C. ÜLKEMİZ MADEN MEVZUATI HÜKÜMLERİNE İLİŞKİN GENEL
I. BÖLÜM
4. İdare Tarafından Uygulanacak Yaptırımlar
A Análise de Componentes Principais (PCA) é uma das possíveis técnicas estatísticas através da qual podemos extrair a volatilidade subjacente de uma série histórica. Neste trabalho iremos utilizar esta técnica para extrair a volatilidade na série histórica das mudanças na taxa forward dos Certificados de Depósitos Interbancários (CDI) de um dia e utilizar estas volatilidades no modelo HJM. As taxas forward serão inferidas a partir dos contratos futuros de DI14 de um dia negociados na BM&FBOVESPA, em algumas maturidades pré estabelecidas. O conceito teórico de PCA por ser bastante conhecido e registrado na literatura, não será detalhado aqui. Aplicações de PCA em taxas de juros podem ser obtidas, por exemplo, em Alexander (2008).
Podemos usar dados históricos para estimar a difusão �( , ) no modelo HJM porque o processo de difusão na dinâmica das taxas forward é o mesmo tanto sobre a medida no mundo real conforme a equação (1), onde os processos são movimentos Brownianos independentes sob a medida real15 ℙ, quanto no mundo neutro ao risco conforme a equação (5), onde onde são movimentos Brownianos sob a medida neutra ao risco ℙ .
Em James e Webber (2000) são discutidas algumas formas funcionais para a volatilidade em HJM. Os autores ponderam que é usual, na prática, para evitar a complexidade que �( , ) seja Markoviano e, nesta direção, há quatro abordagens
14 Depósitos interfinanceiros negociados entre instituições financeiras.
distintas: formas funcionais padrão, funções Gaussianas gerais, funções para obtenção de taxas spot Markovianas e funções implícitas de preços de opções. As consequências da escolha da especificação da volatilidade são enormes. Uma especificação Gaussiana pode levar, para opções mais simples, a fórmulas explícitas. Uma especificação Markoviana provavelmente resultará em uma estimativa usando uma aproximação em árvore recombinante. No caso geral, quando �( , ) é não Markoviano, só será possível avaliar preços de derivativos, mesmo no caso de uma opção simples, via simulações complexas ou árvores não recombinantes.
Várias formas funcionais padrão têm sido estudadas, como as indicadas a seguir, sendo as duas primeiras muito utilizadas na prática.
1. �( , ) ≡ �, uma constante.
Esta é uma volatilidade do tipo Ho and Lee. Flesaker (1993) testou tal forma em futuro de Eurodolar e futuro de opções e foi convincentemente rejeitada.
2. � , = � − − , �, constantes.
Esta é uma volatilidade do tipo Vasicek. É tratável mas irrealístico, embora tenha uma performance melhor que � constante. (Gibson et al. (1995)).
3. �( , ) = � 4 2 ( − ) / � ( − )− 1 + 2 2 , , � constantes.
Esta é uma função volatilidade do tipo CIR.
4. Vários: � , = � , � , �0− �1 − , �0− �1 − . Estas várias
formas funcionais foram comparadas por Amin e Morton (1994) e todas foram rejeitadas.
As formas funcionais Markovianas para �( , ) são aquelas que resultam em taxas spot Markovianas e foram estudadas por Jeffrey (1995), Carverhill (1994) e Hull e White (1993) entre outros. Volatilidades da forma � , = , ( ), onde ,
é implícito de caps e opções de swap e ( ) é uma taxa de mercado em com maturidade em , utilizadas no modelo BGM16, funcionam bem.
Outros artigos já citados, como Renò e Uboldi (2002), Driessen et al. (2003) e em Dario e Fernández (2009), também tratam a volatilidade através de formas funcionais.
Neste trabalho, a estimativa da volatilidade a ser utilizada no modelo, será totalmente não paramétrica, ou seja, não será definida através de uma função contínua que represente a volatilidade, e sim em pontos específicos obtidos de dados históricos, sendo cada ponto referente a um prazo de maturidade e a um fator. A identificação dos fatores de volatilidade empírica será obtida por PCA, e, conforme analisado por Litterman e Scheinkman (1991), em geral, três fatores deverão ser suficientes17 para a ETTJ.
Para estimar a volatilidade através de PCA iremos utilizar o método sugerido por Shreve (2004) descrito a seguir.
Vamos assumir que � , é da forma:
� , = � − min , ( , )
para alguma função não aleatória � (�), � 0, e alguma constante positiva 18.
Escolhendo � ( − ) para coincidir com dados de mercado, a taxa forward evolve de acordo com o modelo:
, = , + � − min , ( , ) . (12) i
Suponha que observamos as taxas forward nos tempos no passado 1 < 2 < <
< , onde representa o tempo “hoje”, e as taxas forward que observamos naqueles tempos referem-se aos prazos para maturidades �1 <�2 < < � (isto é,
16 Brace, Gatarek e Musiela
17 Soma dos fatores que representem mais do que 90% da volatilidade.
18 Limite superior para a taxa forward para prevenir a explosão da taxa que pode ocorrer quando e
estão muito próximos. Neste trabalho será utlizado − > 10 para prevenir este problema e evitar a estimação de L.
observamos ( , +� ) para = 1, , e = 1, , ). Suponha alem do mais que é suficientemente pequeno de maneira que + < +1 para = 1, , − 1 e
+ . De acordo com o modelo (12) então
+ , + � − , + � ≈ , + � +� � min , , + � + − . (13) i Definindo , = + , +� − , +� min , , +� (14) e substituindo em (13) temos: , ≈ , + � min , , + � +� � + − . (15) i
O primeiro termo do lado direito é pequeno em relação ao segundo porque tem o fator . Se definirmos
= + − , = 1, , , (16)
a expressão que aparece no segundo termo de (15), que é uma variável aleatória, temos:
, ≈ � � (17) i
Como 1, 2,… , são variáveis aleatórias normais e independentes, significa que
forward tomadas nos tempos 1, 2,… , relativas à maturidade � . A covariância
empírica será dada por
1,2 =
1
,1 ,2
=1
.
A covariância teórica calculada a partir de (17), é
� � �1 � �2 2 = � � 1 � �2 . Sendo = 1,1 1,2 2,1 2,2 1, 2, ⋱ ,1 ,2 , ,
uma matriz × correspondente às observações e aos prazos. Então a matriz de variâncias e covariâncias empírica sobre as observações em é dada por: = 1,1 1,2 2,1 2,2 1, 2, ⋱ ,1 ,2 , = 1 ′ ,
que é simétrica e positiva semidefinida. Assim, podemos decompô-la em componentes principais (PCA) obtendo-se:
= 1�1�1′ + 2�2�2′ + + � �′,
onde 1 2 0 são os autovalores de e os vetores coluna �1,�2,… , �
são os autovetores ortogonais correspondentes e �′ a transposta de � .
Assim, a melhor aproximação para � é
� �1
� �2
� �
Para melhorar a aproximação para podemos introduzir mais movimentos Brownianos (mais fatores) na equação da dinâmica da taxa forward, cada um com seu próprio vetor � ( 2�2, 3�3, etc.).
Como um passo final na calibração, pode ser introduzido uma função não aleatória ( ) na evolução da taxa forward sob a medida neutra ao risco, fazendo
, = � , �∗ , + � − min , , , (18) i onde � , = � − min , , e �∗ , = � , = � − min , , . (19) i
Mesmo introduzindo ( ), o modelo continua livre de arbitragem quando �∗ , em
(18) é definido por (19).
Tipicamente o valor de ( ) é uma constante e esta constante é livre para fazer o modelo coincidir com os valores de mercado. Inicialmente assume-se ( )≡ 1, obtêm-se os valores de � − e, posteriormente, alterando-se ( ) e evoluindo a curva forward pelo modelo, calibra-se seu valor.