İspat şemalarının sınıflandırılması.

Sowder ve Harel (1998) ispat şemalarını dışsal, deneysel ve analitik olmak üzere üç ana grupta sınıflandırmışlardır. Aşağıda bu ana gruplara ve onların alt ispat şeması gruplarına ilişkin açıklamalar yer almaktadır:

2.1.3.1.1. Dışsal ispat şemaları (Externally based proof schemes).

Bu ispat şemalarını sergileyen öğrencilerin aslını anlama ve diğerlerini ikna etme durumları dışsal kaynaklıdır. Bu kaynaklar öğretmen ya da bir kitaba dayanan bir otorite (otoriter ispat şeması), bir argümanın biçimi ya da görünümü (alışkanlık edinilmiş ispat şeması) veya sembollerin anlamsız manipülasyonu (sembolik ispat şeması) olarak ortaya çıkabilir (Harel, 2014; Sowder ve Harel, 1998).

2.1.3.1.1.1.Otoriter ispat şeması (The authoritarian proof scheme).

Bu ispat şemasına ilişkin tepkiler gösteren öğrenciler bir sonucu gerekçelendirirlerken sadece kitaba, öğretmenlerinin ifadelerine veya sınıf arkadaşlarının ifadelerine başvururlar. Öğrenciler kendilerini ve başkalarını ikna ederken sadece bu kaynaklardan yardım aldıklarından problemlerinin kaynağı ortaya çıkar. Bu tür öğrenilmiş çaresizlik durumları “hatırlamıyorum”, “kitaba bakmak gerekir” gibi ifadelerle ortaya çıkabilir (Sowder ve Harel, 1998).

2.1.3.1.1.2. Alışkanlık edinilmiş ispat şeması (The ritual proof scheme).

Öğrenciler argümanın doğruluğunu araştırırken argümanın doğruluğu yerine argümanın görüntüsünden, ispatın alışılagelen formatlarından etkilenerek karar verdiklerinde (Martin ve Harel, 1989) alışkanlık edinilmiş ispat şemasının özelliklerini sergiledikleri söylenebilir. Örneğin geleneksel öğretim programına alışık olan öğrenciler ispatları yapılandırırken sadece tümevarımsal akıl yürütme kullanarak ve tümevarımsal akıl yürütmelerini sadece okullarda öğrendikleri gibi tümevarım basamaklarını uygularlar fakat n=k için P(k) ile n=k+1 için P(k+1) arasındaki mantıksal çıkarımı yapmadan ilerleyerek yapılandırdıklarında alışkanlık edinilmiş ispat şemasına ilişkin tepkiler gösterebilirler. Sowder ve Harel’a (1998) göre dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasını ortaya koyan tepkiler veren öğrenciler sağlıklı argümanlar oluşturduklarında bile argümanlarının yeteri kadar matematiksel notasyon veya hesaplama içermeyecek biçimde yapılandırıldığından dolayı kendi önerdikleri ispatların ispat olmayabileceğinden şüphe duyabilirler.

2.1.3.1.1.3 Sembolik ispat şeması (The symbolic proof scheme).

Öğrenciler sembolleri anlamlardan uzak ve durum içerisindeki nicelikleriyle ilişkilendirmeden ele aldıklarında sembolik ispat şemasını ortaya koyan özellikler göstermiş olurlar. Bu durumda öğrencilerin akıl yürütmelerinin dışsal kaynaklı olduğu söylenebilir (Sowder ve Harel, 1998). Sembolik akıl yürütmenin iyi yönü ise özellikle cebirdeki sembollerin iyi bilinen gücüdür. Örneğin dört işlem problemlerindeki doğrusal denklemlerde birey, problem bağlamı açısından anlam sürecindeki her bir basamağı ilişkilendirmek zorunda kalmayabilir. Daha sonra da açıklanacak olan dönüşümsel ispat şemasına ilişkin özellikler sergileyen bir birey birçok durumda doğru sembolik akıl yürütmeyi ayrıntılandırabilir (Sowder ve Harel, 1998).

2.1.3.1.2. Deneysel ispat şemaları (Empirical Proof Schemes).

Bu ispat şemalarına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler varsayımları fiziksel kanıtlara veya duyusal deneyimlere dayanarak geçerli kılarlar veya reddederler (Harel ve Sowder, 1998). Deneysel ispat şemaları algısal ispat şemaları ve temel örnekler ispat şemaları olarak ikiye ayrılmaktadır (Sowder ve Harel, 1998).

2.1.3.1.2.1. Algısal ispat şeması (The perceptual proof scheme).

Bu ispat şemasına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler bir durumun doğru ya da yanlış olduğunu hisleriyle sezinlerler fakat buna ilişkin güçlü bir kanıt bulamazlar (Mejia- Ramos ve Tall, 2005, akt: İskenderoğlu, 2010). Bunun yanında öğrenciler başkalarını ikna ederken çizimlere başvururlar. Özellikle geometri derslerinde öğrenciler bazen tek bir çizimle bazen de birçok çizimle sonuca ulaşmaya çalışabilirler (Sowder ve Harel, 1998). Fakat bu öğrencilerin bunu yaparken dönüştürme yapabilme veya dönüşümlerin sonuçlarını önceden görme becerilerinin olmadığı söylenebilir (Harel ve Sowder, 1998).

2.1.3.1.2.2. Temel örnekler ispat şeması (The examples-based proof scheme). Öğrenciler bir varsayımı değerlendirirken kendilerini ya da başkalarını bir ya da

birden fazla örnekle ikna etme yoluna gidiyorlarsa temel örnekler ispat şemalarına ilişkin özellikler sergiledikleri söylenebilir. Bununla birlikte öğrencilerin matematikte varsayımların deneyimsel doğasının örnek temelli olduğunun farkında olmaları önemlidir. Bunun yanında öğrenciler kendi becerilerini örneklerle sunulan gerekçelendirmelerden daha iyi ve katkı sağlayıcı düzeye getirmek durumundadırlar (Sowder ve Harel, 1998).

2.1.3.1.3. Analitik ispat şemaları (Analytical Proof Schemes).

Bu ispat şemalarına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler varsayımları mantıksal çıkarım yoluyla geçerli kılarlar ve ispatlanmadan kabul edilen durumlardan çıkartılan belirli mantıksal kurallarla oluşturulan önermeler sırasını içeren matematiksel gösterim yöntemini uygulamaktan öteye geçerler (Harel ve Sowder, 1998). Analitik ispat şemaları dönüşümsel ispat şemaları ve aksiyomatik ispat şemaları olmak üzere iki alt şemaya ayrılmaktadır (Sowder ve Harel, 1998):

2.1.3.1.3.1. Dönüşümsel ispat şeması (The transformational proof scheme).

Bu ispat şeması özellikleri sergileyen öğrencilerin gerekçelendirmeleri durumların genel yönleriyle ilişkilidir ve akıl yürütmeleri varsayımlarının genel bir analitik çatıya yerleşmesine yöneliktir. Bu ispat şemasına ilişkin dönüşümsel gözlemler, hedef yönelimli

işlemleri ve bu işlemlerin sonuçlarının beklentilerini içerir. Bu işlemler belirli ilişkilerin değişmeden bırakılması amacıyla yürütülürken, bir değişim ortaya çıktığında gözlemci bunun olabilecek sonuçlarını önceden görerek değişimi dengeleyecek işlemleri uygular (Sowder ve Harel, 1998). Örneğin, bu ispat şemalarındaki genel yapı sayma stratejileri ile örüntü bulmadan ziyade akıl yürütmeyi içerir. Burada bahsedilen “dönüşüm”, bir örüntünün arkasındaki görülmesi kolay olmayan yapıyı görebilmektir. Öğrencilerin bu anlamda kullandıkları dönüşümler ise matematiksel içerikleri algılama veya savunma birimleri tarafından sınırlanabilir. Buradan dönüşümsel ispat şemasının sınırlayıcı bir analitik ispat şeması gibi göründüğü söylenebilir (İskenderoğlu, 2016). Başka deyişle, dönüşümsel ispat şemaları aksiyomatik ispat şemaları için gerekli bir alt yapı olarak görülebilir (Sowder ve Harel, 1998).

2.1.3.1.3.2. Aksiyomatik ispat şeması (The axiomatic proof scheme).

Matematikteki bilgi tabanlarında, sonradan gelen sonuçlar öncekilerin mantıksal çıkarımı şeklinde düzenlenmiştir. Dikkatli bir düzenleme ancak tanımsız terimler, varsayımlar, teoremler ve tanımlar ile oluşturulmaktadır (Sowder ve Harel, 1998). Bu ispat şemasına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler bir matematiksel gerekçelendirmenin başlama noktasının tanımsız terim ve aksiyomlar olduğunun farkındadırlar ve böyle bir sistemde rahat biçimde çalışabilme yetisine sahiptirler (Harel ve Sowder, 1998; Sowder ve Harel, 1998).

Lee (1999), Harel ve Sowder’ın (1998) sınıflandırmasına dayanarak ispat şemalarının tanımlarını bir tabloda özetlemiştir: Tablo 2.1 Lee’den (1999, s. 33) uyarlanan ispat şeması sınıflandırmasını göstermektedir:

Tablo 2.1.

Harel ve Sowder’ın ispat şemalarının özeti (Lee, 1999, s. 33)

İspat şeması öğeleri Özellikler ve Bireylerin

inançları Gerçekleşme yöntemleri Dışsal İspat Şemaları Dışsal İspat Şemaları

Otoriter İspat Şeması -İspatın neden doğru olduğu hakkında gerekçelendirme yapamama

-İspatın doğruluğunun bireyin kendisi tarafından

belirlenememesi

-Teoremleri ezberleme -Formülleri uygulama

Alışkanlık Edinilmiş İspat Şeması -Yüzeysel argümanlar oluşturma -İspatın argümanları arasında sınırlı bağlantı kurma

-Benzer ispat süreçleri arama

-Diğer ispat sürecini taklit etme

Sembolik İspat Şeması -Sembollerin anlamını anlama - Anlamsız argümanlar oluşturma

-İspatın sembollerin içinde olduğuna inanma

-Matematiksel sembolleri manipule ederek ispat yapma

-Matematiksel ifadeleri semboller kullanarak yazma -İyi bilinen sembolik algoritmalar kullanma -İspatın ilk ve devam eden basamaklarında sembolik manipülasyonlar yapma Deneysel İspat Şemaları

Algısal İspat Şeması -Hipotezler ile ispat basamaklarını çizimler ile birleştirme fakat mantıksal argümanları göz ardı etme -İspatın doğruluğunu çizimlerle belirleme

-Arkadaşlarını çizimlerle ikna etme

-Bir ya da daha fazla çizimle sonuca varma Temel Örnekler İspat Şeması -Mantıksal argümanlara sahip

olmama

-Hızlıca sonuç çıkarma -İspatın doğruluğunu örneklerle belirleme

-Diğerlerini örnekler göstererek ikna etme -İspatı örnekler göstererek yapılandırma

Analitik İspat Şemaları Dönüşümsel İspat Şeması -Tutarlı basamaklar

yapılandırma

-İspatın önceki ifadelerine mantıksal kurallar uygulama

-Ana meseleyi belirleme -Diğerlerini mantıksal akıl yürütme ile ikna etme Aksiyomatik İspat Şeması -Tanımsız terimlerle sınırlı

küme oluşturma

-Lineer yöntemler kullanarak ispat yapma

-Geleneksel ispat süreçlerini takip etme

-Aksiyomatik sistem geliştirme

-Bir teoremin sonucunun aksiyomatik sistemden nasıl çıktığını ispatlama