Öğretmenlerin veya öğretmen adaylarının ispat kavramına ilişkin görüşlerini inceleyen araştırmalar.

Bu bölümde öğretmenlerin veya öğretmen adaylarının ispat kavramına ilişkin görüşlerini inceleyen araştırmalara yer verilmiştir. Anılan araştırmaların kısa bir özeti aşağıda yer almaktadır. Özetten sonra bu grupta yer alan her bir araştırma çalışma grubuna göre alt alta özetlenmiştir. Bu bölümün en sonunda ise bu çalışmaların sonuçlarına ilişkin özete yer verilmiştir.

Alanyazın incelendiğinde; ispatın doğası kategorisinde nitelendirilebilecek çalışmaların birçoğunun (Dane, 2008; Güler ve Dikici, 2012; Güler, Özdemir ve Dikici, 2012; Knuth, 2002b; Köğce ve Yıldız, 2011; Moralı, Uğurel, Türnüklü ve Yeşildere, 2006; Oehrtman ve Lawson, 2008; Özdemir ve Kaplan, 2014) matematik öğretmeni adaylarının veya öğretmenlerin ispat kavramına ilişkin görüşlerini ortaya çıkarmayı amaçladığı görülmüştür. Bu çalışmalardan bazıları (Dane, 2008; Güler, Özdemir ve Dikici, 2012; Köğce ve Yıldız, 2011; Özdemir ve Kaplan, 2014,) ilköğretim matematik öğretmen adaylarının, bazıları (Özdemir ve Kaplan, 2014) ortaöğretim veya lise matematik öğretmen adaylarının, bazıları (Moralı, Uğurel, Türnüklü ve Yeşildere, 2006) ilköğretim ve ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarının, bazıları (Knuth, 2002b; Oehrtman ve Lawson, 2008) ise matematik öğretmenlerinin ispat hakkındaki görüşlerini değerlendirmeyi hedeflemişlerdir. İlköğretim matematik öğretmeni adayları ile gerçekleştirilen bu çalışmalardan bazıları (Güler ve diğerleri, 2012; Köğce ve Yıldız, 2011; Özdemir ve Kaplan, 2014) öğretmen adaylarının ispat görüşlerinin farklı değişkenlerle ilişkilerini ortaya çıkarmayı hedeflemişlerdir. Örneğin, Özdemir ve Kaplan (2014) ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının öğrenme stillerine göre matematiksel ispat yapmaya yönelik görüşlerindeki farklılıkları incelemeyi amaçlamış, Güler ve diğerleri (2012) ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel tümevarım yöntemiyle ispat becerilerini, matematiksel ispat hakkındaki görüşlerini ve bunlar arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmayı hedeflemişlerdir. Köğce ve Yıldız (2011) ise ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının ispat kavramı hakkındaki görüşlerini belirlerken farklı sınıf düzeyinde bu kavrama ilişkin görüşlerini karşılaştırmayı amaçlamışlardır.

Öğrencilerin ve öğretmen adaylarının ispata ilişkin görüş, anlayış ve düşüncelerini inceleyen yukarıdaki araştırmalardan bazıları (Dane, 2008; Güler ve Dikici, 2012; Knuth, 2002b) nitel bazıları ise nicel (Moralı ve diğerleri, 2006; Oehrtman ve Lawson, 2008) yöntemlerle verilerini analiz etmişlerdir. Öğretmen adaylarının ispat görüşlerinin farklı

değişkenlerle ilişkilerini ortaya çıkarmayı hedefleyen çalışmalar da nitel (Köğce ve Yıldız, 2011; Özdemir ve Kaplan, 2014) ve nicel (Güler ve diğerleri, 2012) analiz yöntemleri kullanmışlardır.

Matematik öğretmeni adaylarının ispat hakkındaki görüşlerini değerlendiren çalışmalara ilişkin özetler aşağıda yer almaktadır:

Özdemir ve Kaplan’ın (2014) çalışmalarının amacı ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının öğrenme stillerine göre matematiksel ispat yapmaya yönelik görüşlerindeki farklılıkların incelenmesidir. Çalışma bir devlet üniversitesinin ilköğretim matematik öğretmenliği bölümü son sınıfında öğrenim gören sekiz öğretmen adayı ile yürütülmüştür. Farklı öğrenme stillerine sahip öğretmen adaylarının ispat yapmaya ilişkin görüşlerinin belirlenmesinde nitel araştırma desenlerinden olgu bilim deseni kullanılmıştır. Çalışmada öğretmen adaylarının öğrenme stillerinin belirlenebilmesi için öğrenme stili ölçeği kullanılmış, öğretmen adaylarının matematiksel ispat hakkındaki görüşlerini ortaya çıkarmak için ise görüşme formu kullanılarak yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Öğretmen adaylarının matematiksel ispata ilişkin görüşlerinden elde edilen nitel verilerin analizinde içerik analizi kullanılmıştır. Oluşturulan kod ve kategorilere göre veriler düzenlenmiş ve yorumlanmıştır.

Çalışmanın sonuçları, farklı öğrenme stillerine sahip öğretmen adaylarının sahip oldukları görüşlerin birbirlerinden farklılaşmakta olduğunu ortaya koymuştur. Öğretmen adaylarının ispatın tanımına ilişkin ifadelerinde “açıklama” ve “doğrulama” kategorilerinin ön plana çıktığı belirlenmiştir.

Güler, Özdemir ve Dikici’nin (2012) yürüttükleri çalışmanın amacı, ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel tümevarım yöntemiyle ispat becerilerini, matematiksel ispat hakkındaki görüşlerini ve bunlar arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmaktır. Çalışma bir devlet üniversitesinin ilköğretim matematik öğretmenliği bölümü üçüncü ve dördüncü sınıflarında öğrenim gören 76 öğretmen adayı ile yürütülmüştür. Çalışmada dokuz öğretmen adayı ile görüşmeler yapılmıştır. Çalışmada verilerin analizi için nitel ve nicel araştırma yöntemleri birlikte kullanılmış olup, öğretmen adaylarına matematiksel tümevarımsal bilgi testi ile ispat görüş anketi uygulanmıştır. Çalışmada görüşmeler ses kaydına alınmıştır. İspat görüş anketine verilen yanıtlar bir ile beş arasında puanlanarak analiz edilmiştir. Matematiksel tümevarımsal bilgi testine verilen yanıtlarda ise doğru yanıtlara iki, kısmen doğru yanıtlara bir yanlış yanıtlara sıfır puan verilmiştir. Çalışmanın

nicel analiz kısmında bu iki ölçekten alınan veriler paket program yardımıyla analiz edilmiştir.

Çalışmanın sonuçları, öğretmen adaylarının matematiksel tümevarım adımları arası ilişkiyi tam olarak kavramadıklarını ve bu yöntemi takip edilmesi gereken bir prosedür olarak gördüklerini ortaya koymuştur. Görüşmeler sonucunda öğretmen adaylarının doğrulama basamağını kontrol edilmeye gerek olmayacak bir basamak olarak gördüklerini göstermiştir.

Güler ve Dikici’nin (2012) yürüttükleri çalışmanın amacı, ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel ispat hakkındaki görüşlerinin incelenmesidir. Çalışma bir devlet üniversitesinin matematik öğretmenliği bölümünde öğrenim gören 12 matematik öğretmeni adayı ile yürütülmüştür. Nitel araştırma desenlerinden olgu bilim deseni kullanılarak yürütülen çalışmada öğretmen adaylarının matematiksel ispat hakkındaki görüşlerinin alınabilmesi için matematiksel ispat görüş mülakat formu kullanılmıştır. Çalışmaya katılan öğretmen adaylarıyla görüşmeler yapılmış ve bu görüşmeler ses ve video kaydına alınmıştır. Çalışmada verilerin çözümlenmesi için içerik analizi kullanılmıştır. Öğretmen adaylarının tepkileri kod ve kategoriler altında sınıflandırılmış ve sonuçlar tartışılmıştır.

Çalışmanın sonuçlarına göre öğretmen adaylarının “Matematiksel ispat sizin için ne anlam ifade ediyor?” sorusuna verilen yanıtlarda “kalıcılık”, “ezber”, “mantıklı öğrenme”, “doğruluk”, “kesinlik”, “kullanışlılık”, “güven”, “gereklilik” ve “saçmalık” kategorileri ortaya çıkmıştır. Çalışmanın sonuçlarına göre öğretmen adaylarının çoğunluğunun matematiksel ispatı ifadelerin doğruluğu olarak gördükleri belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının büyük bölümü matematiksel ispatın olumlu bir anlama sahip olduğunu düşünmüşlerdir. Bazı öğretmen adayları ise matematiksel ispatın ezberden oluştuğunu düşünmüştür. Çalışmaya katılan öğretmen adaylarının çoğunluğu matematiksel ispatın matematik eğitiminde önemli yere sahip olduğunu düşünmüştür.

Köğce ve Yıldız’ın (2011) yürüttüğü çalışmanın amacı ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının ispat kavramı hakkındaki görüşlerini belirlemek ve farklı sınıf düzeyinde bu kavrama ilişkin görüşlerini karşılaştırmaktır. Çalışma bir devlet üniversitesinin ilköğretim matematik eğitimi bölümünde öğrenim gören 170 birinci ve son sınıf öğretmen adayı üzerinde gerçekleştirilmiştir. Nitel yöntemlerle analiz edilerek betimsel durum çalışması olarak tanımlanan çalışmada iki açık uçlu sorudan oluşan ölçme

aracı kullanılmıştır. Bu ölçme aracının soruları; “Sana göre ispat nedir? Açıklar mısın?” ve “Matematiksel ispata gerek var mıdır? Neden?” olarak belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının tepkileri benzerlik ve farklılıklarına göre tematik olarak sınıflandırılmış ve daha sonra kodlanmıştır.

Çalışmanın sonuçlarına göre öğretmen adaylarının ispatın tanımına ve ispatın gerekliliğine ilişkin yanıtlarında on ikişer farklı kod ortaya çıkmıştır. Öğretmen adaylarının ispatın tanımına ilişkin yanıtlarında ispatı “doğrulama”, “matematiksel işlemler süreci”, “ispatın mantıksal yönüne vurgu”, “matematiksel dil”, “soyutlamaya vurgu”, “tümevarımsal akıl yürütme yönteminin ilk adımına vurgu”, “ispat sürecine vurgu” altında sınıflamalar oluşmuştur. Soyutlama sınıflaması daha çok birinci sınıfta öğrenim gören öğretmen adaylarının yanıtlarında, “ispat sürecine vurgu” ise sadece birinci sınıfta öğrenim gören öğretmen adaylarının yanıtlarında yer almıştır. Çalışmada birinci sınıf matematik öğretmeni adaylarının büyük bölümü ispatlamayı bir ifadenin doğruluğunu gösterme olarak açıklarken son sınıf öğretmen adaylarının büyük bölümü ispatlamayı tüm durumlara uygulanabilir olarak bir ifadenin hem doğruluğunu hem yanlışlığını gösterme ve neden sonuç ilişkisi ile bilgi aktarma olarak tanımlamışlardır. Son sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel ispatlamaya ilişkin daha geniş bir bakış açıları olabileceği belirtilmiştir. Son sınıf öğretmen adayları ispatın gerekliliğine inanırken, birinci sınıf öğretmen adaylarının bir bölümü ispata gerek olmadığını belirtmişlerdir.

Dane’nin (2008) çalışmasının amacı ilköğretim matematik öğretmen adaylarının tanım, aksiyom, önerme, özellik, teorem, ispat gibi kavramları anlama düzeyini test etmektir. Çalışma bir devlet üniversitesinin ilköğretim matematik eğitimi bölümü üçüncü sınıfında öğrenim gören 51 öğretmen adayı ile gerçekleştirilmiştir. Çalışmada bu kavramların öğrenilme düzeyleri ve kavram yanılgılarının test edilmesi amacıyla matematik kavram testi uygulanmıştır. Öğretmen adaylarının kavram testinin ispat ile ilgili bölümünde “İspat denilince aklınıza ne geliyor?” ve “Bir teoremin ispatını yaparken nelere ihtiyaç duyarsınız?” sorularını yanıtlamaları istenmiştir. Öğretmen adaylarının bu teste ilişkin anlama seviyeleri beş kategori altında incelenmiştir. Bunlar “hiç yanıt vermeyenler”, “anlamama”, “sınırlı anlama”, “yanlış yanıtlama” ve doğru yanıtlayanlar” olarak belirlenmiştir. Kavram testi betimleme analizi ile değerlendirilmiştir.

Çalışmanın sonuçları öğretmen adaylarının ispat kavramını yaklaşık % 45 oranında doğru yanıtladıklarını göstermiştir. Öğretmen adaylarının doğru yanıtları “ispatı, tanımsız kavramlara, aksiyomlara veya daha önce ispat edilen teoremlere ve problemlere dayanarak

bir dizi mantıksal hükümlerle bir önermenin doğru olduğunu ortaya çıkarma” tepkisi altında gruplandırılmıştır. Öğretmen adaylarının sınırlı anlama kategorisindeki ifadeleri, ispatları hipotez gibi görmeleri gibi sınırlı anlama ve kavram yanılgılarıyla ortaya çıkmıştır. Öğretmen adaylarının “anlamama” kategorisi altındaki yanıtları ispatı açıklama olarak gördükleri durumları içermiştir. Öğretmen adayları bir teoremin ispatını yaparlarken nelere ihtiyaç duyacakları ile ilgili soruyu yaklaşık % 43 oranında doğru yanıtlamışlardır. Öğretmen adaylarının % 36’sı ise bu soruyu sınırlı anlamışlardır. Öğretmen adaylarının sınırlı anlama durumlarında kavram yanılgılarına düştükleri belirlenmiştir.

Moralı, Uğurel, Türnüklü ve Yeşildere’nin (2006) çalışmalarının amacı matematik öğretmeni adaylarının ispata ilişkin görüşlerini tespit etmektir. Çalışma bir devlet üniversitesinin ilköğretim ve ortaöğretim matematik öğretmenliği bölümlerinin birinci ve son sınıflarında öğrenim gören 337 öğretmen adayı üzerinde yürütülmüştür. Nicel yöntemlerle analiz edilen çalışmada matematik öğretmen adaylarının ispata ilişkin görüşlerini almak amacıyla likert tipi ölçek kullanılmıştır. Çalışmanın verileri nicel analizler için paket program yardımıyla analiz edilmiştir. Çalışmanın sonuçları öğretmen adaylarının ispat yapmaya ilişkin becerilerine ilişkin kavramsal yeterliliklerinin düşük olabileceğini, sayısal değerlere dayanan ispatlamaya eğilimli olabileceklerini ve ispat yapmaya yönelik görüşlerinin tam oluşmadığını göstermiştir.

Matematik öğretmenlerinin ispat hakkındaki görüşlerini inceleyen çalışmaların özetleri aşağıda yer almaktadır:

Oehrtman ve Lawson’ın (2008) yürüttükleri çalışmanın amacı lise matematik ve fen öğretmenlerinin ispat ve reddetme içeren birçok anahtar terim hakkındaki anlayışlarını değerlendirmektir. Çalışma Amerika’da devlet okulunda öğretmenlik yapan 45 öğretmen üzerinde yürütülmüştür. Çalışmada ispatın, hipotezlerin, tahminlerin, teori ve kuralların bilimdeki rolleriyle ve anlamlarıyla ve ispatın, varsayımların, aksiyomların, teoremlerin, tanımların ve postülatların matematikteki rolleriyle ve anlamlarıyla ilgili maddeler içeren bilimin ve matematiğin doğası ölçeği uygulanmıştır. Öğretmenlerden beşli ölçeğe yanıt vermeleri istenmiştir. Çalışmanın verileri nicel yöntemlerle analiz edilmiştir.

Çalışmanın sonuçlarına göre fen öğretmenleri bilimin doğasına ilişkin maddelerde, matematik öğretmenleri ise matematiğin doğasına ilişkin maddelerde diğer gruba göre daha iyi performans sergilemişlerdir. Çalışmanın sonuçları fen ve matematik öğretmenlerinin ispatın ve reddetmenin anlamları ve rolleri hakkında eksik anlayışa sahip

olduklarını ortaya koymuştur. Aynı zamanda öğretmenlerin bu anahtar terimlerin rolleri ve anlamları hakkında öğrencilerine yardım etmek için yeterince donanımlı olmadıkları belirlenmiştir.

Knuth (2002b) çalışmasında öğretmenlerin ispata ilişkin düşüncelerini ortaokul matematiği bağlamında incelemeyi amaçlamıştır. Çalışma iki ortaokul ve 15 lise öğretmeni ile yürütülmüştür. Çalışmanın verileri iki yarı yapılandırılmış görüşme ile elde edilmiştir. Veriler iki ayrı düzeyde toplanmıştır. İlk düzeyde öğretmenlerin matematik disiplini içerisindeki ispat anlayışlarına odaklanılmış, ikinci düzeyde ise öğretmenlerin ortaokul matematiği bağlamındaki ispat anlayışlarına odaklanılmıştır. Bu çalışmada ikinci düzey görüşmelerine ilişkin bulgular ortaya konmuştur. Görüşmelerde öğretmenlerin ortaokul matematiği bağlamında ispatın rolü ve doğası hakkındaki anlayışları incelenmiştir. Yarı yapılandırılmış görüşmelerde öğretmenlere ispatın onlar için ne anlam ifade ettiği, ortaokul matematiğinde ispatı oluşturan şeylerin ne olduğu, öğrencilerin ne zaman ispatla karşılaşmaları gerektiği gibi sorular yöneltilmiştir. Bunun yanında öğretmenlerin araştırmacı tarafından oluşturulan argümanları, argümanların öğretimsel uygunluğu hakkında değerlendirmeleri istenmiştir. Çalışma verilerin analizi, verilerin analitik- tümevarımsal yöntem kullanılarak kodlanmasıyla yapılmıştır.

Çalışmanın sonuçlarına göre öğretmenlerin büyük bölümü ispatı bir öncülün doğruluğunu gösteren tümdengelimsel argüman olarak tanımlamışlardır. Diğer öğretmenler ispatı biraz daha genel olarak; ikna edici bir argüman olarak tanımlamışlardır. Öğretmenler ispatı ortaokul matematiği bağlamında ele aldıklarında formel, az formel ve informel ispatlar sınıflandırması ortaya çıkmıştır. Öğretmenler ortaokul matematiğinde ispatın doğasını açıklarken, üç çeşit tema ortaya çıkmıştır: “İspatın okul matematiğindeki merkeziyeti”, “reform ve ispat” ve “öğrencilerin ispat deneyimleri”. Öğretmenlerin büyük çoğunluğu ispatın ortaokul matematiği boyunca merkezi fikir olmaması gerektiğini, ispatın öğrencilere uygunluğunu sorgulayarak belirtmişlerdir. Birçok öğretmen ispatın öğrencilere üniversitede gelişmiş matematik sınıflarında uygun olacağını belirtmiştir. Bunun yanında birçok öğretmen ortaokul eğitiminde ispatın Öklit geometrisi içinde yer alabileceğini vurgulamıştır.

2.2.4.2. Öğrencilerin veya öğretmen adaylarının ispat bilgilerini veya ispat