İnformel ispatlar ve informel ispatların doğası.

İspatın doğası, bir şeyin doğru olduğunu ve bunun nedenini bilmek için sezgiler geliştirerek örnekler aramayı ve daha sonra sonucu ispatlamaya çalışmayı içermektedir. İspat üretmek bir anlamda yapıyı keşfetme çabası, sonucun oluşma yolunu ve yapı içindeki parçaların bu yola uyuşma sebebinin araştırılmasıdır. İspat üretme sürecinde bu çalışma altındaki konuları nelerin oluşturduğu araştırılır ve bu bağlamda ispatlama ya da reddetme çabası keşfin bir biçimi haline gelir. Dolayısıyla ispat matematikten ayrılmaz bir parça olarak matematiği kaydetmenin, iletişim kurmanın ve matematik yapmanın önemli bir bileşeni olarak öğretim programlarında tüm düzeylerde yer almalıdır. İspatlama bir şeyin özel olduğunu açıklamaktan ziyade neden öyle olduğunun net bir açıklaması olarak iyi bir düşüncenin kodlanmasıdır. Bu yüzden öğrenciler enine boyuna düşünmenin, söylevin ve

ikna etmenin matematikle yakından ilişkili olan önemli parçalar olduğu düşünülen bir matematiksel kültür içerisinde gelişirler. Dolayısıyla ispatı suni bir çabayla ortaya koymadan, matematiğinin doğal bir parçası olarak görerek durumların doğruluğunu araştırırken nedenleri sorgularlar (Schoenfeld, 1994). Öğrencilerin matematik eğitiminde ispatı nedenleri sorgulayarak ortaya koyma biçimleri informel ispatların farklı tanımları olarak aşağıda açıklanmaktadır:

Lakatos (1978) ispatı ispat-öncesi (pre-formel) ispatlar, formel ispatlar ve ispat sonrası (post-formal) ispatlar olmak üzere üçe ayırmıştır. Buna göre ispat öncesi ve ispat sonrası ispatlar informel ispatlar sınıflandırmasına girmektedir. Lakatos’a göre (1978) informel ispatlar bazı mantıkçılar tarafından informel kuramlarla açıklanmaktadır. Onlara göre informel ispatlar mantıksal çıkarım kuralları ile mantıksal aksiyomları ortadan kaldırarak belirli postülatların her türlü kullanımına işaret etmektedir. O halde bu tanıma göre informel ispatlar, “Aksiyomatize edilmiş matematiksel kuram içerisindeki kuramsal–

tümdengelimsel sistemin biçimini alan fakat onun temel mantığını belirsiz bırakan bir ispattan başka bir şey değildir” (Lakatos, 1978, s. 62-63). Fakat informel ispatlamanın bu

çeşit sınıflanması eksik bir bakış açısına işaret etmektedir. Onun yerine informel ispatlar yarı formel ispat (quasi formal) ya da eksik formel ispat (formal proof with gaps) olarak tanımlanabilir. Çünkü informel ispatların tamamlanmamış formel ispat biçiminde ifade edilmesi bir çocuğun tamamen bir yetişkinin minyatürü olarak görülmesi ya da yetişkin bireyin davranışlarıyla mukayese edilmesi anlamına gelmektedir. Bu anlamda çocuğun davranışları ispat öncesi ispatlar olarak görülebilir (Lakatos, 1978). Reid ve Knipping (2010) Lakatos’un informel ispat anlayışını; formel olmayan ve matematikçiler tarafından ikna edici bulunan ispatlar olarak tanımlamıştır.

İspat öncesi ispatlar çalışma notları ya da konuşmalar olarak informel dil, benzetmeler ya da gizli varsayımlar kullanılarak ortaya çıkabilir (Reid, 2001). Lakatos’un (1978) ispat sonrası ispatları ise formel ispatlar hakkındadır. Örneğin izdüşümsel geometrideki ikililik prensipinde; izdüşümsel geometri tamamen aksiyomatize edilmiş bir sistem olmasına rağmen ikililik prensibini ispat edecek tüm aksiyom ve kurallar belirlenemeyeceğinden, içerdiği meta teorinin informel olduğu düşünülmektedir (Reid ve Knipping, 2010).

Wittman (Wittman/Müller, 1988, akt. Blum ve Kirsh, 1991) ise ispatı; deneysel ispatlar (experimental proofs), sezgisel ispatlar (inhaltlich-anschaulich, intuitional proofs) ve formel ispatlar (formal (scientific) proofs) olmak üzere üç biçimde incelemiştir.

Sezgisel ispatlar, genel ve kesin doğruları kurmakta fakat postülatlardan duyu deneyimiyle gerektiğinde yardım almaktadırlar. Bu tür ispatlar kurallara uyarak doğruluğu kendi bağımsız temellerinde bulmaktadırlar (Branford, 1908, s.97, akt, Blum ve Kirsch, 1991). Wittman’ın görüşüne göre ispatlar arasındaki sınır sezgisel ve formel ispatlar arasında değil daha çok deneysel (sonlu sayıdaki örneklerin gerekçelendirilmesi) ve sezgisel (formal olmayan temelde kurulan argümantasyon) ispatlar arasında kurulmuştur (Blum ve Kirsch, 1991). Wittman (1989) (akt. Blum ve Kirsch, 1991) sezgisel ispatların öğretmen yetiştirmede ve okullarda kullanılabileceğini vurgulamıştır. Blum ve Kirsch (1991) formel ispatın uygulanamaz oluşunu ve anılan ispat sınıflamalarını göz önüne almış ve Lakatos’a (1978) benzer olarak informel ispatlar içerisinde yer alan ispat öncesi ispat kavramını açıklamıştır. “İspat öncesi ispatlar geçerli ve formel olmayan öncüllere işaret eden, doğru

fakat formel olarak temsil edilmemiş sonuçlar zinciridir” (Blum ve Kirsch, 1991, s. 187).

Buradaki öncüller gerçek objeler, geometrik-sezgisel unsurlar, gerçekliğe yönelik temel fikirler veya ortak olarak anlaşılır olan ya da psikolojik olarak aşikar durumlar olabilir. Bahsedilen sonuçlar ise somut bir durumdan direkt olarak genellenebilir olmalıdır (Blum ve Kirsch, 1991).

Reid ve Knipping de (2010) informel ispatların yarı-ispat (semi-formel) olarak görülebileceğini belirterek informel ispatların, postülatlar ya da çok iyi tanımlanmış temel mantıkla altı çizilmiş olmasa bile matematikçiler tarafından kabul edilebilir olarak görülmekte olduğunu belirtmiştir. Sınıflarda informel ya da yarı formel ispatlar doğal bir dille sunulmaktadır (Hersh, 1993).

Hanna (1990) son birkaç yüzyıldır matematikçilerin ve matematik eğitimcilerinin aksiyomatik yapıların ve formel ispatların rollerini tekrar değerlendirdiklerini belirterek, ispatların farklı formel geçerlik düzeylerinde aynı kabul edilebilirlik düzeyine sahip olabileceklerini belirtmiştir. Buradan hareketle kabul edilebilir ispat kavramını ortaya atmış ve okullarda öğretilebilecek ispatın ya da ideal ispatın ne olabileceği üzerinde durmuştur. Hanna’nın (1990) ortaya atmış olduğu kabul edilebilir ispat kavramının informel ispatlara örnek teşkil ettiği söylenebilir. Weber’e (2014) göre sıradan matematiksel uygulamalarda birçok informel ispat ispatlamanın uygun bir standardı olarak görülebilmektedir. Tall da (2002) benzer şekilde ispat tanımını informel ispatlar açısından ortaya koymuştur. Tall (2002) matematiksel ispatı bir problem çözme etkinliği olarak fikirlerin kesinleştiği etkinliklerin son basamağı olarak nitelendirmiştir. Tall’a (2000) göre her matematiksel düşünme bir matematiksel gerekçelendirme düzeyindeki aşamalardan,

hamleler ve yorumlamalardan oluşmaktadır. Fakat, başlangıç düzeyindeki matematiksel düşünmede formel soyutlama süreci ve son kesinleşme aşaması bulunmamaktadır.

Mason, Burton ve Stacey de (2010) informel ispatları farklı bir bakış açısıyla ele alarak ispatlamayı “Kendini ikna et, bir arkadaşını ikna et, bir düşmanını ikna et” (s. 87) olmak üzere üç aşamalı şekilde tanımlamıştır. Bu süreçte ilk aşamada birey kendini ikna ettikten sonra; bir arkadaşını ikna etmek adına kendisi için belli olan şeyleri açık bir şekilde ifade etmek ve dışa vurmak için kendisini zorlamaktadır. Böylelikle bireye doğru gelen şeyler için ikna edici olan sebepler ortaya konmuş olmaktadır. Birey arkadaşını ikna etse de, bu yeterli olmayabilir. Çünkü bireyin ortaya attığı her ifade hakkındaki soru ve şüphelerin ortadan kaldırılması için bir diğerini ikna etmesi gerekmektedir. Bu yüzden burada bahsedilen “bir diğeri” ifadesi bir “düşmanı” betimlemektedir (Mason ve diğerleri, 2010).

Yaygın (profesyonel) matematik alanında yapılan informel ispatlar yukarıda anıldığı gibi farklı isimlerle farklı araştırmacılar tarafından yorumlanmıştır. Fakat anılan informel ispatların ortak özelliğinin tümdengelimsel bir yapıya sahip olması gerektiği söylenebilir. Bu ispatlar sembolik ifadelerle tamamlanan günlük bir dille ifade edilir ve bu matematiksel ispatları sistemleştirmek için genel olarak kabul edilmiş bir kesinlik düzeyi bulunmamaktadır. Dolayısıyla, matematiksel teoremler bu yolla mutlak gerekli doğruluk niteliklerini kaybederek daha sosyal, bilinen ve geçici nitelikteki uygulanabilir matematiğin özelliklerini alırlar (Godino ve Recio, 1997). Böylelikle gerçek matematiksel uygulamada bu ispat biçimi, yani informel ispat “Yetkin yargılarla yargılanan ikna edici

bir argüman” olarak tanımlanabilir (Hersh, 1993, s. 389).

Harel ve Sowder (2007) da ispata bakış açılarının subjektif bir yapıya sahip olduğunu söylemektedirler. “İspat terimi matematikçiler tarafından kısmen kesinlik taşıyan

bir argümantasyon olarak ifade edilse de, bizim perspektifimizde ispat bir birey ya da topluluk tarafından doğruluğu neyin oluşturduğudur” (Harel ve Sowder, 2007, s. 3). Bu

açıklamalar ispatın okul öncesinden itibaren tüm matematik öğretim programlarına yayılan bir etkinlik olduğuna işaret etmektedir. İspatın bahsedilen subjektif yapısı ise bu çalışmada irdelenen ispat şeması teriminin temel karakterini oluşturmaktadır (Harel ve Sowder, 2007). Harel ve Sowder (1998) ispatı “tümdengelimsel bir süreç”, ispatlamayı ise “Bireyin

bir gözlemin doğruluğu hakkında şüphelerini ortaya çıkarmak veya ortadan kaldırmak için ortaya koyduğu süreç” (Harel ve Sowder, 1998, s. 241) olarak ortaya koymuşlar ve

Harel ve Sowder (1998), öğrencilerin informel ispatlarını, kendilerini ve başkalarını ikna ederek oluşturdukları bir süreç olarak ele alarak bu iki süreçteki akıl yürütme biçimlerini “ispat şeması” terimiyle ortaya atarak kavramsallaştırmışlardır. Buradaki amaç ise öğrencilerin matematikteki gerekçelendirmeleri nelerin oluşturduğu hakkındaki algılarını geliştirerek informel ispatlarını farklı bir çerçeveyle sunmaktır (Harel ve Sowder, 1998). Bu çalışmada öğrencilerin yukarıdaki bölümlerde tanımlanan informel ispatları, “ispat şeması” özelinde irdelenmiştir. Aşağıdaki bölümlerde ispat şemasına ilişkin ayrıntılar sunulmaktadır: