Sonuçlarında ispat şemalarının özelliklerini barındıran deneysel araştırmalar.

Bu bölümde sonuçlarında ispat şemalarının özelliklerini barındıran deneysel araştırmalara yer verilmiştir. Anılan deneysel araştırmaların kısa bir özeti aşağıda yer almaktadır. Özetten sonra bu grupta yer alan her bir araştırma çalışma grubuna göre alt alta özetlenmiştir. Bu bölümün en sonunda ise bu çalışmaların sonuçlarına ilişkin özete yer verilmiştir.

Bu gruptaki çalışmalardan biri (Grigoriadou, 2012) lise öğrencilerinin diğer bir çalışma (Ellis, 2007) ortaokul öğrencilerinin, bir diğeri (Harel, 2001) öğretmen adaylarının ve başka bir çalışma (Soto, 2010) ise öğretmenlerin ispat şemalarındaki değişimleri deneysel yaklaşımla ortaya koymuşlardır. Harel ve Rabin (2010) ise iki lise öğretmeninin öğrencileri gözlemlediği bir durum çalışması yürütmüşlerdir. Lise öğrencileriyle çalışmasını yürüten Grigoriadou (2012) öğrencilerin düşünme biçimlerinde oluşan değişikleri gözlemek için önerdikleri öğretme modelinin öğrencilerin matematik ve ispat hakkındaki inançları üzerindeki etkisini araştırırken; Harel ve Rabin (2010) belirli öğretme uygulamalarının öğrencilerin otoriter ispat şeması gelişimi üzerindeki etkilerini araştırmışlardır. Ellis (2007) yedinci sınıf öğrencilerinin genelleme ve gerekçelendirme yollarını, önerdikleri bir öğretme modeli ile test etmiştir. Harel (2001) öğretmen adaylarının matematiksel tümevarım anlayışlarının önerilen bir öğretim uygulaması ile dönüşümsel ispat şeması olarak gelişip gelişmediğini araştırırken, Soto (2010) bir lise öğretmeninin yaz enstitüsünde bir öğretim uygulaması ile ispat şemalarındaki gelişimini incelemiştir. Anılan çalışmaların tümü önerilen öğretim uygulamalarının katılımcıların ispat şemalarında nasıl bir değişime yol açtığını belirlemeye yönelik çalışmalardır. Çalışmalar nitel yöntemlerle yürütülmüş olup sadece Grigoriadou (2012) çalışmasının hem nitel hem de nicel karaktere sahip olduğunu belirtmiştir. Anılan çalışmalara ilişkin veriler birebir görüşmeler (Ellis, 2007; Soto, 2010) ve klinik görüşmeler (Harel, 2001) yoluyla gerçekleştirilmiştir. Bunların yanında araştırmacılar sınıf uygulamalarının video kayıtları (Ellis, 2007; Harel ve Rabin, 2010; Harel, 2001, Soto, 2010), alan notları (Ellis, 2007; Harel, 2001), ödevler, yazılı test ve küçük sınavlar (Grigoriadou, 2012; Harel, 2001; Soto, 2010) gibi farklı veri kaynaklarından da yararlanmışlardır. Çalışmaların hepsi ispat şemaları sınıflandırmasında Harel ve Sowder’ın (1998) çatısını kullanmışlardır.

Aşağıda, anılan çalışmalardan ilk olarak öğretmen adaylarının ispat şemalarına ilişkin yürütülen Harel’ın (2001) çalışması, daha sonra ise sırasıyla öğretmenlerin (Soto,

2010), lise öğrencilerinin (Grigoriadou, 2012) ve ortaokul öğrencilerinin (Ellis, 2007) (2010) ispat şemalarını deneysel yaklaşımlarla ortaya koyan çalışmalar özetlenmiştir. En son olarak iki lise öğretmeninin öğrencileri gözlemlediği durum çalışmasını deneysel bir yaklaşımla ortaya koyan Harel ve Rabin’in (2010) çalışmasına ilişkin özet yer almaktadır:

Harel’ın (2001) çalışmasının amacı lise matematik öğretmeni adaylarının matematiksel tümevarımla ilgili anlayışlarının ve düşüncelerinin ispat şemalarıyla nasıl ortaya çıktığını belirlemek ve öğrencilerin matematiksel tümevarımsal gelişim anlayışlarında ne gibi zorluklar yaşadıklarını ortaya çıkarmaktır. Çalışma 25 öğretmen adayıyla Amerika’da gerçekleştirmiştir. Çalışmada öğretmen adaylarının standart bir öğretim programında elemanter sayı kuramı dersinde matematiksel tümevarım ile ilgili farklı bir öğretim uygulaması (sayılar teorisi konusunda) sonucunda matematiksel tümevarım anlayışlarının dönüşümsel ispat şeması olarak gelişip gelişmediği ortaya çıkarılmaya çalışılmıştır. Deneysel olarak yürütülen nitel çalışmanın uygulamasında öğretmen adaylarının ispat şemaları ortaya çıkarılıp gelişim süreçleri kaydedilmiştir. Bu çalışmada iki haftalık uygulama süreci farklı bir öğretim uygulamasıyla yapılandırılmıştır. Uygulanan öğretim, DNR sistem adı olarak bilinen bir tür öğrenme öğretme prensiplerine dayalı ve matematiksel ispat yaparken kullanılan sıralı bir öğretim uygulaması olmuştur. Öğrencilerin ispat şemalarını ortaya çıkarmak için Harel ve Sowder’ın (1998) ispat şemaları sınıflandırmasından yararlanılmıştır. Bu öğretim uygulamasında otoriter, sembolik nicel dışı (non quantitative) ispat şeması ve deneysel ispat şeması sonuç modelli genelleme olarak ele alınırken; öğrenciler arasında pek yaygın olmayan dönüşümsel ispat şeması süreç modelli genelleme olarak ele alınmıştır. Çalışmanın verileri sınıf gözlemlerinin alan notları, yazılı testler ve quizler, sınıf gözlemlerinin video kayıtları ve klinik görüşmeler ile toplanmıştır.

Çalışmada öğrencilerin matematiksel tümevarımın temel ilkesinin nasıl bir ihtiyaçtan kaynaklandığını bilmedikleri, bunu bir reçete gibi kullandıkları gözlenmiş; matematiksel tümevarımın kullanımı daha çok otoriter ve sembolik, nicel dışı ispat şemalarıyla ortaya çıkmıştır. Çalışmadaki alternatif uygulamayla öğrenciler düşünme yollarını değiştirmişler, sadece deneysel akıl yürütme kullanmaktan vazgeçip sonuç modelli genellemeden süreç modelli genellemeyle dönüşümsel akıl yürütmeye geçmişlerdir.

Soto’nun (2010) yürütmüş olduğu çalışmanın amacı DNR tabanlı profesyonel gelişim (PG) bağlamında bir lise öğretmeninin ispat şemalarının geçişini tanımlamak; bu

öğretmenin öğretim uygulamalarının gelişiminin doğasını incelemek ve bu iki unsur arasındaki bağlantıları ortaya koymak olmuştur. Çalışma 2003-2004 yazlarında Amerika’nın güneybatısındaki bir yaz enstitüsünde gerçekleştirilmiştir. Bu enstitünün öğrencilerinin tümü matematik ve pedagojik açıdan geçmişe sahip çeşitli özelliklerdeki öğretmenlerden oluşmuştur. Yaz enstitüsünün öğretmeni ise ispat şemalarının sınıflandırmasını yapan araştırmacılardan biri olan Guerson Harel’dır.

Çalışmada PG yaz enstitüsü dört hafta boyunca haftada beş gün günde altı saat olmak üzere iki yaz sürmüştür. PG yaz enstitüsü ve arkasından gelen bölümler probleme dayalı olmuştur. Öğretmenler küçük gruplar halinde problemler üzerinde çalışmış, çözümlerini ve çözüm stratejilerini hem küçük gruplar halinde hem de tüm sınıfta paylaşmışlardır. Durum çalışması olarak yürütülen çalışmada öğretmenin matematik yaparken video kaydı ve kendi öğretiminin kamera görüntüleri olmak üzere iki veri kaynağı incelenmiştir. İspat şemalarının analizinde PG boyunca ispat üretimi üzerine odaklanılmıştır. Öğretmenin uygulama gelişimi de iki yıl boyunca incelenmiştir. Çalışma öğretmenin ispat şemaları ile öğretme uygulamaları arasındaki teorik bağlantılar içermiştir. PG’den ve sonrasından toplanan veriler, ön test ve son testle, alan notları, öğretmenlerin ödevlerinin kopyaları, bireysel görüşmeler ve seçili küçük gruplar ile tüm sınıf tartışmalarının derslerinin video kayıtlarından oluşmuştur. PG’yi izleyen her yaz on bir katılımcı üç hafta boyunca kendi öğrencilerine öğretim uygularken gözlenmek için seçilmiştir. Öğretmenlerin her bir dersi video kaydına alınmış ve alan notları alınmıştır. Öğretmenlerin konuşmaları üç haftalık sürede tamamlanmış ve ses kaydına alınmıştır. Bu çalışmada sadece PD yaz enstitüsünün kamera kayıtlı dersleri, PG sonrası bölümler ve daha önceden var olan veri setinin sınıf öğretim gözlemleri kullanılmıştır. Çalışmada ön test ve son testler PG yaz enstitüsünden önce ve sonra uygulanmıştır. Çalışmanın amaçlarına uygun olarak çalışmanın bir tek öğretmenle yürütülmesinde karar kılınmıştır. Çalışmada öğretmenin (Maggie) ispat şemalarının belirlenebilmesi için Harel ve Sowder’ın (1998) sınıflandırması kullanılmıştır.

Maggie başlangıçta bir ispatı nelerin oluşturduğu hakkında çelişkilere sahipken, PG boyunca artan bir matematiksel ustalığa sahip olmuştur. Çalışmada Maggie’nin değişmeye en çok direnç gösteren ispat şeması ima yollu (referential) sembolik ispat şeması olmuştur. Maggie sembolleri, anlamlarını ortaya çıkarma becerisiyle problem bağlamında gerekli olduğu zaman manipüle edebilmiştir. Bu yüzden Maggie’nin ima yollu sembolik ispat şemasında bir değişiklik olmamıştır. Maggie model genellemesinde biraz dengesizlik

yaşadıysa da daha sonra dönüşümsel ispat şemasını kullanmada tutarlılık göstermiştir. Maggie deneysel ispat şemasından tümdengelimsel ispat şemasına geçmiştir. Öğretim uygulamalarındaki en büyük gelişimlerin, öğrencilerin çözümlerini kendi aralarında konuşmalarını sağlayarak, öğrencilerden varsayımlarını ispatlamalarını isteyerek, doğru çözümlerin varlığını alternatif çözümler isteyerek ve doğru çözümlere matematiksel ayrıntılarla yaklaşarak oluşturulduğu sonucuna varılmıştır.

Grigoriadou’nun (2012) çalışmasında öğrencilerin tümevarımsal argümanları bırakıp tümdengelimsel argümanlara geçerken düşünmelerine odaklanılmıştır. Çalışma Yunanistan’da bir lisede 2010 yılında matematikte başarılı olan 19 öğrenci ile yürütülmüştür. Çalışmada öğrencilerin öğrenme süreçlerinde yönlendirildikleri bir öğretme modeli önerilmiştir ve bu modül öğrenciler üzerinde uygulanmış ve sonuçlar tartışılmıştır. Öğrencilerin düşünme biçimlerinde oluşan değişiklikler ve bu değişimin öğrencilerin matematik ve ispat hakkındaki inançları üzerindeki etkisi incelenmiştir. Çalışmada öğrencilerin düşünme biçimleri ve bunların sınıflandırması için Harel ve Sowder’ın (1998) ispat şeması sınıflandırmasından, düşünme düzeyleri sınıflandırması için Van Hiele teorisinden yararlanılmıştır. Çalışmada ispat şemaları ile düşünme düzeyleri arasında bir ilişki olup olmadığı ortaya çıkarılmaya çalışılmıştır. Deneysel yöntemle yürütülen çalışma hem keşfedici hem de açıklayıcı olarak tanımlanmıştır. Bunun yanında, çalışmanın çoğunlukla nitel olduğu fakat aynı zamanda bazı nicel karakterlerinin de olduğu belirtilmiştir.

Çalışmada yeni bir öğretme modeli kullanılmıştır. Bu model öğretme stratejilerinin tasarlanmasını ve değerlendirilmesini içermiştir. Çalışmada uygulanan modelde öğrencilerin tümevarımsal ve tümdengelimsel argümanlar arasındaki ayrımın farkında olmaları ve kendi başlarına tümdengelimsel ispatlar yapılandırabilmeleri amaçlanmıştır. Çalışmanın ana veri kaynakları yazılı testler, görevler (task) ve soru formları olmuştur.

Çalışmada öğrenciler (24 öğrenci) uygulama öncesi Van Hiele üçüncü düzeyde bulunmuştur. Uygulama sonrası öğrencilerin çoğunluğunun Van Hiele düzeylerinde ilerleme kaydettiği görülmüştür. Uygulama öncesi öğrencilerin çoğunluğunun deneysel ispat şemalarını, uygulama sonrasında tümdengelimsel şemaları kullandıkları belirtilmiştir. Çalışmada beklenenin aksine dönüşümsel ispat şemasına öğretme uygulaması boyunca pek rastlanmamıştır. Bunun nedeninin uygulamanın kısa bir zamanda yapılmasından kaynaklanabileceği söylenmiştir. Çalışmada kullanılan öğretme stratejisinin ilk basamağı başarılı olmuştur. Öğrencilerin çoğu tümdengelimsel ve tümevarımsal argümanların

arasındaki ayrımı anlamıştır. Fakat öğrenciler her zaman tümdengelimsel argümanlar önerememişlerdir. Öğretme stratejisinin ikinci basamağı da hemen hemen başarılı olmuştur. Bu basamağın sonunda deneysel ya da dışsal ispat şemaları kullanan öğrencilerin yüzdesi düşerken tümdengelimsel ispat şeması kullanan öğrencilerin yüzdesi önemli derecede (9%’den 88%’ye) artmıştır.

Ellis’in (2007) çalışmasının amacı öğrencilerin lineer fonksiyonlarla uğraşırken genelleme ve gerekçelendirme yollarını incelemektir. Çalışma Amerika’nın güneybatısındaki bir devlet ortaokulunda okuyan ve C ve üzeri ortalamaya sahip olan yedinci sınıf öğrencileri üzerinde yürütülmüştür. Öğrencilerin genelleme ve gerekçelendirme biçimleri arasındaki bağlantıları kurmak için onların genellemeleri ve ispat şemaları belirlenmiş ve sınıflandırılmış; öğrencilerin genellemeleri ile ispat şemaları arasındaki bağlantılar ortaya çıkarılmaya çalışılmıştır. Araştırmacı deneysel olarak yürütülen nitel çalışmada günde bir buçuk saat olarak 15 ardışık okul gününde öğrencilerle öğretme deneyimi gerçekleştirmiştir. Öğretme deneyiminin amacı öğrenciler yeni matematiksel fikirlerle anlamlı şekilde uğraştıklarında genelleme ve gerekçelendirme etkinliklerinin birbirleriyle ilişkilenme yollarını araştırmak olmuştur. Derslerde “dişliler” ve “hız” konuları olmak üzere iki gerçek dünya durumu üzerine odaklanılmıştır. İlk yedi gün öğrencilerin dişlileri keşfetmeleri için fiziksel olarak dişlilerle uğraşmaları sağlanmış; kalan sekiz günde de hızla ilgili olarak SimCalc, Mathworlds simülasyon bilgisayar programı yardımıyla uzaklık ve zamanın farklı kombinasyonlarının nasıl değiştiğini görmeleri için varsayımlar oluşturmaları ve bu varsayımları test etmeleri sağlanmıştır. Uygulama boyunca bir asistan uygulamayı video kaydına almış ve gözlem yaparak alan notlarıyla ayrıntılı rapor yazmıştır. Her ders saatinden sonra araştırmacı her bir öğrenciyle birebir görüşmeler gerçekleştirmiştir. Çalışmada öğrencilerin ispat şemaları Harel ve Sowder’ın (1998) ispat şeması sınıflandırmasına göre sınıflandırılmıştır

Tüm veri seti öğrencilerin genellemelerinde büyük bir gelişme olduğunu göstermiştir. Öğrencilerin gerekçelendirmeleri zamanla sembolik ve deneyselden dönüşümsele doğru gelişmiştir. Öğretme deneyiminin sonuçları öğrencilerin tek bir yolla genelleme yapmadığını, bir genelleme için özel bir gerekçelendirme biçiminin bulunduğunu göstermiştir. Çalışmanın sonuçlarına göre tümdengelimsel düşünmeyi destekleyen genellemelerde dönüşümsel ispat şemasının, öğrencilerin varsayımlarını mantıksal çıkarımlar ile destekledikleri tek ispat şeması olduğu belirlenmiştir. Dönüşümsel ispat şemasıyla çalışan öğrenciler bir gözlemin genel yönlerinin farkına varmışlar, amaç

yönelimli ve ileriye dönük zihinsel işlemler yürütmüşler ve zihinsel imajları kendi tümdengelimsel süreçlerinin bir parçasıymış gibi dönüştürebilmişlerdir. Böylelikle bu çalışmada öğretmen deneyiminin amaçlarından biri olan dönüşümsel ispat şemasının gelişiminin gerçekleşmiş olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Çalışmanın sonuçları dönüşümsel ispat şemasının güçlü genellemeler yapmadaki rolünü ortaya koymuştur. Buna göre öğrenciler sınırlı ve yardımcı olmayan genellemelerle başlayabilmişler fakat dönüşümsel ispat şemasıyla gerekçelendirme yaptıktan sonra daha kesin ve daha karmaşık genellemeler oluşturabilmişlerdir. Çalışmada dönüşümsel ispat şemasıyla yakından ilişkili olan üç genelleme biçimi (ilişki arama, birinin düşüncesini genişletme, devam eden-devamlı fenomenlere durumlar üretme) olarak belirlenmiştir. Çalışmadaki öğrenciler başlangıçta sınırlı, kısmen yanlış veya üretken olmayan genelleme etkinlikleri oluştururken; genellemelerini açıklama girişiminde bulundukça ve daha tümdengelimsel gerekçelendirmeler yaptıkça kendi genellemelerine tekrar geri dönüp bakmaya başlamış, bunların üzerine yeni fikirler inşa etmiş ve sonunda daha güçlü genellemeler yapılandırmaya başlamışlardır. Çalışmada dönüşümsel ispat şeması aracılığıyla gerekçelendirdikleri genellemelerin en dirençli ve diğer bilgilerle en iyi biçimde ilişkide olan oldukları sonucuna varılmıştır.

Harel ve Rabin’in (2010) yürüttükleri çalışmanın amacı ispatı genel anlamıyla ele alan belirli öğretme uygulamalarını belirlemek ve böylece öğrencilerdeki otoriter ispat şeması gelişimini olumlu yönde etkileme yollarını ortaya çıkarmaktır. Çalışma Amerika’da bir lisede gerçekleştirilmiştir. Çalışmanın verileri iki lise matematik öğretmeninin sınıf gözlemlerinden elde edilmiştir. Çalışmada otoriter ispat şemasının öğrencilerde çok görülmesi ve öğrenci öğrenmeleri üzerindeki negatif etkisinden dolayı, otoriter ispat şemasının yapılandırılması ve düzenlenmesine katkıda bulunmak amacıyla, öğretme etkinliklerinin belirlenmesi ve özelleştirilmesi gerekliliği savunulmuş; bu amaç için matematik derslerinde öğretme uygulamalarının nasıl ve ne tür olması gerektiği sorusuna yanıt aramıştır. Bu yüzden çalışmada öğrencilerdeki otoriter ispat şemalarını açıkça ortaya koyacak belirli öğrenci davranışlarının biçimlendirilmesinde rol oynayan öğretme uygulamalarına odaklanılmıştır. Çalışma, iki cebir öğretmeninin derslerindeki öğretme uygulamalarını ortaya koyan bir durum çalışmasıdır. Öğretim uygulamaları iki lise öğretmeni tarafından gerçekleştirilmiştir. Bir akademik yıl boyunca her üç haftada bir her bir öğretmen sekiz ders saati boyunca bir araştırmacı tarafından gözlemlenmiştir. Öğretmenin otoriter ispat şeması ile ilişkili öğretme uygulamalarından elde edilen veriler

her iki araştırmacı tarafından bağımsız olarak analiz edilmiştir ve daha sonra karşılaştırılmıştır. Gömülü teorinin prensiplerini takip ederek ve öncelikle gözlenen tüm öğretim uygulamalarına odaklanarak açık kodlama yapılmıştır. Yinelemeli düzenleme süreci sonunda belirli öğretme uygulamaları; öğrencilerin sorularını yanıtlama, öğrencilerin fikirlerine tepki verme ve konu anlatımı olarak üç sınıf altında toplanmıştır Bu sınıflandırmalar ise sınıf etkinliklerinin gözlenen doğası ve Harel ve Sowder (1998) tarafından belirlenen otoriter ispat şemaları değerlendirmeleri ışığında ortaya konmuştur.

İki öğretmenle yapılan durum çalışmaları sonuçlarına göre, öğretmeni sınıftaki tek doğruluk kaynağı olarak ortaya koyan belirli öğretme uygulamaları belirlenmiştir. Öğrencilerin problemleri çözmek için beklediği ve işlem basamaklarının ona anlatılmasını istedikleri; öğrencilerin problemleri kendileri çözmeye çalışmadan önce yardım istedikleri ve sınıf arkadaşlarının ve öğretmenlerinin iddialarının yanında ve sunulan içerikle ilgili sorular sormaya isteksiz oldukları sonucuna ulaşılmıştır.

Sonuçlarında ispat şemalarını ve özelliklerini barındıran deneysel araştırmaların sonuçlarına ilişkin kısa bir özet aşağıda yer almaktadır:

Bu çalışmaların hepsinde ortaya konulan müdahalenin, çalışmaların çalışılan bağımlı değişkende değişiklik yarattığı söylenebilir. Sadece bir çalışma (Harel ve Rabin, 2010) diğerlerinden biraz daha farklı olarak ispatı genel anlamıyla ele alan belirli öğretme uygulamalarını belirleyerek öğrencilerdeki otoriter ispat şeması gelişimini olumlu yönde etkileme yollarının neler olduğunu ortaya çıkarmaya çalışmıştır. Çalışmanın sonuçlarında öğretmeni sınıftaki tek doğruluk kaynağı olarak ortaya koyan belirli öğretme uygulamaları belirlenmiştir. Bunun dışındaki tüm deneysel çalışmalar sonuçlarında öğrenci, öğretmen ve öğretmen adaylarının belirli öğretim uygulamaları sonucunda ispat şemalarındaki gelişimleri ortaya koymuşlardır. Örneğin; Grigoriadou (2012) çalışma sonunda deneysel ya da dışsal ispat şemaları kullanan lise öğrencilerinin yüzdelerinin düşerken tümdengelimsel ispat şeması kullanan öğrencilerin yüzdelerinin önemli derecede arttığı sonucuna varmıştır. Diğer bir çalışma (Ellis, 2007) ortaokul öğrencilerinin ispat şemalarının gerekçelendirmelerinin uygulama sonucunda sembolik ve deneysel ispat şemasından dönüşümsel ispat şemasına doğru geliştiğini belirlemiştir. Bu çalışmada ayrıca öğrencilerin dönüşümsel ispat şemasıyla yakından ilişkili olan üç genelleme biçimi ortaya konmuştur. (Harel, 2001) farklı bir öğretim uygulaması sonucunda öğretmen adaylarının sadece deneysel akıl yürütme kullanmaktan vazgeçip sonuç modelli genellemeden süreç modelli genellemeyle dönüşümsel akıl yürütmeye geçtiklerini belirlemiştir. Bir lise

öğretmeninin ispat şemalarının gelişimi ve öğretme uygulamalarının incelendiği diğer bir çalışmada (Soto, 2010) ise uygulama sonrasında öğretmenin deneysel ispat şemasından tümdengelimsel ispat şemasına geçtiği belirlenmiştir.

2.2.2. İspat Şemalarına Sonuçlarında Değinmeyen Fakat İspat Şemalarının Bazı