İspat şemalarını farklı değişkenlerle ilişkileriyle beraber inceleyen araştırmalar.

Bu bölümde, öğrencilerin ispat şemalarını belirleyen ve bunun yanında bu ispat şemalarının farklı değişkenlerle ilişkisini inceleyen çalışmalara yer verilmiştir. Bu çalışmaların kısa bir özeti aşağıda yer almaktadır. Özetten sonra bu grupta yer alan her bir araştırma çalışma grubuna göre alt alta özetlenmiştir. Bu bölümün en sonunda bu çalışmaların sonuçlarına ilişkin özetler verilmiştir. Bu sonuçlara ilişkin özetlerde öğrencilerin ispat şemalarıyla bu değişkenler arasındaki ilişkilere odaklanmak yerine bu çalışmaya daha yararlı olacak şekilde öğrencilerin ispat şemalarıyla ilgili sonuçlara yer verilmiştir.

Bu çalışmaların her biri öğrencilerin ispat şemalarını başka bir değişkenle beraber ele almış fakat yine öğrencilerin ortaya koydukları ispat şemalarına ait tepkilere ilişkin sonuçlara yer vermişlerdir. Örneğin, lisans öğrencileriyle çalışmalarını yürüten Stylinou, Chae ve Blanton (2006) öğrencilerin problem çözme yollarını ortaya koyarak bu yollarla onların ispat şemaları arasında ne gibi ilişkiler olduğunu belirlemeye çalışırken benzer

şekilde Plaxco (2011) lisans öğrencilerinin matematiksel tanım anlayışlarını ortaya koyarak bu anlayışlar ile onların ispat şemaları arasında ne gibi ilişkiler olduğunu belirlemeye çalışmışlardır. Lisans öğrencileriyle çalışmalarını yürüten Housman ve Porter (2003) ise öğrencilerin matematiksel kavramlar öğrenirken kullandıkları stratejiler ve geçmiş ispat deneyimleri ile onların ispat şemaları arasındaki ilişkileri aramışlardır. Tüm bu çalışmalar nitel yöntemler kullanmışlardır. Bu çalışmalardan Stylinou ve diğerleri (2006) öğrencilerin ispat şemalarını klinik görüşmeler ile, Housman ve Porter (2003) görev temelli görüşmeler ile belirlemeye çalışmışlardır. Plaxco (2011) ise öğrencilerin ispat şemalarını belirlemek için görüşmeler yaptığını belirtmiştir.

Bu çalışma grubunda ortaokul öğrencileri ile çalışmasını yürüten tek çalışma olan Ören (2007) ise öğrencilerin bilişsel stilleri ve cinsiyetlerine göre ispat şemaları kullanımlarındaki farklılıkları araştırmıştır. Nicel yöntemlerle yürütülen çalışma tanımlayıcı ve nedensel karşılaştırmalı olarak nitelendirilmiştir. Bu çalışma öğrencilerin ispat şemalarına ilişkin verilerini görüşme yolu yerine açık uçlu sorulardan oluşan veri toplama aracılığıyla toplamıştır. Aşağıda, anılan çalışmaların özetleri yer almaktadır:

Lisans öğrencilerinin ispat şemalarını başka bir değişkenle beraber ele alan ve öğrencilerin ispat şemalarına ait tepkilere ilişkin sonuçlara yer veren çalışmaların özetleri aşağıdaki gibidir:

Plaxco’nun (2011) çalışmasının başlıca amacı lisans öğrencilerinin matematiksel tanım anlayışlarını araştırmak ve bu anlayışların, onların genel ispat şemalarıyla nasıl bir ilişki içinde olduğunu ortaya çıkarmaktır. Nitel yöntemle hazırlanan bu tez çalışması Amerika’nın Virginia eyaletindeki bir enstitüsüde öğrenim görmekte olan Alex, Betty, ve Carolina olarak isimlendirdikleri üç lisans öğrencisi ile gerçekleştirilmiştir. Öğrencilerle görüşmeler yapılmış ve ispatların kabul ya da reddine bağlı olarak katılımcıların ispat şemalarının belirlenmesi yoluna gidilmiştir. Araştırmacı katılımcılara Harel ve Sowder’ın (1998) ispat şeması sınıflandırmasındaki bir çeşide denk düşen (analitik, deneysel ya da dışsal) bir ispat matrisi yöneltmiştir. Araştırmacı katılımcıların ispat şemalarını belirlemek; temel düşünme temalarını tanımlamak için görüşmelerden sonra her bir görüşme kaydını analiz etmiştir. Araştırmacı öncelikle katılımcıların yanıtlarının matematiksel doğruluğunu değerlendirmiş, daha sonra her bir cevabın açıklamalarına göre katılımcıların düşüncelerinin bütüncül modeline ulaşmak için yanıtları ve çalışmalar arası düşünmeleri karşılaştırarak temaları oluşturmuştur.

Yapılan görüşmelerde Alex ağırlıklı olarak analitik ispat şemasının aksiyomatik sezgisel özelliklerini göstermiştir. Bazı durumlarda ispatın içeriğinden çok biçimine önem vermiş ve böylelikle dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasının özelliklerini sergilemiş ve ispat yapılandırmalarında örnek kullanımı hakkında derin bir anlayışa sahip olmuştur. Örnekleri, sembolik ilişkileri kabul edip reddederken sağlıklı biçimde kullanabilmiştir. İkinci katılımcı olan Betty görüşmelerde ağırlıklı olarak analitik ispat şemasının özelliklerini göstermekle beraber bazı durumlarda dışsal alışkanlık edinilmiş ve deneysel ispat şemasına eğilim göstermiştir. Betty’nin ispat şeması matematiksel ilişkileri kendi başına doğrulama eğiliminde olduğunu göstermiştir. Üçüncü katılımcı olan Caroline kendisiyle yapılan görüşmelerde dışsal otoriter, deneysel tümevarımsal ve analitik ispat şemalarının kombinasyonunu ortaya koymuştur. Çalışmada öğrencilerin matematiksel kavram imajlarının onların ispat şemalarını geliştirdiği ya da engellediğini göstermiştir. Çalışmanın sonuçları öğrencilerin matematiksel anlayışlarının kavram imajlarını adapte etmedeki yeterliklerinin ya da yetersizliklerinin onların ispat şemalarını geliştirdiğini ya da engellediğini göstermiştir.

Stylinou, Chae ve Blanton’un (2006) çalışmalarının amacı üniversite öğrencilerinin ispat şemalarını, bu ispat şemalarını ortaya koyarken kullandıkları problem çözme yollarını belirleyerek bu yollarla ispat şemaları arasında ne gibi ilişkiler olduğunu belirlemektir. Çalışma bir üniversitenin matematik bölümünde okuyan 34 lisans öğrencisi üzerinde yürütülmüştür. Çalışma bir dönem boyunca ispat ve matematiksel argümantasyonun vurgulandığı soyut matematik dersinde sürdürülmüştür.

Nitel yöntemle yürütülen çalışmada farklı ispat şemalarına sahip öğrencilerle ispat yaparken klinik görüşmeler yapılmış ve öğrencilerin problem çözerlerken sahip oldukları kalıplar ile ispat şemaları arasındaki olası ilişkilerin belirlenmesi için işlem basamakları analiz edilmiştir. Çalışmada dönem başında ders öğrencilerinin hepsi çalışmaya davet edilmiş, her öğrenciye klinik görüşmeler boyunca üç matematik problemi sunulmuştur. Öğrencilerin ispat şemaları Harel ve Sowder’ın (1998) ispat şemaları sınıflandırmasına göre sınıflandırılmıştır. Her bir işlem basamağı okuma, analiz, keşfetme, planlama, uygulama ve doğrulama içeren bölümlere ayrılmıştır. Daha sonra, öğrencilerin ispatlarında ilerlerken yaptıkları açıklama ve tanımlar tümdengelimsel yolla ortaya çıkarılmaya çalışılmıştır.

Çalışmada her bir ispat şemasına sahip öğrencilerin ispat yaparken benzer kalıplarda hareket ettikleri ve bu kalıpların onların ispat performanslarını etkilediği

sonucuna ulaşılmıştır. Çalışmada öğrencilerin çoğunluğunun deneysel ispat şeması özelliklerini gösterdikleri görülmüştür. Çalışmada farklı ispat şemalarını takip eden farklı problem çözme yolları olduğu sonucuna varılmıştır. Örneğin dışsal ikna şemasını kullanan öğrenciler okuma yaptıktan sonra tanımı sunmuşlar, daha sonra ispatı sembol manipülasyonu yaparak sonlandırmışlar veya orada bırakmışlardır. Deneysel ispat şeması özelliklerini gösteren öğrenciler okuma yaptıktan sonra sayısal örneklerle keşif yoluna başvurmuşlar, daha sonra ise tümevarımsal bir varsayımla ispatı sonlandırmışlardır. Analitik ispat şemalarını kullanan öğrenciler ise okuma yaptıktan sonra tanımı sunmuşlar ve analize başlamışlardır. Analitik ispat şeması özellikleri gösteren öğrenciler birbirini izleyen etkinlikler için bir amaç belirlemişler, tanımlarını sembolleştirmişler (temsil etmişler), tanımlarını araştırarak problem durumuna fazladan anlayışlar kazandırmışlar ve yeni bilgiyi başlangıçtaki problemle ilişkilendirmişlerdir. Bunların sonucunda ise tümdengelimsel ispatı yapılandırmayı başarmışlardır.

Housman ve Porter’ın (2003) yürüttükleri çalışmanın amacı ortalamanın üzerinde başarıya sahip öğrencilerin matematiksel argümanlarda ikna edici buldukları kalıpları ve yeni matematiksel kavramlar öğrenirken kullandıkları stratejileri ortaya çıkarmaktır. Çalışma bir yüksekokulda okuyan ve matematik derslerinde başarılı 11 kız öğrenci ile gerçekleştirilmiştir.

Nitel yöntem kullanılarak hazırlanan çalışmada öğrencilerle görev temelli görüşmeler yapılmıştır. Görüşmelerde öğrencilerden her bir varsayımın doğruluğu hakkında yorum yapmaları istenmiş, bunun için kendilerine yazılı ispatlar verilmiştir. Daha sonra her bir öğrenciye her bir varsayım için varsayımlarının doğruluğunu yorumlamalarını sağlayacak sorular sorulmuştur. Bu ifadeler ise Harel ve Sowder’ın (1998) ispat şemaları sınıflandırmasına göre sınıflandırılmıştır. Öğrencilerin matematiksel kavramları tanımlarından öğrenirken ne tip stratejileri kullandıklarını ortaya çıkarmak için ise ikinci bir görüşme tasarlanmıştır.

Tüm öğrenciler, yapmaları istendiğinde başarılı biçimde örnek oluşturabilmişlerdir fakat hiç yardım almadan örnekleri oluşturmalarına göre ve varsayımları reddetmek gerektiğinde örnek oluşturmada başarılı olup olmamalarına göre ayrılmışlardır. Bazı öğrenciler kısa süre içerisinde ispat şemalarının üç ana sınıflandırmasının özelliklerini göstermişlerdir. Biri hariç tüm öğrenciler iki ya da üç ispat şemasının özelliklerini sergilerken bir tanesi dört ispat şeması özelliklerini göstermiştir. Daha çok dışsal faktörlerle ikna olan öğrenciler örnekleri genellemede, örnekleri kullanmada ve kavramları

yeniden formüle etmede başarısız olmuşlardır. Örneklere dayalı argümanı ikna edici bulan tek öğrenci diğer öğrencilerden çok daha fazla örnek oluşturmuştur. Tümdengelimsel argümanlar yazan ve bunlarla ikna olan öğrenciler örnekleri kullanmada ve kavramları yeniden formüle etmede başarılı olmuşlardır. Bu öğrenciler örnekleri, yapmaları istendiği zaman veya bir varsayımı reddetmeleri gerektiğinde başarılı bir şekilde oluşturmuşlardır. Çalışmada beş öğrencinin dönüşümsel ispat şemasının en azından önemli görünümlerini sergiledikleri belirlenmiştir. Bu öğrenciler aynı zamanda örnek kullanımını da aşırıya kaçmadan kararında yapan öğrenciler olmuşlardır. Dönüşümsel ispat şemasının belirgin özelliklerini taşımayan öğrencilerin varsayımları reddetmeleri gerektiğinde başarılı biçimde örnekler oluşturamadıkları görülmüştür. Öğrencilerin geçmiş ispat deneyimleri ile ilgili olarak bazı sonuçlara varılmıştır. Hiç ispat deneyimi olmamış öğrencilerin deneysel ya da dışsal ispat şemasının özelliklerini sergileyebilecekleri, iki ya da daha fazla ispat dersi alanların da analitik ispat şemasının özelliklerini gösterebileceğinin düşünülebileceği fakat bu çalışmada durumun farklı olduğu belirtilmiştir. Her bir ispat şeması sınıflandırması ispat deneyimi olan en az bir öğrenci tarafından sergilenmiştir. Biri hariç tüm öğrenciler iki ya da daha fazla ispat şemasının özelliklerini sergilemiştir. Yedi öğrenci temel sınıflandırmalardan birden fazlasını kullanmıştır. Öğrencilerin a) dışsal ispat şeması ve b) dışsal ve analitik ispat şeması haricinde temel sınıflandırmaların her kombinasyonunun özelliklerini sergiledikleri görülmüştür.

Lise öğrencilerinin ispat şemalarını başka değişkenlerle beraber ele alan tek çalışma olan Ören’in (2007) çalışmasına ilişkin özet aşağıda yer almaktadır:

Ören’in (2007) çalışmasının amacı lise öğrencilerinin geometri sorularında kullandıkları ispat şemalarını belirlemek ve öğrencilerin bilişsel stilleri ve cinsiyetlerine göre ispat şemaları kullanımlarındaki farklılıkları araştırmaktır. Çalışma 2005-2006 akademik döneminde Ankara’da bulunan dört lisede iki 224 10. sınıf öğrencisi ile yürütülmüştür. Çalışma hem tanımlayıcı hem de nedensel karşılaştırmalı bir araştırma olarak tanımlanmıştır. Çalışmanın verileri, iki veri toplama aracı kullanılarak elde edilmiştir. Öğrencilerin yanıtları Harel ve Sowder (1998) tarafından geliştirilen ispat şemaları çerçevesinde sınıflandırılmıştır.

Çalışmada öğrencilerin dışsal dayanaklı ve deneysel ispat şemalarını analitik ispat şemalarına göre önemli ölçüde daha fazla kullanmakta olduğunu ortaya konulmuştur. Öğrencilerin yaklaşık olarak % 44’ü deneysel, % 41’ i dışsal şemalar kullanırken sadece % 14’ü analitik şemalar kullanmışlardır. Kız öğrenciler deneysel ispat şemalarını erkek

öğrencilere göre önemli ölçüde daha fazla kullanmışlardır. Bunun yanında, alan bağımlı öğrenciler dışsal dayanaklı ispat şemalarını alan bağımsız öğrencilere göre önemli ölçüde daha fazla kullanmışlardır. Çalışmada, alan bağımsız öğrencilerin analitik ispat şemalarını alan bağımlı öğrencilere göre önemli ölçüde daha fazla kullanmakta oldukları tespit edilmiştir. İspat şemalarını kullanımda bilişsel stil ile cinsiyet arasında anlamlı bir ilişki bulunamamıştır.

İspat şemalarını farklı değişkenlerle ilişkileriyle beraber inceleyen çalışmaların sonuçlarına ilişkin kısa bir özet aşağıda yer almaktadır:

Bu bölümdeki bir çalışma (Ören, 2007) lise öğrencilerinin, diğer bir çalışma (Stylinou ve diğerleri, 2006) ise lisans öğrencilerinin çoğunlukla deneysel ve dışsal ispat şemalarının özelliklerini sergilediklerini belirlemişlerdir. Ören’in (2007) çalışmasında lise öğrencilerinin dışsal dayanaklı ve deneysel ispat şemalarını analitik ispat şemalarına göre önemli ölçüde daha fazla kullanmakta oldukları belirlenmiştir. Bunun yanında çalışmada kız öğrencilerin deneysel ispat şemalarını erkek öğrencilere göre önemli ölçüde daha fazla kullandıkları belirlenmiştir. Ayrıca öğrencilerin bilişsel stilleri ile kullandıkları ispat şemaları arasında anlamlı farklılıklar tespit edilmiştir. Stylinou ve diğerleri’nin (2006) çalışmasında benzer şekilde lisans öğrencilerinin çoğunluğunun deneysel ispat şemasını kullandıkları görülmüştür. Çalışmada farklı ispat şemalarını takip eden farklı problem çözme yolları olduğu sonucuna varılmıştır.

Bazı çalışmalar (Housman ve Porter, 2003; Plaxco, 2011) lisans öğrencilerinin analitik ispat şemasının özelliklerine sahip olduklarını ortaya koymuşlardır. Örneğin, Plaxco (2011) üç lisans öğrencisi ile yürüttüğü çalışmasında bir öğrencisinin ağırlıklı olarak analitik ispat şemasının aksiyomatik sezgisel ispat şemasının özelliklerini gösterdiğini belirtirken diğer öğrencilerinin analitik ispat şemasının yanında başka ispat şemalarını da kullandıklarını ortaya koymuştur. Çalışmada öğrencilerin matematiksel kavram imajlarının ve matematiksel anlayışlarının onların ispat şemalarını geliştirdiği ya da engellediği belirlenmiştir. Housman ve Porter’ın (2003) çalışmasında birlikte çalıştığı öğrencilerden bir kısmının analitik dönüşümsel ispat şemasının en azından önemli görünümlerine sahip olduğu belirlenmiştir. Çalışmada dönüşümsel ispat şemasının belirgin özelliklerini taşımayan öğrencilerin varsayımları reddetmeleri gerektiğinde başarılı biçimde örnekler oluşturamadıkları görülmüştür. Bunun yanında her bir ispat şeması sınıflandırması ispat deneyimi olan en az bir öğrenci tarafından sergilenmiştir.

2.2.1.2. Sonuçlarında ispat şemalarının özelliklerini barındıran deneysel