Kitabımızı Tanıyalım!

(1)

(2)

Kazanıma ait temel bilgilerin verildiği

bölümdür.

Konu Özeti

Zaman kazandıracak ve soruyu kısa yoldan çözmenizi sağlayacak

bilgilerdir.

Hızlı Bilgi - Pratik Yöntemler

Kazanımın kavranması için verilen farklı zorluk düzeylerinde

çözümlü sorulardır.

Bilgi Kavrama Sorusu (BKS)

Her kazanımın altında, sadece o kazanımla

ilgili sorulardan oluşan testtir.

Kazanım Kavrama Testi

(Yeşil Test)

Konunun kavranması için temel düzey sorulardan oluşan

testtir.

Bilgi Kavrama Testi

(Mavi Test)

Konunun pekiştirilmesi için üst düzey sorulardan

oluşan uygulama testidir.

Bilgi Uygulama Testi

(Kırmızı Test) Konu ile ilgili ÖSYM’nin

sorabileceği zorlukta hazırlanan karma testtir.

Yeni nesil sorular ağırlıktadır.

ÖSYM Tarzı Test

(Turuncu Test)

Konu ile ilgili ÖSYM’nin sorduğu soruların bulunduğu

testtir.

Çıkmış Sorular

(Turkuaz Test)

Zaman yönetimi becerisi kazanmanız amacıyla

her testin üzerine ideal çözüm süresi

yazılmıştır.

Basamaklı Zaman Yönetimi

Kitabımızı Tanıyalım!

(3)

Harun DERİN

Kadir ÖNER Faruk KORKMAZ Fikret HEMEK

Abdullah AHMETOĞLU

Nuri SOYUDURU G. KOORDİNATÖR:

YAZARLAR:

EDİTÖR:

Copyright ©

Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan yayınevinin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

ISBN: 978-605-7530-72-1 1909 - 1 - 20

(4)

Sevgili Öğrenciler,

Hepiniz hedeflerinize ulaşmak için sınavlara giriyorsunuz. Bu sınavlara hazırlık süreci uzun, yorucu ve sabır isteyen bir yolculuk. HIZ ve RENK YAYINCILIK olarak bu uzun yolculuk- ta sizlerin destekçisi ve rehberi olmayı bir görev bilmekteyiz. Bu anlayışla hazırladığımız soru bankalarımızla sınavlara hazırlık sürecinde başarınızı daha yukarılara taşımak ve istediğiniz hedefe sizleri ulaştırabilmek temel amacımızdır.

LİMİT VE SÜREKLİLİK SORU BANKASI, siz değerli öğrencilerimizi ÖSYM tarafından hazırlanan AYT sınavında çıkabilecek sorulara adapte edebilme düşüncesiyle oluşturulmuş eşsiz bir yardımcıdır. Kitabımızda 100 tanesi çözümlü ve 325 tanesi video çözümlü olmak üzere, toplam 425 soru bulunmaktadır.

Titiz bir çalışmanın ürünü olan LİMİT VE SÜREKLİLİK SORU BANKAMIZ, MEB’in müf- redat programıyla ve ÖSYM’nin soru tarzlarıyla birebir uyumlu olup oluşturulan tüm testler ve sorular konu kavrama ve uygulama sırasına göre kademeli bir şekilde hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanmasında büyük emekleri geçen yazarlarımız Sayın Kadir ÖNER, Faruk KORKMAZ, Fikret HEMEK ve Abdullah AHMETOĞLU’na; kitaptaki soruları titizlik- le inceleyen redakte ekibimizin değerli üyeleri: Doç. Dr. Gürhan İÇÖZ, Öner ÇELİKAN, Burcu ALTUNAL, Hülya BODUKCU, Dr. Saygın DİNÇER, Onur ÖZTÜRK, Duygu AYDOĞAN, N. Büşra YAVUZ, Mete AKAR, Eda Nur ILDIZ, Çağdaş POLAT, Mehmet ERTAŞ ve Sultan BÜ- YÜKHAN'a; editörümüz Nuri SOYUDURU’ya ve dizgi ve tasarım uzmanımız Raşit SAVAŞ'a teşekkür ederiz.

Başarılarınıza Hız ve Renk katabilmek dileğiyle…

HIZ VE RENK YAYINCILIK

Sunuş

(5)

Yaklaşım Kavramı ...5

Limit Kavramı ...8

Limitin Özellikleri ...11

Polinom Fonksiyonunun Limiti ...14

Parçalı Fonksiyonun Limiti ...16

Mutlak Değerli İfadelerin Limiti ...18

Üstel Fonksiyonun Limiti ...22

Logaritma Fonksiyonunun Limiti ...22

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti ...23

Bileşke Fonksiyonun Limiti ...27

Limitte Belirsizlik Durumu ...31

Sonsuzda Limit ...37

Limit Testleri ...39

Süreklilik Kavramı ...63

Kesirli Fonksiyonun Sürekliliği ...64

Parçalı Fonksiyonun Sürekliliği ...65

Köklü Fonksiyonun Sürekliliği ...69

Trigonometrik Fonksiyonların Sürekliliği ...70

Logaritma Fonksiyonunun Sürekliliği ...71

Grafik Üzerinde Süreklilik ...75

Fonksiyonlarda İşlemler ve Süreklilik ...78

Süreklilik Testleri ...83

İÇİNDEKİLER

LİMİT SÜREKLİLİK

(6)

YAKLAŞIM KAVRAMI

6

Çözüm

3

y = f(x)

x y

6 5 4

x ₺ 3^– için f(x) = x + 1 olur. Dolayısıyla, x ₺ 3^–

y = f(3^–) = 3^– + 1 = 4^– yani x ₺ 3^– iken y ₺ 4 olur.

x ₺ 3⁺ için f(x) = 2x olur. Dolayısıyla, x ₺ 3⁺

y = f(3⁺) = 2 · 3⁺ = 6⁺ yani x ₺ 3⁺ iken y ₺ 6 olur.

Çözüm

I. a 2,8 2,9 ... 3 b=7–a 4,2 4,1 ... 4

Görüldüğü gibi, a sayısı 3 e soldan yaklaşırken b sa- yısı 4 e sağdan yaklaşır.

Yani a ₺ 3^– iken b = 7 – a = 7 – 3^– = 4⁺ olur.

II. Birinci öncülden

a ₺ 2⁺ iken b = 7 – a = 7 – 2⁺ = 5^– olur.

b ₺ 5^– iken b² ₺ 25^– yani b² değeri artarak 25 e yaklaşır.

III. a + b = 7 olduğundan a sayısı b sayısına yaklaşırken ikisi de 2

7 = 3,5 e yaklaşır.

a 3,3 3,4 ... 3,5 ... 3,6 3,7

b 3,7 3,6 ... 3,5 ... 3,4 3,3

a.b 12,21 12,24 ... 12,25 ... 12,24 12,21 Görüldüğü gibi hem a ₺ 3,5^– hem a ₺ 3,5⁺ için ab

₺ 12,25^– olur. Yani a sayısı b sayısına yaklaşırken ab çarpımı artarak 12,25 değerine yaklaşır.

CEVAP: E BKS

2

Gerçel sayılar kümesinde,

( )

, ,

, f x

x

x x x x 1 5 2

3 3 3

<

>

= +

*

=

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, x değerinin 3 e soldan ve sağdan yaklaşımı- nı inceleyelim.

BKS

3

a ve b toplamları 7 olan gerçel sayılardır.

Buna göre,

I. a ₺ 3^– iken b ₺ 4⁺ olur.

II. a sayısı azalarak 2 ye yaklaşırken b² değeri artarak 25 e yaklaşır.

III. a sayısı b sayısına yaklaşırken a·b çarpımı artarak 12,25 değerine yaklaşır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III HIZLI BİLGİ

f(3) = 5 olmasına rağmen sol veya sağ yaklaşımları bu- lurken bu değeri kullanmadık.

(7)

9 LİMİT KAVRAMI 

Çözüm

Bir fonksiyonun grafiğinde kopukluk olan noktalara kritik noktalar denir. Kritik noktalarda sol ve sağ limitler ince- lenir. Kritik olmayan noktalarda fonksiyonun limiti vardır.

Buna göre, kritik olmayan noktalardaki limitler

( ) , ( )

lim f x 1 lim f x 0

x –1 = x 0 =

" "

( ) lim f x 2

x 2 =

" bulunur.

Kritik olan x = –2, x = 1 ve x = 3 noktalarında ise ( )

( )

limit yoktur.

lim

lim f x

f x 2

( ) 1 ( ) x

x 2

2

–

– – =

=

"

" +

( )

limit yoktur.

lim

lim f x

f x 1

2 x

x 1

1

– =

=

"

" +

( )

( ) lim

lim f x

f x 2 x 2

x 3

3

– =

=

"

" +

eşit olduğundan lim f x( ) 2

x 3 =

" dir.

f(3) = 3 olduğuna dikkat ediniz.

Dolayısıyla, bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmak zorunda değildir.

BKS

1

–1 –2

–3 O1 2 3 4

y = f(x) x y

3 2 1

Şekilde f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, f fonksiyonunun (–3, 4) aralığındaki tam sa- yılar için var olan limitlerini bulalım.

Çözüm

Ç(x) = 2(2x + 3x) = 10x A(x) = 2x · 3x = 6x²

x = 2 noktası Ç(x) için ve x = 3 noktası A(x) için kritik nokta değildir.

Dolayısıyla, ( )

( ) lim

lim x

A x

10 2 20

3

6 54

Ç ·

· x

x 2

3

2

– = =

= =

"

" +

bulunur.

BKS

2

A

2x

3x

D

B C

ABCD dikdörtgen

|AB| = 2x ve |BC| = 3x olmak üzere, Çevre(ABCD) = Ç(x) Alan(ABCD) = A(x) fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre,

( ) ( )

Ç

lim x ve lim Ax x"2– x" +3 limitlerini bulalım.

HIZLI BİLGİ

2019 MEB Programında, bir aralığın uçlarında limit de- ğeri incelenmemektedir.

Dolayısıyla, yukarıdaki örnekte x = – 3 ve x = 4 için limit incelenmedi.

(8)



14

POLİNOM FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Çözüm

Polinom fonksiyonlarının her noktadaki limiti, o noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla, istenen toplam

(3 · 4 + 5 · 2 – 1) + (1⁵ – 4) + (0 + 0 – 1) = 17 bulunur.

CEVAP: A BKS

1

( ) ( ) ( )

lim 3x 5x 1 lim x 4 lim 5x 7x 1

x 2 x x

2

1 5

0 – 2

+ - + - + + -

" + " "

toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 17 B) 15 C) 13 D) 11 E) 9

Polinom Fonksiyonunun Limiti

a gerçel sayı ve n doğal sayı olmak üzere, f: R ₺ R

f(x) = a_nxⁿ + a_n–1x ^n–1 + ... + a₁x + a₀

ifadesi bir polinom fonksiyonu belirtir. Her k gerçel sayısı için f polinom fonksiyonunun limiti vardır.

Bu limit değeri lim f x( ) f k( )

x k =

" ile bulunur. Yani polinom fonksiyonunun her noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki

değerine eşittir

Çözüm

P, polinom fonksiyonu olduğundan ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) lim

lim lim

P x P

1 3

0 1

x x

x 1

3

0 –

–

=

= =

"

( ) ( ) .

lim P x lim P x c olsun

x 1– =x 3 =

" "

P(1) = P(3) = c

P(x) = 2(x – 1) (x – 3) + c P(0) = 2(–1) (–3) + c = 1 c = –5 olup P(x) = 2(x – 1) (x – 3) – 5 tir.

Buradan, lim P x( ) x 2" +

= P(2) = 2·1·(–1) – 5 = – 7 bulunur.

CEVAP: D BKS

2

P, başkatsayısı 2 olan ikinci dereceden polinom fonksiyo- nudur.

( ) ( )

lim P x limP x

x 1– =x 3

" "

( ) lim P x 1

x 0– =

"

olduğuna göre, lim P x( )

x 2" + limitinin değeri aşağıdakiler- den hangisidir?

A) –2 B) –3 C) –5 D) –7 E) –9

(9)

22

ÜSTEL - LOGARİTMİK - TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

Üstel Fonksiyonun Limiti

a, 1 den farklı pozitif gerçel sayı olmak üzere, f(x) = a^x şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

Logaritma Fonksiyonunun Limiti

a, 0 dan büyük ve 1 den farklı bir gerçel sayı ve f(x) > 0 olmak üzere,

g(x) = log_af(x) şeklinde tanımlanan fonksiyona logaritma fonksiyonu adı verilir. Burada a, logaritmanın taba- nıdır.

f fonksiyonunun x = b noktasındaki limiti pozitif gerçel sayı olmak üzere,

( ) ( )

lim log f x log limf x

x b a a

= x b

" ^ h ` " j şeklinde logaritma

fonksiyonunun limiti bulunur.

Çözüm ( ) lim f x 4

x 1 =

" olduğundan

( ( )2f x–3x)

lim ^{( )} ⁾

x

f x x

1

3

lim –lim

2x 1 x 1

"

" "

3 = _3 i

= 3^{2 · 4 – 3} = 3⁵ = 243 bulunur.

CEVAP: D

Çözüm

( )

lim log 5x 3x 11 log lim 5x 3x–11

x 4 x

2

4 3 2

+ - = +

" b 3 l "

log3 80 12 11 log3 81 log39 log3 23 2

= + - = = = =

bulunur.

CEVAP: B BKS

1

( ) lim f x 4

x 1 =

" olduğuna göre

lim 3^{( · ( )} ⁾ x

f x x

1

2 –3

"

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 9 B) 27 C) 81 D) 243 E) 729

BKS

2

lim log 5x 3x 11 x 4

2+ -

" ` 3 j

A) §3 B) 2 C) 3 D) 3§3 E) 4

Örneğin

f₁(x) = 3^x ve f₂(x) = 2b l üstel fonksiyonlardır.1 ^x

Örneğin ( ) lim log 8x

x 2" 4 limitinin değeri

( ) ( ) ( )

log lim log log

log x

8 16 4

2 4 2

4 x 2 4 4 2

4

= =

"

b l

bulunur.

HIZLI BİLGİ

f(x) = a^g(x) üstel fonksiyonunun x = k noktasındaki limiti lim ^{g x}^{( )} ^lim^{g x}^{( )} x k

x k

"

a =a şeklinde bulunur.

(10)

28

BİLEŞKE FONKSİYONUN LİMİTİ

Çözüm

a) x = 2 noktasında sol ve sağ limitlere bakalım.

( )( ) ( ( )) ( )

lim fof x lim f f x lim f x –2

x 2– =x 2– 2 =x 2 =

" " <+ " +

( )( ) ( ( ))

lim fof x lim f f x 2

x 2 x 2 ( )

2 – –

= =

" + " + <

Sol ve sağ limitler birbirinden farklı olduğundan ( )( )

lim fof x

x 2" limiti yoktur.

b) lim (fog x)( ) lim f g x( ) lim f x( ) 2

x 2 x 2 x

2 2

– –

= = =

" " ^1 2 3444 444h "

( )( ) ( ) ( )

lim fog x lim f g x lim f x 2

( ) ( )

x 2 x 2 x 1

1 –

– – –

= = =

" + " + ^1 2 3444 444h "

(x ₺ (–1)^– için f(x) sabit)

Sol ve sağ limitler birbirine eşit olduğundan,

( )( ) .

lim fog x 2dir

x 2 =

"

c) lim (gof x)( ) lim g f x( ) lim g x( ) –1

x 2 x 2 x

2 2

– = – = =

" " ^=+h " +

( )( ) ( ) ( )

lim gof x lim g f x lim g x 3

( ) ( )

x 2 x 2 x

2 2

– – – –

= = =

" + " + ^=h "

Sol ve sağ limitler birbirinden farklı olduğundan, ( )( )

lim gof x 2

x 2 =

" limiti yoktur.

BKS

1

Aşağıda gerçel sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyon- larının grafikleri verilmiştir.

O O

–2 –2 –1

y = f(x) x y

2 2

–1 –2

y = g(x) x y

2 2

3

Buna göre, aşağıdaki limitleri araştıralım.

a) lim fof x( )( )

x 2" b) lim fo( g)( )x

x 2" c) lim (gof x)( ) x 2"

Çözüm

f ve g polinom fonksiyonları olduğundan bileşkeleri de polinom fonksiyonu olur. Dolayısıyla, limitleri o noktadaki değerlerine eşit olur.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) lim

lim

fog x fog

o x o

f g f

g f g f g f g

1 1 0 3

2 2 7 48

x

x 1

2

= = = =

"

Bu değerlerin toplamı 51 dir.

CEVAP: B BKS

2

f(x) = 2x + 3 g(x) = x² – 1 fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, lim (fog x)( ) lim (gof x)( )

x 1 +x 2

" " toplamı kaçtır?

A) 52 B) 51 C) 49 D) 9 E) 8

HIZLI BİLGİ

Bileşke fonksiyonun limiti alınırken x ve y değerlerinin hangi sayıya sağdan ya da soldan yaklaştığının doğru tespit edilmesi gerekmektedir.

Örneğin, BKS 1'de

f fonksiyonunda x, 2 ye soldan yaklaşırken y, 2 ye sağ- dan yaklaşır.

g fonksiyonunda x, 2 ye soldan yaklaşırken y, 2 ye soldan yaklaşır.

(11)

31 LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMU 

Örneğin im l xx

24 x 2

2 --

" fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

, ms z

› ›

( ) ( )·( ) ,

tan f x xx

x x x x x

24

2 2 2 2 ≠2

2

= -- = -

- +

= +

x=2 Z

[

\ ]]]]]]]]

Grafiği şöyle olur.

O 2 x

y

4

y = x² – 4 x – 2

Görüldüğü gibi, x = 2 apsisli noktada y = xx 24 2

-- fonksiyonu tanımsızdır, ancak bu durum bu noktada limitinin olma- dığı anlamına gelmez.

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması gerekmez. O noktadaki sol ve sağ limitlerinin birbirine eşit olması yeterlidir.

Gerçekten, lim xx 24 lim (x 2) 4 ve

x 2 x

2

– -- = 2– + =

" "

lim xx 24 lim (x 2) 4 olur.

x 2 x

2

-- = 2 + =

" + " +

Dolayısıyla, _xlim₂ xx²--24 =_xlim₂(x+2)=4 t rü .

" "

Limitte Belirsizlik Durumu

f ve g gerçel sayılar kümesinin uygun alt kümelerinde tanımlı birer fonksiyon olsun.

( ) lim g xf x( )

x a" limitinde 00 belirsizliği oluşabilir.

Burada her iki fonksiyonun da (x – a) çarpanı vardır. Bu çarpanlar sadeleştirilirse belirsizlik ortadan kalkar.

Belirsizlik, sadeleştirmenin yanı sıra köklü ifadeler varsa eşlenik alma yardımıyla da kaldırılabilir.

Örneğin im l xx

24 x 2

2 --

" limitinin değerini bulalım.

x = 2 yazarsak lim xx 24

00 x 2

2 -- =

" belirsizliğini fark ederiz.

( ) ( )

( )

lim xx lim lim

x

x x

24 x

2

2 2

2 2 2 4

·

sadele tirme ile

belirsizlik kalkt fl

x 2 x x

2

2 2

›

-- = -

- +

= + = + =

" " "

1444444444444 4444444444442 3 1444444 4444442 3

(12)

HI Z

V E

RE NK

39 TEST

1

12^dk Bilgi Kavrama Testi

YAKLAŞIM, LİMİTİN ÖZELLİKLERİ - POLİNOM FONKSİYONUNUN LİMİTİ

YAKLAŞIM, LİMİTİN ÖZELLİKLERİ - POLİNOM FONKSİYONUNUN LİMİTİ

1.E 2.E 3.E 4.C 5.C 6.B

1.

Aşağıda f(x) = 18 – x ve g(x) = 15 – x fonksiyonla- rında bazı x değerlerine karşılık gelen y değerleri tablolarla gösterilmiştir.

y = f(x) tablosu

x 4,8 4,9 4,95 4,99

f(x) 13,2 13,1 13,05 13,01

y = g(x) tablosu

x 4,7 4,8 4,9 4,95

g(x) 10,3 10,2 10,1 10,05

Buna göre,

I. f fonksiyonunda x † 5^– iken f(x) † 13⁺ II. g fonksiyonunda x † 5^– iken g(x) † 10^– III. (f + g) fonksiyonunda x † 5^– iken (f + g)(x) † 23⁺ ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III

2.

y = f(x) fonksiyonunda x gerçel sayısının artarak 6 ya yaklaştığı biliniyor.

Buna göre,

I. f(x) = 3x fonksiyonunda y artarak 18 e yaklaşır.

II. f(x) = – x² fonksiyonunda y azalarak – 36 ya yakla- şır.

III. f(x) = 13 – 2x fonksiyonunda y azalarak 1 e yakla- şır.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

3.

lim x – –x 2

x 2

2 –

" ^ h

A) – 4 B) – 2 C) 0 D) 2 E) 4

4.

lim x –8x 10 x k

2 +

" ^ h

limitinin değeri – 6 dır.

Buna göre, lim x k

x 2 +

" ^ h limitinin değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

5.

k gerçel sayı olmak üzere, lim x –4k 16 6k

x 4

3 + =

" ^ h

olduğu biliniyor.

Buna göre, lim x –5x 4

x k

2

2 +

"

^ h limitinin değeri aşa-

ğıdakilerden hangisidir?

A) – 4 B) – 2 C) 0 D) 4 E) 8

6.

n doğal sayı olmak üzere, lim 1 2x 3x ... nx

x

n

2 1

1

+ + + + –

" ^ h

limitinin değeri 105 tir.

Buna göre, n aşağıdakilerden hangisidir?

A) 13 B) 14 C)15 D) 16 E) 17

(13)

59 HI

Z

V E

RE NK

LİMİT (KARMA)

Bilgi Uygulama Testi

16^dk

11

TEST

1.C 2.C 3.C 4.C

1.

2,4

3,8 2

x

h

Bazı ölçüleri verilen dik yamuk şeklindeki yukarıdaki platformun üstünde bir top bulunmaktadır. Top serbest bırakıldığında ok yönünde hareket ederek aşağıya inmektedir.

x, topun aldığı yol ve h, topun yerden yüksekliğidir.

Buna göre, lim h

x 4" limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,6 B) 0,75 C) 0,8 D) 1,2 E) 1,6

2.

Aşağıda gerçel sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y

–4 x

–2 3

5

1

O

y = f(x)

g fonksiyonu her a gerçel sayısı için, g a( ) lim f x( 2) lim f x( 3)

x a– x a

= + + -

" " +

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, (gof)(– 2) değeri kaçtır?

A) –2 B) 0 C) 2 D) 3 E) 6

3.

A

E

D

B 5 C

8 x

Şekilde ABC üçgeni ile ACDE karesi AC kenarı boyunca birleştirilerek ABCDE beşgeni oluşturulmuştur.

|AB| = 8 br |BC| = 5 br

Beşgenin çevresi Ç olmak üzere, x açısı değiştirilerek Ç değeri hesaplanıyor.

Buna göre, lim Ç tanx" 3

limitinin değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 21 B) 26 C) 34 D) 37 E) 40

4.

_A

x y

D

B C ABC dik üçgen, AB=BC BC= AB· 3

D noktası, AC kenarı üzerinde hareket ettirilmektedir.

Buna göre, lim BD DC BC

x y 0– " + limitinin değeri aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) 2 3 B) 3 C) 2

3

D) 3

3 E) 3

3 2

(14)

61 HI

Z

V E

RE NK

LİMİT (KARMA)

Bilgi Uygulama Testi

16^dk

12

TEST

1.B 2.B 3.D

1.

r A

B C

c

b

a r A

B C

c

b

a

Dik kenar uzunlukları x ve x + 1 br olan bir dik üçgenin içteğet çemberinin yarıçapı r br dir.

Buna göre, lim xr x 0" +

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 21 C) 1 D) 23 E) 2

2.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu için,

lim f x( ) 6

x 2– =

"

lim f x( ) 1

x 2 =

" + f(2) = – 1 olduğu biliniyor.

Buna göre,

( )

lim x f x

x f x

3 2 3

2 3 1

x 1 + -

+ +

" +

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –1 B) 31 C) 1 D) 34 E) 4

3.

Öner Öğretmen, limit konusunu işlerken tahtaya aşağı- daki ifadeleri yazıyor.

Aşağıdaki şartları sağlayan birer f ve g fonksiyonu yazınız.

• f fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti yoktur.

• g fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti yoktur.

• gf fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti vardır.

Buna göre, öğrencilerin verdiği,

I. ( ) ,

, ( ) ,

f x , x

x

x g x x

x x 3

3 2 2

1 2

2 2

≤

<

> >

= = -

) )

II.

y = f(x) 2

6

4

x y

y = g(x)

2 2 3

x y

O O

III. ( ) ,

,

f x xx x

2 2 2

2

= - ≠ -

x=2 Z

[

\ ]]]] ]]]]

( ) , ,

, x

x

x x x x

g 2

2 2 2 2

<

>

2

= +

= Z

[

\ ]]]]]

]]]]]

örneklerinden hangileri Öner Öğretmen'in verdiği duruma uygundur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

(15)

63 SÜREKLİLİK KAVRAMI 

Örneğin f : R ₺ R

f(x) = x² fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.

✔ Her gerçel x sayısı için x² ifadesi tanımlıdır, yani her gerçel sayının karesi gerçel sayıdır.

✔ f(x) = x² ifadesi hiçbir gerçel sayı için belirsizlik oluşturmaz. Yani her x gerçel sayısının limiti vardır ve x² değerine eşittir.

✔ Her gerçel x sayısının görüntüsü ve limiti x² değerine eşittir.

Bu üç şart sağlandığından f(x) = x² fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

Örneğin f(x) = x³ + x – 1 g(x) = 4 – x⁷ h(x) = 5

fonksiyonlarının sürekli olduğu en geniş küme R dir.

HIZLI BİLGİ

Polinom fonksiyonlarının en geniş tanım kümesi gerçel sayılardır. Ayrıca polinom fonksiyonlarının her noktadaki limiti, o noktadaki görüntüye eşittir.

Dolayısıyla, polinom fonksiyonları gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

f polinom fonksiyonu ve a gerçel sayı olmak üzere, f: R ₺ R

( ) ( ) › . lim f x f a d r

x a =

"

Süreklilik Kavramı

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşitse, fonksiyon o noktada süreklidir denir.

Aksi durumda, fonksiyon o noktada sürekli değildir veya süreksizdir denir.

A Á R ve f : A ₺ R fonksiyonu verilsin.

a ‰ A olmak üzere, lim f x( ) f a( )

x a =

" oluyorsa, f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.

Eğer f fonksiyonu A kümesinin her elemanı için sürekli ise, f fonksiyonu A kümesinde süreklidir denir.

f fonksiyonu x = a da sürekli ise,

✔ f fonksiyonu x = a da tanımlıdır.

✔ f fonksiyonunun x = a da limiti vardır.

✔ f(a) değeri limit değerine eşittir.

f fonksiyonu x = a da tanımlı olmasına rağmen,

✔ x = a da limiti yoksa, veya

✔ f(a) değeri, x = a daki limit değerine eşit değilse, f fonksiyonu x = a da süreksizdir.

f fonksiyonu x = a da tanımlı değilse,

✔ x = a da limitinin var olup olmamasına bakılmaksızın,

x = a noktası, f fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümede bulunmaz.

(16)

67 PARÇALI FONKSİYONUN SÜREKLİLİĞİ 

Çözüm

f fonksiyonunu oluşturan üç fonksiyon ve kritik noktalar incelenmelidir.

✔ x < 0 için

x 9

21- ifadesini inceleyelim.

Paydadaki x² – 9 ifadesinin köklerinden x < 0 şartını sadece x = –3 sağlar, f fonksiyonu bu noktada tanım- sızdır.

✔ 0 ≤ x < 3 için sin (πx) ifadesi her noktada süreklidir.

✔ x ≥ 3 için paydanın kökleri |x| – 6 = 0 & x = – 6 veya x = 6 dır.

Ancak, x ≥ 3 şartını sadece x = 6 sağlar, f fonksiyonu bu noktada tanımsızdır.

Şimdi kritik noktaları inceleyelim.

x = 0

( ) lim f x lim

x 9

1 9 1

x 0– =x 0– 2

- = -

" "

( ) (π )

lim f x lim sin x sin0 0

x 0 =x 0 = =

" + " +

farklı olduğundan f fonksiyonu x = 0 da süreksizdir.

x = 3

( ) (π )

lim f x lim sin x sin3π 0

x 3– =x 3– = =

" "

( ) lim f x lim

x x 3

3

0 0

x 3 =x 3 6

-

- =

" + " +

eşit ve f(3) = 0 olduğundan f fonksiyonu x = 3 te süreklidir.

Sonuç olarak, f fonksiyonu A kümesinin – 3 ve 6 ele- manları için tanımsız, 0 elemanı için süreksiz olduğundan bu 3 eleman fonksiyonun sürekli olduğu en geniş kümede

bulunmaz. CEVAP: A

BKS

6

A = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin kaç elemanı

x<0 ,

, (π ), sin x

x x x

x 9

1

6 3

0≤ <3 2-

- - ( ) f x =

x 3≥ Z

[

\ ]]]]]]

]]]]]

fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümede bulun- maz?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Çözüm

x + k = 0 ın kökü 3 ya da 3 ten büyük olmalıdır.

x + k = 0 ¡ x = –k ≥ 3 ¡ k ≤ –3

x + k + 2 = 0 ın kökü 3 ten küçük olmalıdır.

x + k + 2 = 0 ¡ x = –k – 2 < 3 ¡ k > –5

İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi {–3, –4} olup

–3 – 4 = – 7 bulunur. CEVAP: C

BKS

7

k tam sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı ,

( ) ,

≥

f x x k x

x k x

1 3

1 2 3

<

= +

+ +

*

fonksiyonu sadece x = 3 noktasında süreksizdir.

Buna göre, k nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) –12 B) –9 C) –7 D) –6 E) –5

(17)

HI Z

V E

RE NK

82

6^dk

FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE SÜREKLİLİK Kazanım Kavrama Testi

1.A 2.A 3.C

TEST

5

1.

Aşağıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

–4 2 2

4 6 6

8

f

x y

4

O

(f + g) fonksiyonu x = 2 noktasında süreklidir.

Buna göre, g fonksiyonunun grafiği aşağıdakiler- den hangisi olabilir?

–2 2 2

1

2 4 6

A)

g

x y

4

O

2 2 3

6 E)

g x y

4

O

–1 –2

2 6

B)

g x y

3

O

–1 2 2

4 C)

g x y

3

O

–1 –2

1 6

D)

g

x y

O

2.

Aşağıda f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

–2 –2

2

x x

y y

O O

–1 –1

1 y = f(x)

y = g(x)

Buna göre, gerçel sayılar kümesinde, I. (f · g) fonksiyonu süreklidir.

II. (f + g) fonksiyonu süreklidir.

III. (f – g) fonksiyonu süreklidir.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III

3.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksi- yonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir.

x y

O –1 1

1 f

x y

O –1 –1

1

g

Buna göre, I. (f + g) II. (f · g) III (f – g)

fonksiyonlarından hangileri x = 0 noktasında sürek- lidir?

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III