B. RÖDOVANS SÖZLEŞMESİ İMZALAMAK SURETİYLE RÖDOVANSÇ
5. Ruhsat Sahibi İdarenin Taraf Olduğu Rödovans Sözleşmesi
Neste trabalho implementou-se o modelo HJM em sua forma multifatorial, o qual modela a evolução de toda a curva de juros, utilizando-se uma abordagem numérica através de Monte Carlo. A sua contribuição está no fato de se utilizar uma estrutura de volatilidade não paramétrica e, aliado a isso, tratar de maneira independente os dois parâmetros da dinâmica da taxa forward do modelo. Para isso, foi considerada uma modificação no modelo, proposta por Brace e Musiela (1994), onde o parâmetro data de maturidade foi alterado para o parâmetro prazo para maturidade �. Na correspondente abordagem discreta, foi implementada a utilização de dois grids em separado, um para o tempo e outro para o prazo �, diferentemente da abordagem mais usual na qual se utilizam grids coincidentes32. No que tange à calibração do modelo implementado neste trabalho, observou-se o estudo feito por Scherer e Avellaneda (2002), no qual foi utilizada a técnica PCA para identificar a alteração no movimento conjunto das taxas de juros de dívidas soberanas em momentos de crise financeira global. Aplicou-se esta mesma idéia neste trabalho, porém em outro contexto, onde o que foi observado foi o comportamento das taxas do DI Futuro em períodos distintos ao longo do tempo e a influência de uma crise financeira na estrutura de volatilidade. Com isso, pôde-se escolher o melhor período para calibrar a estrutura de volatilidade a ser utilizada na simulação. Desta maneira, esta abordagem conferiu grande flexibilidade à simulação, bem como, a especificação de um método para a calibração da estrutura de volatilidade.
Para avaliar a implementação do modelo e sua calibração, foram realizados testes de precificação de derivativos de taxas de juros negociados no mercado brasileiro em um período já decorrido33 e, assim, possibilitar a comparação entre o valor encontrado pelo modelo e o valor real ocorrido. Foram testados três derivativos de taxas de juros negociados na BM&FBOVESPA, a saber, opções de compra sobre IDI, opções de venda sobre DI Futuro e contratos de DI Futuro. Os melhores resultados foram para os contratos de DI Futuro, como esperado, porque a calibração da volatilidade histórica da taxa forward foi obtida a partir deste derivativo que é o de maior liquidez da bolsa. Os resultados apresentaram diferenças menores
32 Considerando o modelo original cujos parâmetros são o tempo e a data para maturidade . 33 Normalmente conhecido em inglês como back-test.
do que 1% para estes contratos, conforme visto na seção 5.4. Já para o caso das opções sobre IDI e das opções sobre DI Futuro os resultados apresentaram diferenças um pouco maiores, da ordem de 2% no caso das opções sobre DI Futuro e de 1% a 10% no caso da opções sobre IDI. Este último, mostrou um resultado não muito consistente (a variância do erro foi maior para estas opções do que para os outros derivativos), que pode ser explicado em parte pela baixa liquidez destas opções e, de outra parte, porque provavelmente o mercado utiliza o modelo de Black (1976) para precificar as opções.
Pelos resultados obtidos, pode-se considerar o modelo HJM multifatorial, implementado através de uma abordagem numérica e com uma estrutura de volatilidade não paramétrica, conforme feito neste trabalho e, ainda, com a aplicação da metodologia sugerida para sua calibração, bastante satisfatório e, pela sua grande flexibilidade, a abordagem aqui apresentada poderia também ser utilizada na precificação de derivativos negociados em outros mercados.
O modelo de Black (1976), embora ainda muito utilizado pelo mercado, possui aplicações limitadas por não modelar a dinâmica de toda a curva de juros. Em contrapartida, modelos do tipo HJM têm a capacidade de capturar a dinâmica de toda a curva da taxa forward, possibilitando assim uma melhor adequação e eficácia tanto no apreçamento de derivativos de taxas de juros quanto na gestão de risco. Além disso, sua calibração pode ser considerada simples, uma vez que: i) a ETTJ inicial é um dado de entrada do modelo, ou seja, não é necessário calibrar a ETTJ inicial de mercado com a ETTJ inicial estimada pelo modelo, pois ela é replicada automaticamente; ii) o drift é função da volatilidade para tornar o modelo livre de arbitragem, ou seja, não é necessário estimá-lo; e, iii) a estimativa da volatilidade é obtida dos dados históricos. Aliado a isso, o modelo HJM multifator, modelando a dinâmica de toda a curva de juros, juntamente com a estimativa da estrutura de volatilidade baseada no histórico, apresenta um maior poder de explicação (eventualmente do lado econômico) para os operadores do mercado que o utilizam. Poder-se-ia dizer que uma das desvantagens de se utilizar o modelo HJM em relação ao modelo de Black seria a performance de processamento, eventualmente muito lento no primeiro, por se tratar de um processamento numérico, em comparação ao segundo, que tem solução analítica e, portanto, de processamento
quase imediato. Entretanto, com a capacidade de processamento dos atuais computadores isto deixou de ser um problema significativo.
É importante salientar que a calibração da volatilidade histórica deve ser feita com um período no qual a taxa de juros tenha um comportamento similar ao período para o qual se quer estimar, o que leva à necessidade de existência de dados históricos em quantidade suficiente para que isso possa ser feito de maneira adequada. Neste aspecto, a questão importante, conforme mostrado, é a diferenciação entre períodos de estabilidade em contrapartida a um período de crise econômica, que normalmente causa uma quebra estrutural e consequente impacto na estrutura a termo da volatilidade. Lembrando ainda, conforme já citado, que diferentes tipos de uso (e. g. apreçamento e gestão de risco), podem requerer métodos de calibração distintos.
Uma possível extensão deste trabalho seria a realização de testes em um número mais significativo de observações de maneira a possibilitar uma análise estatística de erros, porém, esta tarefa é bastante dificultada em função da baixa liquidez dos derivativos de taxas de juros negociados em bolsa, exceção feita ao DI Futuro.
A técnica PCA tem sido utilizada por vários autores para analisar dados financeiros e, em particular, dados relativos às taxas de juros. No caso destas últimas, embora amplamente analisadas e com resultados bastante conhecidos e consistentes, é recomendável a verificação da estabilidade dos componentes antes de interpretar seus resultados devido aos coeficientes estimados estarem sujeitos a alguma variabilidade de amostragem conforme indicam Scherer e Avellaneda (2002). Neste sentido esta análise poderia ser avaliada em um trabalho futuro.
Embora a utilização de um recurso de interpolação de pontos na curva de juros seja bastante comum pelos praticantes do mercado e também pelos bancos centrais, seu uso pode provocar erros na estimação como citado na nota (19). Assim, uma sugestão para extensão deste trabalho seria uma avaliação estatística destes erros e seu impacto na estimativa da taxa foward.
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APÊNDICE A – Comparativo de volatilidades entre períodos estáveis e
com um período com quebra estrutural
Nas figuras abaixo são mostrados os gráficos comparativos dos três primeiros componentes da estrutura de volatilidade, calculados através de PCA, em dois períodos distintos, sendo na Figura 5 um comparativo entre dois períodos relativamente estáveis34 para a taxa de juros, entre 2005 a 2008 e 2011 a 2012.
Figura 5 - Volatilidade em dois períodos estáveis
34 Sem alteração estrutural.
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0 100 200 300 400 500 V o latilidad e Prazos
Comparativo entre os períodos 2005-2008 e 2011-2012
Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 2011-2012
Na Figura 6 um período com quebra estrutural35 entre 2009 a 2010 com o período
pós “crise” entre 2011 a 2012, com as taxas já tendendo à estabilidade.
Figura 6 - Volatilidade em um período com “crise” x um período estável
Observa-se claramente a diferença entre estes dois gráficos. No primeiro caso, na Figura 5, a estrutura de volatilidade tem um comportamento bastante similar nos dois períodos, mesmo sendo de períodos não próximos, sendo a maior diferença no primeiro componente. Já no segundo caso, na Figura 6, o comportamento é bem distinto entre os dois períodos, apesar de se referirem a períodos contíguos. Existem diferenças em todos os três componentes, sendo essas diferenças provocadas pela crise, caracterizando a quebra estrutural.
35 Período no qual o mercado financeiro estava sofrendo as conseqüências da crise ocorrida no final
de 2008. -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0 100 200 300 400 500 V o latilidad e Prazos
Comparativo entre os períodos 2009-2010 e 2011-2012
Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 2011-2012
APÊNDICE B – Exemplo de cálculo da taxa forward a partir do DI Futuro
No Brasil, o mercado em geral utiliza curvas de taxas de juros que são definidas em uma estrutura flat-forward (taxa forward constante) entre dois períodos. Dessa maneira, observando-se em um gráfico, a taxa de juros varia na forma de “escada” entre as maturidades consideradas. Como exemplo, pode-se visualizar tal estrutura no gráfico da Figura 7 abaixo, que foi construída com base nas cotações de DI Futuro (cotações hipotéticas utilizadas apenas neste exemplo para demonstração) na Tabela 8 a seguir.
Figura 7 - Curva DI construida a partir das taxas fowrard entre prazos 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00% 12.00% 14.00% 0 50 100 150 200 250 300 T ax a
Prazos em dias úteis
Tabela 8 - Tabela de taxas de ajuste de DI Futuro36 Prazo � para Vencimento do DI Futuro Taxa de ajuste da BMF para o prazo 1 21 12,40% 2 42 11,80% 3 63 11,10% 4 126 10,50% 5 189 10,80% 6 252 11,40%
Com base nos dados da Tabela 8 calcula-se as taxas forward entre dois prazos consecutivos utilizando a seguinte equação:
� = 1 + � 252 1 + −1 �−1 252 252 � −�−1 − 1,
onde a taxa � é a taxa forward entre os prazos � e �−1 e é a taxa de ajuste em � . As taxas forward assim calculadas são apresentadas na Tabela 9.
Para o primeiro período utilizou-se que a taxa CDI-over em ∗ que, para efeito deste
exemplo, foi considerado de 12% a. a., base 252 dias úteis, e prazo de 1 dia útil.
Tabela 9 - Tabela de taxas forward calculadas entre prazos
Prazos Taxa forward
� �−1 � 0 1 12,00% 1 21 12,42% 21 42 11,20% 42 63 9,71% 63 126 9,90% 126 189 11,40% 189 252 13,22%
Neste trabalho as taxas compostas por dias úteis foram convertidas para taxas “contínuas” equivalentes, discretizadas por dias úteis, ambos na base 252 dias úteis. Para isso foi utilizada a equação (21), obtendo-se assim, a Tabela 10 abaixo.
Tabela 10 - Taxas forward entre prazos, continuamente compostas37 por dias úteis
Prazos Taxa forward
( ∗,� ) �−1 � 0 1 11,33% 1 21 11,71% 21 42 10,62% 42 63 9,27% 63 126 9,44% 126 189 10,80% 189 252 12,42%
Na notação deste trabalho, então, p. ex., a taxa forward ∗, 21 = 11,71% a. a.
ANEXO A – Teorema 2.1 em Brace e Musiela (1994)
Se não há nenhuma incerteza sobre o comportamento futuro da taxa de juros então para prevenir arbitragem , = (0, + ) para todo , 0. Que implica:
, − 0 = 0, + − 0 = 0, = , 0 e também: ( , ) ( ) = 1 ( ), (31) i
onde ( , ) é o preço em de um zero-coupon bond que paga 1 na maturidade . Em termos da taxa forward , , 0,
, = exp − − ,
0
A taxa spot instantânea é a taxa pela qual se pode entrar em um contrato na data para emprestar ou tomar emprestado pelo período [ , + ]. Nesta notação a taxa spot na data é ( , 0). Dado um investimento inicial de 1 no tempo 0, o valor gerado no tempo 0 por reinvestir continuamente na taxa spot é
= exp , 0
0
,
No caso de incerteza (dado a informação disponível em ) pode-se calcular o lado esquerdo de (31) e, portanto, pode-se apenas esperar (dado o que se conhece em ) que (31) seja válido. Formulado como uma hipótese de esperança, (31) se torna:
( , ) ( ) =�
1
para todo 0 , onde para incorporar a incerteza nas taxas de juros futuras introduz-se um movimento Browniano -dimensional = , 0 definido no espaço de probabilidade Ω, ℱ , 0 , ℙ . A filtração ℱ , 0 é a ℙ-augmentation da filtração natural de . O risco relacionado a emprestar e tormar emprestado em várias maturidades ao longo da curva forward é representado pela ℝ -avaliada, função localmente limitada , ; , 0 , indexada pela “variável de tempo” e a “variável de espaço” .
O teorema a seguir dá as condições no processo = ,∙ ; 0 sob as quais (32) é válido. Escreve-se ,∙ para representar , ; 0 , um vetor aleatório com valores em um apropriado espaço de funções.
TEOREMA 2.1. Seja = � � , = ,∙ , e = ( ,∙), onde , = ∗ , , 0 . Se ; 0 resolve: = + ( ) + ∗ , 0 = 0, (33) i então (32) é válido.
Prova. Uma forma mais fácil para interpretar (33) é
, = �� , + ( , ) + ∗ , ( ) (34)
Por uma solução de (33) quer se dizer a assim chamada mild solution (cf. Da Prato e Zabczyk (1992)): = 0+ − 0 + − ∗ ( ) 0 (35) ou, equivalentemente,
, = 0, + + , + −
0
+ ∗ , + − ( )
0
(36)
Simples manipulação produz a seguinte contribuição para ( , ):
, − 0 = 0, +1 2 , − 0 2 − − , 0 2 0 + ∗ , − 0 − − ∗ , 0 ( ) 0 e para ( ): , 0 0 = 0, 0 + , − 0 0 + ∗ , − 0 0 .
Diferenciando com respeito a obtém-se:
∗ , − 0 0 = ∗ , , − 0 0 , − 0 0 =1 2 , − 0 2 0 .
Assim para todo 0 ,
( , ) ( ) = exp − 0, 0 − 1 2 , − 0 2 0 − − ∗ , 0 0 . (37)
Portanto para todo o processo (∙, )
(∙) é um martingal.
, 0 0 = 0, 0 +1 2 , − 0 2 0 + ∗ , − 0 0
e consequentemente a distribuição condicional de , 0 0 dado ℱ é normal, o que significa: = 0, 0 +1 2 , − 0 2 0 + ∗ , − 0 0 e a variância: 2 = − , 0 2 0 . Portanto: � exp − , 0 0 ℱ = exp − +1 2 2 , e assim (32) é válido.