸sulunu sa˘ glayan herhangi s¨ urekli bir fonksiy- onun e k fonksiyonlarının sonlu do˘ grusal birle¸simlerinin d¨ uzg¨ un limiti oldu˘ gu g¨ osterilir. S¨ urekli fonksiyonların d¨ uzg¨ un yakınsamaları L ² (0, 2π) uzayında yakınsama gerektirdi˘ ginden ve 0 ile 2π yakınında sıfır olan fonksiyonlar L ² (0, 2π) i¸cinde yo˘ gun olduklarından( bunu daha sonra hatırlataca˘ gız) bu ¨ Onerme 21 in kanıtı i¸cin yeterli olacaktır. Ancak bu ciddi bir analiz gerektirecektir!

Problem e _k ların gerdi˘ gi uzayda bir dizi bulmaktır. Buradaki marifet ise ku¸skusuz Fourier a¸cılımını kullanmaktır. Cesaro’nun fikri Fourier a¸cılımını

’daha hızlı’ yakınsatmaktı. S ¸imdilik u ∈ L ² (0, 2π) gibi herhangi bir fonksiyonla ba¸slayalım- isterseniz bunu s¨ urekli bir fonksiyon de alabilirsiniz. Dolayısı ile budanmı¸s Fourier serisi a¸sa˘ gıdakidir.

(14.7) U n (x) = 1 2π

X

|k|≤n

(

Z

0,2π)

u(t)e ^−ikt dt)e ^ikx

burada sadece c k sayılarının de˘ gerlerini toplamda yerine koyduk. Bu sonlu bir toplam oldu˘ gundan x parametre olarak d¨ u¸s¨ un¨ ulebilir, ve integralin do˘ grusallı˘ gı kullanılarak

(14.8) U _n (x) =

Z

(0,2π)

D _n (x − t)u(t) , D _n (s) = 1 2π

X

|k|≤n

e ^ikx

Toplam belli bir b¨ ol¨ um gibi yazılabilir, birbirini g¨ ot¨ uren terimlerden dolayı, (14.9) (2π)D _n (s)(e ^is/2 − e ^is/2 ) = e ^i(n+1/2)s − e ^−i(n+1/2)s

Dolayısı ile en azından s 6= 0 oldu˘ gu yerlerde ,

(14.10) D _n (s) = e ^i(n+1/2)s − e ^−i(n+1/2)s 2π(e ^is/2 − e ^−is/2 )

ku¸skusuz, burada s → 0 iken limit vardır. Cesaro’nun burada yakınsamayı

hızlandırmak i¸cin yaptı˘ gı ¸sey U _n leri a¸sa˘ gıdaki ortalamalar ile de˘ gi¸stirmesi idi.

(14.11) V _n (x) = 1 n + 1

n

X

i=0

U _i

Tekrar U i lerin tanımını yazar ve integralin do˘ grusallı˘ gını kullanırsak (14.12) V _n (x) =

Z

(0,2π)

S _n (x − t)u(t), S _n (s) = 1 n + 1

n

X

i=0

D _i (s)

Burada da S n (s) lerin daha uygun bir bi¸cimini hesaplamak istiyoruz- ki bu Fejer ¸cekirde˘ gi- olarak bilinir. (14.10) da paydalar aynı oldu˘ gundan,

(14.13) 2π(n + 1)(e ^is/2 − e ^−is/2 )S _n (s) =

n

X

i=0

e ^i(n+1/2)s −

n

X

i=0

e ^−i(n+1/2)s Aynı y¨ ontemle:

(14.14) (e ^is/2 − e ^−is/2 )

n

X

i=0

e ^i(n+1/2)s = e ^i(n+1)s − 1 Buradan;

(14.15) 2π(n + 1)(e ^is/2 − e ^−is/2 ) ² S n (s) = e ^i(n+1)s + e ^−i(n+1)s − 2 Buradan da

S _n (s) = 1 (n + 1)

sin ² ( ⁽ⁿ⁺¹⁾ ₂ s) 2πsin ² (s/2) elde ederiz.

S ¸imdi bu fonksiyon hakkında neler s¨ oylenebilir? ˙Ilk s¨oylenebilecek, e˘ger u = 1 alırsak n ≥ 0 i¸cin U _n = 1 ve dolayısı ile V _n = 1 da oldu˘ gudur. B¨ oylece;

(14.16)

Z

(0,2π)

S _n (x − .) = 1

buluruz. (14.15) de do˘ grudan g¨ or¨ unen S n (s) ≥ 0 oldu˘ gudur. Paydanın ise [0, 2π] aralı˘ gında sadece s = 0 ve s = 2π sayılarında sıfır oldu˘ gudur. Bu sayılardan uzakla¸smak adına s sayılarını bir δ > 0 i¸cin (δ, 2π − δ) aralı˘ gından se¸celim- ¸simdi sin fonksiyonu sınırlı oldu˘ gundan, bu aralıkta

(14.17) |S _n (s)| ≤ (n + 1) ⁻¹ C _s

sa˘ glanır. S ¸imdi sup normunda V _n (x) fonksiyonlarının verilen u(x) fonksiy- onuna ne kadar yakla¸stı˘ gına bakalım. Burada u fonksiyonunu s¨ urekli alıyoruz.

(14.16) dan ¨ ot¨ ur¨ u, t integral de˘ gi¸skeni (ve x ∈ [0, 2π] sabit kalmak ¨ uzere) (14.18) u(x) =

Z

(o,2π)

S _n (x − t)u(x) yazabiliriz. Buradaki marifet

(14.19) V _n (x) − u(x) =

Z

(o,2π)

S _n (x − t)(u(t) − u(x))

farkını yazabilmektir. S ¸imdi her x i¸cin integrali iki kısma ayıraca˘ gız, Γ(x) k¨ umesi ki burada x − t ∈ [0, δ] veya x − t ∈ [2π − δ, 2π] ve geriye kalanlar olmak

¨

uzere. Dolayısı ile;

(14.20)|V n (x)−u(x)| ≤

Z

Γ(x)

S n (x−t)|u(t)−u(x)|+

Z

(0,2π)\Γ(x)

S n (x−t)|u(t)−u(x)|

S ¸imdi Γ(x) ¨ uzerinde ya |t − x| ≤ δ- noktalar birbirlerine bu denli yakındırlar- veya -t sıfır noktasına, x ise 2π noktasına yakın olduklarından 2π − x + t ≤ δ veya tersine , x sıfıra; t ; 2π noktasına yakın olduklarından 2π − t + x ≤ δ sa˘ glanır. Her durumda, u(0) = u(2π) varsayıp, s¨ urekli fonksiyonun [0, 2π]

¨

uzerindeki d¨ uzg¨ un s¨ ureklili˘ ginden, verilen  > 0 i¸cin δ > 0 yeterince k¨ u¸c¨ uk se¸cilerek, Γ(x) ¨ uzerinde

(14.21) |u(x) − u(t)| ≤ /2

yapılabilir. Γ(x)’nın t¨ umleyeninde, hem (14.17) sa˘ glanıp , hem de u sınırlı oldu˘ gundan,

(14.22)|V n (x)−u(x)| ≤ /2

Z

Γ(x)

S n (x−t)+(n+1) ⁻¹ C ⁰ (δ) ≤ /2+(n+1) ⁻¹ C ⁰ (δ) elde edilir. Burada 0 ≤ S _n yanısıra, integralinin de bir oldu˘ gu, S _n (x − t) nin Γ(x) ¨ uzerindeki integralini hesaplarken kullanıldı. δ, toplamdaki ilk terimi k¨ u¸c¨ uk yapacak ¸sekilde se¸cilirse, u fonksiyonunun sınırlılı˘ gından, n yeterince b¨ uy¨ uk se¸cilerek, toplamdaki ikinci terim de k¨ u¸c¨ uk yapılabilir ve buradan n →

∞ iken [0, 2π] ¨ uzerinde

(14.23) V _n (x) → u(x)

u ∈ C[0, 2π] ve u(0) = u(2π) varsayımları ile, d¨ uzg¨ un yakınsaması elde edilir.

Dolayısı ile uc noktalarda sıfır olan s¨ urekli fonksiyonların L ² (0, 2π) uzayında yo˘ gun oldukları varsayımı ile ¨ Onerme 21 kanıtı verilmi¸s oldu. Ger¸cekten uc nokta yakınlarında sıfır olan L ² (0, 2π) fonksiyonları yo˘ gundurlar. C ¸ ¨ unk¨ u bun- ları gere˘ gi gibi budayıp

(14.24) lim δ→0

Z

(0,δ)

|f | ² +

Z

(2π−δ,2π)

|f | ² )

!

= 0

Son noktalarda sıfır olan L ² fonksiyonları , yine son noktalarda sıfır olan

basamak fonksiyonlarının gerdi˘ gi uzayın kapanı¸sı i¸cinde olduklarını elde ed-

eriz. B¨ oylesi her basamak fonksiyonuna yine son noktalarda sıfır olan s¨ urekli

bir fonksiyon ile yakla¸sabilece˘ gimizden, yakınsama ile sorunumuz yoktur. Bu

Teorem 12 nin kanıtını tamamlar.

PROBLEMLER 7 Problem 7.1 Fourier tabanı exp(ikx)/ √

2π nın tam oldu˘ gu hesap ile g¨ osterilebilir mi? Belki. A¸sa˘ gıdaki sorular sizi y¨ onlendirmek i¸cindir. Sabit bir t ∈ (0, 2π) de˘ geri i¸cin

(1)

(14.25) 0 ≤ x < t i¸cin f _t (x) = 1, ve t ≤ x ≤ 2π i¸cin f _t (x) = 0 basamak fonksiyonlarının c k (t) = ^R _(0,2π) f t e ^−ikx Fourier katsayılarını bulunuz.

(2) Fourier serisinin L ² (0, 2π) uzayında f _t fonksiyonuna yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun

(14.26) 2 ^X

k>0

|c _k (t)| ² = 2πt − t ² , t ∈ (0, 2π) oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) Bu ko¸sulu Fourier serisi t¨ ur¨ unden yazınız ve Fourier serisinin tamlı˘ gının terimleri k ⁻² ve k ⁻⁴ lerden olu¸san toplamlar t¨ ur¨ unden ifade edilebilece˘ gini g¨ osteriniz.

(4) Ters y¨ onde giderek, yukarıdaki iki serinin toplamlarını kullanarak, Fourier bazının tamlı˘ gını nasıl elde edebilece˘ gimizi a¸cıklıyabilir misiniz? Burada ger¸cekten

¸cok ince bir nokta var, bakalım bu ince hususu g¨ orebilecek misiniz?

Problem 7.2 Se¸cilecek uygun d _k sabitleri i¸cin d _k sin(kx/2), k ∈ N fonksiyon- larının L ² (0, 2π) uzayında ortonormal taban oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(˙Ipucu :) Yapılacak i¸s d ⁰ _k exp(ikx/2), k ∈ Z fonksiyonlarının L ² (−2π, 2π) uzayında ortonormal taban olduklarını g¨ ostermek ve sonra bu fonksiyonları tek fonksiyon olarak (0, 2π) aralı˘ gından (−2π, 2π) aralı˘ gına geni¸sletmektir.

Problem 7.3 (e k ) dizisi ayrılabilir H Hilbert uzayında ortonormal bir taban olsun. S : H → H ve

(14.27) Se j = e j+1 , ∀j ∈ N

sa˘ glayan tek bir sınırlı do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um oldu˘ gunu g¨ osteriniz. E˘ ger B : H → H sınırlı ve do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ um ise S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un bir  0 i¸cin ’nun,

 <  ₀ de˘ geri i¸cin tersinir olmadı˘ gını g¨ osteriniz.

(˙Ip ucu :)Lu = (Bu, e ₁ ) ile tanımlanan do˘ grusal fonksiyonel L : H → C

d¨ u¸s¨ unelim. B ⁰ u = Bu − (Lu)e 1 : H → H 1 = {u ∈ H : (u, e 1 ) = 0} do˘ grusal bir

d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. Kimi k¨ u¸c¨ uk ’lar i¸cin S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un tersinir oldu˘ gunu

g¨ osteriniz. Bunu kullanarak S + B d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un H uzayından kendisine

bir izomorfizma olamıyaca˘ gını g¨ osteriniz. Bunu yaparken ya e ₁ vekt¨ or¨ un¨ un iz uzayında olmadı˘ gını veya ¸cekirdek uzayında sıfırdan farklı bir vekt¨ or oldu˘ gunu g¨ osterebilirsiniz.

Problem 7.4 Bir Hilbert uzayında sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin ¸carpımların noktasal

yakınsama topolojisinde s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osteriniz. Ba¸ska bir deyi¸sle e˘ ger, A _n

ve B n noktasal olarak A ve B d¨ on¨ u¸s¨ umlerine yakınsıyorlarsa , yani A n x → Ax

,B _n x → Bx ise A _n B _n d¨ on¨ u¸s¨ umleri AB d¨ on¨ u¸s¨ um¨ une noktasal yakınsar.

PROBLEMLER 6’NIN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLER ˙I

˙Ip ucu: ¨ Onerece˘ gim yardımcı g¨ or¨ usler yararlı olmayabilir, o a¸cıdan bu g¨ or¨ u¸slere fazla odaklanmamalıdır.

Problem 6.1 H ayrılabilir bir Hilbert uzayı olsun. Bir K ⊂ H k¨ umesinin kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul sınırlı, kapalı ve K da zayıf yakınsayan her dizinin yakınsak (kuvvetli) olması oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu: Bir y¨on i¸cin sınırlı her dizinin zayıf yakınsayan bir altdizisinin oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 6.2 Ayrılabilir bir Hilbert uzayında zayıf yakınsayan bir (v _n ) dizisinin (kuvvetli) yakınsak olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun zayıf limit v’nin

(14.28) kvk _H = lim

n→∞ kv _n k _H ko¸sulunu sa˘ glaması oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

˙Ip ucu: A¸sa˘gıdaki e¸sitli˘gi g¨ostermek yeterlidir.

(14.29) (v _n − v, v _n − v) = kv _n k ² − 2Re(v _n , v) + kvk ² .

Problem 6.3 Bir Hilbert uzayı H nın altk¨ umesinin kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun kapalı, sınırlı ve ’sonlu boyutlu yakla¸sım’ ¨ ozelli˘ ginin olması, yani, her  > i¸cin

(14.30) d(K, D _N ) = sup

u∈K v∈D inf

{d(u, v)} ≤ 

olacak bi¸cimde sonlu boyutlu bir D _N ⊂ H do˘ grusal altuzayın olması, gerekti˘ gini g¨ osteriniz. ˙Ip ucu: Gereklili˘gi g¨ostermek i¸cin her ortonormal tabana g¨ore bir kompakt k¨ umenin ’e¸s-k¨ u¸c¨ uk kuyruk’ ¨ ozelli˘ gini kullanınız. Sonlu boyutlu yakla¸sım ko¸sulunu kullanmak i¸cin K da zayıf yakınsayan dizinin (kuvvetli) yakınsadı˘ gını kullanınız, konvekslik sonucunu kullanarak D _N ’nın v _n ’ye olan en yakın noktası v ⁰ _n olmak ¨ uzere D _N de (v ⁰ _n ) dizisini tanımlayınız. v ⁰ _n nin zayıf ve b¨ oylece kuvvetli yakınsak oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve buradan da (v _n ) dizisinin Cauchy oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur.

Problem 6.4 A : H → H sınırlı ve A(H) sonlu boyutlu olsun. v _n zayıf yakınsak ise Av _n dizisinin H da yakınsadı˘ gını g¨ osteriniz.

Problem 6.5 H ₁ ve H ₂ iki farkı Hilbert uzayı ve A : H ₁ → H ₂ sınırlı bir do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um olsun.

(14.31) (Au ₁ , u ₂ ) _H

= (u ₁ , A ^∗ u ₂ ) _H

∀u ₁ ∈ H ₁ , u ₂ ∈ H ₂

olacak bi¸cimde tek bir tane e¸slenik A ^∗ : H ₂ → H ₁ sınırlı do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um

oldu˘ gunu g¨ osteriniz.